LUT UNIVERSITY LUT School of Energy Systems LUT Mechanical ...
Convo Lut If
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8/18/2019 Convo Lut If
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Année 2011 - 2012
Transmission de l’information :
Les codes convolutifs
(A. Migan), S. Argentieri
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2/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
I. Princi e du coda!e convolutif
"es codes convolutifs forment une classe e#tr$mement sou le et efficace de codes correcteurs d’erreur.
%e sont les codes les lus utilisés dans les communications fi#es et mo&iles.
"es codes convolutifs ont les m$mes caractéristi'ues 'ue les codes en &loc sauf 'u’ils s’a li'uent ( desséquences infinies de
symboles d’information et !én)rent desséquences infinies de symboles de code.
Les codes convolutifs
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I. Princi e du coda!e convolutif
I. 1. +ncodeurs
Théorème fondamental du codage de canal
La complexité du codeur est nécessaire à l’obtention
de bonnes performances
Pour les codes en &loc :n et k doivent $tre !rands
Pour les codes convolutifs : il suffit 'uem soit !rand
"o!i'ue com&inatoire
e!istre ( m 1 ×k éta!es
%onvertisseur Parall)le-
3érie
+ntrée4loc de k
éléments
&inaires
3ortie4loc de n
éléments
&inaires
Les codes convolutifs
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?/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
I. Princi e du coda!e convolutif
I. *. +#em le
+#em le de codeur convolutif non s,stémati'ue :
1/2 @m 2 @k 1 @n 2
A c>a'ue as de tem s :
n com&ine les valeurs de l’entrée et de la mémoire our calcu
les sorties @
%>a'ue re!istre ( décala!e est mis (
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7/67B/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
"a distance libre est la &orne inférieure des distances de Cammin! entre toutes les sé'uences de sortie du codeur.
"a distance minimale est la lus etite distance entre des c>emins artant du m$me oint et , revenant.
I. 5. "es distances dans les codes convolutifs
I. Princi e du coda!e convolutif
Les codes convolutifs
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8/678/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
e résentations numéri'ues :
Transformée en D @
7atrice de transfert @
e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état @
Ar&re @ Treillis.
Les codes convolutifs
II. e résentations des codes convolutifs
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9/679/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
II. 1. e résentations numéri'ues : Transformée en D
Ene sé'uence de s,m&oles est re résentée ar unesérie formelle en la varia&le D. %ette varia&le re résente
l’o érateur de retard unitaire :
"a réponse impulsionnelle du i)me modulehi(D est la sé'uence de sortie roduite lors'ue le messa!e d’entrée est une
suite commenFant ar le s,m&ole G1’ et se terminant ar une suite de G0’ de lon!ueur infinie :
#i D >i D .s D
Les codes convolutifs
II. e résentations des codes convolutifs
+++++=+++++=
...D.#...D.#D.##2D0#...D.s...D.sD.ss2D0s
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10/6710/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
e1 D D.s D
e2 D D.e1 D D2.s D
#1 D s D e2 D 1 D2 .s D
#2 D s D e1 D e2 D 1 D D2 .s D
Les codes convolutifs
II. 1. e résentations numéri'ues : Transformée en D
II. e résentations des codes convolutifs
1
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11/6711/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
e1 D D.s D
e2 D D.e1 D D2.s D
e* D D.e2 D D*.s D
#1 D s D e2 D e* D
#1 D 1 D2 D* .s D
#2 D s D e1 D e2 D e2 D
#2 D 1 D D2 D* .s D
k 1 @n 2 @m *
Les codes convolutifs
II. 1. e résentations numéri'ues : Transformée en D
II. e résentations des codes convolutifs
( ) ( )*2*2 DDD1DD1DC +++++=
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#1 D s1 D e12 D
#1 D 1 D2 .s1 D 0.s2 D
#2 D e11 D e12 D e21 D
#2 D D D2 .s1 D D.s2 D
#* D e11 D s2 D
#* D D.s1 D 1.s2 D
k 2 @n * @m 2
Les codes convolutifs
II. 1. e résentations numéri'ues : Transformée en D
II. e résentations des codes convolutifs
#1 D
#2 D
#* D
s1 D
s2 D
( )
++=
1D0DDDD1DC
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Les codes convolutifs
"a matrice de transfert donne la relation entrée-sortie sous forme matricielle. n l’écrit our c>a'ue éta!e de sortie.
"a matrice de transfert !lo&ale est la concaténation des matrices récédentes. +lle ak li!nes et(m+1) n colonnes.
II. 2. e résentations numéri'ues : 7atrice de transfert
II. e résentations des codes convolutifs
"a i)me li!ne donne la relation entre
et
"a i 1 )me li!ne donne la relation entre et
Pour lak i)me sortie :
"a 1)re colonne corres ond ( l’instant
"a 2)me colonne corres ond ( l’instant H 1 ;
.
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14/6715/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
elations entrée/sortie :
7atrices de transfert intermédiaires :
7atrices de transfert :k 2 n * m 2
Les codes convolutifs
II. 2. e résentations numéri'ues : 7atrice de transfert
II. e résentations des codes convolutifs
1
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II. e résentations des codes convolutifs
%>a'ue &loc den éléments &inaires en sortie du codeur dé end :
Du &loc dek éléments &inaires résents ( son entrée @
Desm &locs dek éléments &inaires contenus dans sa mémoire.
%esm.k éléments &inaires définissentl’état du codeur.
k 1
n 2
m 2
Les codes convolutifs
"es 'uatre états ossi&les du codeur sont :
G00’ G01’
G10’ G11’
II. *. e résentations !ra >i'ues
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II. e résentations des codes convolutifs
II. *. e résentations !ra >i'ues : Dia!ramme d’état
Les codes convolutifs
"es conventions ado tées :
"ors'ue l’élément &inaire d’entrée du codeur est é!al ( G0’ res . G1’ le cou le &inaire en sortie du codeur est orté ar la
branche rou!e res .verte .
3eules deu# ! transitions sont ossi&les ( artir de c>acun des états.
"es étiquettes de c>a'ue &ranc>e corres ondent au# sorties du codeur.
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!!
00
!
Jtat a
G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat G01’
!
!
!
Instant j
Instant j+1
Instant j+1 "
Instant j
#tat $!!’
!!
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II. *. e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état
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%
00
!
Jtat a
G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat G01’
#tat $!!’
!!%
%
%
Instant j
Instant j+1Instant j
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II. e résentations des codes convolutifs
II. *. e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état
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00
!!
Jtat G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat &
G01’
#tat $!%’
%!!
%
%
Instant j
Instant j+1Instant j
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II. *. e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état
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!%
00
Jtat G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat &
G01’
#tat $!%’
%!%
!
!
Instant j
Instant j+1Instant j
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00
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II. e résentations des codes convolutifs
II. *. e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état
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00
Jtat G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat G01’
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00
Jtat G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat G01’
%%
00
%%
10
%!%!
01
"a distance minimale est le oids du c>emin artant de
G00’ et , revenant le lus vite ossi&le :
Poids ?
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II. e résentations des codes convolutifs
II. *. e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état
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00
Jtat G00’
Jtat G11’
Jtat G10’ Jtat G01’
%%
00
%%
%!
1010
01
"a distance minimale est le oids du c>emin artant de
G00’ et , revenant le lus vite ossi&le :
Poids 6
dmin
& '
Les codes convolutifs
II. e résentations des codes convolutifs
II. *. e résentations !ra >i'ues :
Dia!ramme d’état
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II. e résentation des codes convolutifs
II. 5. e résentations !ra >i'ues : Ar&re
Dévelo ement du dia!ramme d’état en fonction du tem s discrétisé
"es conventions ado tées :
"e tem s s’écoule de la !auc>e vers la droite
"ors'ue l’élément &inaire d’entrée du codeur est é!al ( G0’ res . G1’ le cou le &inaire en sortie du codeur est orté ar la
branche su érieure res .inférieure .
"es &ranc>es se sé arent en un oint a elén ud. %>a'ue nKud donne naissance ( 2k 'k &ranc>es.
Luel'ue soit l’état initial du codeur a r)s m " # décala!es ( l’entrée du codeur tous les états du codeur euvent $tre atteints
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Instant j+1
Instant j
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!!
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!!
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!%
%!
%!
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%%
%%
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%%
%%
%%
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II. 5. e résentations !ra >i'ues : Ar&re
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10t t 1 t 2 t * t 5
!!
!!
!!
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%!
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%!
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%%
%%
%!
%%
%%
%%
%%
Partant de l’état G!! ’ ( l’instantt il e#istedeu# c>emins our
atteindre l’état G!! ’ ( l’instantt *
00 00 00 → %>emin 1
II. e résentation des codes convolutifs
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!!
!!
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!!
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%%
%%
%!
%%
%%
%%
%%
11 01 11 → %>emin 2
Partant de l’état G!! ’ ( l’instantt il e#istedeu# c>emins
our atteindre l’état G!! ’ ( l’instantt *
00 00 00 → %>emin 1
II. e résentation des codes convolutifs
II. 5. e résentations !ra >i'ues : Ar&re
t t 1 t 2 t * t 5
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!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!%
!%
!%
!%
!%
!%
!%
%!
%!
%!
%!
%!
%!
%!%%
%%
%%
%!
%%
%%
%%
%%
Distance minimale : dmin
6
II. e résentation des codes convolutifs
II. 5. e résentations !ra >i'ues : Ar&re
11 01 11 → ω 600 00 00 →
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!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!%
!%
!%
!%
!%
!%
!%
%!
%!
%!
%!
%!
%!
%!%%
%%
%%
%!
%%
%%
%%
%%
3i la sé'uence d’information est : G1001’
00
1
→ 0101
→ 0011
→ 1011
Le mot de code associé ) $%!!%’ est $%%!%%%%%’
→ 1011
0 0 1!%
%%
%%%%
II. e résentation des codes convolutifs
II. 5. e résentations !ra >i'ues : Ar&re
t t 1 t 2 t * t 5
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!
!
!
!
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!
Instant j+1
Instant j
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!
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!% 00
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!
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01 01
10 10
A r)s m 1 décala!es 'uel'ue soit l’état initial du codeur le motif du
treillis se ré )te
Les codes convolutifs
II. 6. e résentations !ra >i'ues : Treillis
L d l tif
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II. e résentation des codes convolutifs
%omme our le dia!ramme en ar&re artant de l’état G!! ’ (
l’instantt il e#istedeu# c>emins our atteindre l’état G!! ’ (
l’instantt *
00 00 00 → %>emin 111 01 11
→ %>emin 2 @ω $ %
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II. e résentation des codes convolutifs
"a sé'uence d’information est G1001’
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t t 1 t 2 t * t 5
01 01
10 10
→ 0100 → 00 → 101 0 0 1
01 11 11
Le mot de code associé ) $%!!%’ est $%%!%%%%%’
→ 1011
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II. 6. e résentations !ra >i'ues : Treillis
Les codes convolutifs
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III. %odes articuliers
Dédier une sortie au# &its d’information :
III. 1. "es codes s,stémati'ues
Les codes convolutifs
5 6 *octal
!!
!%
%!
%%
000
101110
011
010
111
100
001
000
101110
011
010
111
100
001
é onse im ulsionnelle :
7atrice de transfert :
Treillis :
( ) ( 22
DDD11DC ++=
Les codes convolutifs
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III. %odes articuliers
III. 2. "es codes récursifs s,stémati'ues
Les codes convolutifs
é onses im ulsionnelles :4oucle de retour :
( ) ( )DsD#1 =
1 <
2 < < ees ++
1 < <
2 <
1 <
2 < <
2 <
2 <
es#eese#
+=+++=
<
1
<s# = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ([ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )DsDD1
DDsD#
DsDD1D
De
Ds.DDe.DD1DeDe.DDsDDe
DeDeDsDDeDeDsD#
22
21
12
111
121
12
+++=++=
=++++×=
++×=+=
( )
+++
= 22
DD1D1
1DC
Les codes convolutifs
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56/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
III. %odes articuliers
III. 2. "es codes récursifs s,stémati'ues
Les codes convolutifs
é onses im ulsionnelles :
Treillis :
!!
!%
%!
%%
00
1111
00
10
01
01
10
00
1111
00
10
01
01
10
4oucle de retour :
( )
+++
= 22
DD1D1
1DC
Les codes convolutifs
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5?/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
En code catastro >i'ue est un code 'ui !én)re unnombre infini d’erreurs
Ene sé'uence d’information de oids infinie est codée ar une sé'uence de oids fini
"e décodeur recevant une sé'uence de oids fini estimera 'ue la sé'uence d’entrée était constituée d’un mot de oids fini s
de Méros.
Les codes convolutifs
III. %odes articuliers
III. *. "es codes catastro >i'ues
Les codes convolutifs
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5B/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
00
Jtat a
G00’
Jtat d
G11’
Jtat c
G10’
Jtat &
G01’
11
10
01
10
0111
00
Les codes convolutifs
III. %odes articuliers
III. *. "es codes catastro >i'ues
Les codes convolutifs
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58/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
01
00
01
0011
00
11
00
10
01
10
01
11
00
%%
00
10
!%
00
01
10
11 !! !!
10 10
A li'uons ( l’entrée de ce codeur une sé'uence constituée
d’un nom&re infini de G1’.
A la sortie a araNtra le mot G1101’ suivi d’un nom&re infi
de G0’
"e décodeur estimera 'ue l’entrée était constitué d’un mot de
oids fini ar e#em le G1010’ suivi d’un nom&re infini de
G0’
Les codes convolutifs
III. %odes articuliers
III. *. "es codes catastro >i'ues
Les codes convolutifs
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59/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
01
00
01
0011
00
11
00
10
01
10
01
11
00
%%
00
10
!%
00
01
10
11!! !!
10 10
00
Jtat a
G00’
Jtat d
G11’
Jtat cG10’
Jtat &G01’
11
10
01
10
0111
00
Les codes convolutifs
III. %odes articuliers
III. *. "es codes catastro >i'ues
Tous les codeurs catastro >i'ues ont :
Dans leur re résentation en treillis : unarc hori*ontal roduisant une sortie de oids
nul our une entrée de oids non nul
Dans leur dia!ramme d’état : une &oule ortant l’éti'uette G00’ our une entrée é!ale (
G1’
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Les codes convolutifs
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61/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
A c>a'ue instant deu# &ranc>es a artenant ( deu# c>emins différents conver!ent vers c>a'ue noeud.
De ces deu# c>emins l’un est lus vraisem&la&le c’est-(-dire se trouve ( une distance lus etite de la sé'uence reFue '
l’autre c>emin.
"es distances étant additives il est ossi&le de ne conserver en c>a'ue nKud 'ue le c>emin le lus vraisem&la&le a elé
survivant.
3i deu# c>emins sont aussi vraisem&la&les un seul c>emin est ar&itrairement conservé.
Les codes convolutifs
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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62/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
3u osons 'ue la sé'uence ( l’entrée du codeur soit G1 0 0 1’.
3i le codeur est dans l’état G00’ ( l’instant initial
la sé'uence corres ondante en sortie du codeur est ’11 01 11 11’.
%onsidérons un canal &inaire s,métri'ue introduisant une erreur en osition 5.
"a sé'uence reFue ( l’entrée du décodeur est ’11 00 11 11’.
Ooici le déroulement de l’al!orit>me de Oiter&i :
Les codes convolutifs
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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IO. Décoda!e convolutif
00
11
!!
!%
%!
%%
t 0 t 1
(,
(!
7ot reFu : G11’
A l’instant t 0 :
Deu# &ranc>es artent de l’état G00’. +lles sont res ectivement ( la distance, et ! du
remier cou le &inaire reFu. e ortons ces deu# distances a eléesmétriques de
branche sur le treillis.
Les codes convolutifs
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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00
11
!!
!%
%!
%%
t 0 t 1
A l’instant t 1 :
Jvaluons la distance entre le deu#i)me cou le &inaire reFu et les 'uatre
&ranc>es 'ui artent des états G00’ et G10’ uis re ortons ces 'uatre
métri'ues sur le treillis.
+n sommant les métri'ues de &ranc>es a artenant ( un m$me c>emin
o&tenons lesmétriques cumulées.
Qous avons désormais 'uatre c>emins 'ui ermettent d’accéder en t 2
au# 'uatre états ossi&les du codeur.
00
11
t 2
(,
(-
2
0
(%
(%
01
10
7ot reFu : G11’ G00’
Les codes convolutifs
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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00
11
00
01
10
11
t 0 t 1
A l’instant t 2 :
Il e#iste désormais deu# c>emins 'ui conver!ent vers c>a'ue nKud du
treillis.
00
11
t 2
2
001
10
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
7ot reFu : G11’ G00’ G11’
00
0001
10
Les codes convolutifs
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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11
00
01
10
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t 0 t 1
A l’instant t 2 :
Il e#iste désormais deu# c>emins 'ui conver!ent vers c>a'ue nKud du
treillis.
n va donc :
00
11
t 2
2
001
101. %alculer les métri'ues de &ranc>e.
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
7ot reFu : G11’ G00’ G11’
00
0001
10
5
6
2
6
1
2
*
22. %alculer les métri'ues cumulées our c>a'ue c>emin
attei!nant en t * un nKud donné du treillis.
Les codes convolutifs
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
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00
11
00
01
10
11
t 0 t 1
A l’instant t 2 :
Il e#iste désormais deu# c>emins 'ui conver!ent vers c>a'ue nKud du
treillis.
n va donc :
00
11
t 2
2
001
101. %alculer les métri'ues de &ranc>e.
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
7ot reFu : G11’ G00’ G11’
00
10
2
6
*
22. %alculer les métri'ues cumulées our c>a'ue c>emin
attei!nant en t * un nKud donné du treillis.
*. +n c>a'ue nKud ne retenir 'ue le survivant.
(%
(,
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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00
11
00
01
10
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t 0 t 1
A l’instant t 2 :
Il e#iste désormais deu# c>emins 'ui conver!ent vers c>a'ue nKud du
treillis.
n va donc :
00
11
t 2
2
001
101. %alculer les métri'ues de &ranc>e.
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
7ot reFu : G11’ G00’ G11’
106
22. %alculer les métri'ues cumulées our c>a'ue c>emin
attei!nant en t * un nKud donné du treillis.
*. +n c>a'ue nKud ne retenir 'ue le survivant.
(%
(,
(,
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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00
11
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01
10
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t 0 t 1
A l’instant t 2 :
Il e#iste désormais deu# c>emins 'ui conver!ent vers c>a'ue nKud du
treillis.
n va donc :
00
11
t 2
2
001
101. %alculer les métri'ues de &ranc>e.
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
7ot reFu : G11’ G00’ G11’
2. %alculer les métri'ues cumulées our c>a'ue c>emin
attei!nant en t * un nKud donné du treillis.
*. +n c>a'ue nKud ne retenir 'ue le survivant.
(%
(,
(,
(,
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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00
01
10
11
t 0 t 1
A l’instant t * :
n roc)de de la m$me faFon
00
11
t 2
2
001
10
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
11
t 5
1
2
11
2
2
01
(,
(.
(%
(.
01
7ot reFu : G11’ G00’ G11’ G11’
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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11
00
01
10
11
t 0 t 1
Rinalement le c>emin le lus vraisem&la&le est celui
'ui arrive en G10’.00
11
t 2
2
001
10
11
t *
2
1
11
5
1
01
10
11
t 5
1
2
11
2
2
01
(,
(.
(%
(.
01
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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?*/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
00
%%
00
01
10
11
t 0 t 1
Rinalement le c>emin le lus vraisem&la&le est celui
'ui arrive en G10’.00
11
t 2
2
0 !%
10
11
t *
2
1
%%
5
1
01
10
%%
t 5
1
2
11
2
2
01
(,
(.
(%
(.
01
+n remontant le treillis de la droite vers la !auc>e on
voit 'ue la sé'uence la lus vraisem&la&le est celle
'ui art de G00’ ( t 0 et 'ui arrive ( G10’ ( t 5. +lle
corres ond au code vraisem&la&lement émis : G11 01
11 11’.
%e code corres ond ( une sé'uence sur l’entrée du codeur é!ale ( G1001’."’erreur en osition 5 est donc corri!ée.
IO. Décoda!e convolutif
IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i
Les codes convolutifs
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?5/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
Oiter&i : com le#ité de calcul en 2m
Amélioration des codes convolutifs sim au!mente
S Décoda!e sé'uentiel
/echerche d’un parcours optimal dans un graphe :
Oiter&i : +valuer la 'ualité de tous les c>emins ( une rofondeur donnée
3é'uentiel : Parcours d’un uni'ue c>emin tant 'u’il araNt &on
IO. 2. Décoda!e sé'uentiel
IO. Décoda!e convolutif
Les codes convolutifs
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8/18/2019 Convo Lut If
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?6/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs
Dans la structure d’ar&re ( c>a'ue nKud on calcule les distances corres ondantes au# deu# successeurs et l’on oursui
dans la direction de celle 'ui conduit au c>emin le lus court.
3i on c>oisit une mauvaise route la distance o&servée dé asse un seuil fi#é : on re&rousse c>emin et on re rend dans
une autre direction
7ais cela eut arriver de nouveau
us'u’o faut-il remonter dans l’ar&re U
0émoire tampon importante
IO. 2. Décoda!e sé'uentiel : Al!orit>me de Rano
IO. Décoda!e convolutif
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8/18/2019 Convo Lut If
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