Correction TD SA n°11

Système multivariableReprésentation fréquentielle Représentation d’état

Matrice de transfert H(p)=Y(p)/U(p)

1

31 6 2 31 8 1 11 3

12

p pY p U p

p p

1

131 6 2 3

1 8 1 11 31

2

p pY p U p

p p

1

1 6 2 1 11 1 811 8 1 11 1 6 1 11 2 1 8 2 1 6

tp p p p

p p p p p p p p

2

131 11 21 3

1 8 1 6 350 15 11

2

p pY p U p

p pp p

Discussion sur le modèle obtenu

3 1

1 5 3 1 10

3 2

2 1 5 3 1 10

p pY p U p

p p

• Le système réagit plus vite à des variations de pression d’alimentation de gaz de combustion (constante de temps de 5minutes) qu’a des variations de débit d’eau de refroidissement.

• La matrice H(p) n’est pas diagonale, il y a donc couplage.

• Les signes « + » de H11(p) et « – » de H21(p) rend compte du fait que lorsque la pression de gaz de combustion augmente, le débit de sortie augmente et la température de sortie de distillat est plus faible.

•Les signes « – » de H12(p) et « – » de H22(p) rend compte du fait que lorsque le débit d’eau de refroidissement augmente, alors le débit de sortie ainsi que la température de sortie de distillat diminue.

Schéma-bloc de la régulation proposé

11H p

12H p

21H p

22H p

1R p

2R p

débitK

ThermoK

+

++ -

- +

1w

2w

Consigne de débitde sortie du distillat

Consigne de températurede sortie du distillat

Débit de sortie du distillat

Température de sortie du distillat

100

1 p

3

1 0,1 p

Pression du gaz de combustion

Débit d’eau de refroidissement

Couplage des 2 boucles

Si R1(p) est un correcteur PI; L’effet Intégrale (I) de cette correction impose une erreur statique nulle en régime

permanent.

Cela implique qu’une variation de consigne de température (l’autre entrée) ne modifie pas la valeur permanentela valeur permanente du

débit de sortie de distillat.

Il y a tout de même un régime transitoire de perturbation du au couplage de ces 2 sorties.

Représentation d’état

1

31 6 2 31 8 1 11 3

12

p pY p U p

p p

La modélisation fréquentielle fournie correspond, dans le domaine temporel, à la donnée d’équations différentielles couplées:

1 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

16 2 3

33

8 8 112

y y y u u

y y y y u u

1yEn éliminant de la 1er équation, et de la seconde, il vient:2y

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

550 9 2 30

310

50 2 6 153

y y y u u

y y y u u

3 19 21 5 302 6 3 150

10 15

1 0

0 1

X p X p U p

Y p X p

Ce système est-il commandable?

Calculons le rang de la matrice de commandabilité Instruction Maple: with(linalg);rank(augment(B,A.B)); On trouve 2

Par le calcul: Mc=

Colonne C4=(-1/10)C2 On élimine la colonne C4Colonne C3=(-1/5)C1 On élimine la colonne C3

Il reste les 2 1er colonnes dont le déterminant vaut -1, la matrice est de rang 2

|cM B BA

éêêêêë

35

K 130

K 325

1300

K 310

K 115

350

1150

ùúúúúû

Rang(Mc)=Dim(A)=Ordre du système Le système est commandable:

Il existe une commande U(t) qui permet de l’amener depuis un état quelconque X1 vers un état quelconque X2

Concrètement, pour notre cas d’étude:Concrètement, pour notre cas d’étude:Tant que notre modèle est valable, on peut amener le débit de sortiedu distillat, ainsi que sa température à n’importe quelle valeurs souhaitées

Représentation d’état de la boucle fermée

X A BL X BT W

U LX TW

X A X B U

Dès lors que l’on peut piloter une sortie indépendamment de l’autre

Elles sont découplées sont diagonales A BL

et

BT

L’équation d’état du système en BO est:

On souhaite générer une commande de la forme:

On en déduit l’équation d’état de la BF cherchée

L=? et T=? pour découpler les sorties et imposer les dynamiques correspondantes

550 50 30

35

50 303

A BL A B L A BL

BT B T BT

11 21 12 22

11 21 12 22

11 21 12 22

11 21 12 22

5 59 30 2 30

3 310 10

2 15 6 153 3

5 530 30

3 310 10

15 153 3

l l l lA BL

l l l l

t t t tBT

t t t t

50A A

30B B

5

3L L

5

3T T

L’énoncé indique de poser

Calculons:

On veut: 1. Que les 2 matrices ci-dessus soient diagonales2. Que les valeurs propres de la matrice

soient égales à

A BL1 1

50. 10 50. 55 10

et

Cela permet de simplifier les calculs(qui sont déjà bien lourd):

Conditions algébriques pour remplir les conditions

10

3 2595

025

L L

2 33 15 5

3 545

5 5

T T

Les 2 conditions précédentes donnent des conditions sur les valeurs des éléments des matrices L et T:

11 21

22 12

2

918

t t

t t

11

12

21

22

0

1

156

100

l

l

l

l

10

156

010

L

2

191 18

T

U LX TW Avec les valeurs ci-dessus, la commande permet de découpler la variation du débit de distillat de sa température de sortie.en conservant les constantes de temps obtenues en boucle ouverte relatives à chacune des entrées