CONTROLO MEEC - Autenticação · Compensador de atraso – Princípio de utilização • Tirar...
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1/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
CONTROLO MEEC
1º semestre – 2017/2018 Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo– Projecto Nyquist/Bode Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
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2/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Projecto no domínio da frequência
EXEMPLO
0>K 21s
+ _
Controlador Sistema a controlar
C(s) G(s) Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2
K=1
frequência de cruzamento
s/rad.c 01=ω
º)j(Garg c 180=ω
margem de fase
ºM 0=Φsistema marginalmente estável
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3/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO
0>K 21s
+ _
Controlador Sistema a controlar
C(s) G(s) Critério de Nyquist
Contorno de Nyquist
x x pólo
duplo
A
-1
A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1
º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1 =ωω∧=ωωω∃
01 =ωω+ *)j(C*)j(G
*jω é um pólo em malha fechada sistema marginalmente estável
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4/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO
0>K 21s
+ _
Controlador Sistema a controlar
C(s) G(s) Root-Locus
x pólo
duplo
sistema marginalmente estável
x
2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário
Estratégia de Controlo
zzsK)s(C +=
x x o
efeito estabilizador
Introdução de amortecimento artificial
devido ao termo derivativo
(PD)
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5/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO
zzsK +
21s
+ _
Controlador Sistema a controlar
C(s) G(s) K=1, z=0.1rad/s
exemplo
ºM 90=Φ
-1
sistema em c.f. estável
∞=MGPode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade
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6/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Análise do compensador PD
zzsK)s(C +=
)s/rad(ω
arg C(s)
45º
90º
benefício de avanço de fase
z
compensador por avanço de fase
-1
sistema original
sistema compensado
nova margem de fase
Diagrama de Nyquist
O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1
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7/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador PD
zzsK)s(C +=
Compensador de avanço de fase
pszs
zpK)s(C
++=
sistema realizável (com um pólo e um zero)
pszs
zpK
++
21s
+ _
Controlador Sistema a controlar
C(s) G(s) avanço de fase
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8/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase
Ts
Ts
K)s(C
β+
+
β=
1
1
1
1 <β
Ganho estático = K
zero = - 1/T
pólo = - 1/bT
x T1
Tβ1
T1
Tβ1
dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
o90
maxφ
maxω
)j(Clim ω∞→ω
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9/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase
?max =φ? =ωmax
Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE
11
11
+ωβ+ω=
+β+=ω
ω= TjTjK
TsTsK)j(C
js
)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c ωβ−ω=ωφ=ω
( ) ( )22 11 TT
TT
d)(d c
ωβ+β−
ω+=
ωωφ
Cálculo de
⇔=ωωφ
0d
)(d c
( ) ( )⇔=
ωβ+β−
ω+ 0
11 22 TT
TT
maxω
β=ω 2
2 1T
β=ω
T1 maxEm escala logarítmica, equidistante das
frequências de corte do zero e do pólo
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10/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase
?max =φ
)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax βω−ω=ωφ=φ
β=ω
T1 max
)(arctgarctg β−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β= 1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ββ−=φ
21arctgmax ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−=φ
11arcsinmax
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11/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase
)( maxc ωφ Máximo AVANÇO DE FASE
β1
90º
Tz 1−=T
pβ
−= 1
1<β
x 0→β zp >>
º)( maxc 90→ωφ
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12/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase
T1
Tβ1
T1
Tβ1
dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
o90
maxφ
maxω
β=ω
T1 max
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−=φ
11arcsinmax
?)j(C Kmax =ω=1 Porque é importante
conhecer ?
• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.
• Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto?
• É o preço a pagar pelo avanço de fase
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13/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase
T1
Tβ1
T1
Tβ1
dB
K⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β
o90
maxφ
maxω
β=ω
T1 max
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−=φ
11arcsinmax
11 +ωβ+ω=ωTjTjK)j(C
1
11
+β
+β
=ωj
jK)j(C max
maxω=ω
1 K)j(C maxβ
=ω
?)j(C Kmax =ω=1
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14/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2. Erro de seguimento a rampa unitária 3. Margem de fase 4. Margem de ganho
0250.)(eramp ≤∞o
M 48≈ΦdBGM 6≥
Objectivos a atingir
EXEMPLO 1 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
)s(K100100+s 36
1+s s
1+ _
motor com carga amplificador controlador
velocidade
posição angular
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15/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K )s)(s(s 10036100
+++
_
G(s) a projectar
)s(K~K)s(K =ganho estático unitário
10 =)(K~
2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp ≤∞
401
1
0s
≤=∞→
)s(K)s(sGlim)(eramp
40 0s
≥→
)s(K)s(sGlim
4036
10036 100
0s≥=
++→
K)s)(s(
Klim
1440≥K
escolha-se
1440=K
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16/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
ºM 34≅Φ
dB.GM 610≅s/rad.959=ωπ
s/rad.dB 5290 =ω
Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico
Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida
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17/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
a projectar )s(GK
Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist
x x x -100 -36
P=0
Contorno de Nyquist
1=)s(K~
-1 34º
módulo=1
N=0
Z=P+N=0
com
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18/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
a projectar )s(GK
3. Margem de fase oM 48≈Φ
ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de
48º - 34º = 14º No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL
0 db
-180º
sistema original
sistema original
Compensador de avanço
nova frequência de cruzamento
Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso
+ aumento de fase
Não basta um aumento de 14º
34º
figura não à escala. Apenas ilustrativa
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19/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K~ )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
a projectar )s(GK
3. Margem de fase oM 48≈Φ
ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de
48º - 34º = 14º
Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º
maxω
ºmax 24=φ
avanço
Determinação das características do compensador de avanço de fase
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+β−=φ
11arcsinmax
420.=βO parâmetro b define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador
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20/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
ºmax 24=φ
?max =ω
5411 .=β
dB.dB
7731 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
βpreço a pagar pelo avanço de fase
onde se coloca ?maxω
T1
Tβ1
maxω
wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior β
=ωT
1 max
• Conhecendo b
• Escolhendo wmax
• Calcula-se T
Ganho estático do compensador unitário Todo o ganho necessário já foi considerado
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21/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
onde se coloca ?maxω
maxω Frequência à qual o ganho de malha
dB.)s(GKjs
773−=ω=
s/radmax 39=ω
420
391
.
s/radT
max
=β
=β
=ω
s/rad.T
s/rad.T max
2601
325 1
=β
=ωβ=
maxω
EXEMPLO 1
+3.77dB
-3.77dB f.t.c.a sistema original
f.t.c.a sistema compensado
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22/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
a projectar )s(G
Ts
Ts
K)s(K~K)s(K
β+
+
β==
1
11
2603253821440.s.s.)s(K
++××=
2.603.252.3427)(
++×=sssK
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original*1440
f.t. do compensador com ganho estático unitáro
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23/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
ºoM 4846 <≈Φ
dBdB.GM 6511 >=
Se não for satisfatório, refaça os cálculos
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador
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24/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 1
)s(K )s)(s(sx
100361440 100++
+ _
oM 46≈Φ
ºM 34≈Φ
nova margem de fase
Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico
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25/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador de avanço - Sumário
• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa
• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência
• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo
• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador
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26/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador de Atraso de Fase
Ts
Ts
)s(K~
α+
+
α=
1
1
1
1 >α
Ganho estático = 1
zero = - 1/T
pólo = - 1/aT
x
Tα1
T1
0 dB
α− 1020log
Diagrama de Bode de )s(K~
)s(K~K)s(K = 1 0 =)(K~
O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário
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27/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador de atraso – Princípio de utilização
• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.
• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador – Até uma década após o zero
• Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. – Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes
da frequência de cruzamento a 0dB desejada.
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28/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores Compensador de Atraso de Fase
Ts
Ts
)s(K~
α+
+
α=
1
1
1
Tα1
T1
0 dB
α− 1020log
Diagrama de Bode de )s(K~
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29/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2. Erro de seguimento a rampa unitária 3. Margem de fase 4. Margem de ganho
21621 ./)(eramp ≤∞º.M 259≥ΦdBGM 12≥
Objectivos a atingir
EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
)s(K100100+s 36
1+s s
1+ _
motor com carga amplificador controlador
velocidade
posição angular
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30/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 2
)s(K )s)(s(s 10036100
+++
_
G(s) a projectar
)s(K~K)s(K =ganho estático unitário
10 =)(K~
2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp ≤∞
21621
1
0s.)s(K)s(sGlim
)(eramp ≤=∞→
2162 0s
.)s(K)s(sGlim ≥→
216236
10036 100
0s.K
)s)(s(Klim ≥=++→
5839≥K
escolha-se
5839=K
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31/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 2
)s(K~ )s)(s(sx
100368395 100++
+ _
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
714 s/rad.=ω
dB)j(GK,ºM 20 59 =ω=Φ
Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso?
Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida?
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32/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 2
)s(K~ )s)(s(sx
100368395 100++
+ _
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
s/rad.º.M 789 para 269 =ω≅Φ
º.ºº.desejadaM 26910259 =+=Φ
factor de segurança
Porque é necessário o factor de segurança?
24dB 9.78rad/s
=ω=ω
)j(GK
O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s
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33/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 2
0 dB
Dimensionamento do compensador de atraso
-90º
-24dB
define o afastemento entre o pólo e o zero
T.T 841511 =
α T1
8415 2420 10 .dBlog =α⇒−=α−
Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho
Onde “colocar” o compensador?
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34/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
0º
EXEMPLO 2
Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador
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35/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 2
0 dB
Estratégia de “colocação” do compensador de atraso
-90º
-24dB
T.T 841511 =
α T1
Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho
Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada
s/rad.T
9801 =s/rad.T
06201 =α
Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula
Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada
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36/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores EXEMPLO 2
)s(K )s)(s(s 10036 100++
+ _
a projectar )s(G
11( ) ( ) 1
sTK s K K s K
sT
αα
+= =
+%
1 0.98( ) 583915.84 0.062
sK ss+= ×+
0.98( ) 368.60.062
sK ss+= ×+
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original*5839
f.t. do compensador
dBG,º MM 22 64 ==Φespecificações verificadas
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-100
-50
0
50
100
System: sys Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -0.175
Mag
nitu
de (d
B)
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -270
-180
-90
0
Phas
e (d
eg)
System: sys Frequency (rad/sec): 10 Phase (deg): -116
f.t. do compensador
f.t.c.a. do sistema original*5839
f.t.c.a. do sistema compensado