Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina...
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Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale
Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina
1) Forze centrali2) Le Leggi di Keplero3) Coniche4) Integrali del moto5) La Legge di Gravitazione Universale6) L’energia potenziale gravitazionale7) Applicazioni
Parte VII: Gravitazione
Le forze possono essere funzione della posizione. Un esempio è la forza di richiamoelastica dell’oscillatore armonico
Queste forze elastiche hanno la caratteristica di puntare sempre verso un punto,la posizione d’equilibrio dell’oscillatore, e per questo si dicono forze centrali
Le forze centrali hanno spesso la caratteristica di essere conservative
Si noti che si è introdotto il concetto di campo vettoriale: abbiamo cioè definito unacorrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio ed una grandezza fisica vettoriale.Questa assume differenti valori (in modulo, direzione e verso) al variare del punto
I moti in campi di forze centrali hanno spesso particolari caratteristiche. Questo è ilcaso del moto dei pianeti e dei corpi celesti attorno al Sole
Forze centraliForze centrali
Dopo osservazioni e dati raccolti per molti decenni da suoi predecessori oltre che da luistesso, Keplero fu in grado di stabilire le seguenti tre leggi:
I. I pianeti descrivono orbite ellittiche piane ed il sole occupa uno dei fuochiII. Il raggio vettore congiungente il pianeta al sole spazza aree uguali in tempi ugualiIII. Se T è il periodo di rivoluzione ed R il semiasse maggiore dell’ellisse si ha:
pianeti i tutti per uguale costante C conCR
T
3
2
r
v
Sole
Semiasse maggiore
Semiasse minore
PerielioAfelio
Aree uguali
Moto più lento Moto più veloce
Le Leggi di KepleroLe Leggi di Keplero
PUNTO RETTE
Intersecando con un piano un cono retto (circolare a due falde) si ottengono delle curvepiane dette coniche
Rette e punti sono casi particolaridi queste intersezioni (degenerazioni)
Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole
Le sezioni conicheLe sezioni coniche
Siccome i principi e le leggi della Fisica devono valere dovunque nell’universo, ancheil moto dei pianeti o anche di altri corpi celesti deve obbedire ai principi di conservazionee alla Leggi di Newton
Cominciamo col dire che non ci sono solo pianeti che si muovono sotto l’azione del Sole.
Vi sono le comete periodiche (e.g. la cometa di Halley) che descrivono delle orbite chiusee si comportano in tutto e per tutto come i pianeti salvo il fatto che l’orbita ellittica èmolto eccentrica.
Vi sono altri corpi celesti (e.g. gli asteroidi) con elevatissima energia cinetica e cheseguono traiettorie paraboliche, con il sole nel fuoco
Le Leggi di Keplero e gli integrali del motoLe Leggi di Keplero e gli integrali del moto
Periodo 76 anni
La cometa di HalleyLa cometa di Halley
Consultare fig. 12-11Fishbane-Gasiorowicz-Thornton
La differenza fra il moto di un pianeta o di un asteroide, cioè orbita chiusa o apertasta nell’energia meccanica totale
Vedremo più avanti che se l’energia totale è negativa (caso dei pianeti) l’orbita deveessere chiusa, mentre se l’energia totale è positiva l’orbita deve essere aperta.
Ciò è facile da intuire: se l’energia meccanica totale è positiva significa che l’energiacinetica è prevalente su l’energia potenziale dovuta all’attrazione del Sole, ed in talcaso vince la tendenza del corpo a scappare via. Sempre in questo caso l’attrazionedel sole può solamente deviare il corpo dalla sua traiettoria altrimenti rettilinea.
Nel caso opposto è prevalente l’energia potenziale, ovvero il corpo resta legato al Sole,e, in analogia col moto circolare, cade continuamente verso il Sole
Si dice che l’energia è un integrale del moto, ed in effetti l’area dell’orbita, che si conserva, è legata alla energia totale. Ciò è naturalmente vero fino a quando possiamo considerareil sistema pianeta-sole come isolato
Anche il momento angolare si conserva (ed è un altro integrale del moto). Le prime dueLeggi di Keplero sono una conseguenza di questo fatto
Per la definizione di momento angolare vmrL p
con mp massa del pianeta, v la sua velocità ed r il raggio vettore Sole-pianeta
Siccome il momento angolare deve conservarsi, anche la sua direzione deve rimanerecostante. Questa è perpendicolare al piano su cui giacciono r e v: di conseguenza il motodeve sempre avvenire su un piano, dunque l’orbita è piana (cfr. I Legge di Keplero)
Il verso del momento angolare definisce semplicemente il verso di rotazione: anchequesto è ovviamente costante
Anche il modulo del momento angolare è costante, e ciò conduce alla seconda legge diKeplero. Il modulo del momento angolare vale
rpprpp sinrmsinvrmLL 2
Da questa formula si capisce che se aumentasse la distanza Sole-pianeta la velocitàangolare deve diminuire per mantenere costante il momento angolare
Calcoliamo adesso la velocità areolare
Consideriamo un’area infinitesima spazzatain un tempo infinitesimo dt, descritta da unangolo infinitesimo d=dt
d=dt
Se approssimiamo l’areola infinitesima dA con un triangolo isoscele di altezza r e basersinrpd
prprprp m
Lsinr
dt
dAdtsinrdsinrdA
22
1
2
1
2
1 222
Keplero non conosceva le leggi di Newton, né la conservazione del momento angolare edell’energia, tuttavia le sue osservazioni (I e II legge) sono in accordo con questi
Fu Newton a scoprire come la III legge di Keplero doveva essere legata alla forza concui il Sole attira i pianeti e ad intuire che questa è la forza con cui tutti i corpi si attirano
Supponiamo per semplicità di calcoli (geometria) che l’orbita di un pianeta siacircolare, anziché ellittica. In tal caso il raggio delle circonferenza coinciderà colsemiasse maggiore ed il periodo sarà legato alla velocità ed al raggio
2
22
2
222
4
42
T
R
R
va
R
v
v
RTT
La forza centrale (ovvero centripeta in questo caso) dovrà essere, per la II leggedella Dinamica
sppppsp F
RmT
T
Rm
R
vmF
22
2
22 44
La Legge di Gravitazione UniversaleLa Legge di Gravitazione Universale
Ma la III Legge di Keplero afferma che il quadrato del periodo deve essere proporzionaleal cubo del raggio, quindi il modulo della forza di attrazione deve essere inversamenteproprozionale al quadrato del raggio
322
22
32 44R
K
m
F
RmT
R
KFCRT
p
p
spp
psp
La frazione in parentesi deve però essere indipendente dal pianeta (la costante C diKeplero infatti lo è). Pertanto la quantità mp deve semplificarsi fra numeratore edenominatore
pp m'KK
Ma se la costante Kp è proporzionale alla massa del pianeta deve anche essereproporzionale alla massa del Sole, perché la forza con cui il pianeta è attratto dalSole deve essere uguale ed opposta alla forza con cui il pianeta attira il Sole (Azione eReazione). Pertanto
psp mGMK
In conclusione la forza di attrazione Sole-pianeta deve essere
r̂r
mMGF ps
sp 2
La costante di gravitazione universale G deve essere determinata sperimentalmente.Essa, con un errore percentuale dello 0.06% , vale
2211106736 KgNmx.G
G è una costante universale. Ciò vuol dire che è un numero che serve a far tornarele dimensioni fisiche di entrambi i membri della Legge di Gravitazione.
Tuttavia allorché si introduce una nuova costante universale si è fatta una nuovascoperta scientifica: prima dell’introduzione di G nessuno aveva neppure immaginatoche il prodotto di due masse diviso il quadrato di una distanza potesse essereproporzionale alla forza con cui le due masse si attirano!!!
La cosa più importante della Legge di Gravitazione è che essa non vale solo per SolePianeti, comete, asteroidi, etc. ma vale per tutti i corpi dotati di massa. Infatti essasi applica perfettamente anche al sistema Terra-Luna, ovvero a tutti i corpi sulla Terracompresi i razzi ed i satelliti che vogliamo lanciare in orbita geostazionaria
Si applica in tutti i punti dell’universo e si pensa che valga sin dalla nascitadell’universo stesso.
A rigore, le masse che compaiono a numeratore si chiamano masse gravitazionali.Questa dovrebbe essere ( e lo è per la Fisica Classica) una proprietà fisica diversa dallamassa inerziale, che misura l’inerzia di un corpo da fermo. La massa gravitazionalemisura la capacità che ha un corpo, dotato di questa proprietà, di attrarre altri corpi.Newton non poteva comprendere perché massa gravitazionale ed inerziale coincidessero
Ci volle Albert Einstein, circa altri duecento anni di studi ed esperimenti, e la Teoria dellaRelatività Generale, per comprendere perché massa gravitazionale ed inerziale sono lastessa grandezza fisica
Alcuni Commenti sulla Legge di Gravitazione UniversaleAlcuni Commenti sulla Legge di Gravitazione Universale
Fino ad ora noi abbiamo assunto che l’accelerazione di gravità sia una costante(g=9.806 m/sec2)
La legge di gravitazione universale però ci dice che i gravi cadono verso il centrodella Terra e l’accelerazione corrispondente è funzione della distanza da questo punto(preso come origine)
r̂r
MGggmr̂
r
mMGF TT
g 22
Tuttavia il raggio della Terra (6374 Km) è grande rispetto alle distanze studiatenei problemi comuni di caduta dei gravi (e.g. al massimo kilometri). Per capirese considerare g costante è una buona approssimazione scriviamone il modulo intermini del raggio della terra Rt
tt
ttt Rhcon
hR
GM
r
GMghRr
22
L’accelerazione di gravitàL’accelerazione di gravità
t
tt
t
tt
t
R
hghg
R
h
R
GM
R
hR
GMhg
210
211
121
1222
2
Dato che h<<Rt si può approssimare con uno sviluppo in serie la dipendenza da g da h
Per un aeroplano che vola a 10 Km di altezza
099690103746
1021010
6
44 g.
mx.
mgmg
Le variazioni di g con la quota non sono pertanto significative su scale di distanzeterrestri
Calcoliamo il lavoro che compie la forza di gravitazione terrestre per portare una massada una posizione r1 ad una posizione r2
2
1
2
1
2
1
2212
r
rt
r
rt
r
rg
r
drmGM
r
ldr̂mGMldFW
r
mGMrUUrUrU
rmGMW t
r
rt
2112
2
1
1
L’ultimo passaggio indica che qualunque sia la traiettoria il risultato non cambia
Con l’ultimo passaggio abbiamo introdotto l’energia potenziale gravitazionale. Questaè funzione della sola distanza dal centro della Terra (il centro di forza) e non delladirezione. Ciò vuol dire che il campo di forza gravitazionale è conservativo ed hasimmetria sferica
L’energia potenziale gravitazionaleL’energia potenziale gravitazionale
Notiamo che l’energia potenziale gravitazionale è sempre negativa. Ciò dipende dalfatto che la forza di gravitazione è sempre attrattiva. Questa è una importante peculiaritàdelle forze di gravitazione, rispetto alle forze esistenti in natura che possono essereattrattive e repulsive (e.g forze elettromagnetiche)
Calcoliamo l’energia totale di un pianeta che ruoti attorno al sole su un orbita circolare
R
mMGRm
R
mMGvmE ps
pps
ptot 222
2
1
2
1
Possiamo ricavare R22 dalla II legge della dinamica
R
mMGRm
R
mMGRm ps
pps
p 222
2
Sostituendo
LRRmR
mMG
R
mMG
R
mMGE p
pspspstot 2
1
2
1
2
1
2
1 22
Dal precedente esercizio si comprende come le orbite più piccole corrispondono adenergie potenziali grandi (in valore assoluto) rispetto alle energie cinetiche dei pianeti
Interessantemente, se l’orbita è perfettamente circolare l’energia totale è esattamentela metà dell’energia potenziale e pari all’energia cinetica cambiata di segno
Nel caso di orbite ellittiche la distanza Sole-pianeta cambia, ma per la conservazione delmomento angolare, cambierà anche la velocità di rotazione. In conseguenza l’energiapotenziale diminuirà e/o aumenterà mentre l’energia cinetica aumenterà e/o diminuiràdelle stesse quantità lasciando l’energia totale costante (integrale del moto)
Nonostante i pianeti conosciuti siano solo nove (è incerta l’esistenza di un decimo pianeta)in Fisica Classica l’energia totale ed il momento angolare possono assumere qualunquevalore, ciascuno corrispondente ad un diverso pianeta e ad una diversa orbita.
In Fisica Quantistica non tutti i valori dell’energia e del momento angolare sono permessi
Un razzo viene lanciato dal suolo verso il cosmo. Quale deve essere la sua velocità inizialeaffinché possa sfuggire alla attrazione terrestre? (velocità di fuga)
Analisi: per effetto dell’attrazione terrestre un grave normalmente ricade al suolo.Questo vuol dire che la sua energia totale è negativa. Allora per sfuggire alla terrabisogna rendere la sua energia positiva o almeno nulla
Basta allora imporre la seguente equazione
t
tf
t
tftot R
GMv
R
mMGmvE
20
2
1 2
Si noti che interessantemente la velocità di fuga non dipende dalla massa del razzoma è una costante per tutti i corpi
ApplicazioniApplicazioni
Il satellite GalileoIl satellite Galileo
La traiettoria da far seguire ad un satellite per raggiungere l’obiettivo può essere davveromolto complicata
Consultare fig. 12-10Fishbane-Gasiorowicz-Thornton
Stimare la massa della Terra
Siccome conosciamo l’accelerazione di gravità al suolo, ed il raggio della Terrapossiamo usare questi dati per questa stima
G
gRM
R
mMGmg t
tt
t2
2
Sostituendo i dati numerici
Kgx.
Kg/Nmx.
mx.sec/m,M t
242211
262
10975106736
1037468069
Stimare la massa del Sole assumendo che la distanza Sole-Terra sia R=1.496x108 Km
2
323
2232 44
GT
RMR
GMTCRT s
s
La III legge di Keplero sappiamo che il periodo di rivoluzione della terra attornoal Sole è legato alla distanza
Sapendo che secx.secxxgiorniT 710153360024365365
Sostituendo i valori numerici
ts MxKgx.
secx.KgNmx.
mx..M 833
272211
3112
103100210153106736
104951141634
In quale posizione sulla congiungente Terra-Luna un corpo di massa m non subisceattrazioni gravitazionali?
Analisi:i corpi sono soggetti all’attrazione gravitazionale della Terra, ma anche la Lunaè in grado di attrarli, benché tale attrazione sia molto debole a causa del fatto che lamassa della Luna è molto più piccola di quella della Terra e la sua distanza è molto grande.Tuttavia un corpo posto sulla congiungente Terra-Luna sarà soggetto a due forze diattrazione che possono bilanciarsi. Cioè:
LT
LT
M
drdr
M
r
rd
mMG
r
mMG
222
22
2
Risolvendo l’equazione di secondo grado rispetto ad r
T
L
T
L
T
L
T
L
T
L
T
L
T
L
M
Mdr;
M
Mdr
M
MM
Md
M
MM
Mddd
rddrrM
M
1
1
1
1
1
1
1
1
021
22
22
Delle due soluzioni una (r+) è maggiore della distanza d Terra-Luna e va scartata
Come era lecito aspettarsi il risultato dipende dal rapporto fra le masse ed è più vicinoal corpo più leggero
Sostituendo i valori numerici
mx.dmx.d..
dr
M.Kgx.M;Kgx.M TLT
88
2224
1084431046039002011091
01230103507109765
Come si vede tale punto è abbastanza vicino alla Luna
Gli astrologi affermano che la vita di una persona è influenzata dalla esatta posizionedei pianeti al momento della nascita. Per verificare se questa influenza è dovuta allagravitazione confrontare le seguenti due quantità: 1. la variazione della forza gravitazionale agente su un neonato di 5 Kg dovuta alla
presenza o all'assenza di un camion del peso di 2 tonnellate parcheggiato vicinoall'ospedale ad una distanza di 100 m;
2. la variazione della forza gravitazionale agente sullo stesso un neonato dovuta allavariazione della posizione di Giove da un giorno all'altro
Forza camion-neonato:
NewtonGxx
Gd
MMGF nC
nC 4
3
2 10
5102
Dati: la massa di Giove MG=1.9x1027Kg; il suo periodo di rivoluzione è di 11.9 anni;assumere che le orbite attorno al Sole di Giove e la Terra siano circolari e di raggirispettivamente pari a RG=7.8x108Km e RT=1.5x108Km; , che Giove e la Terra sianoinizialmente alla minima distanza e considerare i tratti di circonferenza percorsicome rettilinei
Per il calcolo della forza Giove-Neonato bisogna fare una costruzione geometrica
Essendo variata la distanza Giove-neonato in un giorno la variazione della forza sarà:
NewtonG.
x..
xx.Gxdd
MGMFGT
'GT
nG
060
10690039
1
692539
1510901
11 222722
Ne segue che l'effetto gravitazionale di un camion che parcheggia vicino ad un ospedalee poi va via è sul neonato circa un fattore 16 più grande dell'effetto del movimento di Giove.Quindi delle due una: o i) il movimento di Giove influenza i neonati per mezzo di forzediverse dalla forza di gravitazione o ii) gli astrologi (e chi crede in quello che dicono)si sbagliano.