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Controle de Sistemas I
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
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Introdução
( )x t ( )y t( )h t [ ]x n [ ]y n[ ]h n
( ), [ ]h t h n Resposta do sistema quando a entrada é um impulso unitário, .( ), [ ]t nδ δ
A Resposta ao Impulso caracteriza um sistema LTI: dada uma entrada x, pode-se, conhecendo-se h, determinar-se y. Esse
método é denominado convolução.
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Sinais Discretos e Soma de Impulsos
Seja o seguinte sinal:
,,
[ ]
0
,0,21
1
25
nn
x n
caso cnontrário
=
==
−=
O sinal pode ser escrito como uma soma de impulsos?
1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x nδ δ δ= − ++− − = +SIM!!!
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Sinais Discretos e Soma de Impulsos1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x nδ δ δ= − ++− − = +
Tempo (n)
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Sinais Discretos e Soma de ImpulsosTodo sinal discreto limitado pode ser escrito como uma soma ponderada de impulsos unitários:
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n kδ+∞
=−∞
= −∑
Impulso Deslocado
Peso
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Lembrando...Linearidade:
Sistema1( )x t 1( )y t
Sistema2 ( )x t 2 ( )y t
1[ ]x n 1[ ]y n 2[ ]x n 2[ ]y n
Sistema1 2( ) ( )a bx t x t+ 1 2( ) ( )a by t y t+
1 2[ ] [ ]a bx n x n+ 1 2[ ] [ ]a by n y n+
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Lembrando...Invariância no Tempo:
TempoTempo
Entrada Saída
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Somatório de ConvoluçãoRetomando o exemplo:
1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x nδ δ δ= − ++− − = +
1 2 3[ ] [ ] [ ] [ ]y n y n y n y n= + +
1 1
2 2
2 3
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ 2] [ 2] [ ]1[ 2] 2 [ 5] [ ] [ ]5
1x n n y n h nx n n y n h nx n n y n h n
δδδ
= → == − − → = −= −
−→ = −
Considerando a LINEARIDADE e a INVARIÂNCIA NO TEMPO:
[ ] [ ] [1 [2 5] ]1 2y n h n h n h n= − −+−
A saída é uma soma ponderada das saídas devidas a cada entrada, ou seja, um somatório de respostas ao impulso deslocadas e
ponderadas!!!
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Somatório de ConvoluçãoGeneralizando para qualquer sinal discreto limitado:
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n kδ+∞
=−∞
= −∑
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k x n h n h n x n+∞
=−∞
= − = ∗ = ∗∑
Somatório de Convolução
Sinal Discreto Limitado
UM SISTEMA LTI É COMPLETAMENTE CARACTERIZADO POR SUA RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO!!!
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Somatório de Convolução - Resumo[ ]x n [ ]y n[ ]h n
[ ]nδ [ ]h n[ ]h n
[ ]n kδ − [ ]h n k−[ ]h n
[ ] [ ]x k n kδ − [ ] [ ]x k h n k−[ ]h n
[ ] [ ]k
x k h n k+∞
=−∞
−∑ [ ] [ ]k
x k h n k+∞
=−∞
−∑[ ]h n
[ ]x n [ ]h n [ ] [ ]k
x k h n k+∞
=−∞
−∑
Definição de
Invariância no Tempo
Linearidade
Linearidade
Definição de
[ ]h n
[ ]nδ
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Somatório de Convolução
,,
[ ]
0
,0,21
1
25
nn
x n
caso cnontrário
=
==
−=
0,[ ] [ ] , 0.6
00,
nn na
h n a u n onde an≥
= = = <
Exemplo
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Somatório de ConvoluçãoEntrada Saída
Tempo Tempo
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Somatório de Convolução[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k ky n x k h n k x n k h k
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑
[0] [ ] [ ]k
y x k h k+∞
=−∞
= −∑ [ ] [ ] [1 1]k
y x k h k+∞
=−∞
= − +∑ [ ] [ ] [ ] ..2 2 .k
y x k h k+∞
=−∞
+= −∑O que acontece para cada valor de n, se imaginarmos os
sinais em função da variável k?
Vejamos uma animação em Java para compreendermos asegunda interpretação do somatório de convolução: rebate, desloca,
multiplica e soma...
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Somatório de ConvoluçãoExemplo – O Mesmo ☺
,,
[ ]
0
,0,21
1
25
nn
x n
caso cnontrário
=
==
−=
0,[ ] [ ] , 0.6
00,
nn na
h n a u n onde an≥
= = = <
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Somatório de ConvoluçãoVamos observar graficamente a resolução do exemplo utilizando a interpretação rebate, desloca, multiplica e soma.
Script em Matlab: M_6_SistemasLTIProg1.m
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Somatório de Convolução
Tempo
Rebate
Desloca
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n = -5
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n = -4
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n = -3
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n = -2
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n = -1
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n = 0
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n = 1
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n = 2
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n = 3
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n = 4
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n = 5
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n = 6
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia29
n = 7
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n = 8
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n = 9
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n = 10
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n = 11
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n = 12
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n = 13
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n = 14
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n = 15
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n = 16
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n = 17
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n = 18
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n = 19
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n = 20
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Resumindo...
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Educational Matlab GUIsDemos sobre Processamento de Sinais: Convolução, Série de Fourier, Transformadas, etc...
http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html
(Acesso em 03/03/2007)
Vamos brincar um pouco com a DiscreteConvolution Demo! ☺