Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P....
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Controllo dei Robot P. Lino
Corso di Controllo dei Robot
Dinamica
Paolo LinoDipartimento di Ing. Elettrica e dellโInformazione (DEI)
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Controllo dei Robot P. Lino
Dinamica del manipolatore
๐ฟ = ๐ โ ๐ Lagrangiana del sistema meccanico
๐ Energia cinetica totale del sistema
๐ Energia potenziale totale del sistema
i
ii
LL
dt
d
Equazioni di Lagrange
i = 1, 2, โฆ, n
i รจ la forza generalizzata associata alla coordinata generalizzata i
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Controllo dei Robot P. Lino
Per un manipolatore a catena aperta la scelta piรน naturale per le coordinate generalizzate
รจ data dalle variabili di giunto ๐ = ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐๐
Alle forze generalizzate daranno contributo le forze non conservative che compiono
lavoro su ๐๐, in altre parole le coppie generate ai giunti dagli attuatori, le coppie dโattrito
dei giunti, nonchรฉ le coppie ai giunti indotte da forze esplicate dallโorgano terminale
sullโambiente in situazione di contatto.
Il termine coppia รจ usato come sinonimo della forza generalizzata al giunto.
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐โ๐๐ฟ
๐๐๐= ๐๐
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐
๐
โ๐๐ฟ
๐๐
๐
= ๐ป
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Controllo dei Robot P. Lino
Esempio
๐๐ =๐
๐๐=๐๐๐
=๐๐
๐
rapporto di trasmissione
della coppia cinematica
Cm
Fm
ฯm
ฯ
I
Im
mg
lF
Braccio attuato mediante
riduttore meccanico
Le coppie ai giunti sono fornite dai motori tramite opportuni organi di
trasmissione meccanica del moto.
In alternativa, si possono avere giunti azionati con motori calettati
direttamente sullโasse di rotazione senza organi di trasmissione.
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Controllo dei Robot P. Lino
Esempio
๐๐ =๐
๐๐=๐๐๐
=๐๐
๐
rapporto di trasmissione
della coppia cinematica
๐ถ๐ = ๐ผ๐ ๐๐ + ๐น๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐ = ๐ผ ๐ + ๐น๐ +๐๐๐ sin ๐
๐ถ๐ = ๐ผ๐๐ ๐๐ + ๐น๐๐๐๐ +๐๐๐
๐๐sin
๐๐๐๐
๐ผ๐๐ = ๐ผ๐ +๐ผ
๐๐2
๐น๐๐ = ๐น๐ +๐น
๐๐2
Cm
Fm
ฯm
ฯ
I
Im
mg
lF
Braccio attuato mediante
riduttore meccanico
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Controllo dei Robot P. Lino
Esempio
๐ =1
2๐ผ ๐2 +
1
2๐ผ๐๐๐
2 ๐2
๐ = ๐๐๐ โ 1 โ cos ๐
๐ฟ = ๐ โ ๐ =1
2๐ผ ๐2 +
1
2๐ผ๐๐๐
2 ๐2 โ๐๐๐ โ 1 โ cos ๐
๐ผ + ๐ผ๐๐๐2 ๐ + ๐๐๐ sin ๐ = ๐
๐ = ๐ โ ๐น ๐ โ ๐น๐๐๐2 ๐
๐ผ + ๐ผ๐๐๐2 ๐ + ๐น + ๐น๐๐๐
2 ๐ + ๐๐๐ sin ๐ = ๐
Braccio attuato mediante
riduttore meccanico
Cm
Fm
ฯm
ฯ
I
Im
mg
lF
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐๐โ๐๐ฟ
๐๐๐= ๐๐
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Controllo dei Robot P. Lino
n
i
miiTTT
1
energia cinetica del braccio i energia cinetica del motore che aziona il giunto i.
i
i Vi
T
i dVppT
**
2
1
vettore velocitร lineare densitร della particella elementare di volume dV
Determinazione dellโenergia cinetica
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Controllo dei Robot P. Lino
baricentro
Particella
elementare
ii
i
V
i dVpm
p
*1
ipp
r
r
r
r i
iz
iy
ix
i
*
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Controllo dei Robot P. Lino
iiiii rSprppii
)(*
i
i Vi
T
i dVppT
**
2
1Sostituendo in
iii
iii
ppmdVppT
V
T
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1
2
1
02
12
2
12 *
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iii
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T
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TdVppSpdVrSp
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ii
TT
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iii
TT
iii
dVrSrSdVrSSr
2
1
2
1
traslazione
mutuo
rotazione
iiiiiii rvpp ,11,11 regola di composizione delle velocitร
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Controllo dei Robot P. Lino
0
0
0
ixiy
ixiz
iyiz
i
rr
rr
rr
rS
i
T
iV
iii
TT
i ii
IdVrSSr 2
1
2
1
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
ixiyiziyizix
iziyizixiyix
izixiyixiziy
iii
iii
iii
i
III
III
III
dVrrdVrrdVrr
dVrrdVrrdVrr
dVrrdVrrdVrr
I
22
22
22
Tensore dโinerzia relativo al baricentro del braccio i espresso in terna base
Poichรฉ
Il contributo rotazionale si puรฒ esprimere come segue:
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Controllo dei Robot P. Lino
La posizione del braccio i dipende dalla configurazione del manipolatore
Se la velocitร del braccio i viene espressa con riferimento ad una terna
solidale al braccio i (secondo a convezione di D โ H), si ottiene:
i
T
i
i
i R
matrice di rotazione dalla terna solidale
al braccio i alla terna baseT
i
i
i RIRIii
Tensore espresso con riferimento alla terna i (tensore costante)
Se la terna solidale al braccio i coincide con la terna centrale (principale)
dโinerzia, i prodotti dโinerzia sono nulli e il tensore dโinerzia relativo al
baricentro (allโorigine della terna) รจ una matrice diagonale
funzione della configurazione๐ผโ๐
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Controllo dei Robot P. Lino
i
T
i
i
i
T
i
TRIRppmT
iiiii
2
1
2
1
qJqJqJ
qJqJqJp
ii
i
i
ii
i
i
i
ii
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0010
1
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1
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0...0...
000 1
1
i
i
ii
i
i
ii
JJJ
JJJ ppp
rotoidale giunto unper
prismatico giunto unper 0
rotoidale giunto unper p
prismatico giunto unper
1
0
11
1
i
j
jj
j
p
zJ
pz
zJ
i
j
i
j
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Controllo dei Robot P. Lino
qJRIRJqqJJqmT i
i
iii
ii
T
i
i
i
TT
p
T
p
T
00
2
1
2
1
Energia cinetica del braccio
i
T
i
i
i
T
i
TRIRppmT
iiiii
2
1
2
1
qJ
qJp
i
i
i
i
p
0
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Controllo dei Robot P. Lino
Energia cinetica dellโattuatore:
Il motore del giunto ๐ si ritiene
posto sul braccio ๐ โ 1 (in modo
da alleggerire il carico dinamico
dei primi giunti della catena)
Coppie ai giunti sono fornite dai motori tramite organi di trasmissione
meccanica
In alternativa, giunti azionati con motori calettati direttamente sullโasse di
rotazione senza organi di trasmissione.
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Controllo dei Robot P. Lino
iiiiiii m
i
m
T
mm
T
mmm IppmT 2
1
2
1
ii mir qk
rapporto di trasmissione meccanica
velocitร angolare
del rotore
iii mirim zqk 1
๐๐ =๐
๐๐=๐๐๐
=๐๐
๐
massa del rotore
velocitร lineare del baricentro del rotore
tensore dโinerzia del rotore relativo al baricentro
velocitร angolare del rotore
velocitร angolare
del braccio ๐ โ 1
versore dellโasse del rotore
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Controllo dei Robot P. Lino
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i
i
i
i
m
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m
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0
0...0...
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m
p
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JJJ
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1-1,2,...ij
rotoidale giunto unper p
prismatico giunto unper
0
0
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1
i
ii
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i
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ii
iii
ii
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m
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mm
TmTm
p
Tm
p
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mm
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1
2
1
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Controllo dei Robot P. Lino
qJRIRJqqJJqmT i
i
i
ii
iii
ii
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m
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1
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ii
T
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i
i
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p
T
p
T
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2
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2
1
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i
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1
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i
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j
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1
1 1
n
i
mT
m
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mm
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Tm
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T
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i
T
p
T
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i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
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Controllo dei Robot P. Lino
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
B(q) รจ la matrice dโinerzia (n x n) che risulta:
Simmetrica
Definita positiva
Dipendente dalla configurazione
qqBqqqqbT Tn
i
n
j
jiij
2
1)(
2
1
1 1
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Controllo dei Robot P. Lino
n
i
miiUUU
1
Energia potenziale del braccio iEnergia potenziale del motore
che aziona il braccio i
ii
ii
pgmdVpgUT
Vi
T
0
*
0
vettore accelerazione gravitazionale riferito alla terna base
(ad esempio g0 = [0, 0, -g]T se lโasse z รจ quello verticale)
Determinazione dellโenergia potenziale
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Controllo dei Robot P. Lino
iii m
T
mm pgmU 0
n
i
m
T
m
T
iiiipgmpgmU
1
00
Funzione delle sole variabili di giunto
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Controllo dei Robot P. Lino
Equazioni del moto
๐
๐๐ก
๐๐ฟ
๐ ๐
๐
โ๐๐ฟ
๐๐
๐
= ๐ป
๐ฟ ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐, ๐
๐ต ๐ ๐ + ๐ ๐, ๐ = ๐ป
๐ ๐, ๐ = ๐ต ๐ ๐ โ1
2
๐
๐๐ ๐๐๐ต ๐ ๐
๐
+๐๐ ๐
๐๐
๐
In forma matriciale:
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Controllo dei Robot P. Lino
Equazioni del moto
n
i
m
T
m
Tn
i
n
j
jiij qpgmqpgmqqqbqqUqqTqqLiiii
1
00
1 1
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j
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j
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2
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Controllo dei Robot P. Lino
n
j
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p
T
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T
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j
ij
1
00 )()()(
contributo
gravitazionalePosto
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i
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)(
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j
j
ijn
j
jij
i
qdt
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q
L
dt
d
11
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Controllo dei Robot P. Lino
Equazioni del moto
i
n
j
n
k
ijk
i
jkn
j
n
k
jk
k
ijn
j
jij qgqqq
bqq
q
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1 11 11
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1)(
i
jk
k
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b
q
bh
2
1Posto
ii
n
j
n
k
jkijk
n
j
jij qgqqqhqqb
)()(1 11
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Controllo dei Robot P. Lino
Interpretazione fisica
ii
n
j
n
k
jkijk
n
j
jij qgqqqhqqb
)()(1 11
Termini di accelerazione
โข bii rappresenta il momento
dโinerzia visto dallโasse del
giunto i, nella configurazione
corrente del manipolatore,
quando gli altri giunti sono
bloccati
โข il coefficiente bij tiene conto
dellโeffetto dellโaccelerazione
del giunti j sul giunto i.
2
jijjqh
Termini quadrati in velocitร
โข rappresenta lโeffetto
centrifugo indotto al giunto
i dalla velocitร del giunto j
hiii = 0 poichรฉ
โข rappresenta lโeffetto di
Coriolis indotto al giunto i
dalle velocitร dei giunti j e k
0
i
ii
q
b
kjijk qqh
Termini dipendenti
solo dalla
configurazione
gi(q) rappresenta le
coppie generate
allโasse del giunto i
nella configurazione
corrente del
manipolatore per
effetto della gravitร
![Page 26: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/26.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Coppie di attrito
statico
Forze non conservative
qqf ,
)sgn(qFf ss
Forze n.c. che
compiono lavoro
Coppie di
attuazione
ai giunti t
Coppie di
attrito viscoso
Fv q
Coppie di attuazione
a bilanciamento di
forze di contatto
esterne JT(q)h
![Page 27: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/27.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Modello dinamico nello spazio dei giunti
n
j
n
k
jkijk
n
j
jij qqhqc1 11
C รจ una matrice scelta in modo tale da soddisfare :
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv t sgn,
La scelta della matrice C non รจ univoca
![Page 28: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/28.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Proprietร notevoli delle equazioni della dinamica
Antisimmetria della matrice CB 2
Una possibile scelta per la matrice ๐ถ
n
j
n
k
jk
i
jk
j
ikn
j
n
k
jk
k
ij
n
j
n
k
jk
i
jk
k
ijn
j
n
k
jkijk
n
j
jij
qqq
b
q
bqq
q
b
qqq
b
q
bqqhqc
1 11 1
1 11 11
2
1
2
1
2
1
![Page 29: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/29.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Di conseguenza :
n
k
kijkij qcc1
i
jk
j
ik
k
ij
ijkq
b
q
b
q
bc
2
1Simboli di Christoffel del primo tipo
),(2)(),( qqCqBqqN Tale scelta genera una matrice
antisimmetrica ๐ต ๐, ๐
In particolare : 0),( qqqNqT Per qualunque scelta della matrice C
Si puรฒ dimostrare che tale relazione รจ una diretta conseguenza del principio
di conservazione dellโenergia (La derivata totale dellโenergia cinetica bilancia
la potenza generata da tutte le forze agenti ai giunti del manipolatore)
![Page 30: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/30.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Linearitร nei parametri dinamici
t qgqFqFqqqCqqB sv sgn,
t ),,( qqqY
n
1
baricentro del braccio tensore dโinerzia rispetto al baricentro
momento dโinerzia del rotore
TmizziyziyyixzixyixxzCiyCixCiii iiiiIIIIIIImmmm หหหหหห
massa complessiva del braccio
![Page 31: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/31.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
y0
x0
ฮธ1
ฮธ2
โ1
โ2
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv t sgn,
๐โ๐ massa del braccio ๐
๐๐๐massa del rotore del motore ๐
๐ผโ๐ momento di inerzia del braccio ๐relativo al baricentro intorno a ๐ง0
๐ผ๐๐momento di inerzia del rotore ๐intorno allโasse
Si assume che i due motori siano sugli assi dei giunti, con baricentro in
corrispondenza delle origini delle rispettive terne
โ๐ distanza del baricentro del
braccio ๐ dal giunto ๐
๐๐ lunghezza del braccio ๐
![Page 32: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/32.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐๐๐โ๐ = ๐ง๐โ1 โง ๐โ๐ โ ๐๐โ1
๐๐๐โ๐ = ๐ง๐โ1
๐โ๐ = ๐ฝ๐โ๐ ๐ = ๐๐1
โ๐ ๐๐2โ๐ โฏ ๐๐๐
โ๐ 0 โฏ 0 ๐
๐๐ = ๐ฝ๐โ๐ ๐ = ๐๐1
โ๐ ๐๐2โ๐ โฏ ๐๐๐
โ๐ 0 โฏ 0 ๐
๐ฝ๐โ1 = ๐๐1
โ1 0 = ๐ง0 โง ๐โ1 โ ๐0 0
๐ฝ๐โ1 = ๐๐1
โ1 0 = ๐ง0 0
๐ฝ๐โ2 = ๐๐1
โ2 ๐๐2โ2 = ๐ง0 โง ๐โ2 โ ๐0 ๐ง1 โง ๐โ2 โ ๐1
๐ฝ๐โ2 = ๐๐1
โ2 ๐๐2โ2 = ๐ง0 ๐ง1
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
![Page 33: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/33.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ง0 =001
๐ง1 =001
๐0 =000
๐1 =๐1๐1๐1๐ 10
๐โ1 =โ1๐1โ1๐ 10
๐โ2 =๐1๐1 + โ2๐12๐1๐ 1 + โ2๐ 12
0
๐ง0 โง ๐โ1 โ ๐0 =โโ1๐ 1โ1๐10
๐ โง ๐ =
๐๐ฆ๐๐ง โ ๐๐ง๐๐ฆ๐๐ง๐๐ฅ โ ๐๐ฅ๐๐ง๐๐ฅ๐๐ฆ โ ๐๐ฆ๐๐ฅ
๐ โก ๐๐ฅ, ๐๐ฆ , ๐๐ง
๐ โก ๐๐ฅ, ๐๐ฆ, ๐๐ง
๐ง0 โง ๐โ2 โ ๐0 =โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12
0
๐ง1 โง ๐โ2 โ ๐1 =โโ2๐ 12โ2๐120
prodotto vettoriale
tra due vettori
![Page 34: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/34.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ฝ๐โ1 = ๐ง0 โง ๐โ1 โ ๐0 0 =
โโ1๐ 1 0โ1๐1 00 0
๐ฝ๐โ1 = ๐ง0 0 =
0 00 01 0
๐ฝ๐โ2 = ๐ง0 ๐ง1 =
0 00 01 1
๐ฝ๐โ2 = ๐ง0 โง ๐โ2 โ ๐0 ๐ง1 โง ๐โ2 โ ๐1 =
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 โโ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12 โ2๐12
0 0
![Page 35: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/35.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ฝ๐๐1 = 0 0 =
0 00 00 0
๐ฝ๐๐1 = ๐๐1๐ง๐1
0 =0 00 0๐๐1 0
๐ฝ๐๐2 = ๐๐1
โ2 ๐๐2๐ง๐2=
0 00 01 ๐๐2
๐ฝ๐๐2 = ๐ง0 โง ๐๐2
โ ๐0 0 =โ๐1๐ 1 0๐1๐1 00 0
![Page 36: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/36.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
๐ฝ๐โ1
๐๐ฝ๐โ1 = โ1
2 00 0
๐ฝ๐โ2
๐๐ฝ๐โ2 =
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 ๐1๐1 + โ2๐12 0โโ2๐ 12 โ2๐12 0
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 โโ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12 โ2๐12
0 0
=
=๐12 + โ2
2 + 2๐1โ2๐2 โ2๐1๐2โ2๐1๐2 โ2
2
๐ฝ๐๐1
๐๐ฝ๐๐1 =
0 00 0
๐ฝ๐๐2
๐๐ฝ๐๐2 =
โ๐1๐ 1 ๐1๐1 00 0 0
โ๐1๐ 1 0๐1๐1 00 0
= ๐12๐ 1
2 + ๐12๐1
2 00 0
= ๐12 00 0
![Page 37: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/37.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
๐ผโ๐ =
๐ผโ๐๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ๐๐ฅ๐ฆ โ๐ผโ๐๐ฅ๐งโ๐ผโ๐๐ฅ๐ฆ ๐ผโ๐๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ๐๐ฆ๐งโ๐ผโ๐๐ฅ๐ง โ๐ผโ๐๐ฆ๐ง ๐ผโ๐๐ง๐ง
๐ฝ๐โ1
๐๐ผโ1๐ฝ๐
โ1 =0 0 10 0 0
๐ผโ1๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ1๐ฅ๐ฆ โ๐ผโ1๐ฅ๐งโ๐ผโ1๐ฅ๐ฆ ๐ผโ1๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ1๐ฆ๐งโ๐ผโ1๐ฅ๐ง โ๐ผโ1๐ฆ๐ง ๐ผโ1๐ง๐ง
0 00 01 0
=๐ผโ1๐ง๐ง 0
0 0
๐ฝ๐โ2
๐๐ผโ2๐ฝ๐
โ2 =0 0 10 0 1
๐ผโ2๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ2๐ฅ๐ฆ โ๐ผโ2๐ฅ๐งโ๐ผโ2๐ฅ๐ฆ ๐ผโ2๐ฅ๐ฅ โ๐ผโ2๐ฆ๐งโ๐ผโ2๐ฅ๐ง โ๐ผโ2๐ฆ๐ง ๐ผโ2๐ง๐ง
0 00 01 1
=๐ผโ2๐ง๐ง ๐ผโ2๐ง๐ง๐ผโ2๐ง๐ง ๐ผโ2๐ง๐ง
![Page 38: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/38.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
๐ฝ๐๐1
๐๐ ๐1
๐ผ๐1
๐1๐ ๐1๐ ๐ฝ๐
๐1 =0 0 ๐๐10 0 0
โ โ 0โ โ 00 0 ๐ผ๐1๐ง๐ง
0 00 0๐๐1 0
=๐๐12 ๐ผ๐1๐ง๐ง
0
0 0
๐ผ๐๐
๐๐ =
๐ผ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ 0 0
0 ๐ผ๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐ 0
0 0 ๐ผ๐๐๐ง๐ง๐๐
๐ ๐1=
โ โ 0โ โ 00 0 1
๐ ๐2=
โ โ 0โ โ 00 0 1
๐ฝ๐๐2
๐๐ ๐2
๐ผ๐2
๐2๐ ๐2๐ ๐ฝ๐
๐2 =0 0 10 0 ๐๐2
โ โ 0โ โ 00 0 ๐ผ๐2๐ง๐ง
0 00 01 ๐๐2
=๐ผ๐2๐ง๐ง
๐๐2๐ผ๐2๐ง๐ง
๐๐2๐ผ๐2๐ง๐ง๐๐22 ๐ผ๐2๐ง๐ง
![Page 39: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/39.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ต ๐ =๐11 ๐ ๐12 ๐
๐21 ๐ ๐12 ๐=
๐11 ๐2 ๐12 ๐2๐21 ๐2 ๐12 ๐2
๐11 = ๐ผโ1 +๐โ1โ12 + ๐๐1
2 ๐ผ๐1+ ๐ผโ2 +๐โ2 ๐1
2 + โ22 + 2๐1โ2๐2 + ๐ผ๐2
+๐๐2๐12
๐12 = ๐21 = ๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐22 = ๐ผโ2 +๐โ2โ22 + ๐๐2
2 ๐ผ๐2
![Page 40: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/40.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐๐๐ =
๐=1
๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ =1
2
๐๐๐๐
๐๐๐+๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐
๐๐๐
๐11 = ๐ผโ1 +๐โ1โ12 + ๐๐1
2 ๐ผ๐1+ ๐ผโ2 +๐โ2 ๐1
2 + โ22 + 2๐1โ2๐2 + ๐ผ๐2
+๐๐2๐12
๐12 = ๐21 = ๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐22 = ๐ผโ2 +๐โ2โ22 + ๐๐2
2 ๐ผ๐2
๐111 =1
2
๐๐11๐๐1
= 0 ๐112 = ๐121 =1
2
๐๐11๐๐2
= โ๐โ2๐1โ2๐ 2 = โ
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐122 =๐๐12๐๐2
โ1
2
๐๐22๐๐1
= โ ๐211 =๐๐21๐๐1
โ1
2
๐๐11๐๐2
= โโ
๐212 = ๐221 =1
2
๐๐22๐๐1
= 0 ๐222 =1
2
๐๐22๐๐2
= 0
![Page 41: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/41.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐๐๐ =
๐=1
๐
๐๐๐๐ ๐๐
๐111 = 0 ๐112 = ๐121 = โ ๐122 = โ
๐211 = โโ ๐212 = 0 ๐222 = 0
๐ถ ๐, ๐ =โ ๐2 โ ๐1 + ๐2
โโ ๐1 0
![Page 42: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/42.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐0 =0โ๐0
๐๐ ๐ = โ
๐=1
๐
๐โ๐๐0๐๐ฝ๐๐
โ๐ ๐ + ๐๐๐๐0๐๐ฝ๐๐
๐๐ ๐
๐1 = ๐โ1โ1 +๐๐2๐1 +๐โ2๐1 ๐๐1 +๐โ2โ2๐๐12
๐2 = ๐โ2โ2๐๐12
๐ฝ๐โ1 =
โโ1๐ 1 0โ1๐1 00 0
๐ฝ๐โ2 =
โ๐1๐ 1 โ โ2๐ 12 โโ2๐ 12๐1๐1 + โ2๐12 โ2๐12
0 0
๐ฝ๐๐1 =
0 00 00 0
๐ฝ๐๐2 =
โ๐1๐ 1 0๐1๐1 00 0
![Page 43: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/43.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
๐ผโ1 +๐โ1โ12 + ๐๐1
2 ๐ผ๐1+ ๐ผโ2 +๐โ2 ๐1
2 + โ22 + 2๐1โ2๐2 + ๐ผ๐2
+๐๐2๐12 ๐1 +
+ ๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐2 โ 2๐โ2๐1โ2๐ 2 ๐1 ๐2 โ๐โ2๐1โ2๐ 2
๐22 +
+ ๐โ1โ1 +๐๐2๐1 +๐โ2๐1 ๐๐1 +๐โ2โ2๐๐12 = ๐1
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv t sgn,
๐ผโ2 +๐โ2 โ22 + ๐1โ2๐2 + ๐๐2๐ผ๐2
๐1 + ๐ผโ2 +๐โ2โ22 + ๐๐2
2 ๐ผ๐2 ๐2 +
+๐โ2๐1โ2๐ 2 ๐12 +๐โ2โ2๐๐12 = ๐2
![Page 44: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/44.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
Modello Dinamico nello Spazio Operativo
Si vogliono descrivere le equazioni del moto direttamente nellospazio operativo, legando le forze generalizzate agenti sulmanipolatore e lโinsieme minimo di variabili che descrivonoposizione e orientamento dellโorgano terminale nello spaziooperativo
La caratterizzazione con la lagrangiana nello spazio operativo nonconsente di trattare con manipolatori ridondanti, in quanto levariabili non costituiscono un set di coordinate generalizzate
Non รจ infatti possibile descrivere in questo caso i moti interni dellastruttura provocati da un insieme di forze generalizzate ai giunti ilcui effetto sul moto dellโorgano terminale sia nullo
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Controllo dei Robot P. Lino
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv )()()sgn(),()( t
hqJqBqgqBqqqCqBq T )()()()(),()( 111 t
t )(qJ T
hqJqBqgqBqqqCqBq T )()()()(),()( 111
Trascurando le forze di attrito ai giunti
qqJx A )(
qqqJqqJx AA ),()(
![Page 46: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/46.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
J = TA()JAT
A
T
A
T TJJ
qqqJhTqJqBqJqgqBqJqqqCqBqJx A
T
A
T
AAAA ),()()()()()()(),()()( 111
A
T
AT A
T
A hhT
AA
T
AAAAA hqJqBqJqqqJqgqBqJqqqCqBqJx )()()(),()()()(),()()( 111
gBJBg
qJBqCBJBxC
JBJB
AAA
AAAAA
T
AAA
1
1
11
qqqJhqJqBqJqgqBqJqqqCqBqJx A
T
AAA ),()()()()()()(),()()( 111
Legame tra Jacobiano
analitico e geometrico
Si pone:
Ponendo:
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Controllo dei Robot P. Lino
AA
T
AAAAAAAAAA hJBJBqJBgBJBqCBJBxB 111
AAAAA hgxCxB
AAAAA hxgxxxCxxB )(),()(
Modello Dinamico nello Spazio Operativo
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Controllo dei Robot P. Lino
Osservazioni Il modello รจ formalmente analogo a quello nello spazio dei giunti
Come nello studio della cinematica differenziale, nel caso disingolaritร non รจ possibile effettuare lโinversa dello jacobiano equindi la trattazione necessita di particolari accorgimenti
Il modello รจ valido anche per manipolatori ridondanti, benchรฉ le
variabili x non costituiscano un insieme di coordinategeneralizzate
In questo caso la matrice BA caratterizza una pseudo-energiacinetica
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Controllo dei Robot P. Lino
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
Dinamica diretta: determinare le accelerazioni allโorgano
terminale assegnando le coppie ai giunti e le forze/coppie
applicate allโorgano terminale. Per un manipolatore ridondante
il modello dinamico nello s.o. non รจ direttamente utilizzabile in
quanto t = JT(q) ha soluzioni in solo se
In modelli di simulazione, si lavora nello spazio dei giunti per
poi ottenere le variabili dello s.o. tramite la cinematica diretta
)Im( TJt
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Controllo dei Robot P. Lino
Dinamica Inversa: determinare le coppie ai giunti necessarie
alla generazione di un moto specifico assegnato (in termini di
posizione, velocitร , accelerazione dellโorgano terminale)
Si puรฒ invertire la cinematica e lavorare successivamente nello
spazio dei giunti (calcolo delle coppie mediante modello
dinamico nello spazio dei giunti)
In alternativa si puรฒ usare il modello nello s.o. per calcolare le
A e poi calcolare le t tramite trasposta dello Jacobiano.
Con tali tecniche la ridondanza non viene sfruttata, in quanto le
coppie calcolate non generano moti interni per la struttura
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
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Controllo dei Robot P. Lino
Eโ possibile risolvere la ridondanza a livello dinamico
Ricordando
gBJBg
qJBqCBJBxC
JBJB
AAA
AAAAA
T
AAA
1
1
11
Il modello nello spazio operativo
AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJxB 11)(
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
AA
T
AAAAAAAAAA hJBJBqJBgBJBqCBJBxB 111
puรฒ essere scritto come
![Page 52: Controllo dei Robot - poliba.itBraccio attuato mediante riduttore meccanico. Controllo dei Robot P. Lino. Esempio. = 1 2 ๐ 2+ 1 2 2๐ 2. = โ1โcos๐ ๐ฟ= โ = 1 2 ๐](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022013100/611e0fe6c7885320dd519116/html5/thumbnails/52.jpg)
Controllo dei Robot P. Lino
AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJxB 11)(
Sappiamo che qqqJqqJx AA ),()(
AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJB 11
Poniamo )()()()( 1 qBqJqBqJ A
T
AA
AA
T
A hgqCqBJ )(
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
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Controllo dei Robot P. Lino
AA
T
A hgqCqBJ )(
Modello dinamico nello
spazio dei giunti
AAA
T
A
T
A hhJJ t )(
Da cui
A
T
AJ t
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
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Controllo dei Robot P. Lino
A
T
AJ t
La soluzione in t di questa equazione รจ
a
T
A
T
AA
T
A JqJIqJ tt ))(()(
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
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Controllo dei Robot P. Lino
a
T
A
T
AA
T
A JqJIqJ tt ))(()(
โข Tale soluzione si ottiene tenendo conto del fatto
che รจ una pseudo-inversa destra di pesata
secondo la matrice B-1
โข Il vettore ta non dร contributo di forza allโorgano
terminale, ma genera moti interni della struttura da
impiegare per la gestione della ridondanza a livello
dinamico
T
AJ T
AJ
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo