Geometría Analítica

Coordenadas polares y gráficas polares

Objetivos: - Comprender el sistema de coordenadas polares.- Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.- Graficar en coordenadas polares.- Realizar un ejemplo de una gráfica polar.

Coordenadas polares Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 10.36.

A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue.r = distancia dirigida de O a Pθ = ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde eleje polar hasta el segmento OP.

La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo.

Ing. Miguel Ángel Pavón Cordero (CBTIS 48)

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Transformación (o cambio) de coordenadasPara establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38.

Puesto que ( x , y ) se encuentra en un círculo de radio “r”, se sigue que r2 = x2 + y2

Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que

tanθ= yx

cosθ=xr

senθ=yr

Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.

EJEMPLO 1: Transformación (o cambio) de coordenadas polares a rectangulares.

a) Dado el punto ( r , θ ) = ( 2 ,π ),

x = r cos θ = 2 cos π = 2 cos 180° = 2 ( - 1 ) = -2

y = r sen θ = 2 sen π = 2 sen 180° = 2 ( 0 ) = 0

Por lo tanto las coordenadas rectangulares son ( x , y ) = ( -2 , 0 )

Ing. Miguel Ángel Pavón Cordero (CBTIS 48)

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b) Dado el punto ( r , θ ) = ( √3 , π6

)

x = r cos θ = √3 cos π6

= √3 cos 30° = √3 ( √32

) = 32

y = r sen θ = √3 sen π6

= √3 sen 30° = √3 ( 12

) = √32

EJEMPLO 2: Transformación (o cambio) de coordenadas rectangulares a polares.

a) Dado el punto del segundo cuadrante ( x , y ) = ( -1 , 1 )

tanθ= xy

= −11

= -1 θ = tan−1 (-1) = 135° = 3π4

Como θ se eligió que en el mismo cuadrante que ( x , y ), se debe usar un valor positivo para r.

r = √ x2+ y2 = √(−1)2+(1)2 = √2

Esto implica que el conjunto de coordenadas polares es ( r , θ ) = ( √2 , 3π4

).

b) Dado que el punto ( x , y ) = ( 0 , 2 ) se encuentra en el eje “y” positivo, se elije θ = /2 y r = 2, y un conjunto de coordenadas polares es ( r , θ ) = ( 2 , /2 ).

Ing. Miguel Ángel Pavón Cordero (CBTIS 48)

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Nota: Una forma de bosquejar la gráfica de a mano es elaborar una tabla de valores.

Si se amplía la tabla, y se representan los puntos gráficamente, se obtiene la curva mostrada en la figura siguiente.

La figura recibe el nombre de Rosa de Tres Pétalos.

Ing. Miguel Ángel Pavón Cordero (CBTIS 48)