Control Digital U1
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PROPUESTA VERSIÓN 1.0
Agosto 2015
Departamento de Ingeniería Electrónica
Ingeniería Electrónica
Enrique Reyes Archundia
Control Digital
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Control Digital
Ø Fundamentos Matemáticos de sistemas discretos
Ø Análisis de sistemas discretos
Ø Diseño de Controladores
CONTENIDO
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Control Digital
Ø Fundamentos Matemáticos de sistemas discretos
o Examen (60%), práctica (20%), evaluación continua (20%)
Ø Análisis de sistemas discretos o Examen (35%), Exposición (35%), práctica
(20%), evaluación continua (10%)
Ø Diseño de Controladores o Controlador digital (100%)
EVALUACIÓN
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Control Digital
Fundamentos matemáticos de sistemas discretos
Ø Introducción a sistemas de control digital
Ø Ecuaciones de diferencia,
Ø Transformada Z
Ø Muestreo y reconstrucción de señales
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Control Digital
Ø Función de transferencia Ø Diagrama de bloques
Ø Gráficos de flujo de señal (Mason) Ø Respuesta transitoria (primer y
segundo orden) Ø Representación en espacio de estados
Análisis de sistemas discretos
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Control Digital
Ø Análisis de estabilidad (Criterios de estabilidad)
Ø Controladores discretos (P,PI,PD,PID) o Diseño directo o Emulación
Ø Introducción a los sistemas de control en espacio de estados
Diseño de Controladores
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Control Digital
Ø Ecuaciones diferenciales Ø Función de transferencia Ø Transformada de Laplace Ø Respuesta en el tiempo Ø Respuesta a la frecuencia
Repaso de Sistemas Lineales
UNIDAD I €
G(s) =ωn2
s2 + 2ξωns+ωn2
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Control Digital
Ø Control analógico Sistemas digitales
UNIDAD I
C(s)
G(s) R(s) Y(s)
+
-
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Control Digital
Ø Control digital Sistemas digitales
UNIDAD I
K(z)
G(s) R(s) Y(s)
+
-
A/D
D/A
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Control Digital
Ventajas de usar control digital:
• Es más fácil cambiar el esquema de control. • Permite utilizar técnicas “modernas” de control. • Permite el manejo de una gran cantidad de datos y señales. • Menor sensibilidad al ruido. • Menor consumo de energía.
Desventajas de usar un control digital.
• Puede resultar más caro. • Implica errores de redondeo. Limitado por tamaño de palabra. • Normalmente requiere más conocimiento del diseño. • Puede requerir de software especializado. • Es más lento.
Ventajas y desventajas
UNIDAD I
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Control Digital
Son valores escalares asociados con un índice (k) Ecuación de diferencias lineal de coeficientes constantes
Ecuación de diferencias
UNIDAD I
u(k) = f yk, yk−1,..., yk−m,uk−1,uk−2,...,uk−n[ ]
mkmkknknkk yyyuuu −−−− ++++++= βββαα ...... 11011
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Control Digital
Aproximación de una integral
UNIDAD I
y(t)
t 0
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Control Digital
Aproximación de una integral
UNIDAD I
y(t)
t (kT) 0 T 2T 3T…………………………….……... (k-1)T kT
11 −− += kkk Tyxx
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Control Digital
Transformada Z
UNIDAD I
€
Z x k( ){ }= x k( )z−kk=0
∞
∑
Definición de Transformada Z Transformada de Laplace
€
L x t( ){ }= x(t)e−st∫
z = esT y t ≈ kT
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Control Digital
Transformada Z de un impulso unitario
UNIDAD I
En el dominio del tiempo
€
δ kT( )=1 para kT = 00 para kT ≠ 0⎧ ⎨ ⎩
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Control Digital
Transformada Z de un impulso unitario
UNIDAD I
En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z
€
Z δ k( ){ }= δ k( )z −k = 1k=0
∞
∑€
δ kT( )=1 para kT = 00 para kT ≠ 0⎧ ⎨ ⎩
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Control Digital
Transformada Z de un escalón unitario
UNIDAD I
En el dominio del tiempo
( ) 1=kTx
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Control Digital
Transformada Z de un escalón unitario
UNIDAD I
En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z La serie se reduce a
( ) 1=kTx
€
X z( )= z−kk=0
∞
∑ =1+ z−1 + z−2 + z−3
€
X z( )=1
1− z−1
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Control Digital
Transformada Z de una exponencial creciente
UNIDAD I
En el dominio del tiempo
€
x(kT) = AeakT
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Control Digital
Transformada Z de una exponencial creciente
UNIDAD I
En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z Equivale a
€
Z x kT( ){ }= Z AeakT{ }= AeakT( )z −k = A e−aTz( )−kk=0
∞
∑k=0
∞
∑€
x(kT) = AeakT
€
X z( )=A
1− e−aT z( )−1=
A1− eaT z−1
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Control Digital
Transformada Z de una función cosenoidal
UNIDAD I
En el dominio del tiempo €
x(kT) = Acos(ΩkT)
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Control Digital
Transformada Z de una función cosenoidal
UNIDAD I
En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z
Usando identidad de Euler
€
x(kT) = Acos(ΩkT)
€
X z( )= Z x kT( ){ }= Acos ΩkT( )( )z−kk=0
∞
∑
€
Cos ΩkT( )=e jΩkT + e− jΩkT
2
€
X z( )=A2
e jΩT z−1( )k
+ e− jΩT z−1( )k
k=0
∞
∑k=0
∞
∑⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
X z( )= A1− cos ΩT( )z−1
1−2cos ΩT( )z−1 + z−2⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
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Control Digital
Transformada Z de una función senoidal
UNIDAD I
En el dominio del tiempo €
x(kT) = Asen(ΩkT)
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Control Digital
Transformada Z de una función senoidal
UNIDAD I
En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z
Usando identidad de Euler
€
x(kT) = Asen(ΩkT)
€
X z( )= Z x kT( ){ }= Asen ΩkT( )( )z−kk=0
∞
∑
€
sen ΩkT( )=e jΩkT − e− jΩkT
2 j
€
X z( )=A2
e jΩT z−1( )k− e− jΩT z−1( )
k
k=0
∞
∑k=0
∞
∑⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
X z( )= Asen ΩT( )z−1
1−2cos ΩT( )z−1 + z−2⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
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Control Digital
Transformada Z de una función coseno por una exponencial decreciente
UNIDAD I
En el dominio del tiempo €
x kT( )= Ae−akT cosΩkT( )
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Control Digital
Transformada Z de una función coseno por una exponencial decreciente
UNIDAD I
En el dominio del tiempo
Aplicando definición de transformada Z
Usando identidad de Euler €
X z( )= Z x kT( ){ }= Ae−akT cos ΩkT( )( )z−kk=0
∞
∑
€
cos ΩkT( )=e jΩkT + e− jΩkT
2
€
X z( )=A2
e−akT e jΩT z−1( )k
+ e−akT e− jΩT z−1( )k
k=0
∞
∑k=0
∞
∑⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
x kT( )= Ae−akT cosΩkT( )
€
=A2
e−aT+ jΩTz−1( )k[ ]+ e−aT−jΩTz−1( )k[ ]k=0
∞
∑k=0
∞
∑⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
= A1− e−aT cos ΩT( )z −1
1− 2e−aT cos ΩT( )z −1+ e−2aTz −2⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
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Control Digital
Transformada Z de una función senoidal por una exponencial decreciente
UNIDAD I
En el dominio del tiempo €
x kT( )= Ae−akT sen ΩkT( )
![Page 28: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/28.jpg)
Control Digital
Transformada Z de una función senoidal por una exponencial decreciente
UNIDAD I
En el dominio del tiempo
Aplicando definición de transformada Z
Usando identidad de Euler €
X z( )= Z x kT( ){ }= Ae−akT sen ΩkT( )( )z−kk=0
∞
∑
€
sen ΩkT( )=e jΩkT − e− jΩkT
2 j
€
X z( )=A2 j
e−akT e jΩT z−1( )k− e−akT e− jΩT z−1( )
k
k= 0
∞
∑k= 0
∞
∑⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
x kT( )= Ae−akT sen ΩkT( )
€
= Ae−aTsen ΩT( )z−1
1− 2e−aT cosΩT( )z −1+ e−2aTz −2⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
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Control Digital
Transformada Z de una función rampa
UNIDAD I
En el dominio del tiempo €
x(kT) = AkT para kT ≥ 0
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Control Digital
Transformada Z de una rampa
UNIDAD I
En el dominio del tiempo Aplicando definición de transformada Z Se reduce a
€
x(kT) = AkT para kT ≥ 0
€
X z( )= Z x kT( ){ }= AkT z−k( )k=0
∞
∑
€
= AT 0+ z−1 + 2z−2 + 3z−3 + 4z−4 + ...( )
€
X(z) = AT z−1
1− z−1( )2
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Control Digital
Propiedades asociadas con la Transformada Z
UNIDAD I
Linealidad de la transformada Z Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z
€
Z ax k( ){ }= aZ x k( ){ }
€
Z x k( )+ y k( ){ }= Z x k( ){ }+Z y k( ){ }
![Page 32: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/32.jpg)
Control Digital
Teoremas asociados con la Transformada Z
UNIDAD I
Teorema del retardo Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z
( ){ } ( ){ } ( )zXzkxZzkxZ 111 −− ==−
![Page 33: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/33.jpg)
Control Digital
Teoremas asociados con la Transformada Z
UNIDAD I
Teorema del retardo para un retardo de orden n Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z
Z x k − n( ){ }= z−nZ x k( ){ }= z−nX z( )
![Page 34: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/34.jpg)
Control Digital
Teoremas asociados con la Transformada Z
UNIDAD I
Teorema del avance Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z
( ){ } ( ) ( )01 xzzXzkxZ −=+
![Page 35: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/35.jpg)
Control Digital
Teoremas asociados con la Transformada Z
UNIDAD I
Teorema del valor inicial Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z y aplicar el límite
( ) ( )[ ]zXxz ∞→
= lim0
![Page 36: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/36.jpg)
Control Digital
Teoremas asociados con la Transformada Z
UNIDAD I
Teorema del valor final Sugerencia: Aplicar definición de transformada Z y restar Z{x(k)}-Z{x(k-1)}
x ∞( ) = Limz→1
1− z−1( )X z( )$%
&'
![Page 37: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/37.jpg)
Control Digital
Transformada Z inversa
UNIDAD I
Métodos para la resolución de la transformada z
• División directa • Fracciones parciales • Método computacional
![Page 38: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/38.jpg)
Control Digital
División directa
UNIDAD I
X z( ) = z−1
1− 2 z−1 + z−2
€
1− 2z −1+ z −2 z −1+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0−z −1+ 2z −2 − z −3
− 2z −2 + 4 z −3 − 2z −4
+ 3z −3 − 2z −4
z −1+ 2z −2 + 3z −3 + 4 z −4 +K
)
X z( ) = Z x k( ){ }= x k( ) z−kk=0
∞
∑
X z( ) = x 0( )+ x 1( ) z−1 + x 2( ) z−2 + x 3( ) z−3 + x 4( ) z−4 +…
€
x 0( ) = 0x 1( ) = 1x 2( ) = 2x 3( ) = 3x 4( ) = 4,etc
€
x k( ) = k
![Page 39: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/39.jpg)
Control Digital
Método Computacional
UNIDAD I
X z( ) = zz−1( ) z+ 0.5( )
X z( ) = zz2 − 0.5z− 0.5
X z( ) =zU z( )
z2 − 0.5z− 0.5dondeU z( ) =1
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Control Digital
Método Computacional
UNIDAD I
Considerando condiciones iniciales igual a cero
( )[ ] ( )zUzzzzX =−− 5.05.02
( ) ( ) ( ) ( )zUzzXzzXzXz =−− 5.05.02
€
x k+ 2( )− 0.5x k+1( )− 0.5x k( ) = u k+1( )
€
x k+ 2( ) = 0.5x k+1( )+ 0.5x k( )+ u k+1( )
![Page 41: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/41.jpg)
Control Digital
Método Computacional
UNIDAD I
Se calculan manualmente los valores para x(0) y x(1) y después se obtienen los valores para x(k+2) con un ciclo usando:
€
x k+ 2( ) = 0.5x k+1( )+ 0.5x k( )+ u k+1( )
![Page 42: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/42.jpg)
Control Digital
Fracciones parciales
UNIDAD I
€
G z( )=z
z −1( ) z + 0.5( )=Azz −1
+Bz
z + 0.5
€
z = Az z + 0.5( )+ Bz z −1( )
€
z ⇒1⇒1= 1.5A∴A =11.5
=23
€
z = −0.5⇒− 0.5= B −0.5( ) −1.5( )∴B = −11.5
= −23
![Page 43: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/43.jpg)
Control Digital
Fracciones parciales
UNIDAD I
€
G z( )=23
zz −1
−23
zz + 0.5
€
g k( ) =231( )−
23−0.5( )k ∴g k( ) =
23−23−0.5( )k
![Page 44: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/44.jpg)
Control Digital
Dado un conjunto de valores discretos de la forma Donde k =1,2,3,… Se define la diferencia de primer retroceso (first backward)como
Ecuaciones de diferencias lineales
UNIDAD I
y kT( ), y k −1( )T"# $%,…y[ k − N( )T ]
€
∇y kT( )= y kT( )− y k−1( )T[ ]
![Page 45: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/45.jpg)
Control Digital
La diferencia de segundo retroceso (second backward) se define como
Ecuaciones de diferencias lineales
UNIDAD I
€
∇2y kT( )= ∇ ∇y kT( )( )= ∇ y kT( )− y k−1( )T[ ]( )
€
= y kT( )− 2y k−1( )T[ ]+ y k− 2( )T[ ]
![Page 46: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/46.jpg)
Control Digital
Haciendo t=kT y Δt=T
Discretización del proceso de derivación
UNIDAD I
€
ʹ′ y t( )= D y t( )=d y t( )
dt= lim
Δt→0
y t( )− y t −Δt( )Δ t
€
= limT→0
y kT( )− y k−1[ ]T( )T
≈y kT( )− y k−1( )T[ ]
T=∇ y kT( )
T
![Page 47: Control Digital U1](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050800/577c7f851a28abe054a4ee4a/html5/thumbnails/47.jpg)
Control Digital
Para la segunda derivada
Discretización del proceso de derivación
UNIDAD I
€
d2y t( )dt2
=
dd y t( )dt
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
dt≈
dy kT( )− y k−1( )T[ ]
T
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
dt
€
≈y kT( )−2y k −1( )T[ ]+ y k −2( )T[ ]
T 2=∇2y kT( )T 2
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Control Digital
Considere la función de transferencia Sugerencias: 1. A partir de G(s), obtenga la ecuación diferencial 2. Utilice la discretización de la derivada para
obtener la ecuación de diferencias lineal 3. Utilice transformada Z para resolver la ecuación
para y(kT) 4. Obtener G(z) 5. Simular la respuesta al escalón de G(s) y G(z)
Ejercicio para discretizar
UNIDAD I
( )21+
=s
sG
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Control Digital
En el dominio de la frecuencia
Teorema de Muestreo
UNIDAD I
€
Xp *( jω) =1T
sen mωsγ /2( )mωsγ /2
e− jmω sγ / 2X j(ω −mωs)[ ]m=∞
∞
∑
x(t)
p(t)
xp*(t)
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Control Digital
ωs debe ser al menos el doble de ωc
Teorema de Muestreo
UNIDAD I
ωc
ωc -ωc
-ωc
ωs -ωs
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Control Digital
Efecto aliasing por una mala elección del periodo de muestreo
Teorema de Muestreo
UNIDAD I
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Control Digital
Por comparación
Aproximación por primer retroceso
UNIDAD I
Ld y t( )d t
!"#
$%&= s Y s( )
€
d y t( )d t
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭ ≈y kT( )− y k−1( )T[ ]
T
€
Zy kT( )− y k−1( )T[ ]
T
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
=y z( )− z −1y z( )
T=1− z −1
T⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ Y z( )
€
s =1− z−1
T⇒ z =
11− s T
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Control Digital
Ejercicios: Obtener la transformada Z de Por aproximación de primer retroceso y Tustin y comparar resultados por simulación en MATLAB. Considerar: T=0.1s y T=1s para ambos casos Incluir: desarrollo, resultados obtenidos y conclusiones
Aproximación de Tustin
UNIDAD I
€
sq =2T1− z −1
1+ z −1⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
q
⇒ sq =2Tz −1z +1
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
q
€
G s( ) =2
s+1( ) s+ 2( )
€
G s( )=2
s+1( ) s2 + 2s+ 5( )
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Control Digital
Mapeo del plano s al z
UNIDAD I
Las variables s y z están relacionadas por sTez =
Si consideramos que s= σ + jω
)2()( kTjTTjTTjsT eeeeeez πωσωσωσ ++ ====
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Control Digital
Mapeo del plano s al z
UNIDAD I
El semiplano izquierdo en s equivale al interior del círculo unitario en z
TjTjTTjsT eeeeez )()( ωσωσωσ ++ ====
0,)2(
=
= +
σ
πωσ kTjTeez
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Control Digital
Mapeo del plano s al z
UNIDAD I
Considerar el caso en que la frecuencia de muestreo es limitada
TjTjTTjsT eeeeez )()( ωσωσωσ ++ ====
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Control Digital
Mapeo del plano s al z
UNIDAD I
Relación entre líneas de s con z
TjTjTTjsT eeeeez )()( ωσωσωσ ++ ====
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Mapeo del plano s al z
UNIDAD I
Relación entre líneas de s con z
TjTjTTjsT eeeeez )()( ωσωσωσ ++ ====
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Respuesta transitoria
UNIDAD I
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Respuesta transitoria
UNIDAD I
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Respuesta transitoria
UNIDAD I
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Transformación bilineal
UNIDAD I
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Control Digital
Transformación bilineal
UNIDAD I
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Control Digital
Muestreo y reconstrucción de señales
Reconstrucción de señales
UNIDAD I
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Control Digital
Retenedor de orden cero
Reconstrucción de señales
UNIDAD I
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Control Digital
Retenedor de orden cero
UNIDAD I
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Control Digital
Discretización con retenedor de orden cero
UNIDAD I
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Control Digital
Discretización con retenedor de orden cero
UNIDAD I
Ejemplo: Discretizar Gc(s) considerando que le precede un retenedor de orden cero
Simular los resultados considerando T=0.01s z0 = 6 p0 = 10 kc = 3
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Control Digital
Discretización con retenedor de orden cero
UNIDAD I