Chapitre 8 : Oscillations électriques dans un circuit RLC série.
Corrigés 13 2010 - Oscillations dans un circuit...
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Corrigés Physique 13Oscillations dans un circuit RLC
13.4 N°10 p. 174 : Oscillations électriques libres
1) Il s’agit d’un cosinus amorti. La forme de la courbe est due à l’échange d’énergie entre C et L, avec une absorption par R (effet Joule). Les oscillations sont pseudo-périodiques car on ne retrouve pas un motif qui se reproduit à l’identique, juste deux passages par zéro par pseudo-période.
2) [T0] = s
uL = Ldi
dt⇒ L =
uLdidt
⇒ [L] =LAs
= V.s.A−1
1
q = CuC ⇒ C =q
uC⇒ [C] =
CV
= C.V−1
i =dq
dt⇒ [q] = C = A.s ⇒ [C] = A.s.V−1
�kLaCb
�= 1× V asaA−a ×AbsbV −b = V a−bAb−asa+b
⇒�
a− b = 0a + b = 1 ⇒ a = b =
12
⇒ T0 = k√
LC
3)• Une mesure sur 3 pseudo-périodes ;• Une mesure au passage à zéro.
Précision maximale pour :
2
T =3, 25
3× 8
3, 95= 2, 2 ms
Hypothèse d’un faible amortissement, T � T0
⇒ k =T√LC
=2, 2·10−3
�0, 112× 1, 00·10−6
= 6, 6
2π � 6, 3 ⇒ 5 % d’écart.
13.7 N°14 p. 174 : Oscillations libres
1) En régime permanent, C se comporte comme un circuit-ouvert, L se comporte comme un court-circuit (= un fil). On a donc qu’une seule boucle (schéma page suivante).
3
Aux bornes de la résistance : uR = E = Ri
⇒ i =uR
R=
1225
= 0, 48 A
2) La configuration du montage impose : uL = uC
Pour une bobine purement inductive : uL = Ldi
dt
Par définition du régime permanent :di
dt= 0
⇒ uL = 0 ⇒ uC = 0 cqfd
R
uR
Ei
4
3) Équation différentielle en = 100 % cours !uC
uL = Ldi
dti =
dq
dt⇒ uL = L
d2q
dt2
q = CuC ⇒ uL = LCd2uC
dt2
Loi des mailles :
uL + uC = 0 ⇒ LCd2uC
dt2+ uC = 0
4) Solution :
uC(t) = Um cos�
2πt
T0+ ϕ0
�
⇒ duC
dt= −2π
T0Um sin
�2π
t
T0+ ϕ0
�
5
En remplaçant dans l’équation différentielle :
⇒ −LC4π2
T 20
uC(t) + uC(t) = 0
⇒ d2uC
dt2= −4π2
T 20
Um cos�
2πt
T0+ ϕ0
�= −4π2
T 20
uC
Équation vraie ssi :∀t
−LC4π2
T 20
+ 1 = 0 ⇔ LC4π2
T 20
= 1 ⇔ T 20 = 4π2LC
⇒ T0 = 2π√
LC
Condition initiale n°1 : condensateur déchargé à t = 0 s
⇒�
uC(0) = 0uC(0) = Um cos (ϕ0)
⇒ ϕ0 =π
2ou
3π
2= 0
6
Condition initiale n°2 :
q = CuC i =dq
dt⇒ i = C
duC
dt
⇒ i(t) = −C2π
T0Um sin
�2π
t
T0+ ϕ0
�
de la forme :
i(t) = Im cos�
2πt
T0+ ϕ0 +
π
2
�avec Im = C
2π
T0Um
⇒�
i(0) = 0, 48 Ai(0) = Im cos
�ϕ0 +
π
2
� ⇒ Im = 0, 48 A
= 1
ϕ0 =3π
2
et
i(0) = 0, 46 A
7
T0 = 2π√
LC
⇒ Um = 0, 48×�
0, 1200, 45·10−6
= 248 V
Im = C2π
T0Um ⇔ Um =
ImT0
2πC=
Im√
LC
C= Im
�L
C
Et, pour terminer, calcul du facteur devant :t2π
T0=
2π
2π√
LC=
1√LC
⇒ 2π
T0=
1�0, 120× 0, 45·10−6
= 4, 3·103 s−1
uC(t) = 248 cos�
4, 3·103t +3π
2
�
8
13.7 N°19 p. 175 : Étude expérimentale de la décharge1) • Voie CH1 au point D, bouton INV CH1 appuyé ;
• Voie CH2 au point A ;• Masse de l’oscilloscope au point B, et vérifier le
générateur n’a pas de prise de terre, sinon le condensateur est court-circuité.
2) Hypothèses : valeurs de dans le colonne A, valeurs de dans la colonne B ; loi d’Ohm :
uC
uR
uR = Ri ⇒ i =uR
R=
uR
50Taper =B1/50 dans la première ligne de la colonne C, recopier vers le bas.Énergie dans le condensateur : EC =
12Cu2
C
9
Taper =0,5*(160e-6)*A1^2 dans la première ligne de la colonne D, recopier vers le bas.
C = 160 µFRésultat de la question 5) :
Énergie dans la bobine : EL =12Li2
Résultat de la question 7) : L = 63 mH
Taper =0,5*(63e-3)*C1^2 dans la première ligne de la colonne E, recopier vers le bas.
3) Le condensateur est initialement chargé, donc correspond à la courbe ayant son maximum à l’origine des temps. correspond à la courbe nulle à l’origine, l’enveloppe des deux courbes étant .
EC
EL
Etot
10
Etot
EC
EL
4) La décroissance de l’énergie totale s’explique par la dissipation de l’énergie dans la résistance, par effet Joule.
5) Lecture graphique : EC(0) = 6, 5 mJÀ l’état initial, le condensateur est totalement chargé, il ne se charge pas plus, le circuit est en régime permanent : i(0) = 0 ⇒ uR(0) = 0 et uC(0) = E
11
EC =12Cu2
C ⇔ C =2EC
u2C
=2EC(0)u2
C(0)
⇒ C =2× 6, 5·10−3
92= 1, 6·10−4 F � 160 µF
6) Attention, piège, les tensions repassent deux fois par période par zéro, et donc aussi les énergies ; ne pas se tromper d’un facteur dans la pseudo-période !Lecture graphique : T0 = 20 ms
7) T0 = 2π√
LC ⇔ T 20 = 4π2LC ⇔ L =
T 20
4π2C
⇒ L =
�20·10
−3�2
4π2 × 160·10−6= 6, 3·10
−2H = 63 mH
8) ∆Etot � 6, 25 mJ soit une diminution de 96 %.
12
Taper =0,5*(160e-6)*A1^2 dans la première ligne de la colonne D, recopier vers le bas.
C = 160 µFRésultat de la question 5) :
Énergie dans la bobine : EL =12Li2
Résultat de la question 7) : L = 63 mH
Taper =0,5*(63e-3)*C1^2 dans la première ligne de la colonne E, recopier vers le bas.
3) Le condensateur est initialement chargé, donc correspond à la courbe ayant son maximum à l’origine des temps. correspond à la courbe nulle à l’origine, l’enveloppe des deux courbes étant .
EC
EL
Etot
10
Etot
EC
EL
4) La décroissance de l’énergie totale s’explique par la dissipation de l’énergie dans la résistance, par effet Joule.
5) Lecture graphique : EC(0) = 6, 5 mJÀ l’état initial, le condensateur est totalement chargé, il ne se charge pas plus, le circuit est en régime permanent : i(0) = 0 ⇒ uR(0) = 0 et uC(0) = E
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EC =12Cu2
C ⇔ C =2EC
u2C
=2EC(0)u2
C(0)
⇒ C =2× 6, 5·10−3
92= 1, 6·10−4 F � 160 µF
6) Attention, piège, les tensions repassent deux fois par période par zéro, et donc aussi les énergies ; ne pas se tromper d’un facteur dans la pseudo-période !Lecture graphique : T0 = 20 ms
7) T0 = 2π√
LC ⇔ T 20 = 4π2LC ⇔ L =
T 20
4π2C
⇒ L =
�20·10
−3�2
4π2 × 160·10−6= 6, 3·10
−2H = 63 mH
8) ∆Etot � 6, 25 mJ soit une diminution de 96 %.
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Taper =0,5*(160e-6)*A1^2 dans la première ligne de la colonne D, recopier vers le bas.
C = 160 µFRésultat de la question 5) :
Énergie dans la bobine : EL =12Li2
Résultat de la question 7) : L = 63 mH
Taper =0,5*(63e-3)*C1^2 dans la première ligne de la colonne E, recopier vers le bas.
3) Le condensateur est initialement chargé, donc correspond à la courbe ayant son maximum à l’origine des temps. correspond à la courbe nulle à l’origine, l’enveloppe des deux courbes étant .
EC
EL
Etot
10
Etot
EC
EL
4) La décroissance de l’énergie totale s’explique par la dissipation de l’énergie dans la résistance, par effet Joule.
5) Lecture graphique : EC(0) = 6, 5 mJÀ l’état initial, le condensateur est totalement chargé, il ne se charge pas plus, le circuit est en régime permanent : i(0) = 0 ⇒ uR(0) = 0 et uC(0) = E
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EC =12Cu2
C ⇔ C =2EC
u2C
=2EC(0)u2
C(0)
⇒ C =2× 6, 5·10−3
92= 1, 6·10−4 F � 160 µF
6) Attention, piège, les tensions repassent deux fois par période par zéro, et donc aussi les énergies ; ne pas se tromper d’un facteur dans la pseudo-période !Lecture graphique : T0 = 20 ms
7) T0 = 2π√
LC ⇔ T 20 = 4π2LC ⇔ L =
T 20
4π2C
⇒ L =
�20·10
−3�2
4π2 × 160·10−6= 6, 3·10
−2H = 63 mH
8) ∆Etot � 6, 25 mJ soit une diminution de 96 %.
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