Control II Clase 2.pdf

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UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

FACULTAD INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA

CONTROLES II

Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

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3. ANALISIS MATRICIAL

3.1. RELACION ENTRE FUNCION DE TRANSFERENCIA Y

LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Recordemos que una variable de estado describe el estado de un

sistema o de uno de sus componentes, ya sea al comienzo, al final

o durante un periodo de tiempo.

Para aclarar un poco esto

Utilizaremos el símil

hidrodinámico para ilustrar el

sentido de las variables. En la

figura se representan tres

depósitos en los que se

acumulan tres niveles , y.Las variaciones de los niveles son determinadas por las actuaciones

sobre ciertas válvulas (llaves) que regulan los caudales que

alimentan a cada uno de los depósitos. La decisión sobre la

apertura de éstas válvulas se toma teniendo como única

información los valores alcanzados por los niveles, en cada uno de

los depósitos, en el instante de tiempo considerado, lo cual está

representado en la figura con la presencia de un observador, aún

cuando en el sentido estricto debería existir un observador por cada

una de las válvulas.

Con los conceptos sobre variables de estado aclarados, podemos

decir que el análisis en el espacio de estados, para un sistema de


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una entrada y una salida se centra en estos tres tipos de variables:

la entrada, la salida y las variables de estado.

)),(),(()(

)),(),(()(

t t ut xht y

t t ut x f t x

Y si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, estas ecuaciones

se simplifican a:

)()()(

)()()(

t Dut Cxt y

t But Axt x

Donde:

A: Matriz de evolución del sistema:

Orden (n,n), donde n es el número de variables de estado

B: Matriz de aplicación del control:

Orden (n,m), donde m es el número de entradas (en nuestro caso

una)

C: Matriz de observación:

Orden (q,n), donde q es el número de salidas

D: Matriz de transición directa de control:

Orden (q,m), por tanto en nuestro estudio D siempre será un

escalar, y en general para nuestros propósitos será igual a cero.


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Estas ecuaciones se pueden visualizar en un diagrama de bloques

de la siguiente manera:

Como ya hemos dicho, consideramos una sola entrada y una sola

salida. De las ecuaciones del espacio de estados, podemos tomar la

transformada de Laplace:

)()()(

)()()0()(

s DU sCX sY

s BU s AX x s sX

Definimos la función de transferencia como el cociente entre la

transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplacede la entrada. Asimismo suponemos condiciones iniciales nulas, por

lo que .Despejando tenemos:

)()()( 1 s BU A sI s X

Y sustituyendo esta ecuación en la ecuación de salida:

]U(s))([)( 1 D B A sI C sY


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Por lo tanto , otra forma para escribirlo sería:

La función de transferencia es

es la función de transferencia final.Donde puede apreciarse que los polos de son aquellos quehacen:

0 A sI

O lo que es lo mismo:

|sI-A| es igual al polinomio característico de G(s).

Los valores propios de A son idénticos a los polos de G(s)

Veamos ahora como hacerlo con Matlab:

]U(s))([)( 1 D B A sI C sY


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Definimos las matrices:

>> A=[0 1 ; -2 4]

>> B=[0 ; 3]

>> C=[1 0]

>> D=0

Generamos el numerador y el denominador:

>> [num, den]=ss2tf(A, B, C, D)

Generamos la función de transferencia:>> sys=tf(num, den) o con un nombre >> f=tf(num,den)

Los ceros, los polos y la ganancia se pueden determinar así:

>> [ceros, polos, gan] = tf2zp (num, den)

Ahora determinaremos las ecuaciones en variables de estado.

Recordemos que el sistema viene dado por

Resolviendo las matrices tenemos

El diagrama de bloques correspondiente es


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Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas.

Dependiendo del sistema del que se trate y las circunstancias

específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que

otro. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, es provechoso

usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los

análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia

de sistemas lineales con una entrada y una salida invariante en el

tiempo, la representación mediante la función de transferencia

puede ser más conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un

modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos

analíticos, así como computadoras.

REPRESENTACION EN VARIABLES DE

ESTADO

REPRESENTACION MEDIANTE LA FUNCION

DE TRANSFERENCIA


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EJEMPLO 2

Recordemos que existen muchas maneras diferentes de describir un

sistema de ecuaciones diferenciales lineales. La representación en

espacio de estado está dada por las ecuaciones:

donde

es un vector

por 1 que representa el estado

(comúnmente en sistemas mecánicos las variables son posición yvelocidad), es un escalar que representa la entrada (comúnmentees una fuerza o un torque en sistemas mecánicos), e es unescalar que representa la salida. Las matrices ( por ), ( por1), y (1 por ) determinan las relaciones entre las variables deestado, entrada y salida. Notemos que habrán ecuacionesdiferenciales de primer orden. La representación Espacio de Estado

puede también usarse para sistemas con múltiple entradas y

mútiples salidas (MIMO), pero nosotros usaremos solo sistemas de

una entrada y una salida (SISO) en nuestros trabajos.

Para este segundo ejemplo, usaremos

como la bola suspendida

magnéticamente. La corriente a través

de la bobina induce una fuerza

magnética que puede igualar a la de la

gravedad y causar que la bola (hecha de

material magnético) quede suspendida

en el aire. La modelación de este


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El conjunto de parámetros se presenta en la siguiente tabla:

PARÁMETRO VALOR

Distancia de equilibrio

Corriente de equilibrio Masa del balín Constante de fuerza Resistencia de la bobina Inductancia de la bobina L Ganancia del sensor

La representación en variables de estado sería:

Una de las primeras cosas que queremos hacer con las ecuaciones

de estado es encontrar los polos del sistema; estos son los valores

de s donde , o los eigenvalores de la matriz :


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>>poles = eig(A)

Si alguno de los polos es positivo, indica que se encuentra en el

semiplano derecho, lo que significa que el sistema es inestable a

lazo abierto.

Para verificar qué sucede con este sistema inestable en condiciones

iniciales no nulas, agregue las líneas siguientes en Matlab, no olvide

asignar las matrices A, B, C y D.

>> t = 0:0.01:2;

>> u = 0*t;

>> x0 = [0.005 0 0];

>> [y,x] = lsim(A,B,C,0,u,t,x0);

>> h = x(:,2); %Delta-h es la salida de interés

>> plot(t,h)

y corra de nuevo el archivo.

Usted debe apreciar cómo la distancia entre la bola y el

electromagneto tiende a infinito, pero probablemente la bola golpee

la mesa o el piso primero (y también probablemente se salga del

rango donde nuestra linealización es válida).

EJERCICIOS

Realizando un análisis matricial, determine la función de

transferencia de cada sistema:

http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/lsim.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/lsim.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/lsim.html


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a.

Cx y

Bu Ax x, donde

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10 A ,

2

0 B y 01C .

b. c.

d.

4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN MATRICIAL DE ESTADO

Los modelos en espacio de estado describen el comportamiento del

sistema para cualquier

conocidos el vector de estado en el

instante inicial y las entradas al sistema para .Definiciones:

Variables de estado: es el conjunto más pequeño de

variables que determinan el estado de un sistema Orden del sistema n: es el menor número de variables de

estado necesario para su descripción.

Vector de estado: vector n-dimensional cuyas

componentes son las variables de estado.


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Espacio de estado: espacio n-dimensional cuyos ejes

coordenados representan los valores numéricos de las

variables de estado .Su descripción matemática no es única, y se presenta en forma de

n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden combinarse

en una ecuación diferencial vectorial-matricial de primer orden.

La matriz de transición de estado se representa por

y viene

dada por .Hay que recordar que EJEMPLO 1

Supongamos que deseamos saber el comportamiento del sistema

para cada variable de estado del sistema siguiente:

En ella encontramos que:


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Para cada caso se debe encontrar , , y .Recurriendo a fracciones parciales se tiene que

Por lo tanto Esta matriz de transición de estado se puede calcular también

utilizando Matlab.

Definimos primero la variable s:

>> syms s

Introducimos la función que queremos antitransformar:

>> f=s/(s^2-4*s+2) o también >> f=s/(s*s-4*s+2)

Utilizamos el comando ilaplace de Matlab


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>> ilaplace(f)

Esto se hace para cada función.

Una vez calculada la matriz de transición de estado, la respuesta

temporal del sistema para diferentes condiciones iniciales y señales

de entrada puede calcularse mediante la ecuación:

es una matriz vertical de condiciones iniciales.Donde representa un adelanto en el tiempo de valor de lafunción . Evidentemente, si se conocen las condiciones iniciales , la entrada y la matriz de transición , puede calcularsenuméricamente la solución de la ecuación de estado o respuesta

temporal del vector de estado. Cuando el sistema no está forzado y esto se simplifica más.Veamos por ejemplo cuando Se tieneque:


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Estas ecuaciones son las que representan la salida de cada una de

las variables de estado.

Usando Matlab se puede usar el siguiente comando para graficar

cada una de las funciones de estado por ejemplo entre cero y dos:

>> ezplot('3*exp(0.4*t)+(19/3)*exp(0.6*t)',[0 2])

EJERCICIOS

Para cada uno de los sistemas dados, analice la estabilidad,

determine la matriz de transición de estados y encuentre la

respuesta para la condición Parasistemas de tercer orden utilice Matlab. Cuál es la función detransferencia de cada sistema y/o las matrices de estado?


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a.

b. c.

d.

e.

f.

g.


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MONTAJE No. 1 VARIABLES DE ESTADO

Objetivo: Simular sistemas de control en el espacio de estados en

tiempo continuo.

Materiales:

Protoboard, Amp-Op LM741, Resistencias varias, Capacitores

varios, Fuente DC, Multímetro, Osciloscopio.

Procedimiento:

Tome el sistema de segundo orden que le fue asignado. Considérelo

de la forma

donde es la entrada y es la salida.a. Para el sistema dado, determine las ecuaciones de estado.

b. Realice un diagrama en variables de estado y simúlelo en

Simulink.

c. Escriba el sistema en forma matricial determinando lasmatrices A, B, C y D.

d. Utilizando un protoboard monte el sistema en variables,

teniendo en cuenta utilizar una circuitería adecuada para


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integradores, amplificadores y comparadores como se

muestra más abajo.

e. Simule el circuito y verifique que los resultados se

satisfacen.

Circuitería:

Set-Point:

Salida de voltaje R(s) que oscile entre los 0V y 5V.

Integrador:

La función de transferencia de este circuito es

. Si quisiéramos

diseñar por ejemplo la planta con función de transferencia ,tendríamos que hacer la igualación

. Si le damos al capacitor un valorde , la resistencia tomaría un valor de . Como la función detransferencia es negativa, requerimos de un inversor con ganancia unitaria.

El circuito quedaría por ejemplo así colocando los valores adecuados para

cada componente:


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Amplificador:

Un amplificador tiene como función de transferencia

. El

valor de la ganancia dependerá de los valores que se le dé a y a El circuito tendría la forma siguiente donde la relación nosgenera la ganancia y

debe ser la unidad.

Comparador:

Como circuito comparador podemos usar un circuito sumador

inversor y hacer un análisis para la asignación de signos para

entrada, su función de transferencia es de la forma

,y el circuito correspondiente es

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