Universidad de Concepcin Facultad de Ingeniera Depto. de Ingeniera Elctrica

ApuntesControl Automtico - 543 444

y = 1 + k(x - H/2)2

controlde razn

SH TH

hd = 5 control de altura

u = 10

u1 = 4

fs = 10, cs

fa = 4fm = 6, cm

h = 5

y

x u2 = 6

3ra edicin

Prof. Jos R. Espinoza C.

Julio 2003

Apuntes: 543 444 ii

Tabla de contenidos.

PRLOGO ................................................................................................................................................. IV

NOMENCLATURA ....................................................................................................................................... V

ABREVIACIONES ..................................................................................................................................... VIII

1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL. .................................................................................1 1.1 Ejemplos. ...................................................................................................................................11.2 Terminologa y Definiciones. ....................................................................................................4

1.3 Ejemplos. ...................................................................................................................................5

1.4 Otros Controladores..................................................................................................................8

1.5 Clasificacin de Sistemas de Control......................................................................................12

1.6 Alcances del Curso 543 444....................................................................................................13

2 ESTADO ESTACIONARIO EN SISTEMAS REALIMENTADOS.................................................................15 2.1 Introduccin. ...........................................................................................................................15

2.2 Efectos de la Realimentacin. .................................................................................................15

2.3 Estabilizacin utilizando Realimentacin. ..............................................................................22

2.4 Errores en Estado Estacionario. .............................................................................................23

2.5 Diseo de Controladores. .......................................................................................................26

3 RGIMEN TRANSIENTE EN SISTEMAS REALIMENTADOS...................................................................28 3.1 Comportamiento Transitorio de Sistemas de Primer Orden...................................................28

3.2 Comportamiento Transitorio de Sistemas de Segundo Orden. ...............................................31

3.3 Especificaciones en el Dominio de la Frecuencia . ................................................................34

3.4 Polos Dominantes y Reduccin de Orden...............................................................................36

3.5 Sistemas con Retardo. .............................................................................................................38

4 LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES. .............................................................................................41 4.1 Introduccin. ...........................................................................................................................41

4.2 El Mtodo del L.G.R................................................................................................................44

4.3 Reglas Adicionales para la Construccin del L.G.R...............................................................46

4.4 Anlisis de Sistemas y Ejemplos de Sintonizacin. .................................................................52

5 CRITERIO DE NYQUIST.....................................................................................................................59 5.1 Introduccin. ...........................................................................................................................59

5.2 Criterio de Routh-Hurwitz.......................................................................................................60

5.3 Criterio de Nyquist. .................................................................................................................64

6 DISEO Y COMPENSACIN DE SISTEMAS DE CONTROL....................................................................75 6.1 Introduccin. ...........................................................................................................................75

6.2 Compensacin en Adelanto. ....................................................................................................75

6.3 Compensacin en Atraso.........................................................................................................79

6.4 Compensacin Adelanto-Atraso..............................................................................................84

6.5 Compensador P.I.D.................................................................................................................84

BIBLIOGRAFA ...........................................................................................................................................89

Apuntes: 543 444 iii

NDICE ALFABTICO..................................................................................................................................90

Apuntes: 543 444 iv

Prlogo.

El curso "Control Automtico" es obligatorio para alumnos de pre-grado de las carreras de Ingeniera Civil Elctrica y Electrnica de la Universidad de Concepcin. Este ramo pertenece al plan de asignaturas orientadas al rea de Control Automtico del Departamento de Ingeniera Elctrica en el cual se entregan herramientas de anlisis para sistemas lineales, dinmicos e invariantes en el tiempotipo SISO (una entrada una salida). Esta asignatura es una aplicacin natural de los temas y herramientas revisadas en el curso Sistemas Lineales Dinmicos.

Los tpicos revisados en este curso permiten analizar sistemas lineales, con nfasis en estructuras realimentadas puesto que representan la mayora de las encontradas en la naturaleza y las implementadas por el hombre. En particular, en este curso se abordan temas como el anlisis en estado estacionario y dinmico de sistemas lineales que se caracterizan por tener una entrada y una salida,tambin se introducen herramientas nuevas como son el Lugar Geomtrico de las Races, y el Criterio de Nyquist. Finalmente, se revisa el diseo de controladores utilizando el Lugar Geomtrico de las Races, el Diagramas de Bode, y el Diagrama de Nyquist.

El lector debe tener dominio de los temas entregados en los cursos de Sistemas Lineales Dinmicos y Mecnica para avanzar fluidamente en los tpicos de este texto. Adems, un holgado manejo de programas de simulacin es definitivamente necesario para seguir los ejemplos del texto. Se recomienda, MatLabTM y/o MathCad TM.

El documento fue digitado enteramente en Word for Windows de MicroSoftTM y los ejemplos y ejercicios fueron desarrollados en MatLabTM y/o MathCad TM. Se desea agradecer sinceramente a los alumnos que cursaron la asignatura en aos anteriores por su comprensin y cooperacin en corregir las versiones preliminares de estos apuntes.

En honor a la gratuidad y fcil acceso a este material, espero recibir correcciones, comentarios, y lo ms importante, ejemplos de sistemas fsicos abordables por los temas aqu expuestos. Los aportes se pueden enviar a cualesquiera de las direcciones indicadas ms abajo.

Dr. Jos R. Espinoza C.

Depto. de Ingeniera Elctrica, of. 220 Facultad de Ingeniera Universidad de Concepcin Casilla 160-C, Correo 3 Concepcin, CHILE

Tel: +56 41 203512 Fax: +56 41 246999 e-mail: jespinoz@die.udec.cl web: http://www.die.udec.cl/~jespinoz/

Apuntes: 543 444 v

Nomenclatura

Matrices

A : matriz de parmetros de dimensin nn.B : matriz de parmetros de dimensin np.C : matriz de parmetros de dimensin qn.D : matriz de parmetros de dimensin qp.E : matriz de parmetros de dimensin nm.F : matriz de parmetros de dimensin qm.T : matriz de transformacin de dimensin de nn.AT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nn. AT = TAT

-1

BT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin np. BT = TBCT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qn. CT = CT

-1

DT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qp. DT = DET : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nm. ET = TEFT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qm. FT = FTabc-DE0 : matriz de transformacin de ejes abc a DE0, dimensin 33. TDE0-abc : matriz de transformacin de ejes DE0 a abc, dimensin 33. TDE0-dq0 : matriz de transformacin de ejes DE0 a dq0, dimensin 33. Tdq0-DE0 : matriz de transformacin de ejes dq0 a DE0, dimensin 33. Tabc-dq0 : matriz de transformacin de ejes abc a dq0, dimensin 33. Tdq0-abc : matriz de transformacin de ejes dq0 a abc, dimensin 33. H(s) : matriz de transferencia. H(s) = C(sI - A)-1B + D.

)( sH : matriz de transferencia inversa. )( sH = H-1(s).H(s)H : matriz conjugada transpuesta de H(s). H(s)H = (H(s)*)T.C : matriz de controlabilidad. O : matriz de observabilidad. L(s) : matriz de transferencia en L.D. )(t) : matriz de transicin. Adj{P} : matriz adjunta de la matriz P.e{X} : matriz parte real de la matriz X.m{X} : matriz parte imaginaria de la matriz X.

Vectores

x : vector de n variables de estados, x = [x1 x2 xn]T

u : vector de p variables de entrada, u = [u1 u2 up]T

y : vector de q variables de salida, y = [y1 y2 yq]T

p : vector de m perturbaciones, p = [p1 p2 pm]T

x : vector de n variables de estados, x = [ 1x 2x nx ]T (estimacin de x).

y : vector de q variables de estados, y = [ 1y 2y qy ]T (estimacin de y).

x~ : vector de n variables de estados, x~ = [ 1~x 2~x nx~ ]T (error de estimacin de x~ = x - x ).

xabc : vector de tres variables de estados, xabc = [xa xb xc]T (ejes estacionarios abc).

xDE0 : vector de tres variables de estados, xDE0 = [xD xE x0]T (ejes estacionarios DE0).

xdq0 : vector de tres variables de estados, xdq0 = [xd xq x0]T (ejes rotatorios dq0).

x0 : condicin inicial del vector de estados, x0 = [x10 x20 xn0]T

Apuntes: 543 444 vi

xo : vector de estados en el punto de operacin, xo = [x1o x2o xno]T

uo : vector de entradas en el punto de operacin, uo = [u1o u2o upo]T

yo : vector de salidas en el punto de operacin, yo = [y1o y2o yqo]T

yd : vector deseado (referencia) de q variables de salida, yd = [y1d y2d yqd]T

po : vector de perturbaciones en el punto de operacin, po = [p1o p2o pqo]T

'x : variacin del vector de estados x en torno a xo, 'x = ['x1 'x2 'xn]T

'u : variacin del vector de entradas u en torno a uo, 'u = ['u1 'u2 'up]T

'y : variacin del vector de salidas y en torno a yo, 'y = ['y1 'y2 'yq]T

'p : variacin del vector de perturbaciones p en torno a po, 'p = ['p1 'p2 'pm]Tx(s) : Laplace de x, x(s) = [x1(s) x2(s) xn(s)]

T

u(s) : Laplace de u, u(s) = [u1(s) u2(s) up(s)]T

y(s) : Laplace de y, y(s) = [y1(s) y2(s) yp(s)]T

p(s) : Laplace de p, p(s) = [p1(s) p2(s) pm(s)]T

vk : k-simo vector propio de A.wk : k-simo vector propio de A

T.vk

* : conjugado del k-simo vector propio de A.xec : vector de estados para entrada cero. xci : vector de estados para c.i. nulas. yec : vector de salidas para entrada cero. yci : vector de salidas para c.i. nulas. ck

T : k-sima fila de la matriz C.bk

T : k-sima columna de la matriz B.V(x) : gradiente de la funcin V(x). V(x) = wV(x)/wx.

Escalares

xk : k-sima variable de estado. dxk/dt = kx : derivada de la k-sima variable de estado. ak : k-simo coeficiente del polinomio caracterstico de A.Ok : k-simo valor propio de A.Ok* : conjugado del k-simo valor propio de A.Oij : ganancia relativa entre la entrada i-sima y la salida j-sima. l(s) : funcin de transferencia en L.D. dij : elemento ij de la matriz D.hij(s) : elemento ij de la matriz H(s).

)( shij : elemento ij de la matriz )( sH = H-1(s).

rango{P(s)} : rango de la matriz P(s). det{P(s)} : determinante de la matriz P(s).tr{P(s)} : traza de la matriz P(s). maxij{wij}l : mximo elemento de la matriz Wl.u(t) : entrada escaln. || e || : norma del elemento e.Vl(A) : l-simo valor singular de A.V (A) : mximo valor singular de A.V (A) : mnimo valor singular de A.U(A) : radio espectral de A.J(A) : nmero de condicin de A.V(x) : funcin de Lyapunov.

Apuntes: 543 444 vii

: : vecindad en el espacio de estados de x.G : conjunto invariante. R : conjunto invariante subconjunto de G.ess : vector de error en estado estacionario. G : banda de asentamiento. ts : tiempo de asentamiento. V : valor medio (RMS) de la seal continua (alterna) v(t).f(t) : funcin en el tiempo continuo. f(k) : funcin en el tiempo discreto (tambin escrita f(kT), con T el tiempo de muestreo). f(s) : funcin en el plano de Laplace. f(Z) : funcin en frecuencia continua de tiempo continuo. f(:) : funcin en frecuencia continua de tiempo discreta. f(n) : funcin en frecuencia discreta de tiempo continuo. f(m) : funcin en frecuencia discreta de tiempo discreta.

Apuntes: 543 444 viii

Abreviaciones.

Maysculas

L.A. : lazo abierto. L.C. : lazo cerrado. L.D. : lazo directo. L.I.T. : lineal invariante en el tiempo. S.P.I. : semi-plano izquierdo. S.P.D. : semi-plano derecho. F. de T. : funcin de transferencia. F.D. : funcin descriptora. M. de T. : matriz de transferencia. B.W. : ancho de banda. E.S. : entrada/salida. S.S. : estado estacionario. SISO : sistema de una entrada y una salida (single input single output). MIMO : sistema de varias entradas y varias salidas (multiple inputs multiple outputs). L.G.R. : lugar geomtrico de las races. P.I.D. : controlador proporcional integral derivativo. S.P. : sobrepaso. M.G. : margen de ganancia. M.F. : margen de fase. FCD : forma cannica diagonal. FCC : forma cannica controlable. FCO : forma cannica observable. FCJ : forma cannica de Jordan.

Minsculas

c.i. : condiciones iniciales. l.i. : linealmente independiente. l.d. : linealmente dependiente. c.c. : corriente continua (en ingls es d.c.). c.a. : corriente alterna (en ingls es a.c.).

Apuntes: 543 444 1

1 Introduccin a los Sistemas de Control.

En este captulo se introduce el concepto de control como una necesidad fundamental para conseguir determinados objetivos en los sistemas fsicos. Especial nfasis se da a las estructuras realimentadas y a las pre-alimentadas. Se muestra que la mayora de las realidades fsicas funcionan en forma natural en estructuras realimentadas y que por tanto una gran parte de este curso se orienta a su anlisis y diseo. Tambin se revisa la terminologa inherente a sistemas de control. Finalmente, se indican los alcances del curso en el contexto ms general de los sistemas de control.

1.1 Ejemplos.

A continuacin se revisan a una variada gama de ejemplos que ilustran la utilizacin de estructuras de control en forma natural. Adems se muestra que el ser humano ha incluido esta alternativa de control para conseguir objetivos especficos desde siempre.

A . Automvil.

Sea el caso del automvil que enfrenta una pendiente positiva en que el conductor mantiene la posicin del acelerador en un ngulo p constante, Fig. 1.1. La pendiente luego desaparece por lo que el vehculo eventualmente llega a su velocidad inicial, que se supone en 100 km/hr. Las cantidades involucradasson:

- posicin del acelerador (p),

v

t

100

infraccin !

v [km/hr]

T

20

Fig. 1.1 El automvil en la carretera y su perfil de velocidad considerando el pedal de aceleracin en una posicin fija.

Apuntes: 543 444 2

- velocidad del automvil (v),- pendiente del camino (T),- peso del vehculo (m),- ancho de los neumticos (w),- velocidad del viento en contra (V),- cc del vehculo (cc), - tipo de bencina (tv),- ...

Las cantidades involucradas es pueden clasificar de la siguiente manera:

- v: cantidad a controlar, - p: cantidad a manipular, - T, m V: perturbaciones que modifican v pero que

no son manipulables, - w, cc, tv: parmetros que no cambian con t y que

definen el sistema,

las cuales se pueden representar como se ilustra en la Fig. 1.2 la cual corresponde a un Sistema en Lazo Abierto (L.A.). Para mantener la velocidad fija, el conductor observa el odmetro y cambia la posicin del pedal, Fig. 1.3. As se logra una velocidad de referencia o deseada (vd). Este es el objetivo bsico que se tiene al conducir en la carretera. Esta estructura que se fundamenta en la correccin de la cantidad manipulada de acuerdo a la desviacin entre la cantidad deseada y la controlada se conoce como Sistema en Lazo Cerrado (L.C.). El diagrama de bloques resultante se puede considerar como el ilustrado en la Fig. 1.4. En ste, el conductor puede ser representado por un cerebro que reacciona a la diferencia entre la velocidad deseada y la que existe, y el sistema que transforma la salida del cerebro en un ngulo del pedal del acelerador. Un anlisis primario indicara que el cerebro reacciona a la diferencia, la derivada y la integral de la diferencia entre la velocidad deseada y real. Es decir,

( )( ) ( )dp d d i d

d v vz k v v k k v v dt

dt

,

T m V

p vautomvil w, cc, tv, ...

Fig. 1.2 Diagrama en bloques del ejemplo del automvil.

vd

odmetro

T m V

p vautomvil w, cc, tv, ...

Fig. 1.3 El conductor determina la variable manipulada de acuerdo a la variable a controlar.

p v

Automvilpierna

Sensor de velocidad

Transmisor de seal

cerebro vd

+

conductor

-

z

T m V

Fig. 1.4 Esquema realimentado para el sistema conductor-automvil.

Apuntes: 543 444 3

Este resultado es muy auspicioso puesto que permitira reemplazar al cerebro del conductor por un elemento que tenga una relacin entrada/salida equivalente. Este podra ser el caso de un circuito electrnico. Probablemente la pierna del conductor tambin es reemplazable por un sistema mecnico equivalente. Esta solucin existe hace algn tiempo y es conocida como control crucero. Una pregunta que se origina es si se puede extender esta estructura de control a otros sistemas.

B . Estanque..

En este caso se asume que el flujo de salida no depende de la altura del contenido del estanque y que est dado por lo que ocurre con el consumo aguas abajo de ste. Por lo tanto, se reconocen las siguientes cantidades involucradas:

- cantidad a controlar: altura (h),- cantidad a manipular: flujo de entrada (fe),- cantidad perturbadora: flujo de salida (fs), y - parmetros: rea del estanque (A) y dimetro de caera (I).

En este caso se desea que el estanque opere con un nivel de agua h constante e igual a una referencia hd. Para esto se utiliza un esquema similar al que utiliza el conductor de un automvil; es decir, un sensor de altura, un transmisor de altura, una vlvula y un controlador de altura como se ilustra en la Fig. 1.5. Las preguntas que aparecen en este instante, entre otras, son cmo disear el controlador de altura de manera que sta cumpla con ciertas caractersticas ?, sera posible disear esta parte del esquema de manera que la altura h sea siempre igual a hd ?, es siempre conveniente este ltimo objetivo ?, cmo estudiar el problema matemticamente ?. Una herramienta disponible de anlisis es la Transformada de Laplace, que si bien es utilizable en S.L.I., se constituye en la herramienta ms poderosa de anlisis y diseo en este curso. As, si se requiere que la altura h sea siempre igual a hd, entonces se desea que,

1)(

)( sh

sh

d

.

En este curso, disear el controlador consistir en encontrar la F. de T. que mejor cumpla con los objetivos propuestos en una estructura ms general como la ilustrada en la Fig. 1.6. Una etapa posterior debiera considerar la implementacin prctica de ste, la cual puede ser electrnica (un circuito analgico, en un PC, etc.) en combinacin con neumtica (vlvula).

fe

h

y

l

fs xl

controlador de altura

SH TH

hd

u

fs

fe hEstnqueVlvula

SensorTransmisor

Controlador de altura

hd u

(a) (b)

Fig. 1.5 Estanque con control de altura; (a) diagrama de operacin, (b) esquema de control.

Apuntes: 543 444 4

1.2 Terminologa y Definiciones.

Def.: La variable controlada es la cantidad que se mide y controla. (h)

Def.: La variable manipulada es la cantidad modificada a fin de afectar la variable controlada. (Fe)

Def.: Las perturbaciones son cantidades que afectan adversamente la variable controlada, y que no pueden ser manipuladas directamente. (fs)

Def.: Control significa medir el valor de la variable controlada y aplicar la variable manipulada tal que se corrige o limita la variable de salida a un valor deseado.

Def.: La variable de salida es la o las variables controladas o funcin de ellas que se desea limitar dentro de mrgenes pre-establecidos durante rgimen transiente y/o estacionario. (h)

Def.: Un sistema es una combinacin de componentes que actan conjuntamente y cumplen determinado objetivo. Los hay fsicos, biolgicos, econmicos, etc. y combinacin de ellos. (estanque)

Def.: Proceso es una operacin natural o artificial caracterizado por una serie de cambios graduales, progresivamente continuos que consisten en una serie de acciones controladas o movimientos dirigidos sistemticamente hacia determinado resultado o fin. (produccin de papel)

Def.: Una planta es un equipo cuyo objetivo es realizar una operacin determinada. (estanque, poleas)

Def.: Un sistema de control realimentado es aquel que tiende a mantener una relacin pre-establecida entre la salida y la referencia, comparndolas y utilizando la diferencia como medio de control. (tambin conocido como sistema de control en L.C.)

p

u y

ProcesoActuador

SensorTransmisor

Controlador yd

Fig. 1.6 Esquema general de control con realimentacin.

Apuntes: 543 444 5

Def.: Un sistema de control en lazo abierto (L.A.) es aquel en que la salida no tiene efecto sobre la accin de control.

De acuerdo a las definiciones anteriores se tiene que la estructura general de control realimentado est dada por la Fig. 1.6. Ntese que el actuador, sensor y transmisor no son diseables a voluntad, puesto que stos estn disponibles en el mercado, y por tanto su relacin entrada/salida debe ser considerada pre-establecida. Ser menester de este curso proponer y disear el controlador.

1.3 Ejemplos.

A continuacin se ilustran algunos ejemplos, en donde se muestra que las realidades fsicas tienen distintos grados de complejidad. Esto se debe en parte a las mltiples entradas, mltiples salidas, no-linealidades, variables que no se pueden medir, perturbaciones, etc. que se pueden encontrar en los sistemas reales.

A . Control de Velocidad y Reparticin de Carga (sistema multi-variable).

En algunas aplicaciones, un motor no es suficiente para mover una carga rotatoria, esto por razones mecnicas mayoritariamente. Es de inters el caso ilustrado en la Fig. 1.7 en donde se desea que el tambor mayor gire a una velocidad dada y que la reparticin de carga entre los motores sea equitativa. Lo anterior independiente del torque de carga que es aleatorio. En este sistema se consideran como variables de estado a x = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]

T = [ia1 ia2 Zo Zm1 Zm2 tm1 tm2]T, a las entradas u = [u1 u2]T = [va1 va2]

T, la perturbacin p = to y a las salidas Zo y a ia1 - ia2, puesto que si esta diferencia es cero, entonces se asegura una reparticin de carga simtrica. As las ecuaciones dinmicas de este sistema quedan dadas por la forma general:

x = Ax + Bu + ep, y = Cx,

donde las matrices estn dadas por:

+ va1 -

ia1 Z1, T1,J1, T1

Zo, To,Jo, to

n : 11/k1

+ va2 -

ia2 Z2, T2,J2, T2

n : 1

1/k2

Fig. 1.7 Control de velocidad y reparticin de carga.

Apuntes: 543 444 6

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

/ 0 0 / 0 0 0

0 / 0 0 / 0 0

0 0 0 0 0 / /

/ 0 0 0 0 1/ 0

0 / 0 0 0 0 1/

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a a m a

a a m a

o o

m m m

m m m

R L k L

R L k L

n J n J

k J J

k J J

nk k

nk k

A .

1

2

1/ 0

0 1/

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

a

a

L

L

B ,

0

0

1/

0

0

0

0

oJ

e , y 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

C .

B . Convertidor dc/dc conmutado (sistema no-lineal).

Esta estructura permite elevar una tensin dc a otro valor en forma ms eficiente que su contraparte lineal. Para esto se utiliza un conmutador modelado por la componente Sw en el circuito ilustrado en la Fig. 1.8. Las ecuaciones en este caso son,

(1 )di

e L v Swdt

y (1 ) dv vi Sw Cdt R

donde la seal Sw toma el valor 0 1, dependiendo de alguna circuitera externa. Las ecuaciones que describen el sistema son no lineales por cuanto la entrada Sw multiplica a las variables v y a i.

C . Utilidades Nacionales (sistema discreto).

El ingreso nacional de un pas y(kT) en el ao kT se puede escribir en trminos del gasto de los consumidores c(kT), inversiones privadas i(kT) y el gasto del gobierno g(kT) de acuerdo a,

( ) ( ) ( ) ( )y kT c kT i kT g k .

Estas cantidades estn relacionadas de acuerdo a las siguientes suposiciones. Primero, el gasto del consumidor en el ao (k +1)T es proporcional al ingreso nacional en el ao kT; es decir, c((k+1)T) = Dy(kT). Segundo, la inversin privada en el ao (k +1)T es proporcional al incremento del gasto de los consumidores del ao kT al ao (k +1)T; es decir, i(k+1)T = E{c((k+1)T) - c(kT)}. Tpicamente, 0 < D < 1, E > 0. De las suposiciones anteriores se puede escribir,

+

-

L

e(t)

i(t)C

+

-

v(t)R

Sw(t)

Fig. 1.8 Convertidor dc/dc elevador de tensin.

Apuntes: 543 444 7

(( 1) ) ( ) ( ) ( )c k T c kT i kT g k D D D ,(( 1) ) ( ) ( ) ( ) ( )i k T c kT i kT g k ED E ED ED ,

definiendo a las variables de estado a x(kT) = [x1(kT) x2(kT)]T = [c(kT) i(kT)]T, a la entrada u(kT) =

g(kT), y a la salida y(kT) = y(kT), se obtiene la representacin final dada por,

(( 1) ) ( ) ( )( 1)

k T kT u kTD D D

E D ED ED x x , ( ) [1 1] ( ) ( )y kT kT u kT x .

El resultado de la modelacin es un sistema discreto de segundo orden.

Ejemplo 1.1. Estudiar el comportamiento del estanque en L.A. y luego en L.C. .. R.: El modelo del estanque como

ilustrado en la Fig. 1.9(a) est dado por es ffdt

dhA

dt

dV . Tomando Laplace se tiene: )(sAshff es lo que es

representado como se ilustra en la Fig. 1.9(a). Si la vlvula tiene por F. de T. a v(s) = 1 y se considera que A = 2.5, entonces

el modelo es 1

( ) ( )2.5 s

h s u fs

. Si se considera que u = fs = 0, la altura es constante, matemticamente se tiene que,

fs

fe h

Estnque Vlvula

u

+

-1

Asv(s)

fs

fe h

EstnqueVlvula

u

+

-1

Asv(s)

hd

+

-

Controlador

c(s)

s(s)t(s)

Sensor Transmisor

(a) (b)

h(t)

u(t)

fs(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

h(t)

u(t)

fs(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

hd(t)

(c) (d)

h(t)

u(t)

fs(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

hd(t)

h(t)

u(t)

fs(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

hd(t)

(e) (f)

Fig. 1.9 Estanque operando en L.A. y L.C.; (a) diagrama del estanque operando en L.A.; (b) diagrama del estanque operando en L.C.; (c) formas de onda del estanque en L.A.; (d) formas de onda del estanque en L.C. Caso 1; (e)

formas de onda del estanque en L.C. Caso 2; (f) formas de onda del estanque en L.C. y prealimentacin.

Apuntes: 543 444 8

1( ) ( )

2.5 sh s u f

s , por lo que

0

( ) ( ) (0) (0)t

sh t u f dt h h . Si por el contrario la perturbacin fs est dada por: fs(t) = 0

+ u(t1), se tiene que 0

( ) (0 0 ( 1)) (0)t

h t u t dt h )0()1( htr . Esta situacin est ilustrada en la Fig. 1.9(c). Si por otro lado, la entrada a la vlvula se determina en un esquema realimentado como el ilustrado en la Fig. 1.9(b),

considerando que los bloques sensor y transmisor tienen F. de T. unitaria y el controlador tiene una F. de T. 1

)(W

s

ksc

p ,

se tiene que,

)(1

)( sfuAs

sh , con )( hhcu d , entonces h(s) = 1

( )d sch ch fAs

= sdfc c

h hAs As As

, con lo que ( ) 1 ch sAs

= sdfc

hAs As

, si se define )(1 sgAs

, entonces, )1)(( cgsh = sd gfcgh . Por lo que finalmente se tiene que, h(s) =

sd fcg

gh

cg

cg

11. Claramente, la altura depende de la entrada hd y la perturbacin fs. Lo ideal sera que el factor que

multiplica a fs fuera 0 y que el factor que multiplica a hd fuera 1. Sin embargo, para el controlador indicado se tiene que los

factores son, 2

1/ 1 1

1 1 ( 1) ( 1)p p p

g As s s

cg k s As s As k As As k

W W W W W

,

2

( 1)

1 1 ( 1) ( 1)p p p

p p p

k s As k kcg

cg k s As s As k As As k

W

W W W .

Las expresiones anteriores no son lo esperado y es ms, sus ganancias dc son 1/kp (que debiera ser 0) y 1, respectivamente. Es decir, un cambio escaln en la perturbacin se reflejar en S.S. en un factor 1/kp. Esto se ilustra en la Fig. 1.9(d).

Si en cambio, el controlador a utilizar es

W

s

sksc p

1)( , se encuentra que h(s) = sd f

cg

gh

cg

cg

11 en donde los

coeficientes son: 2 2

1/

1 1 ( 1)p p p

g As s

cg k s As As k s k

W W ,

2

2 2

( 1) ( 1)

1 1 ( 1)p p

p p p

k s As k scg

cg k s As As k s k

W W

W W . Las expresiones anteriores no son tampoco lo esperado pero sus ganancias dc

son 0 y 1, respectivamente. Es decir, en estado estacionario este controlador permite lograr los objetivos de diseo. Slo en rgimen transitorio se obtienen variaciones no deseadas de la altura en el estanque. Esto se ilustra en la Fig. 1.9(e). h

1.4 Otros Controladores.

En el manejo de un vehculo el conductor no slo mira el odmetro para decidir cuanto presionar o liberar el pedal del acelerador, tambin considera elementos adicionales como lo es la pendiente del

p v

Automvilpierna

Sensor de velocidad

Transmisor de seal

cerebro vd

+

conductor

-

z

T m V

Fig. 1.10 Prealimentacin en la conduccin de un automvil.

Apuntes: 543 444 9

camino T. La estructura ms probable de procesamiento para este caso se muestra en la Fig. 1.10. Esta estructura se conoce como prealimentacin, existen tambin otras como son el control de razn, y control en cascada.

A . Control Prealimentado.

Hay varias formas de implementar una estructura prealimentada. En el ejemplo del estanque se demostr que una buena seleccin del controlador realimentado permite que la perturbacin fs altere la altura slo en rgimen transiente. Si se desea eliminar su efecto en forma total se podra anexar un controlador prealimentado como el ilustrado en la Fig. 1.11, en donde m(s) se debe escoger apropiadamente. En este caso se cumple que,

h se ffg sfvug ss fmfuvg )'( ss fvmfvug ' sd fvmgtshhgvc 1

sd fvmggvctshgvch 1 ,de donde,

sd fvmggvchgvctsh 11 ,por lo que finalmente se tiene que,

-

-

m(s)

u'hdc(s)

fs

fe h

Estnque Vlvula

u

+

-1

Asv(s)++

prealimentacin

s(s)t(s)

SensorTransmisor

Controlador

Fig. 1.11 Control del estanque que incluye realimentacin y prealimentacin.

pnm

u y

ProcesoActuador

SensorTransmisor

Controlador yd

pm

+

Contr. Pre-Alim

Fig. 1.12 Estructura general del control prealimentado.

Apuntes: 543 444 10

sd f

gcvts

vmgh

gcvts

gcvh

1

1

1,

de donde claramente se ve que si m(s) se escoge como m(s) = 1/v(s) se elimina el efecto de la perturbacin fs en la salida h. Esto se ilustra en la Fig. 1.9(f). De esta manera se tiene que la F. de T. resultante es simplemente,

dhgcvts

gcvh

1.

Es decir, la perturbacin es totalmente eliminada de la salida. Como es de esperarse esto corresponde a la situacin ideal y se da cuando se conoce totalmente la F. de T. de v(s), es posible de implementar su inversa y es posible medir la totalidad de las perturbaciones. Estas condiciones no siempre son posibles de implementar en la prctica. En el caso ms general ilustrado en la Fig. 1.12 se puede tener que la perturbacin pT = [pm

Tpnm

T] que afecta la salida y se puede separar en las perturbaciones medibles pm y en las no medibles pnm. En este caso, la mejor implementacin eliminar slo el efecto de pm en la salida. La siguiente tabla muestra algunos aspectos comparativos de la estructura realimentada y prealimentada.

Estructura Mide Requiere Comportamiento Posibles Problemas

Prealimentado perturbacin conocer y/p perturbacin no afecta irrealizable

Realimentado salida a debe producirse error inestabilidad

Ntese que las perturbaciones son variables de entrada y como tal no tienen perfiles definidos, pueden ser fijas, variables, peridicas, etc. El ngulo del sol Tsol en la Fig. 1.13 es peridica y se asemeja a una diente de sierra con un perodo de 24 horas.

B . Control de Razn.

Se usa cuando dos a ms componentes deben ser empleados en una determinada razn. Por ejemplo, el estanque de la Fig. 1.14 debe ser suministrado con razn fa/fm = 2/3 para lo cual se utiliza la estructura

Tsol

T2T1

Tcelvc

V1

V2vout

y = 1 + k(x - H/2)2

controlde razn

SH TH

hd = 5control de altura

u = 10

u1 = 4

fs = 10, cs

fa = 4fm = 6, cm

h = 5

y

x u2 = 6

Fig. 1.13 Sistema de posicionamiento unidimensional. Fig. 1.14 Ejemplo del control de razn (valores en S.S.).

Apuntes: 543 444 11

ilustrada en la Fig. 1.14.

C . Control en Cascada.

Para introducir este tipo de estrategia se utiliza el caso del motor de corriente continua ilustrado en la Fig. 1.15(a) el cual es alimentado independientemente. En este caso el modelo equivalente para la parte elctrica est en la Fig. 1.15(b). Por lo tanto, las ecuaciones son,

aa

aaaa edt

diLiRv ,

le l l

dt J d t

dt

Z Z ,

donde, ea = kmZl, te = kmia, J = Jm + Jl.Una primera alternativa es utilizar la estrategia ilustrada en la Fig. 1.16(a). En este caso, para cambios bruscos de va para ajustar la velocidad, la corriente de armadura puede exceder el valor mximo del motor. Este es el caso ilustrado en la Fig. 1.16(b) donde la referencia de velocidad es llevada a su mximo, con lo que el controlador entrega un va = kckZZld, puesto que la velocidad real de la mquina Zl no cambia instantneamente y por lo tanto es cero para t = 0. Esto genera una corriente de armadura a la partida de ia = va/Ra. Tanto va como ia son prohibitivos y daaran la mquina. Para evitar esto, se prefiere controlar la corriente con un lazo interno.

d

+ va -

ifia

Zm, Te

Zm, tl, Jl

mquina cc carga

- vf +

ia

ea+-

+-va

Ra La

(a) (b)

Fig. 1.15 Motor de c.c. con alimentacin independiente; (a) diagrama, (b) circuito equivalente de la armadura.

kZ motor+-

Zld va

tl

Zlkc

u

(a)

Zld

0 1 20

2000

4000

Zl

va

0 1 22000

0

5000

500

-500

ia

300

-300

0 1 21000

0

1000

2000

(b) (c) (d)

Fig. 1.16 Control proporcional del motor de c.c.; (a) diagrama, (b) referencia y velocidad actual, (c) voltaje de armadura, (d) corriente de armadura.

Apuntes: 543 444 12

La alternativa de utilizar un lazo interno es conocida como el control en cascada. Bsicamente hay un lazo interno y uno externo, en donde el externo fija la referencia del interno, Fig. 1.17(a). En el motor de c.c., el lazo de velocidad fija la referencia de corriente de armadura la que es limitada a un valor mximo/mnimo. El lazo de corriente fija la tensin de armadura, la que tambin es limitada a un valor mximo/mnimo, de manera que la corriente de armadura sea igual o cercana al valor entregado por el controlador de velocidad. La operacin se muestra en las formas de onda de la Fig. 1.17, donde se han utilizado controladores de ganancia para ambos lazos. Ntese el error en S.S. entre la velocidad deseada y la actual, probablemente la eleccin de los controladores no fue la ms apropiada

D . Controladores Adaptivos.

Cuando los parmetros de la planta (masa, rea, ...) cambian con el tiempo por acciones no programadas o estipuladas, el sistema cambiar su comportamiento para mejor o peor. Si se desea mantener este comportamiento se debera realizar una actualizacin de los parmetros del controlador en funcin de los cambios producidos en los parmetros. Por ejemplo, si if cambia en el motor de c.c. entonces km cambia por lo que debera ser estimado para actualizar el controlador y as obtener un desempeo siempre ptimo. Los cambios de temperatura son tambin una fuente importante de cambio de parmetros en los sistemas. Una estructura para este tipo de estrategias est dada en la Fig. 1.18.

1.5 Clasificacin de Sistemas de Control.

control Z+

-

Zld

tl

Zlcontrolia+

-

iad Actuador (convertidor)

ia

u va

Motor

Lazo interno (de corriente)

Lazo externo (de velocidad)

(a)

Zld

0 1 20

2000

4000

Zl

va

0 1 2

500

0

500

(b) (c)

iad

300

-300

0 1 2400

200

0

200

400

ia

300

-300

0 1 2400

200

0

200

400

(d) (e)

Fig. 1.17 Control en cascada del motor de c.c.; (a) diagrama, (b) velocidad de referencia y actual, (c) voltaje de armadura, (d) corriente de armadura de referencia, (e) corriente de armadura.

Apuntes: 543 444 13

La clasificacin de sistemas se realiza en funcin de las caractersticas de la planta.

A . Sistemas Lineales No-lineales.

En rigor la mayora de los sistemas de control son no-lineales. Sin embargo, en un punto de operacin puede asumirse lineal, en cuyo caso se obtiene un modelo lineal con el cual se puede trabajar (en el motor de c.c. se asume if constante para obtener un sistema lineal).

B . Sistemas Invariantes Variantes.

Los invariantes son aquellos que tienen parmetros que no varan con el tiempo. Su respuesta no cambia para una entrada dada en funcin del tiempo (la masa m(t) de un cohete).

C . Sistemas Continuos Discretos.

En un sistema continuo todas las variables son funcin de un tiempo continuo. Los discretos se caracterizan por tener valores en instantes fijos (el valor de la UF es discreto).

D . Sistemas SISO MIMO.

Los SISO (Single Input Simple Output) tienen una entrada y una salida. Los MIMO tienen varias entradas y varias salidas (SISO: motor con if = cte, MIMO: generador).

E . Sistemas de Parmetros Concentrados Distribuidos.

Los sistemas que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias son con parmetros concentrados. Los que deben describirse mediante ecuaciones diferenciales parciales son con

parmetros distribuidos (temperatura en una barra: t

Tk

x

T

ww

ww

).

F . Sistemas Determinsticos Estocsticos.

Es determinstico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible; de no serlo, es estocstico.

1.6 Alcances del Curso 543 444.

En este curso se estudiarn sistemas lineales, invariantes, continuos, SISO, concentrados y determinsticos, como el ilustrado en el Fig. 1.19. Para controlarlos se estudiarn controladores esencialmente realimentados y prealimentados. Especial nfasis se dar a los controladores en adelanto, retraso y el P.I.D. (proporcional, integral, derivativo). Lo mnimo que se exigir ser estabilidad y lo

ZlControly actuador+

-

Zld vaMotor

Estimadorkm, Ra

tl

Fig. 1.18 Control adaptivo.

Apuntes: 543 444 14

ptimo ser de acuerdo al diseo en particular. Se debe considerar que el control se realiza por dos razones:

- Mantener un proceso en un punto de operacin (regulacin). - Llevar el proceso de un punto de operacin a otro (seguimiento).

Las herramientas a utilizar son esencialmente el L.G.R., el Diagrama de Bode y el Criterio de Nyquist.

-

-

m(s)

ydc(s)

pm

u y

+

-

g(s)v(s)

s(s)t(s)

++

s(s)t(s)

pnm

Fig. 1.19 Estructura general de control a estudiar en este curso.