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Convergencia con variables aleatorias
Virgilio L. Foglia
November 25, 2007
Octubre 2006
Contents
1 Lema de Borel-Cantelli 21.1 De�niciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Desigualdades con variables aleatorias 42.1 Desigualdad de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Teorema de Tchebichev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Desigualdad de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Convergencia con variables aleatorias 53.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Conjunto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Convergencia punto a punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Convergencia en casi todo punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4.1 Dos de�niciónes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Convergencia en Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6 Convergencia en media Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7 Convergencia en Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Relación entre los tipos de Convergencia 104.0.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Ejemplos de implicaciones que no son válidas . . . . . . . . . . . 12
4.1.1 Ejemplo 1 (Xnc:t:p�! X : Xn
P�! X) . . . . . . . . . 12
4.1.2 Ejemplo 2 (Xnmc�! X : Xn
P�! X) . . . . . . . . . 13
4.1.3 Ejemplo 3 (Xnmc�! X : Xn
c:t:p:�! X) . . . . . . . . . 13
1
5 Conservación por Funciones continuas 14
6 Leyes de los grandes números 156.1 Ley débil de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.1.1 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Ley fuerte de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.1 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Teorema de la Convergencia Dominada 177.0.2 Ejemplo Xn
p�! X ; E(Xn) �! E(X) . . . . . . . . . . 17
8 Alcances de los tipos de convergencia 17
9 Problemas 189.0.3 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.0.4 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.0.5 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 Lema de Borel-Cantelli
1.1 De�niciones previas
Sea (; A; P ); un espacio de probabilidad, y A1; A2; :::; An; :: una sucesión desucesos. Notar que cuando se efectúa el experimento aleatorio ", y surge comoresultado un ! 2 ; habrán algunos An; de la sucesión de sucesos, que serealizarán, y otros que no. Si estamos interesados en los ! 2 ; que hacen quese realicen por lo menos uno de los An de la sucesión, estaremos interesados
en el suceso A =1Si=1
Ai: Por otro lado si nos interesan los ! 2 ; que hacen
que se realicen todos los An de la sucesión, estaremos interesados en el suceso
A =1Ti=1
Ai: En relación a estos sucesos valen las siguientes proposiciones:
Si An � An+1 y A =1[i=1
Ai =) P (A) = l�{mn!1
P (An) (1)
Si An � An+1 y A =1\i=1
Ai =) P (A) = l�{mn!1
P (An) (2)
Aunque no se demuestran, son bastante naturales. Pero en temas de convergen-cia con variables aleatorias suelen interesar otros sucesos, también construidoscon los An. Por ejemplo pueden intereasar los ! 2 ; que hacen que se realicenin�nitos An. De otra manera, no importa cuanto avancemos el indice k; siem-pre encontraremos más adelante, sucesos que se realizarán. Se de�ne entoncesel límite superior (A1)de una sucesión de sucesos así:
2
Límite superior
A1 =1\k=1
1[n= k
An = f! 2 : ! está en in�nitos Ang (3)
Por último, pueden interesar los ! 2 ;que hacen que se realicen todos los An apartir de cierto indice.Se de�ne entonces el límite inferior (A1)de una sucesiónde sucesos así:Límite inferior
A1 =1[k=1
1\n= k
An = f! 2 : ! está todos los An a partir de cierto n0g (4)
1.2 Lema de Borel-Cantelli
Sea (; A; P ); un espacio de probabilidad, y A1; A2; :::; An; :: una sucesión desucesos.
� (a) Si1Xn=1
P (An) <1 =) P (A1) = 0
� (b) Si1Xn=1
P (An) =1 y An son independientes =) P (A1) = 1
Para ambas demostraciones usamos que:
P (A1) = P (1\k=1
1[n= k
An) pero1[n= k
An es una sucesión decreciente
en k ya que1[n=1
An �1[n=2
An �1[n=3
An � :::: y usando (2) P (A1) = l�{mk!1
P (1[n= k
An)
Dem(a):
P (A1) = l�{mk!1
P (1[n= k
An) � l�{mk!1
1Xn= k
P (An) = 0 (usando la hipótesis)
Dem(b):
P (A1) = l�{mk!1
P (1[n= k
An) = 1� l�{mk!1
P (1\n= k
Acn)
Pero P (1\n= k
Acn) = l�{mm!1
P (m\
n= k
Acn) = l�{mm!1
mYn= k
(1� P (An))
pero 8p; 0 � p � 1 vale 1� p � e�p luego
P (1\n= k
Acn) � l�{mm!1
mYn= k
e�P (An) = l�{mm!1
e�
mXn= k
P (An)
= 0 (por hipótesis)
Luego resulta que P (A1) = 1:
3
1.2.1 Corolario
Si aplicamos leyes de Morgan a A1 =1[k=1
1\n= k
An resulta
(A1)c =
1\k=1
1[n= k
Acn = (Ac)1
Luego si en lugar de la sucesión A1; A2; :::; An; ::consideramos la sucesión decomplementos, o sea Ac1; A
c2; :::; A
cn; :el Lema de Borel-Cantelli queda
expresado:
� (a) Si1Xn=1
P (Acn) <1 =) P (A1) = 1
� (b) Si1Xn=1
P (Acn) =1 y An son independientes =) P (A1) = 0
2 Desigualdades con variables aleatorias
Ahora se presentan algunos teoremas que permiten en condiciones muy gen-erales, acotar el calculo de ciertas probabilidades.Como no se asume el conocimientode las distribuciones de las v.a. involucradas, solo algunas medias y desvíos, lascotas proporcionadas son en general muy malas desde un punto de vista práctico.Sin embargo, son muy útiles para estudiar convergencia con variables aleatorias.
2.1 Desigualdad de Markov
Sea X una v.a.g : R! R�0; y parg no decreciente en móduloE(g(x)) <1
9>>=>>; =) P (jXj � ") � E(g(x))=g(")
Dem:
Como g(x) � g(") para jXj � "y g(x) � 0 para jXj < "Resultará g(x) � g(") IjXj�"(X)luego E(g(x)) � g(") E(IjXj�"(X)) = g(")P (jXj � ")
2.2 Teorema de Tchebichev
Si X es una v.a. con �2 <1 =) P (jX � �j � ") � �2="2
Dem:
Resulta de tomar en la desigualdad de Markov la v.a, X � � y g(x) = x2:
4
2.3 Desigualdad de Kolmogorov
X1; X2; ::; Xn v.a. indep.E(Xi) = 0 V ar(Xi) <1
Si =iX
k=1
Xk
9>>>=>>>; =) P (m�ax jSij1� i �n
� ") � V ar(Sn)="2
2.3.1 Observación
Si aplicamos la desigualdad de Tchebichev a la v.a. Sn resulta
P (jSnj � ") � V ar(Sn)="2
Pero en la desigualdad de Kolmogorov aparece P (m�ax jSij1� i �n
� "). Sin embargocomo
fjSnj � "g �(m�ax jSij1� i �n
� ")
resulta P (jSnj � ") � P (m�ax jSij1� i �n
� ")
Luego la a�rmación de Kolmogorov es más fuerte, ya que
P (jSnj � ") � P (m�ax jSij1� i �n
� ") � V ar(Sn)="2
3 Convergencia con variables aleatorias
3.1 Introducción
Sea un experiento aleatorio ", y un espacio de probabilidad (; A; P ). Se de�nela sucesión de variables aleatorias
X1: �! RX2: �! R. . . . . . . . . . . .Xn: �! R. . . . . . . . . . . .
y X : �! R
Queremos analizar en que sentido podemos hablar de convergencia de la se-cuencia X1; X2; :::Xn:::: a X: Obviamente la intención es ver si para n grande,podemos reemplazar Xn por X en algún sentido y, en caso a�rmativo, precisarel alcance de este reemplazo. O sea podremos para n grande:� aproximar P (Xn 5 a) por P (X 5 a) ?� aproximar E(Xn) por E(X) ?� si Z es otra v.a. de�nida en el mismo espacio, aproximar �Xn;Z
por �X;Z ?
5
Ejemplo Sea el experimento ":"tirar in�nitas veces una moneda", y supóngasede�nido un espacio de probabilidad (; A; P ):Luego, un resultado del experimento ", tiene el aspecto:
! = (c; s; s; c; s; c; c; c:s; s; c; s; ::::::)
Sea la variable aleatoria X: "probabilidad de cara en el primer tiro", que enrealidades la constante 1/2.Se de�nen para cada ! 2 :X1(!): "(número de caras en la primera tirada de ! )/ 1"X2(!): "(número de caras en las dos primeras tiradas de ! )/ 2"X3(!): "(número de caras en las tres primeras tiradas de ! )/ 3".......................................................................................Xn(!): "(número de caras en las n primeras tiradas de ! )/ n"....................................................................................En este ejemplo queremos investigar, la posible convergenciade la secuencia de variables aleatorias a la constante 1/2.
3.2 Conjunto de convergencia
Como las variables aleatorias X1; X2; :::Xn; ::y X, son en realidad todas fun-ciones de �! R; notar que para cada ! 2 , X1(!); X2(!); :::Xn(!); ::es unasucesión de números reales, y X(!) es también un número real. Entonces ! 2 será un punto de convergencia de la sucesión Xn(!) a X(!) sii
8" > 0;9no 2 N; tq. si n � no =) jXn(!)�X(!)j < "
Si designamos �; el conjunto de puntos ! 2 ; en que se da la convergenciapuntual
� = f! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; tal que si n � no =) jXn(!)�X(!)j < "g
en palabras: ! será un punto de convergencia, si 8" > 0; a partir de cierto nose cumple siempre
jXn(!)�X(!)j < "
Pero se expresará este conjunto de otra forma.
� =
8<:! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; con \n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ")
9=;� =
8<:! 2 : 8" > 0;1[
n0=1
\n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ")
9=; (5)
6
Como nos vemos en la necesidad de veri�car el cumplimiento de una in�nidadde condiciónes, de�nimos para cada " > 0; la sucesión de sucesos
A"n = f! 2 : jXn(!)�X(!)j < "g
y entonces como[n0=1
\n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ") =[n0=1
\n=n0
A"n = A"1
� = f! 2 : 8" > 0; ! 2 A"1g (6)
3.3 Convergencia punto a punto
Esta de�nición de convergencia es la clásica del análisis, para la convergenciade sucesiones de funciones
Xn �! X sii � = (7)
O sea, la sucesión de variables aleatorias X1; X2; :::Xn; ::converge a la variablealeatoria X, cuando la sucesión real X1(!); X2(!); :::Xn(!); ::converge a X(!),en todo punto ! 2 .�Notar que en esta de�nición, si bién suponemos que tanto lasX1; X2; :::Xn; :como
X; pertenecen a un mismo espacio de probabilidad (; A; P ); no interviene paranada el P del espacio de probabilidad.
3.3.1 Observación
Esta de�nición de convergencia es demasiado fuerte. Notar que exige, paratodo resultado ! 2 ;la convergencia de la sucesión de números reales X1(!);X2(!); X3(!); :::::::Xn(!)::: a X(!) Si en el ejemplo, al efectuar el experimentoaleatorio, el resultado es
! = (c; c; c; c; c; c; c; c:c; c; c; c; :::::)
(o sea salen todas caras), la sucesión de valores de lasXn(!) sería 1,1,1,1,1,1,: : :queclaramente no converge a 1/2. La pregunta aquí es: ¿serán "muchos" los ! 2 en que no se da la convergencia?
3.4 Convergencia en casi todo punto
Esta es la primera de�nición de convergencia en que haremos uso del conceptode probabilidad. Aquí sí interviene el P del espacio (; A; P ): Debemos aceptarque a veces, como en la observación anterior, obtendremos como resultado delexperimento aleatorio, un ! 2 en que no se logra la convergencia. Pero si elconjunto de estos resultados tiene probabilidad cero, no estaremos restringiendomucho la de�nición de convergencia (o, lo que es lo mismo, si el conjunto �;de resultados en que se da la convergencia tiene probabilidad 1).De�niremosentonces:
Xnc:t:p:�! X sii P (�) = 1 (8)
7
3.4.1 Dos de�niciónes equivalentes
Si recordamos el conjunto de ! 2 ; en que se da la convergencia puntual
� = f! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; tal que si n � no =) jXn(!)�X(!)j < "g
que en (5) lo expresamos como:
� =
8<:! 2 : 8" > 0;1[
n0=1
\n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ")
9=;obviando detalles, la condición P (�) = 1; equivale a pedir que
8" > 0; P (1[
n0=1
\n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ")) = 1
o sea
Primera de�nición: 8" > 0; P (A"1) = 1(9)
y también usando (1), esto equivale a:
Segunda de�nición: 8" > 0; l�{mn0!1
P (\n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ")) = 1 (10)
� Notar que para veri�car el cumplimiento de la primera de�nición, se puedeusar la parte (a) del Corolario de Borel-Cantelli, ya que si se cumple :
8" > 01Xn=1
P (A"cn ) =1Xn=1
P (jXn(!)�X(!)j � ") <1 =) P (A"1) = 1
Por otro lado, el cumplimiento de la parte (b) del Corolario de Borel-Cantelli da una condición su�ciente para el no cumplimiento de la con-vergencia en c.t.p. ya que implica P (A"1) = 0 6= 1:
� Respecto de la segunda de�nición, quiere decir que 8" > 0; se podráencontrar un n0; tal que el conjunto de los ! en que vale jXn(!)�X(!)j <" desde n0 en adelante, tendrá probabilidad tan cercana a 1 como sequiera.
3.5 Convergencia en Probabilidad
Analizando el último comentario, todavía podemos disminuir las exigencias enuna de�nición de convergencia, que sin embargo sea útil para las variables aleato-rias. Eliminando la parte en negrita del comentario (a la segunda de�nición deconvergencia en casi todo punto), queda la de�nición de convergencia en prob-abilidad:
XnP�! X sii 8" > 0; l�{m
n!1P (jXn �Xj < ") = 1 (11)
8
Ejemplo En el problema de las monedas, si Cn :"número de caras en las nprimeras tiradas de !" resulta Cn v Bi(n; 1=2): Y como Xn = Cn=n; tambiénE(Xn) = 1=2; y �(Xn) = 1=(2
pn). Luego por Tchebishev
8" > 0; 1 � P (jXn(!)� 1=2j < ") � 1� 1=(4n"2)
y tomando límite para n!1; resulta que XnP�! 1=2
3.6 Convergencia en media Cuadrática
Dada la sucesión X1; X2; ::; Xn; :: y X; todas en el mismo espacio (; A; P ): Sede�ne convergencia en media cuadrática:
XnMC�! X sii l�{m
n!1E(Xn �X)2 = 0 (12)
� Notar que esta de�nición de convergencia, a diferencia de la convergencia enprobabilidad, requiere la existencia de las esperanzas E(Xn �X)2:
3.6.1 Teorema
l�{mn!1
E(Xn) = �
l�{mn!1
V ar(Xn) = 0
)=) Xn
MC�! �
Dem:
E(Xn � �)2 = V ar(Xn) + (E(Xn)� �)2 y tomando límite.� Este teorema es útil en estadística, ya que si se tiene una sucesión de
estimadores que son asintóticamente insesgados,o sea X1; X2; : : : ; Xn; : : : con
E(Xn)! �; cuya varianza V ar(Xn)! 0; resultará XnMC�! �; y también, como
se verá en (14) esto implica que Xnp�! �; o sea la sucesión de estimadores será
consistente.
3.7 Convergencia en Distribución
En los cuatro tipos de convergencia estudiados hasta ahora teníamos la sucesiónX1; X2; X3; :::Xn; :: y X; todas de�nidas en el mismo espacio (; A; P ); yla convergencia resultaba de exigir distintas condiciones de cercanía entre losmiembros de la sucesión y X: Y en el caso de convergencia en casi todo punto,y en probabilidad, la veri�cación de la convergencia solía no ser tarea fácil, yaque exigía conocer el comportamiento probabilístico conjunto de los elementosde la sucesión y de X: Que tal si ahora consideramos la sucesión de funcionesde distribución de las variables que integran la secuencia:
FX1; FX2
; FX3; ::::::FXn
; :::
y que esta sucesión de funciones converge a una función de distribución FY ;(queno tiene porque coincidir con FX ; ya que no hicimos intervenir para nada a Xen esta convergencia, es mas, podemos desconocer a X).Se dice entonces que
XnD! Y: Pero notar que esto es un abuso de notación por dos motivos:
9
� en realidad la convergencia es entre FXn ! FY
� la variable Y es una variable dummy, representa cualquier variable aleato-ria que tenga por función de distribución a FY : No tiene porqué estarde�nida en el espacio (; A; P ): La de�nición de convergencia en distribu-ción exige además una condición de continuidad:
XnD! Y sii
8<:9FY función de distribución, tal que8y; punto de continuidad de FYl�{mn!1
FXn(y)! FY (y)(13)
Observación Considerese dos variables aleatorias X; e Y;ambas N(0;1),independientes, y de�nidas en un mismo espacio de probabilidad (; A; P ):Se de�ne la sucesión:X;X;X; ::::; X; :::: (o sea X1 = X; X2 = X; :::: etc.)
Notar que XnD! Y pero Xn no converge a Y en ninguno de los cuatro
primeros tipos de convergencia.Y esto es debido a que al ser Xn e Yindependientes, no es posible asegurar su cercanía para ningun ! 2 :(por supuesto, aunque es trivial, vale la convergencia Xn ! X;para loscuatro tipos de convergencia estudiados).
4 Relación entre los tipos de Convergencia
Si X1; X2; :::Xn; ::y X, están de�nidas en un mismo espacio (; A; P ) :
Xn �! X =)(a)
Xnc:t:p�! X =)
(b)Xn
P�! X =)(c)
XnD! X
(d)
*Xn
mc�! X
(14)
Dem(a):
Si � = entonces P (�) = P () = 1
Dem(b):
Como\n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ") � (jXn0(!)�X(!)j < "); resultará
P
0@ \n=n0
(jXn(!)�X(!)j < ")
1A � P (jXn0(!)�X(!)j < ") � 1
como 8" > 0 el lado izquierdo tiende a 1, resulta la tesis.
Dem(c):
10
tomando x, punto de continuidad de FX ; notar que si
jXn �Xj < " y X > x+ "
resultaráX � " < Xn < X + " y X > x+ "
luego x = (x+ ")� " < X � " < Xn < X + " =) Xn > x; o sea:
(jXn �Xj < ") \ (X > x+ ") � (Xn > x)
y complementando
(Xn � x) � (jXn �Xj � ") [ (X � x+ ")
luego FXn(x) � P (jXn �Xj � ") + FX(x + ") y tomando l�{m
n!1(ya que en x;
no tenemos asegurada la convergencia de FXn(x))
l�{mn!1
FXn(x) � FX(x+ ") (usando que Xn
P�! X)
y tendiendo "! 0; (usando la continuidad de FX en x)
l�{mn!1
FXn(x) � FX(x) (15)
en forma similar, pero partiendo de
(X < x� ") � (Xn � x) [ (jXn �Xj � ")
y tomando límite inferior se llega a:
FX(x) � l�{mn!1
FXn(x) (16)
luego juntando (15) y (16)
___
l�{mn!1
FXn(x) � FX(x) � l�{mn!1
FXn(x)
y de aquí sale que l�{mn!1
FXn(x) = FX(x)
Dem(d):
Si usamos la desigualdad de Markov aplicada a Xn �X y g(x) = x2;
P (jXn �Xj � ") � E(Xn�X)2"2 que por hipótesis ! 0; cuando n!1:
11
4.0.1 Observación
� En la de�nición de convergencia en distribución se exigió una condiciónde continuidad. Veamos el porqué de esta exigencia. Consideremos lasucesión de v.a. constantes
Xn =1
n; o sea:
1
1;1
2;1
3; : : : : : : ;
1
n; : : :
Claramente Xn converge a X = 0; en los cuatro primeros tipos de con-vergencia. Pero veamos que pasa con la convergencia en distribución:
para x > 0; FXn(x)! 1 = FX(x)para x < 0; FXn(x)! 0 = FX(x)
pero para x = 0; que no es punto de continuidad de FX(x), resultaFXn
(0) ! 0 6= 1 = FX(0): Luego la exigencia de convergencia solo enlos puntos de continuidad de FX(x), permite la validez de la implicación(c) anterior.
� En (c), si X es una constante, vale el () : O sea vale:
XnP�! c () Xn
D! c
Se verán ahora algunos ejemplos de implicaciones que no son ciertas.
4.1 Ejemplos de implicaciones que no son válidas
4.1.1 Ejemplo 1 (Xnc:t:p�! X : Xn
P�! X)
Sea la sucesión X1; X2; ::; Xn; :: de v.a. independientes con: P (Xn = 0) = 1� 1n
y P (Xn = 1) = 1n probar que Xn
P�! 0 pero sin embargo Xnc:t:p9 0:
Solución:
Como 8" > 0; l�{mn!1
P (jXn � 0j < ") = l�{mn!1
(1 � 1n ) = 1 resulta que
XnP�! 0: Veamos la convergencia en casi todo punto. De�no
8" > 0; A"cn = fjXn � 0j � "g ; con P (A"cn ) =1
n
Como1Xn=1
P (A"cn ) =1Xn=1
1n =1 =) P (A"1) = 0 6= 1. Luego Xn
c:t:p9 0:
Observación:
Notar que si la función de probabilidad de las Xi fuese P (Xn = 0) = 1� 1n2
y P (Xn = 1) = 1n2 resultaría también que Xn
P�! 0 (ya que l�{mn!1
(1� 1n2 ) = 1)
y además Xnc:t:p�! 0 ya que ahora
1Xn=1
P (A"cn ) =1Xn=1
1n2 <1 =) P (A"1) = 1:
12
4.1.2 Ejemplo 2 (Xnmc�! X : Xn
P�! X)
Sea la sucesión X1; X2; ::; Xn; :: de v.a. independientes con: P (Xn = 0) = 1� 1n
y P (Xn = n) = 1n probar que Xn
P�! 0 pero sin embargo Xnmc9 0:
Solución
Como 8" > 0; l�{mn!1
P (jXn � 0j < ") = l�{mn!1
(1 � 1n ) = 1; resulta que
XnP�! 0: Veamos ahora la convergencia en media cuadrática.
l�{mn!1
E(Xn � 0)2 = l�{mn!1
E(Xn)2 = l�{m
n!1
�02(1� 1
n) + n2
1
n
�= l�{m
n!1n =1
luego no se cumple la convergencia en media cuadrática.
4.1.3 Ejemplo 3 (Xnmc�! X : Xn
c:t:p:�! X)
Sea U v U(0; 1) y se de�ne la sucesión de v.a. Xn = n IfU < 1ng.Veri�car que
la sucesión converge c.t.p. a 0; pero no en media cuadrática.
Solución:
Por de pronto notar que se trata de una sucesión de v.a. no independientes,ya que todas las Xi; dependen de la misma variable aleatoria U: Para aplicar elcorolario de Borel-Cantelli de�no:
8" > 0; A"cn = fjXn � 0j � "g =nn IfU < 1
ng � "o=nIfU < 1
ng �"
n
ocomo siempre "
n > 0;
P (IfU < 1ng �
"
n) = P (IfU < 1
ng = 1) = P (U <1
n) =
1
n
luego1Xn=1
P (A"cn ) =1Xn=1
1n =1: Como esta serie no es convergente, no podemos
concluir que P (A"1) = 1; como queríamos. Pero tampoco que P (A"1) = 0; ya
que la segunda implicación del corolario de Borel-Cantelli exige que los A"n seanindependientes, y aquí esto no es cierto. Sin embargo notar que 8u > 0; todaslas Xn = 0 a partir de n > 1
u . Luego Xnc:t:p:�! 0: Veamos la convergencia en
media cuadrática.
l�{mn!1
E(Xn � 0)2 = l�{mn!1
E(n IfU < 1ng)
2 = l�{mn!1
n2E( I2fU < 1ng)
= l�{mn!1
n2P (U <1
n) = l�{m
n!1n21
n= l�{m
n!1n =1
Luego no se cumple la convergencia en media cuadrática.
13
5 Conservación por Funciones continuas
Tanto la convergencia punto a punto, en casi todo punto como en probabilidadse conservan a través de las funciones continuas.O sea:
Si g : R2 �! R es continua, valen:Xn �! X; Yn �! Y =) g(Xn; Yn) �! g(X;Y )
Xnc:t:p�! X; Yn
c:t:p�! Y =) g(Xn; Yn)c:t:p�! g(X;Y )
Xnp�! X; Yn
p�! Y =) g(Xn; Yn)p�! g(X;Y )
(17)
Dem: (solo para convergencia c.t.p.)Sea
�X = f! : Xn(!)! X(!)g con P (�X) = 1�Y = f! : Yn(!)! Y (!)g con P (�Y ) = 1
como0 � P (�X \�Y )c = P (�cX [�cY ) � P (�cX) + P (�cY ) = 0
Luego resulta también que P (�X \�Y ) = 1. Pero si ! 2 �X \�Y ;es punto deconvergencia deXn(!) y de Yn(!);y al ser g continua, será punto de convergenciatambién de g(Xn; Yn). O sea,
! 2 f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g
luego vale la inclusión
�X \�Y � f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g
y tomando probabilidad
1 = P (�X \�Y ) � P f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g � 1
Luego P f! : g(Xn; Yn)! g(X;Y )g = 1; y resulta la tesis.
� En particular si Xnctp�! X; Yn
ctp�! Y valdrán también:
Xn + Ynctp�! X + Y
XnYnctp�! XY
Xn=Ynctp�! X=Y (si P (Y = 0) = 0)
� Y si Xnp�! X; Yn
p�! Y valdrán también:
Xn + Ynp�! X + Y
XnYnp�! XY
Xn=Ynp�! X=Y (si P (Y = 0) = 0)
14
Notar que este teorema de conservación no vale para la convergencia endistribución, o sea
Xnd�! X; Yn
d�! Y ; g(Xn; Yn)d�! g(X;Y )
ya que al ser tanto X como Y; variables dummy, no conocemos su compor-tamiento conjunto, y por lo tanto tampoco el de g(X;Y ):Sin embargo vale
Xnd�! X =) g(Xn)
d�! g(X)
6 Leyes de los grandes números
6.1 Ley débil de los grandes números
Sea la sucesión de v.a.no correlacionadas X1; X2; X3; :::; Xn; :::con
E(Xi) = �i y V ar(Xi) = �2i
Sea Xn =1n
nPi=1
Xi; y la nueva sucesión X1; X2; X3; :::; Xn; : : : Luego si:
l�{mn!1
V ar(Xn) = 0 =)�Xn � E(Xn)
� p�! 0
Dem:
Usando Tchebichev P (��Xn � E(Xn)
�� � ") � V ar(Xn)="2;y tomando límite.
6.1.1 Comentarios
� Notar que si las �2i están acotadas, o sea si 8i; �2i � K
V ar(Xn) =1
n2(�21 + ::+ �
2n) �
1
n2nK = K=n! 0
luego vale la ley débil.
� Sean X1; X2; X3; :; Xn; observaciones i.i.d de una v.a. X con media �;y desvío �: Como E(Xn) = � y V ar(Xn) = �
2=n! 0. Resulta que�Xn � �
� p�! 0
o seaXn
p�! �
Notar que esto justi�ca el tomar el promedio de observaciones independi-entes de una v.a. X; como una estimación de su media �:
15
� Supóngase un experiento aleatorio ", y un espacio de probabilidad (; A; P ):SeaA � ; un suceso del cual queremos estimar P (A): Ahora se repite enforma independiente el experimento ", registrando cada vez el valor de lav.a.
Xi = IA(!i) =
�1 si !i 2 A0 si !i =2 A
luego
E(Xi) = E(IA(!i)) = P (A) y V ar(Xi) = V ar(IA(!i)) = P (A)(1�P (A))
Se tiene entonces la sucesión de v.a. i.i.d. IA(!1); IA(!2); :::; IA(!n)::conmedia P (A) y desvío
pP (A)(1� P (A)): Según el resultado anterior re-
sultará IA(!n)p�! :P (A):Pero:
IA(!n) = (IA(!1) + IA(!2) + :::+ IA(!n))=n= (# realizaciones de A en las n repeticionesde ")=n= frecuencia relativa de A = frA
LuegofrA
p�! P (A)
6.2 Ley fuerte de los grandes números
Sea la sucesión de v.a.independientes X1; X2; X3; :::; Xn; :::con
E(Xi) = �i y V ar(Xi) = �2i
Sea Xn =1n
nPi=1
Xi; y la nueva sucesión__X 1;
__X 2;
__X 3; :::;
__X n : : : ; :Luego si:
1Xi=1
�2i =i2 <1 =) �
Xn � E(Xn)� c:t:p�! 0
6.2.1 Comentarios
� Notar que si las �2i están acotadas, o sea 8i; �2i � K;1Xi=1
�2i =i2 �
1Xi=1
K2=i2 � K21Xi=1
1=i2 <1
luego vale la ley fuerte.
� Por este motivo se aplican los comentarios hechos respecto de la ley débily valdrán
Xnc:t:p:�! � y frA
c:t:p:�! P (A) :
16
� Se mencionará la Ley fuerte de Kolmogorov. Sea la sucesión de v.aiid X1; X2; X3; :::; Xn; :::con E(Xi) = �. Sea Xn =
1n
nPi=1
Xi;y la nueva
sucesión X1; X2; X3; :::; Xn; :Luego :
Xnc:t:p:�! �
Notar que este teorema agrega la exigencia que las variables esten idén-ticamente distribuídas,con media común �, pero que no requiere laexistencia de �2:
7 Teorema de la Convergencia Dominada
Una sucesión de v.a.Xn puede converger a otra v.a. X; sin embargo no siempreocurre que la sucesión de medias E(Xn) converge a E(X):Las condiciones paraesto se dan en el siguiente Teorema(Lebesgue).Sean la sucesiónX1; X2; :::; Xn; :::y las v.a. X y Z; todas en el espacio (; A; P ):Con
Z � 0; E(Z) <1; y jXnj � Z 8n
Luego sí:Xn
p�! X =) E(Xn) �! E(X)
7.0.2 Ejemplo Xnp�! X ; E(Xn) �! E(X)
Sea X1; X2; : : : ; Xn; : : :con P (Xn = 0) = 1 � 1n y P (Xn = n) =
1n . Probar que
Xnp�! 0 pero E(Xn)9 E(X) = 0:Como:
8" > 0; l�{mn!1
P (jXn � 0j < ") = l�{mn!1
(1� 1
n) = 1 luego Xn
p�! 0
pero:
8n; E(Xn) = 0(1�1
n) + n
1
n= 1 luego E(Xn) �!
n!11 6= 0 = E(X)
8 Alcances de los tipos de convergencia
Planteamos en la introducción, en el caso de convergencia, si para n grandepodremos en algún sentido reemplazar Xn; por X; precisando el alcance deeste reemplazo. O sea si podemos:
� Aproximar P (Xn 5 a) por P (X 5 a) ?
Si se cumple XnD! X; resultará l�{m
n!1FXn
(x) = FX(x) en todo x de
continuidad.de FX(x):Esto es l�{mn!1
P (Xn 5 a) = P (X 5 a) O sea, ya
que la convergencia en distribución es la más débil de los cuatro tipos de
17
convergencia estudiados, la aproximación de P (Xn 5 a) por P (X 5 a)será válida para las cuatro convergencias, solo con la restricción que FX(x)sea continua en a:
� Aproximar E(Xn) por E(X) ?Vimos que si se cumplen las hipótesis del Teorema de Convergencia Dom-inada la aproximación de E(Xn) por E(X) sí será posible.
� si Z es otra v.a. en el mismo espacio, aproximar �Xn;Z por �X;Z ?
Dado que �Xn;Z = [E(XnZ)� E(Xn)E(Z)] =pE(X2
n)� E2(Xn)p�2Z aquí
nuevamente necesitaremos el Teorema de Convergencia Dominada, paraasegurar el cumplimiento de:
E(XnZ)p! E(XZ); E(Xn)
p! E(X); E(X2n)
p! E(X2)
y desde ya, suponiendo que �2X 6= 0; y �2Z 6= 0:
9 Problemas
9.0.3 Problema 1
Supongase que la concentración de una substancia en un productomedicinal es una variable aleatoria C v N(�c;�c); en p.p.m.(partespor millón).Y que para determinar esta concentración se utiliza uninstrumento, que tiene un error aleatorio E v N(0;�e):Para atenuarel efecto del error del instrumento, se propone efectuar n determi-naciones de concentración y promediarlas. Dado que en cada deter-minación el valor que proporciona el instrumento es Xi = C + Ei;el promedio de n determinaciones será
__X n =
(C + E1) + (C + E2) + (C + E3) + ::::+ (C + En)
n
= C +E1 + E2 + E3 + :::En
n
Se quiere estudiar la posible convergencia de
X1; X2; X3; :::::; Xn; : : : �! C
Notar que en términos prácticos, esto justi�caría la propuesta deefectuar n determinaciones y promediarlas, ya que esto atenua elefecto del error del instrumento. Podemos tomar como experimentoaleatorio a
" : "tomar un producto y determinar la concentración una in�nidad de veces"
y el espacio muestral en que están de�nidas todas estas variablesaleatorias a:
= f! : ! = (c; e1; e2; e3; :::::; en; :::::); c = "concentración"; ei = "errores"g
18
(a) Convergencia punto a punto
Tomemos un producto cuya concentración es c =10 ppm, y supongamos queen todas las determinaciones del instrumento el error es ei =2 ppm, luego
! = (10; 2; 2; 2; :::::; 2; :::::)
y la sucesión X1; X2; X3; :::::; Xn; : : :quedaría 12; 12; 12; :::; 12; :::9 10claramente no convergente. Luego no se cumple la convergencia funcional.ya que � 6= :
(b) Convergencia en probabilidad
Tenemos que ver si 8" > 0; l�{mn!1
P (��Xn � C
�� < ") = 1pero P (
��Xn � C�� < ") = P (��C + E1+E2+E3+:::En
n � C�� < ")
= P (��E1+E2+E3+:::En
n
�� < ")= �("
pn=�e) � �(�"
pn=�e)
= 1� 2�(�"pn=�e) �! 1(para n!1)
Luego XnP�! C:
(c) Convergencia en casi todo punto
Habría que ver sí
8" > 0; l�{mn0!1
P (\n=n0
(���__X n � C
��� < ")) = 1Pero mejor utilicemos la otra de�nición: 8" > 0; P (A"1) = 1;tratando de
apoyarnos en el corolario del Lema de Borel-Cantelli. De�nimos
A"cn =n! 2 :
���__X n � C��� � "o
Luego
P (A"cn ) = P (���__X n � C
��� � ") = 2�(�"pn=�e)O sea:
1Xn=1
P (A"cn ) =1Xn=1
2�(�"pn=�e)
Pero a partir de cierto u0 vale �(�u) � 1=u4 luego ( PROBARLO)
1Xn=1
P (A"cn ) �n0�1Xn=1
2�(�"pn=�e) +
2�4e"4
1Xn=n0
1
n2
que es convergente, entonces por el corolario de Borell-Cantelli resulta que
P (A"1) = 1; y de aquí sale que__X n
c:t:p:�! C:
19
(d) Convergencia en media cuadrática
Tengo que analizar l�{mn!1
E(__X n � C)2 = l�{m
n!1E(E1+E2+E3+:::Enn )2 =
l�{mn!1
�E2(E1+E2+E3+:::Enn ) + V ar(E1+E2+E3+:::Enn )
�= l�{m
n!1
h0 +
�2en
i= 0
Luego__X n
mc�! C:
(e) Convergencia en distribución
Consideremos la sucesión F_ _X 1; F_ _
X 2; F_ _
X 3; ::::::F_ _
X n; :::
Como__X n = C +
E1+E2+E3+:::Enn resultará
__X n~N(�c ;
p�2c + �
2e=n)
Luego F_ _
Xn(u) = �((u� �c)=
p�2c + �
2e=n)
pero l�{mn!1
(u� �c)=p�2c + �
2e=n = (u� �c)=�c y al ser � función continua
resulta l�{mn!1
F_ _
Xn(u) = �((u� �c)=�c) = FC(u)
Luego__X n
d�! C:
(b) y (c) de otra forma
Considérese la sucesión de variables aleatorias independientes
E1; E2; E3; :::; En; ::: conE(Ei) = 0 V ar(Ei) = �2e
y la sucesión de__E n =
1n
nPi=1
Ei como
V ar(__E n) =
�2en�!n!1
0 vale la Ley débil y__E n
p�! 0
Además como1Xi=1
�2e=i2 = �2e
1Xi=1
1=i2 <1 vale también la Ley fuerte y
__E n
c:t:p:�! 0
Consideremos ahora la sucesión de variables aleatorias C;C;C; :::; C; :::se tendrátambién que
Cp�! C y C
c:t:p:�! C
Luego aplicando la conservación de la convergencia a través de funciones con-tinuas(y la suma lo es)
Cp�! C;
__E n
p�! 0 =) (C +__E n)
p�! C o sea__X n
p�! C
Cc:t:p:�! C;
__E n
c:t:p:�! 0 =) (C +__E n)
c:t:p:�! C o sea__X n
c:t:p:�! C
20
9.0.4 Problema 2
Sean X1; X2; :::; Xn; :: v.a. i.i.d. U(0; �): Se de�nen:
X(1)n = m�{n(X1; X2; ::; Xn); X(n)n = m�ax(X1; X2; ::; Xn)
Un = nX(1)n; Vn = n(� �X(n)n)Probar que:(a) X(1)n
p! 0
(b) X(n)np! �
(c) Und! U; con U v G(1; 1� )
(d) Vnd! V; con V v G(1; 1� )
En lo que sigue se usará lo siguiente:FX(1)n
(x) = P (X(1)n � x) = 1� P (X(1)n > x)= 1�P [(X1 > x) \ (X2 > x) \ � � � \ (Xn > x)]
= 1�nQi=1
P (Xi > x) = 1���� x�
�n= 1�
�1� x
�
�nFX(n)n
(x) = P (X(n)n � x) = P [(X1 � x) \ (X2 � x) \ � � � \ (Xn � x)]
=nQi=1
P (Xi � x) = (x� )n
Sol(a):
8" > 0; l�{mn!1
P (��X(1)n � 0�� < ") = l�{m
n!1P (X(1)n < ")
= l�{mn!1
FX(1)n(") = l�{m
n!1
�1�
�1� "
�
�n�= 1
Sol(b):
8" > 0; l�{mn!1
P (��X(n)n � ��� < ") = l�{m
n!1P (�(X(n)n � �) < ")
= l�{mn!1
P (X(n)n > � � ") = 1� l�{mn!1
P (X(n)n � � � ")= 1� l�{m
n!1FX(n)n
(� � ") = 1� l�{mn!1
( ��"� )n = 1� l�{m
n!1(1� "
� )n = 1
Sol(c):
Analicemos FUn(u) = P (Un � u) = P (nX(1)n � u) = P (X(1)n � un )
= FX(1)n(un ) = 1�
�1� u
n�
�n= 1�
�1� u=�
n
�nl�{mn!1
FUn(u) = l�{mn!1
h1�
�1� u=�
n
�ni= 1� e�u
�
pero si FU (u) = 1� e�u� resulta U~G(1; 1� ); luego resulta la tesis.
Sol(d):
Analicemos FVn(v) = P (Vn � v) = P (n(��X(n)n) � v) = P (X(n)n � �� vn )
= 1�FX(1)n(�� v
n ) = 1� (1�vn� )
n = 1��1� v=�
n
�nluego l�{m
n!1FVn(v) = l�{m
n!1
h1�
�1� v=�
n
�ni= 1� e� v
�
pero si FV (v) = 1� e�v� resulta V v G(1; 1� ); luego resulta la tesis.
21
9.0.5 Problema 3
Sean X1; X2; :::; Xn; :: v.a. i.i.d. U(0; �): Hallar el límite en c.t.p. de
Yn = (nY
i=1
Xi)1n
Sol: expresando
Yn = e1n
nPi=1
lnXi
y como la sucesión de v.a. independientes .lnX1; lnX2; ::; lnXn; ::tiene
E(lnXi) =
Z �
0
lnx1
�dx = ln � � 1; y V ar(lnXi) = �
2 <1
y1Xi=1
�2i =i2 = �2
1Xi=1
1=i2 <1
por la Ley Fuerte resulta 1n
nPi=1
lnXic:t:p:�! ln � � 1; y por el Teorema
de Conservación. de Convergencia para funciones continuas
Yn = e1n
nPi=1
lnXi c:t:p:�! eln ��1 = �e�1
22