Contrato Didáctico
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DDeeppaarrttaammeennttoo ddee MMaatteemmttiiccaa EEdduuccaattiivvaa
Una Caracterizacin del Contrato Didctico en un Escenario Virtual
Tesis que presenta
Lic. Gisela Montiel Espinosa
Para obtener el grado de
Maestra en Ciencias
en la especialidad de
Matemtica Educativa
Directora de tesis: Dra. Rosa Mara Farfn Mrquez
Mxico, DF. Junio de 2002
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Contenido
Introduccin Captulo 1. Antecedentes. 1
Primera Parte. Teora de Situaciones Didcticas 2
Segunda Parte. Educacin a Distancia 11
La Educacin a Distancia 12
Historia 15
Investigacin 16
Teora de la Distancia Transaccional 18
Un elemento clave: La Interaccin 20
Captulo 2. El Contrato Didctico como variable de anlisis 25 Primera Parte. El Contrato Didctico 26
El Contrato Didctico de Guy Brousseau 27
El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Bruno DAmore 29
El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Marie Jeanne Perrin Glorian 33
El Contrato Didctico desde la aproximacin socioepistemolgica 35
Segunda Parte. El saber a ensear
Pensamiento y Lenguaje Variacional 37
Objetivos institucionales y objetivos de aprendizaje en SIME II 38
Problema de Investigacin Origen 40
Diseo del curso en lnea 41
Intencionalidad del diseo 41
Intencionalidad de los ejercicios 48
Captulo 3. El Escenario 57 Estructura del programa 59
Plataforma virtual de trabajo 60
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Contenido
Captulo 4. Interacciones en un Escenario Virtual 67
Observaciones preliminares 68
Resolucin de ejercicios 71
Observaciones generales 160
Captulo 5. Conclusiones. 163
Episodios de interaccin 167
Observaciones finales 183
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Introduccin
iv
L
a Matemtica Educativa, como disciplina cientfica y movimiento social ha buscado
permanentemente mecanismos de accin que integren el trabajo de investigadores,
profesores y alumnos en beneficio de la enseanza y aprendizaje de la matemtica. Hoy,
dentro de la disciplina, se han consolidado posturas tericas en distintas escuelas de
pensamiento que obedecen a las exigencias que la sociedad nos impone, entre ellas, la de
proveer ofertas educativas integrales a los partcipes del proceso de enseanza y
aprendizaje de la matemtica. Es claro que el nmero de involucrados en este proceso
aumenta vertiginosamente (investigadores, docentes, alumnos y alumnas), de tal forma que
llegar a todos presupone tener estrategias para enfrentar la masificacin.
Hoy nuestras instituciones, principalmente las de nivel superior, estn abordando la
masificacin con la modalidad a distancia (o virtual1). Es decir, la sociedad exige mas
oportunidades de formacin y entre las soluciones mas viables, las instituciones proponen
los programas de educacin a distancia. Sin embargo, entrar en ambientes de esta
naturaleza presupone de un cambio radical, desde la misma concepcin de la educacin a
distancia hasta los mecanismos de accin, administracin, implementacin, diseo, entre
otras. Esta prctica no es un terreno educativo nuevo, sus inicios se dan en 1700, pero ha
sufrido una evolucin impresionante en las ltimas dcadas. Es una disciplina con muchas
reas de anlisis en cuanto a investigacin y prctica se refiere.
En el presente trabajo abordaremos la problemtica de la educacin a distancia, en la
direccin que atae a la Matemtica Educativa, esto es, cuando el fenmeno de enseanza y
aprendizaje de un contenido matemtico se lleva a cabo en un escenario a distancia.
Esta investigacin nace en la aproximacin socioepistemolgica, que trata de forma
articulada con las cuatro componentes de la construccin social de conocimiento: su
naturaleza epistemolgica, su dimensin sociocultural, los planos de lo cognitivo y los
modos de transmisin va la enseanza (Cantoral, 2001), lo que nos permite hacer una
extensin de la teora de situaciones didcticas para explicar los fenmenos de enseanza y
aprendizaje que se llevan a cabo en una situacin especfica. Hablamos de una extensin
1 No estamos dando la misma definicin a educacin a distancia y educacin virtual, solo hacemos referencia a los nombres mas comunes en las instituciones mexicanas.
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Introduccin
v
dado el origen y la estructura de la teora de situaciones. Brousseau, (1997) construye su
teora con base en observaciones en un aula presencial, con nios aprendiendo conceptos
matemticos elementales, mientras que en este trabajo de investigacin tratamos con
escenarios a distancia, especficamente en la modalidad en lnea, y con profesores
interactuando con objetos matemticos de nivel superior.
Por la naturaleza de la investigacin y las aproximaciones tericas utilizadas para su
anlisis, constituimos este trabajo en cinco captulos que profundizan sobre el campo de la
educacin a distancia, la teora de situaciones didcticas, contrato didctico, intencionalidad
y estructura del diseo; y confrontacin de la evidencia con la teora.
En Captulo I mostramos los antecedentes del problema de investigacin, concentrando
nuestra atencin en los elementos caractersticos de la teora de situaciones didcticas y en
un estado del arte de la investigacin en educacin a distancia. Con esto, encontramos que
los fundamentos tericos de la educacin a distancia son insuficientes para abordar la
problemtica de apropiacin de conocimiento matemtico, por lo que recurrimos a una
extensin de la aplicacin de la teora de situaciones.
La teora de situaciones didcticas nos habla de cmo el alumno se adapta a un milieu a
travs de interacciones a fin de adquirir un conocimiento matemtico especfico. Estas
interacciones estn estrechamente ligadas a la organizacin del milieu (realizada por el
profesor) y la naturaleza del conocimiento matemtico en juego. De ah que para analizar la
apropiacin de dicho conocimiento, debemos observar las interacciones del alumno, el
profesor y el conocimiento como un sistema. Esto se logra tomando a la categora contrato
didctico como variable de anlisis2, ya que articula los fenmenos didcticos, le da sentido
a la situacin didctica y de ella depende la construccin de significados en el alumno. En
este sentido el contrato didctico nos permiti analizar en forma sistmica la interaccin
del tringulo didctico (profesor-alumno-saber) y caracterizarla en un nuevo escenario. Las
negociaciones entre profesor y alumno, respecto del contenido matemtico, estn
impregnadas de otros contratos, bsicamente el pedaggico y escolar, as como de las
concepciones matemtica y escolar del profesor, sin embargo, logramos identificar
2 Usamos el trmino variable de anlisis para referirnos al instrumento que nos permite estudiar las
interacciones del tringulo didctico que permiten apropiacin de conocimiento, aunque en este caso, tenemos claro que esta variable de anlisis, el contrato didctico, es una nocin de la teora de situaciones didcticas.
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Introduccin
vi
situaciones de aprendizaje, ruptura de contrato y devolucin de la situacin, adhesin al
discurso y ruptura de la tradicin escolar de enseanza y aprendizaje. Todos los contratos
son analizados a profundidad en el Captulo II, a fin de entender los comportamientos del
sistema didctico.
En el Captulo III elaboramos una descripcin del escenario en trminos tcnicos y
disciplinares, para caracterizar lo ms posible al milieu de este fenmeno, mientras que las
producciones de los alumnos son expuestas una a una en el Captulo IV, de tal forma que
pudiramos hacer una conclusin sobre los momentos de negociacin ms caractersticos
de las interacciones del tringulo didctico al final de nuestra investigacin.
Tomar posturas tericas de la Matemtica Educativa no fue una decisin sin fundamentos.
La seleccin de nuestro marco terico se debe bsicamente a que en contraste con los
trabajos tericos y empricos en el rea de la educacin a distancia, consultados para
efectos de este trabajo de investigacin y en su mayora de literatura anglosajona, no
analizamos las interacciones de los actores educativos uno a uno, es decir: alumno-alumno,
alumno-profesor, alumno-contenido y alumno-interfase (Gunawardena y McIsaac, 1996),
ya que suponemos que no nos permiten ver con claridad el papel de la negociacin en la
construccin de nociones y significados. Esta suposicin habr de ser atendida en el curso
de la investigacin.
Nuestros resultados se exponen y explican en el Captulo V, e intentan articular nuestros
fundamentos tericos con la evidencia emprica.
Referencias
Cantoral, R. 2001 sobre la construccin social del conocimiento matemtico avanzado. Actas de la Semana
de las Matemticas. En J. A. Domnguez y M., Sierra (Eds.) Universidad de Salamanca, Espaa.
Brousseau, G. (1997) Theory of Didactical Situations in Mathematics. En Balacheff, N., Cooper, M.,
Sutherland, R. y Warfield, V. (Eds). Kluwer Academic Publishers.
Gunawardena, C. N. y McIsaac, M. S. (1996). Distance Education. In D. H. Jonassen (Ed.). Handbook of
research for educational communications and technology: a project of the Association for Educational
communications and Technology. 403 437. New York: Simon & Schuster Macmillan. Disponible en la
pgina web http://seamonkey.ed.asu.edu/~mcisaac/dechapter
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Introduccin
vii
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Captulo I. Antecedentes
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Enfrentar un fenmeno didctico inmerso en un escenario a distancia fue encarar un campo
novedoso en diversos aspectos, desde su estructura hasta su administracin. Aspectos
intrnsecos a la actividad educativa tambin cambian, por ejemplo, aunque el uso de
tecnologa en el aula tradicional no es ajeno a nuestra prctica o investigacin y
actualmente podemos observar en el aula de matemticas a los alumnos desarrollando
ciertos conocimientos con el uso de herramientas como la calculadora graficadora,
sensores de movimiento, computadoras, entre otras, no ha dejado de ser la institucin y/o
el profesor quienes deciden en qu momento incorporarla. Esta actitud cambia en un
ambiente a distancia, aqu es indispensable que el alumno tenga contacto con diversas
tecnologas debido a que es un componente de la estructura acadmica misma.
Nuestro foco de inters fue entender ciertos comportamientos, al seno del sistema
educativo a distancia, que dieran luz del aprendizaje del alumno. Para tal efecto hubo que
mirar al sistema didctico, constituido por el profesor, el alumno y el saber en juego, desde
una perspectiva sistmica que permita explicar cmo las interacciones del sistema
muestran la evolucin de los conocimientos.
El mecanismo para analizar los fenmenos didcticos que giran alrededor del sistema
profesor-alumno-saber no es simple, sobre todo partiendo de la idea de que ensear no es
transmitir un conocimiento a travs del discurso y aprender no significa ser el receptor de
dicho discurso. Una aproximacin terica que nos permite abordar esta problemtica en el
campo de la matemtica educativa es la Teora de Situaciones Didcticas, desarrollada por
Guy Brousseau en Francia desde los aos 70s. Para efectos de este captulo haremos una
breve explicacin de esta aproximacin como primera parte, resaltando los elementos
funcionales para este trabajo de investigacin. Sin embargo, dada la aproximacin en la
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Captulo I. Antecedentes
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que nace el presente trabajo hablaremos de la educacin a distancia en una segunda parte,
resaltando la extensin que se hace a la teora de situaciones didcticas.
Esta teora pone su foco de atencin en los dispositivos didcticos que tienen como
finalidad que el alumno se apropie de cierto conocimiento matemtico. Tal y como
Brousseau (2000) seala,
...son los comportamientos de los alumnos los que revelan el funcionamiento del medio,
como un sistema. La caja negra es, entonces, el medio.
Pero para poder elaborar dichos dispositivos, u organizar el medio donde se desarrolla la
actividad didctica, se deben determinar las condiciones en que se produce la apropiacin
del saber por parte de los alumnos y la naturaleza y origen de los conceptos matemticos en
juego.
Brousseau parte de las ideas piagetianas que sealan que la adquisicin de conocimientos
en el ser humano es producto de un proceso de autorregulacin llamado equilibrio,
partiendo de las acciones del sujeto sobre un objeto. El equilibrio se alcanza coordinando el
proceso de asimilacin con el proceso de acomodacin. La asimilacin tiende a someter el
medio al organismo, mientras que la acomodacin somete al organismo a las restricciones
del medio.
A diferencia de Piaget, Brousseau describe la adquisicin de conocimientos matemticos
especficos que viven en un ambiente escolarizado. Esto presupone la introduccin de un
elemento de anlisis: el conocimiento matemtico en juego.
Sobre la transformacin de un objeto de saber a ensear en un objeto de enseanza
Chevallard (1991) escribe:
Teora de Situaciones Didcticas
P R I M E R A P A R T E
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Captulo I. Antecedentes
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Todo proyecto social de enseanza y de aprendizaje se constituye
dialcticamente con la identificacin y la designacin de contenidos de saberes
como contenidos a ensear.
Los contenidos de saberes designados como aquellos a ensear
(explcitamente: en los programas; implcitamente: por la tradicin, evolutiva,
de la interpretacin de los programas), en general preexisten al movimiento
que los designa como tales. Sin embargo, algunas veces (y por lo menos ms a
menudo de lo que se podra creer) son verdaderas creaciones didcticas,
suscitadas por las necesidades de la enseanza.
Un contenido de saber que ha sido designado como saber a ensear, sufre a
partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a
hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseanza. El
trabajo que transforma un objeto del saber a ensear en un objeto de
enseanza, es denominado la transposicin didctica.
Brousseau pretende que las secuencias didcticas, con objetos de enseanza especficos,
provoquen en el alumno una gnesis artificial de los conceptos. Para provocar tal efecto es
necesario conocer la gnesis real, a fin de que los saberes adquieran nuevos significados o
recuperen sus significantes iniciales, desde la visin en la cual se les adopta como entes
culturalmente aceptados. Esto es, estudiar la naturaleza epistemolgica de los saberes en
juego.
La idea bsica de Brousseau es que el proceso para adquirir un conocimiento matemtico
consiste de diversas facetas y se basa en juegos especficos, donde el actor interacta con
un ambiente a distintos niveles, evolucionando sus nociones y su lenguaje. La interaccin
de un actor con su medio se da a tres niveles (ver Fig. 1)
Fig. 1 Interacciones del Alumno con su
Medio
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Captulo I. Antecedentes
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En la interaccin del tipo de acc in el actor fija un estado del medio o determina o limita
las acciones de otros actores. La interaccin del tipo de c o m u n i c ac i n consiste en
modificar los conocimientos de otro actor por medio de mensajes portadores de
informacin, y por ltimo, la interaccin del tipo de p r u e b a tiende a la justificacin o
validacin cultural de los actos o declaraciones establecidas explcita o implcitamente.
Estas interacciones no pueden ocurrir de manera simultnea, de hecho ocurren en
situaciones con caractersticas propias y donde el actor juega papeles distintos, utiliza
diversas herramientas y produce distintos mecanismos de comunicacin.
En situacin de aprendizaje de un conocimiento matemtico especfico, el alumno debe
lograr estas interacciones con un medio organizado por el profesor, debe ser capaz de
actuar, hablar, pensar y evolucionar por motivacin propia. Sin embargo, aun cuando el
alumno sepa que la situacin problema que se le presenta tiene como objetivo adquirir un
conocimiento nuevo, el profesor debe abstenerse de intervenir o sugerir el conocimiento
que desea adquiera el alumno. Si pensamos a la Matemtica como el producto de juegos
especficos con dimensiones de accin, informacin y veracidad, compuesta de un sistema
simblico que, dependiendo del contexto social y personal donde se use, juega un papel
instrumental y a su vez tiene una funcin de comunicacin, debemos provocar
interacciones del alumno con el medio como una gnesis artificial del conocimiento
matemtico objetivo. Las situaciones donde tienen cabida estas interacciones reciben el
nombre de s i t u a c i o n e s a d i d c t i c a s y las hay de tres tipos:
Situacin Adidctica de Accin. El alumno acta sobre un problema,
juzga el resultado de sus acciones y las ajusta sin la intervencin del profesor,
solamente se vale de la retroalimentacin que obtiene del medio. A este nivel el
alumno es capaz de tener m o d e l os i m p l c i t o s , no racionalizados, construidos de
nociones pro toma tem t i cas , es decir, nociones cuyas propiedades son utilizadas en
la misma prctica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la nocin misma
no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera como instrumento til para el
estudio de otros objetos.
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Captulo I. Antecedentes
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Situacin Adidctica de Formulacin. El alumno comunica las formulaciones
resultado de las acciones realizadas sobre el medio. Al intercambiar mensajes con uno o
ms alumnos se crea un m o d e l o e x p l c i t o formulado con la ayuda de smbolos y
reglas conocidas en lenguaje matemtico, segn las posibilidades de los interlocutores.
En este modelo se pueden encontrar nociones p a r a m a t e m t i c a s , nociones que
sirven para describir objetos matemticos, pero que no se les considera como tal en la
cultura matemtica.
Situacin Adidctica de Validacin. El alumno expone su m o d e l o
e x p l c i t o con el objetivo de probar su exactitud y pertinencia. Es decir, deben usarse
nociones m a t e m t i ca s , objetos de conocimiento, susceptibles de ser enseados y
utilizados en aplicaciones prcticas
Como ya se mencion, en un principio Brousseau acept la idea piagetiana de que la
construccin de conocimiento se lleva a cabo mediante una adaptacin personal (hecha de
asimilaciones y acomodaciones) al medio, sin embargo, posteriormente pens que esta idea
podra descargar de responsabilidad al profesor. Esto se modific al establecer que el
Modelos y
Nociones
Alumno
Situacin problema
Modelos y
Nociones
Alumno A
Alumno B
Modelos y
Nociones Alumno
Alumnos
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Captulo I. Antecedentes
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alumno logra la adaptacin gracias a la retroalimentacin que provocan sus acciones con el
medio y a las sanciones que este le impone. Lo anterior solamente se puede lograr si el
profesor organiza el medio en forma de situaciones adidcticas con la intencin didctica
de adaptacin. Entonces, podemos decir que si el alumno se ha adaptado al conjunto de
situaciones adidcticas, que proporcionen una realizacin o representacin explcita de un
conocimiento matemtico especfico tal como es utilizado explcitamente por una
institucin, ha aprend ido el conocimiento objetivo. Pero a este nivel el alumno no
reconoce el conocimiento que ha adquirido. Es decir, en estos momentos el alumno ha
desarrollado la llamada gnesis artificial de dicho conocimiento; ha jugado el papel de
aquel que descubre un nuevo conocimiento a travs de intervenciones, pruebas,
formulaciones, construccin de modelos, lenguajes, conceptos, teoras, su interaccin con
otros, reconocimiento de la veracidad de sus conjeturas y razonamientos, etc., esto es a
travs de una actividad matemtica en un amplio sentido de la palabra. Posterior a esta
actividad, el alumno debe identificar el nuevo conocimiento como un objeto matemtico
cuya funcionalidad es independiente del contexto que le dio origen. El profesor interviene
en una situacin cuyo fin es que el conjunto de alumnos asuma la significacin
socialmente establecida de un saber que ha sido construido por ellos en situaciones de
accin, de formulacin y de validacin. Esta situacin destinada a establecer convenciones
sociales recibe el nombre de Situacin Didctica de Institucionalizacin.
Resumiendo, una situacin adidctica especfica de un conocimiento matemtico especfico
es una situacin, tal que, por s misma, sin apelar a razones didcticas y en ausencia de
toda indicacin intencional, permita o provoque un cambio de estrategia en el jugador. Este
cambio debe ser (relativamente) estable en el tiempo y estable respecto de las variables de
la situacin. La forma de provocar este cambio suele provenir de ciertas caractersticas de
la situacin adidctica que hace que fracasen las estrategias espontneas. Esta situacin
adidctica es parte de una situacin ms amplia que Brousseau llama situacin didctica.
sta comprende las relaciones establecidas explcita o implcitamente entre los alumnos, un
cierto medio (que incluye instrumentos y objetos) y el profesor, con el objetivo de que los
alumnos aprendan el conocimiento matemtico objetivo (Chevalard, 1998)
Sin embargo, es importante sealar que la presencia de un contexto escolar no es esencial
en la definicin de una situacin didctica, lo que s es esencial es su carcter intencional, el
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Captulo I. Antecedentes
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haber sido construida con el propsito explcito de que alguien aprenda algo (Galvez,
1983).
La Teora de Situaciones Didcticas se apoya en la tesis de que el sujeto necesita construir
por s mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar al que realizaron
los productores originales de los conocimientos que se quiere ensear. Se trata entonces de
producir una gnesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos aprendan haciendo
funcionar el saber o mas bien, de que el saber aparezca para el alumno como un medio de
seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolucin del
problema planteado por la situacin didctica.
La teora parte de un modelo con dos principios bsicos, que de cierta forma se han ido
esbozando en el texto:
Saber matemticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer
la ocasin de utilizarlos y de aplicarlos, es ocuparse de problemas en un sentido
amplio que incluye encontrar buenas preguntas tanto como encontrar soluciones. Una
buena reproduccin, por parte del alumno, de la actividad matemtica exige que ste
intervenga en la actividad matemtica, lo cual significa que formule enunciados y
pruebe proposiciones, que construya modelos, conceptos y teoras, que los ponga a
prueba e intercambie con otros, que reconozca los que estn conformes con la cultura
matemtica y que tome los que le son tiles para continuar su actividad.
Ensear un conocimiento matemtico concreto es, en una primera aproximacin,
hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad
matemtica en el sentido anterior. El profesor debe imaginar y proponer a los alumnos
situaciones matemticas que ellos puedan vivir, que provoquen la emergencia de
genuinos problemas matemticos y en las cuales el conocimiento en cuestin aparezca
como una solucin ptima a dichos problemas, con la condicin adicional de que dicho
conocimiento sea construible por los alumnos.
Saber matemticas y ensear un conocimiento matemtico concreto son fenmenos que
giran alrededor de lo que Chevallard (1991) ha llamado s i s t e m a d i d c t i c o (Fig. 2), un
tringulo cuyas interacciones se deben mirar de forma sistmica para explicar los
acontecimientos que se producen en el proceso de enseanza y aprendizaje.
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Captulo I. Antecedentes
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Ya se han abordado la relacin profesor saber, tomando en cuenta los procesos de
adquisicin del conocimiento por parte del alumno, y la relacin alumno saber, tomando
en cuenta la organizacin del medio por parte del profesor. Una ltima relacin por
abordar el la del profesor alumno respecto del saber a ensear, que es el problema
esencial que perseguimos en este trabajo de investigacin. Esta relacin consiste de un
conjunto de clusulas que evolucionan a medida que el proceso didctico avanza y que
constituyen una especie de contrato denominado el cont ra to d idc t i co . Esta categora
ser el eje principal en esta investigacin, por lo que le dedicaremos un captulo completo a
su anlisis.
La Teora de Situaciones Didcticas fue concebida para el campo particular de la didctica
de la matemtica elemental, hoy se trabaja en los ajustes que habra que hacer para su
extensin hacia otros dominios del conocimiento y a diferentes niveles de escolaridad.
Aunque cabe decir, que no se han desarrollado suficientes experiencias en la matemtica
universitaria como para tener una evidencia completa de cmo se adaptan las categoras de
la teora de situaciones al funcionamiento escolar, si existen algunos intentos prometedores
como los que se reportan en (Alans 1996, Aguilar, etal. 1997, Farfn 1997). Con esta
teora de situaciones, se estudian y modelan fenmenos didcticos que se presentan cuando
un profesor se propone ensear una nocin, un teorema o un procedimiento a sus
estudiantes. En este intento, y como ya mencionamos, las palabras ensear, aprender,
pensar, entender, saber y conocer adquieren diversos significados. Es as que dada la
novedad de la educacin a distancia en general, y en el nivel universitario en particular, el
estudio de los fenmenos ligados a la enseanza de la matemtica en escenarios virtuales
sea aun mas incipiente.
Saber a ensear
Profesor Alumno
Fig. 2 Sistema Didctico
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Captulo I. Antecedentes
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As pues, la teora de situaciones permite disear y explorar un conjunto de secuencias de
clase concebidas por el profesor con el fin de disponer de un medio para realizar un cierto
proyecto de aprendizaje. En este captulo nos introducimos en estos temas y buscamos
enlazarlos con la educacin a distancia.
Este trabajo es un intento por extender la teora de situaciones, desde la perspectiva terica
en la que nace el proyecto, la socioepistemologa. La socioepistemologa es una
aproximacin sistmica que permite tratar en forma articulada con las cuatro componentes
fundamentales de la construccin social del conocimiento, a saber, su naturaleza
epistemolgica, su dimensin sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de
transmisin va la enseanza (Cantoral, 2001).
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Captulo I. Antecedentes
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En nuestra opinin, hacer investigacin presupone conocer el campo de accin, conocer las
investigaciones hechas alrededor del fenmeno elegido para nuestro estudio, a fin de hacer
un uso adecuado de sus datos y resultados.
Consideramos que con este trabajo se abre una lnea de investigacin en Educacin a
Distancia centrada en la matemtica, por lo que una tarea necesaria ser la de realizar un
estado del arte que nos permita conocer el nacimiento, desarrollo, avances y resultados de
esta disciplina en el marco del aprendizaje de las matemticas.
La educacin a distancia no es una prctica nueva. Aunque, la revolucin tecnolgica que
vivimos hoy en da ha puesto en boga los programas a distancia. Ante la velocidad
desenfrenada que lleva este avance, la sociedad en general se ha preocupado por las
repercusiones que este fenmeno pueda tener, por ello la difusin de sus mecanismos de
accin es cada vez mayor.
Desafortunadamente aun son escasas las revistas y congresos especializados en el tema, es
decir, revistas de inters cientfico que vean a la educacin a distancia como una lnea
propia de investigacin, y en ese sentido se le perciba como una modalidad educativa que
necesita de investigacin sistemtica.
Nuestra fuente principal de informacin fue la WWW (World Wide Web). Ella nos llev a
las revistas especializadas de pases como EUA, Reino Unido, Canad y Australia. En ellas
encontramos diversas aproximaciones para analizar y describir los fenmenos propios de la
educacin a distancia, pero en su mayora reflejan una clara influencia de la tecnologa de
cada tiempo. A lo largo de la elaboracin de este estado del arte fue clara la falta de
Educacin a Distancia
S E G U N D A P A R T E
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Captulo I. Antecedentes
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investigacin que fundamente acciones tales como diseo, elaboracin de materiales,
construccin de plataformas de trabajo, uso de tecnologa, entre otras.
La Educacin a Distancia
Para la Asociacin de Aprendizaje a Distancia de los Estados Unidos (USDLA, por sus
iniciales en ingls) el aprendizaje a distancia es la adquisicin de conocimiento y de
habilidades a travs de medios de informacin e instruccin, utilizando la tecnologa
apropiada. La educacin a distancia sera entonces el proceso que involucra ese
aprendizaje y la instruccin que lo permita. La modalidad a distancia se ha desarrollado
gracias a las prcticas educativas que han buscado la masificacin a travs del uso de las
tecnologas creadas en todos los tiempos, desde la imprenta, la televisin, la radio y ahora
la tecnologa interactiva de comunicacin. Es con la prctica y el uso de esta tecnologa
que surge la necesidad de encontrar elementos tericos que sustenten los fenmenos de
enseanza y aprendizaje propios de la educacin a distancia. As, surgen distintas
aproximaciones que estudian a detalle ciertas caractersticas distintivas de la educacin a
distancia, como lo son la separacin fsica entre instructor y estudiante o el uso
indispensable de la tecnologa. Estas prcticas han abordado distintas y variadas reas del
conocimiento humano, las hay desde programas de televisin para la educacin de adultos,
hasta prestigiados programas cientficos de posgrado a travs de diversas tecnologas
interactivas.
Sin embargo, consideramos que la investigacin en educacin a distancia no ha avanzado
al acelerado paso que caracteriza su prctica y ha dependido en gran medida de los avances
tecnolgicos que se han dado a lo largo de su historia. Principalmente se ha desarrollado en
dos vertientes, la investigacin terica y la investigacin descriptiva. Ambas han sido
significativas en la formacin de la educacin a distancia como campo especfico de
investigacin; una va de la mano con la otra. Sin embargo, es evidente la ausencia de
argumentos tericos que describan el fenmeno de la educacin a distancia en el marco de
la prctica educativa, es decir, ha pesado mas el carcter innovador de la tecnologa y los
fenmenos que giran en torno de ella que los anlisis propiamente didcticos.
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Captulo I. Antecedentes
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La investigacin terica se ha inclinado hacia los estudios que analizan impactos
psicolgicos y sociales que provoca la distancia y el uso de tecnologa, as como hacia el
estudio de las relaciones que se desarrollan entre los participantes de un curso. Estas
investigaciones han logrado resaltar algunos elementos y fenmenos propios de la
educacin a distancia (Doolittle y Scheer, 2000; Moore, 1990, 1991, 1993)
Por otra parte la investigacin descriptiva centra su atencin en lo referente al diseo
instruccional, es decir, anlisis, diseo, implementacin, evaluacin y costo de proyectos a
distancia, donde un eje principal ha sido el uso de tecnologa y la tecnologa misma. Estos
estudios dejan ver un ciclo de desarrollo instruccional (Fig. 3), capaz de proporcionar una
infraestructura y un proceso de planeacin sistemtica para el desarrollo y adaptacin de
sus programas basados en las necesidades del alumno y los requerimientos del contenido
(Distance Education at a glance)
En la etapa de Diseo se deben determinar las necesidades intruccionales, analizar las
caractersticas personales, culturales y educativas de la audiencia, y establecer las metas y
objetivos del diseo instruccional basados en las necesidades y caractersticas del
estudiante.
En la fase de Desarrollo se plantea un perfil del contenido temtico, una revisin de los
materiales, que no pueden ser una simple transposicin de los usados en la clase presencial,
se organiza y desarrolla el contenido contextualizndolo a las necesidades del alumno y se
seleccionan los materiales y mtodos de instruccin.
Fig. 3 Ciclo de desarrollo Instruccional
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Captulo I. Antecedentes
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La Evaluacin tiene como finalidad revisar si los materiales y mtodos cumplen con las
metas y objetivos, desarrollar estrategias de evaluacin formativa, cualitativa o cuantitativa
y recolectar y analizar datos de dicha evaluacin.
Por ltimo, como resultado de la evaluacin se hace una Revisin cuyo objetivo es la
reestructuracin del diseo.
Si analizamos cuidadosamente el proceso descrito, este ciclo puede utilizarse para
cualquier prctica educativa en cualquier escenario, sin embargo, es importante que en
cada diseo se resalte lo propio de cada uno. Esto es, para el caso de la educacin a
distancia se deben predecir los fenmenos distintivos de este escenario.
Pero la educacin a distancia no ha sido la misma en todos los tiempos, los avances
tecnolgicos han marcado fuertes cambios en su desarrollo y en su repercusin en el
sistema educativo.
Sin embargo, es importante sealar que tanto la investigacin, terica y descriptiva, como
la prctica en la modalidad a distancia, han centrado su atencin en elementos, tales como
la interaccin y la retroalimentacin, que dejan ver la preocupacin en el estudiante y su
aprendizaje; paradigma que no siempre se utiliz en la investigacin educativa en general.
Lo que con esto tratamos de decir, es que dada la naturaleza de la educacin a distancia,
los mecanismos de investigacin y/o preparacin acadmica pueden diferir de otras
prcticas educativas, por lo que no habra que comparar unas con otras.
Para observar y entender la evolucin que ha tenido la investigacin en educacin a
distancia es necesario conocer su desarrollo histrico, un poco de sus xitos y fracasos, as
como su dependencia de la tecnologa.
Historia
La implementacin de la educacin a distancia en el mundo ha variado dependiendo de las
necesidades culturales y econmicas de cada pas. China por ejemplo, implementa
programas a distancia para ofrecer opciones educativas a su gran poblacin. En Australia y
Nueva Zelanda la educacin a distancia se convirti en la opcin que permita abarcar
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Captulo I. Antecedentes
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grandes extensiones territoriales y cubrir a las poblaciones dispersas. Incluso, el sistema
educativo a distancia de Australia es actualmente considerado modelo para otras naciones.
En Europa, frica y Asia esta modalidad tiene ms de 100 aos operando. Llamada
tambin Universidad Abierta, comenz en 1971 en el Reino Unido y ms tarde fue
adoptada por otros pases. Estados Unidos, por ejemplo, no fue de los pioneros en la
modalidad, pero su infraestructura econmica le permiti adoptarla rpidamente, desde
mediados de los 70s se ha mantenido a la vanguardia.
Pero su devenir histrico nos muestra que los avances en telecomunicaciones han
cambiado la perspectiva de anlisis de la educacin a distancia. Pensemos cuando en 1700
la educacin a distancia, que reciba el nombre de educacin por correspondencia, tena
como objetivo hacer llegar materiales impresos a sus estudiantes, no haba tecnologa que
hiciera posible una retroalimentacin inmediata entre instructor y estudiante. Para 1900 la
radio y la televisin abren nuevas posibilidades en la educacin a distancia, la transmisin
de material a los estudiantes es ms rpida y puede haber una respuesta de los estudiantes
que refleje cierto nivel de aprendizaje. La Segunda Guerra Mundial detiene un poco el
proceso que llevaba la educacin a distancia, sin embargo, al impartir cursos
instruccionales con fines blicos a travs de estas tecnologas surge la necesidad de crear
programas de investigacin dirigidos a generar y entender teoras que expliquen cmo es
que estos medios afectan la vida del saln de clase.
Hasta ese momento la interaccin entre alumno e instructor era algo que preocupaba a la
gente involucrada en la elaboracin de cursos. Era normal comparar la educacin a
distancia con la educacin convencional (incluso hoy en da se llega a hacer esta
comparacin), as que la bsqueda por igualar la efectividad en ambas modalidades diriga
la atencin a la respuesta de los estudiantes y a la retroalimentacin que propiciaba el
instructor. Esta preocupacin va disminuyendo con las ventajas que ofrece la tecnologa en
microondas a finales de los 60s y principios de los 70s, se da una revolucin en
telecomunicaciones que incrementa la interaccin entre estudiantes e instructores. Sin
embargo, algo que quiz podra preocupar es que la investigacin no ha crecido de la
misma forma que la tecnologa, no va a su acelerado paso, y quiz cuando tengamos claro
los efectos de la tecnologa en la educacin surja de manera natural otro fenmeno
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Captulo I. Antecedentes
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educativo del cual desconozcamos su naturaleza. Pero algo que hoy es claro es que la
educacin a distancia ya es un fenmeno vivo en nuestro quehacer y por tanto se convierte
en un amplio campo de investigacin en el campo de la matemtica educativa.
Investigacin
El reconocimiento de la Educacin a Distancia como campo cientfico depende en gran
medida de sus trabajos en investigacin. Hasta hoy, la investigacin hecha da muestra de un
trabajo sistemtico que ha distinguido y analizado los elementos invariantes en las diversas
formas u opciones de esta modalidad. Tal es el caso de la Teora de la Distancia
Transaccional de Moore (1990, 1991). Moore evoluciona de una teora de aprendizaje
individual, cuando la educacin por correspondencia, hasta una teora basada en el dilogo,
estructura y autonoma del estudiante como elementos constitutivos de todas las prcticas
de enseanza y aprendizaje a distancia.
Sin embargo, para fortalecer y forjar un futuro promisorio en el campo la de investigacin
es necesario organizar o reorganizar los recursos educativos a fin de construir un sistema
global (Moore, 1993), o dicho en otras palabras, pensar en el sistema de educacin a
distancia como una red de medios de comunicacin, administradores, diseadores,
instructores, estudiantes, contenidos temticos, etc.; establecida sobre una estructura terica
firme y bien fundamentada. Esto podra traducirse en un conjunto interdisciplinario que
trabaje con el fin nico de ofrecer a travs de la educacin a distancia una opcin educativa
factible y ptima.
La educacin a distancia encuentra hoy en los medios tecnolgicos de informacin su
forma mas interactiva de masificacin con los cursos en lnea por ejemplo-, pero quiz lo
mas importante es que se ha convertido en el medio ideal para la publicacin de sus
investigaciones y sus avances, ya que la comunicacin de ideas y resultados constituye una
fase cientfica por dems importante.
Cabe sealar que estos estudios hacen uso de metodologas cualitativas y cuantitativas,
tomando en consideracin variables importantes en el proceso de enseanza y aprendizaje
como lo es la comunicacin en sus distintas formas.
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Captulo I. Antecedentes
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Teora de la Distancia Transaccional
Esta teora es muy caracterstica de los trabajos de investigacin terica que se han dado
hasta hoy, aquellos que giran en torno a la explicacin de fenmenos novedosos en esta
modalidad, fenmenos que podran darse en cualquier proyecto o rea de estudio. Adems,
quiz por conjuntar elementos importantes en cualquier prctica educativa esta teora es la
mas utilizada como marco terico en los estudios descriptivos de la disciplina.
Al hablar de distancia, la Teora de Distancia Transaccional se refiere a algo ms que una
simple separacin fsica entre instructor y estudiante. Se refiere a una distancia de
percepcin y entendimiento, en parte causada por la separacin fsica. La Teora de la
distancia Transaccional expuesta por Moore (1990, 1991, 1993) habla sobre la transaccin
llamada educacin a distancia que ocurre en un ambiente cuya caracterstica especial es la
separacin fsica entre instructor y estudiante, entendiendo transaccin como la interaccin
entre stos, el ambiente y los consecuentes comportamientos de enseanza y aprendizaje.
Con esta separacin se da un desfase de comunicacin y una brecha psicolgica, un espacio
de malentendidos potenciales entre lo que percibe el profesor y lo que percibe el estudiante.
Este espacio es lo que se define como distancia transaccional. Lo que determina la
cantidad de distancia en un programa es una funcin de dos variables, el dilogo y la
estructura (Moore, 1991).
El dilogo se da gracias a las interacciones que hay entre profesor y estudiante, cuando el
primero da instrucciones y el segundo responde. La direccin del dilogo en una relacin
educativa se da con el objeto de mejorar el entendimiento del estudiante. No se usan las
palabras dilogo e interaccin como sinnimos, el trmino dilogo se usa para describir una
interaccin o serie de interacciones con cualidades positivas, que otras interacciones pueden
no tener. La naturaleza y proporcin del dilogo se determina por la filosofa educativa del
instructor o equipo responsable del diseo del curso, por las personalidades de instructor y
estudiante, por el contenido del curso, por los factores ambientales y lo mas importante por
los medios de comunicacin.
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La estructura se conforma por los elementos en el diseo del curso que son organizados
de tal forma que ste pueda ser proporcionado a travs de diversos medios. La estructura
expresa la rigidez o la flexibilidad de los objetivos educativos del curso, de las estrategias
de enseanza y de los medios de evaluacin. Adems, refleja la capacidad del curso para
responder a necesidades individuales del estudiante. Gran estructura puede no permitir una
cantidad significativa de dilogo. La cantidad de dilogo y la flexibilidad de estructura
varan de programa a programa, ms que de un medio a otro Moore (1990).
El ltimo elemento de esta teora es la autonoma del estudiante, que se refiere a la auto-
direccin del estudio, es decir, a la toma de decisiones respecto de su propio aprendizaje y
la construccin de su propio conocimiento basado en sus experiencias. Carrison y Bayton
(1989) y Bayton (1992) han ampliado este ltimo concepto a control del estudiante,
desarrollando un modelo que lo define en trminos de independencia (la capacidad de
tomar decisiones), competencia o poder- (habilidades y destrezas) y apoyo (tanto material
como humano). Un balance dinmico entre estos tres aspectos, a travs del proceso de
comunicacin bidireccional entre instructor y estudiante, le permitirn a este ltimo
desarrollar y mantener un control sobre su proceso de aprendizaje (Moore, 1990).
De ninguna manera se debe pensar que la distancia garantiza la independencia del
estudiante.
La teora no ha dado evidencia de ser invariante en cualquier contexto (o paradigma) de
educacin a distancia. Esto es, Moore comienza con una teora de aprendizaje
independiente dado el fenmeno de educacin por correspondencia, conforme la tecnologa
muestra grandes avances la teora cambia sus objetivos de estudio tomando como foco
central la interaccin que se da entre el estudiante e instructor y todo lo que influye en esta.
Pero la educacin a distancia se da en medios operativos muy cambiantes, esto es, no es lo
mismo un curso a distancia a travs de una videoconferencia que un curso a travs de la
www, por ejemplo.
Puede ser que la aportacin ms importante de Moore con esta teora sea el hecho de
romper con la idea de la distancia fsica, estableciendo que no es sta la que causa desfases
en el proceso de enseanza y aprendizaje, sino que hoy la distancia es una separacin de
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Captulo I. Antecedentes
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comunicacin entre los involucrados en cualquier practica educativa, en cualquier
escenario.
Un Elemento Clave: La Interaccin
El profesor, el estudiante, el objeto de conocimiento y los objetivos de enseanza, son los
elementos de cualquier prctica educativa, pero es la interaccin entre ellos la que
determina dicha prctica. La interaccin es entonces el elemento intrnseco de la
efectividad de cualquier ambiente educativo, en la educacin a distancia es el componente
nuclear de toda estrategia instruccional. En un ambiente a distancia se identifican cuatro
tipos de interaccin (Gunawardena, C. N. & McIsaac, M. S. (1996)) Fig. 4-
La interaccin estudiante-profesor provee retroalimentacin, motivacin y dilogo, en la
interaccin estudiantecontenido se obtiene la informacin intelectual del material,
mientras que en la interaccin estudianteestudiante se da un intercambio de ideas e
informacin, y por ltimo, la interaccin estudianteinterfase es el manejo del medio
tecnolgico por parte del estudiante.
El nfasis puesto en la interaccin puede compararse con el nfasis que hoy en da se le da
a la comunicacin en el saln de clase. Sin embargo, el anlisis de las distintas
interacciones que se llevan a cabo en la modalidad educativa a distancia refuerza la idea de
los estudios sistemticos que observan elementos constitutivos de forma aislada.
Pero al hablar de educacin a distancia, no slo la interactividad resalta como elemento
importante, tambin la autonoma del estudiante toma un papel de suma importancia al
Fig. 4 Interacciones en un ambiente de educacin a distancia
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Captulo I. Antecedentes
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caracterizar esta modalidad. Como ya se mencion en la Teora de la Distancia
Transaccional, el hecho de que exista una distancia entre instructor y alumno no asegura
independencia de este ltimo respecto de su aprendizaje. Esto pudiera pensarse por la falta
de control total sobre las acciones del alumno. Entonces, debe tomarse en cuenta esta
variable para que el diseo sea tal que controle el aprendizaje cuando el alumno se ocupe de
sus actividades.
Sin embargo, el foco de atencin est puesto en la responsabilidad que adquiere el alumno.
Responsabilizarse de su aprendizaje constituye un elemento clave para que el alumno se
desenvuelva exitosamente en los ambientes a distancia. Pero en la literatura se describe esta
responsabilidad como una especie de actitud ante la modalidad, no como una
responsabilidad que provoque el diseo didctico.
La importancia que se le da a la responsabilidad del estudiante ha llevado a diversos
tericos a pensar en investigacin y diseos basados en el paradigma constructivista.
Aunque quiz el obstculo ms grande para este paradigma sea la estructura misma de la
educacin a distancia. Un sistema educativo a distancia bien estructurado requiere de
especialistas en tecnologa, diseadores educativos, expertos en los contenidos escolares,
auxiliares de apoyo para estudiantes y profesores, entre otros. Esta modalidad presupone
una red de recursos humanos y materiales que requieren de mucha interaccin y
retroalimentacin. La actividad provocar que el alumno se adapte a este ambiente y con el
diseo del programa el alumno se responsabilizar de su aprendizaje.
Algo que es claro en este anlisis de los trabajos realizados en la educacin a distancia es el
proceso de evolucin de una disciplina, que conforme identifica elementos propios y
comunes con otras prcticas educativas define una lnea de investigacin que puede formar
un fundamento terico en su quehacer educativo. Es claro que en el camino de la ciencia
siempre habr escepticismo, correcciones, pruebas y nuevos retos. Ante esto solo tenemos
el camino de la investigacin, camino que la educacin a distancia recorre a paso acelerado.
La investigacin, como hasta ahora se ha hecho, no avanza ni avanzar a la velocidad de la
prctica educativa, no es posible que la investigacin, como la prctica, cambie conforme la
tecnologa avanza, simplemente porque la tecnologa est orientada a la innovacin en la
prctica. En nuestro caso, por ejemplo, investigamos sobre resultados de los procesos
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Captulo I. Antecedentes
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educativos, y estos son afectados por la introduccin de elementos tecnolgicos
innovadores.
De aqu que el presente trabajo de investigacin pretende hacer un anlisis de un momento
en la prctica educativa en un ambiente a distancia. No propiamente una investigacin de la
educacin a distancia, sino un anlisis de los elementos constitutivos de la prctica
educativa, cuyo fin es entrar en el proceso de enseanza y aprendizaje, en un escenario
especfico.
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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En el captulo anterior se esboz la dinmica propia de la Teora de Situaciones Didcticas,
donde se busca que el alumno se adapte a un medio a travs de diversas interacciones a fin
de adquirir cierto conocimiento matemtico. Sin embargo, las interacciones denominadas
de accin, formulacin y validacin no surgen, como sabemos, de forma automtica, sino
por el contrario estn dirigidas por la intencionalidad de los diseos didcticos y por las
intervenciones del profesor. Es decir, el profesor no desaparece de escena al momento que
el estudiante se encuentre en fase de aprendizaje, es ms bien una especie de actor pasivo,
en el sentido de no sacar a la luz, no develar el conocimiento en juego. Su intervencin
tiene el propsito de dirigir la situacin adidctica y responsabilizar al alumno de sus
acciones. Este momento, que se denomina devolucin de la situacin adidctica por parte
del profesor en la teora de situaciones, es crucial en la construccin de significados por
parte del alumno. En este captulo habremos de profundizar, en una primera parte, sobre la
categora de contrato didctico como parte central de la teora de situaciones didcticas.
En una segunda parte caracterizaremos al conocimiento matemtico en juego, elemento del
sistema didctico que analizaremos con cuidado al momento de estudiar el escenario virtual
de enseanza.
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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Hemos elegido la nocin de contrato didctico como eje principal del presente trabajo de
investigacin, por lo que dedicamos todo este captulo a dar una caracterizacin detallada
de este concepto, para ello haremos una revisin desde diversas perspectivas tericas o en
diferentes momentos de su evolucin histrica.
Nuestra postura, al pretender describir un escenario educativo diferente al sistema de
enseanza presencial, no habr de detenerse en tecnicismos, pues debe dar razn de los
comportamientos e interacciones que surgen entre los actores principales, permitiendo
conocer al ambiente en el que se desarrollan, pues tenemos la pretencin de intervenir sobre
l, buscar mejorar su funcionamiento con fines de aprendizaje. Es decir, esta postura terica
asume que no existen diseos didcticos universales aplicables a cualquier contenido.
En nuestra opinin, es el contrato didctico la nocin que nos ha permitido analizar el
funcionamiento de la unidad mnima de estudio, o unidad bsica, de la didctica de la
matemtica, es decir, el sistema formado por el tringulo didctico: el saber a ensear, el
alumno y el profesor. En tanto que es una nocin que an no se usa cotidianamente en los
distintos trabajos de la matemtica educativa, nos dimos a la tarea de localizar en la
literatura contempornea como es que se percibe al contrato bajo diversas perspectivas
tericas. De algn modo hemos querido mirar ms de cerca, cmo es que se usa la nocin
de contrato didctico para el anlisis de fenmenos ligados al aprendizaje en matemticas.
El punto de partida es pues, el contrato didctico, y lo haremos siguiendo la perspectiva
clsica, aquella de su creador, Guy Brousseau. Esto nos dio luz de los porques de su
creacin y sobre su importancia en la explicacin de los fenmenos didcticos.
El Contrato Didctico
P R I M E R A P A R T E
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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El Contrato Didctico de Guy Brousseau Explicar los conflictos de aprendizaje del alumno en la clase de matemticas puede abrir un
debate social de gran divergencia. Sin embargo, hemos de explicarlo slo a partir de
aquello que se puede controlar, de las actividades, e incluso actitudes, de quienes participan
en la actividad didctica.
Brousseau acu el concepto de contrato didctico para poder explicar un fenmeno
bastante recurrente en las aulas escolares: porque un alumno que sea considerado exitoso en
las dems asignaturas, pueda tener conflictos de aprendizaje exclusivamente en su clase de
matemticas. A pesar de que tal paradoja se presenta frecuentemente, no ha sido fcil
explicar su ocurrencia, de ah que la nocin de contrato vino a ser un instrumento terico
importante para dar cuenta de tales hechos. Este concepto, aunque fcil de definir, se
encuentra inmerso explcita e implcitamente en muchos momentos, y ello dificulta su
localizacin.
Brousseau inicia describiendo el proceso que conlleva la construccin de un concepto
matemtico y de su transposicin al aula, a travs de los papeles que juegan el matemtico,
el profesor y el alumno. El conocimiento matemtico, dice el autor, nace en un contexto
especfico, en un momento como problemtica de un individuo particular. Sin embargo,
para que la comunidad cientfica evale dicho conocimiento debe cumplir condiciones de
universalidad, de ah que el matemtico deba descontextualizar, despersonalizar y
destemporalizar su aportacin a fin de presentarlo como un concepto compartible.
Una vez que dicho conocimiento sea culturalmente aceptado por la comunidad cientfica,
sufrir tambin una serie de cambios a fin de que llegue al mbito didctico (transposicin
didctica), pero su carcter universal permanece invariante. Es el profesor quien se encarga
de recontextualizar, repersonalizar y retemporalizar ese conocimiento a fin de presentarlo
a los alumnos con un significado que permita su aceptacin prctica. Entonces, el papel del
estudiante bajo este esquema, ser el de redescontextualizar, redespersonalizar y
redestemporalizar dicho conocimiento con el objetivo de ser capaz de identificarlo en
cualquier otro momento que la prctica le requiera, es decir, que lo identifique como un
conocimiento culturalmente aceptado y universalmente capaz de actuar independientemente
de las condiciones que le dieron origen.
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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Esta descripcin de los papeles que desempean alumno y profesor, en el marco de la teora
dejan ver a la actividad del profesor representada en tres niveles, organizacin, devolucin
e institucionalizacin, y la actividad del alumno en los niveles de accin, formulacin y
validacin (Esquema1).
Ahora bien, como una situacin didctica tiene la intencin de que el alumno adquiera un
conocimiento especfico, y ste est impregnado con una cierta epistemologa y un cierto
significado, entonces para cada conocimiento a ensear existe un diseo didctico con
caractersticas propias en el ciclo de organizacin, devolucin e institucionalizacin y por
lo tanto, se provocan interacciones especficas de accin, formulacin y validacin.
A esta relacin del profesor con el alumno dentro de una situacin didctica, propia de un
conocimiento matemtico especfico, se le llama Contrato Didctico. Aclaremos que este
contrato no tiene clusulas escritas ni sanciones que describan su funcionalidad, slo se le
puede mirar en el momento que se presenta una ruptura del mismo. Pongamos por
ejemplo en caso cuando el alumno responde de forma distinta a como fue previsto por el
diseo y el profesor interviene con una devolucin. As, el contrato evoluciona a medida
que el proceso didctico avanza.
Claramente podemos observar cmo el contrato didctico es la piedra angular de la
actividad didctica, de l depende el funcionamiento y xito de la situacin didctica. Esta
es la razn por la cual lo hemos colocado como elemento esencial en esta investigacin,
cuando pretendemos describir la actividad didctica en un escenario distinto al ulico
presencial.
Organizacin
Devolucin
Institucionalizacin
Accin Formulacin Validacin
Profesor
Alumno
Esquema 1
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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Como dijimos anteriormente, esta interpretacin del contrato didctico estuvo centrada en
la perspectiva de Brousseau. Sin embargo, hoy se tienen, desde otras perspectivas tericas,
ampliaciones del concepto que permiten ver las interacciones alumno-profesor-saber con
otros elementos.
El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Bruno DAmore En nuestra opinin, DAmore (1999) logra una caracterizacin de la Didctica de la
Matemtica contrastando diversas aportaciones desde distintas posturas tericas, tales como
la cognoscitivista, la semitica, la sistmica, la socio-histrica, entre otras. Uno de sus
anlisis ms profundos gira en torno de la teora de situaciones didcticas, y a propsito de
analizar la naturaleza y desarrollo del sistema didctico hace nfasis en el estudio del
contrato didctico.
No es complicado definir al contrato didctico como el conjunto de clusulas implcitas y
explcitas que regulan los comportamientos del profesor y el alumno con relacin al saber
matemtico a ensear. DAmore muestra, a travs de una serie de ejemplos, la naturaleza
implcita del concepto, y lo clasifica en tres casos:
1. La concepcin escolar: El alumno ajusta su comportamiento con base en aquello
que espera le sea evaluado. Nadie le dice lo que habr de hacer explcitamente, slo
tiene que escribir lo que el profesor le transmite porque el alumno espera que eso le
sea preguntado en alguna evaluacin posterior, sin embargo, a pesar de no ser
explcito, el alumno descifra el mensaje y se comporta en consecuencia.
2. La concepcin de la matemtica: El alumno tiende a responder haciendo uso de
objetos matemticos, aun cuando la pregunta no lo requiera. Aunque no se haga
explcito el uso de objetos matemticos por parte del problema o de su maestro, la
concepcin que el alumno tiene de la materia le hace tratar a la actividad operndola
con nmeros, expresiones matemticas, grficas, entre otros. El cree que la
respuesta habr de ser matemtica.
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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3. La concepcin de la modalidad escolar: Aunque el objetivo sea la adquisicin de
un concepto matemtico, el alumno tiene el objetivo de repetir ejercicios de
naturaleza semejante, pues el descubre que la modalidad de clase se conserva a lo
largo del tiempo. Termina por aprender que la modalidad empleada por su maestro,
le indica lo que l habr de hacer.
Estos tres ejemplos no son, desde el punto de vista del autor y del nuestro propio,
especficos del contrato didctico, pues no se relacionan con el conocimiento matemtico a
ensear, pueden clasificarse como una especie de contratos ms amplios, digamos que
contratos sociales. Sin embargo, son ejemplos muy adecuados de cmo la informacin, la
interpretacin y las restricciones del medio rigen los comportamientos del alumno en
situacin de enseanza o en situacin de aprendizaje.
Como todo proceso cientfico, el paso de los aos provoca modificaciones de las nociones
con las que trabaja. El caso del contrato didctico no es excepcin. Se produce mediante
anlisis desde varias perspectivas, extensiones, restricciones, visiones ms completas o
incluso, fusin de ideas, entre otras. Por ejemplo, desde la mirada de la aproximacin
antropolgica, Sarrazy (citada en DAmore, 1999) seala que el contrato didctico es un
acto simblico, por medio del cual el nio deviene en sujeto didctico al seno de una
situacin escolar. Chevallard (citado en DAmore, 1999) por su parte, apunta que hay un
contrato de enseanza que obliga al maestro, un contrato de aprendizaje que obliga al
alumno y que el contrato didctico obliga al saber a establecer la transposicin didctica
que ha de llevarse a cabo. De tal forma que la clusula del contrato organiza las relaciones
que el alumno y el profesor establecen con el saber.
Desde esta perspectiva, debe distinguirse entonces que existen diversos contratos que
afectan la situacin escolar (Chevallard, Y., et al. 1997). En principio est aquel contrato
social donde se presenta el contrato social de enseanza y se conoce la causa del saber a
ensear, el contrato escolar donde se define la actividad, las responsabilidades, actitudes y
los derechos de los participantes del fenmeno escolar, a saber, escuela, profesor y alumno;
el contrato pedaggico donde se establecen las relaciones sociales entre profesor y alumno,
y el contrato didctico, descrito anteriormente. Pero para que exista un contrato didctico es
necesaria la existencia de los contratos pedaggico y escolar.
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Captulo II. El Contrato Didctico como variable de anlisis
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Contratos en sitio escolar
En su intento por describir desde la perspectiva antropolgica, al fenmeno que se da en la
situacin de enseanza y aprendizaje del conocimiento matemtico especfico de forma lo
ms amplia posible, se identifica a las variables que se pueden controlar y se propone el
contrato metadidctico, como una interaccin entre el pedaggico y el didctico, definido
como el conjunto de clusulas que gestionan en un campo dado toda adhesin a un
contrato para asegurar la eficacia de un contenido particular.
Desde otra perspectiva terica, el de la Ingeniera Didctica, el contrato didctico es el
medio para lograr la integracin de la accin de la enseanza al anlisis didctico. Es decir,
la ingeniera didctica necesita, en sus fases de anlisis preliminar, diseo y anlisis a
priori, experimentacin y anlisis a posteriori y validacin, la informacin sobre los
comportamientos e interacciones que provee el contrato didctico a travs de sus sucesivas
rupturas.
La aproximacin psicolgica por su parte, se enfoca en las habilidades del alumno para
decodificar la intencin del profesor al anticipar con mayor efectividad sus demandas. Se
han acentuado los procesos de adquisicin de conocimiento inter e intra - individuales
integrando el papel del sujeto en la situacin de interaccin, la naturaleza del objeto en el
cual se basa la interaccin y en contexto de interaccin.
Contrato Escolar
Contrato Pedaggico
Contrato Didctico A
P S
A Alumno
P Profesor
S Saber a ensear
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Segn nuestra opinin, las variantes que asume la nocin de contrato didctico van a
obedecer a la existencia de diferentes paradigmas y, dentro de estos, se guan por el papel
que se le confiera al conocimiento en la relacin alumno profesor. Sin embargo, as como
un saber sufre de una transposicin para ser presentado en sitio escolar, despojndolo de
ideas germinales, contextos, obstculos, entre otras caractersticas, la teora de situaciones
no muestra su camino evolutivo al presentarse a la comunidad acadmica, y es justo ese
camino lo que muestra el verdadero sentido y significado de categoras tales como el
contrato didctico.
El Contrato Didctico, desde la perspectiva de Marie-Jeanne Perrin
Glorian
Perrin Glorian (1994) hace una descripcin evolutiva de la teora de situaciones didcticas
basada en los artculos de investigacin publicados y en notas personales que Guy
Brousseau hizo durante varias dcadas. Esto le permiti ir ms all de lo que la misma
teora puede decir respecto de sus orgenes, adems de dar razn de la creacin de sus
categoras tericas, a travs de su desarrollo histrico.
Segn la autora, se marcan tres etapas de desarrollo, la primera, que describe su nacimiento,
la cual va desde los aos 60s hasta 1978, la segunda, donde se da la difusin y el uso de
sus categoras tericas, se sita entre 1978 y 1989, y la tercera viene de 1993 a la fecha y se
percibe como la integracin de la teora con otras perspectivas tericas.
A travs de una observacin constante de los fenmenos acaecidos en el aula, Brousseau se
propone determinar de manera cientfica cul puede ser la mejor enseanza de las
matemticas para todos los estudiantes de la escuela elemental. Este objetivo pronto se vio
carente de sentido si no tomaba una postura terica que le diera informacin de cmo se
adquieren los conocimientos, para ello toma como primer fundamento epistemolgico la
teora piagetiana, es decir, se ubica en el marco de un modelo de aprendizaje por
adaptacin. Al hablar de un sujeto que modifica un objeto, donde a su vez se modifique a l
mismo por los cambios del objeto, se provoc que Brousseau creara la nocin de milieu
como el medio donde acta el alumno y aprende por adaptacin. Pero este no fue su nico
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fundamento epistemolgico, adems adopta la postura que el conocimiento se construye
con base en los conocimientos antiguos, pero tambin en contra de ellos, es decir, se apoya
en la construccin del conocimiento por oposicin de Bachelard (citado en Pierrin-Glorian,
1994). En este momento, resulta importante la nocin de obstculo epistemolgico pues
trata de las dificultades intrnsecas a los conocimientos.
Cuando Brousseau identifica la falla electiva en la clase de matemticas y cmo el fracaso
matemtico en un momento se supera para producir conocimiento, se da cuenta que el
aprendizaje no slo trata con asuntos mentales, sino que se trata de la decodificacin de
lenguajes, actitudes y comportamientos entre profesor y alumno estudiando un contenido
matemtico especfico. Entonces, para dar una explicacin cientfica de las condiciones
que propician el aprendizaje se estructura la nocin de contrato didctico como aquello que
condiciona la situacin didctica, los significados del problema y los conceptos, y la
negociacin del sentido de las actividades. Sin contrato didctico lo que se tiene es,
solamente una situacin problema.
Ahora bien, el profesor debe tener el control del contrato, en el sentido de reorientar la
situacin en caso de rupturas, es decir, si los conocimientos evolucionan, las relaciones
alumno profesor evolucionan y por lo tanto el contrato evoluciona tambin, y en este
sentido las rupturas se vuelen importantes, de tal forma que lo que interesa no es la
definicin propia de contrato didctico sino su conformacin a lo largo de la situacin
didctica. Pero para que el profesor pueda intervenir desde la organizacin del medio,
provocar la devolucin y establecer la situacin de institucionalizacin debe identificar las
variables de control en la situacin de aprendizaje, lo que llev a Brousseau a crear la
fenomenotcnica como metodologa de investigacin y productora de situaciones de
enseanza, que hoy conocemos como ingeniera didctica.
Situacin Didctica
Situacin
Problema
Contrato Didctico
+
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Si atendemos cuidadosamente a nuestros sealamientos anteriores, concluiramos que la
teora de situaciones fue creando sus categoras tericas a partir de la observacin de los
fenmenos didcticos, hasta lograr modelar aquello que rodea al proceso de enseanza y
aprendizaje de un conocimiento matemtico especfico, slo a partir de aquello que se
puede controlar. Lo que hemos tratado en estos apartados es de caracterizar a la nocin de
contrato didctico con aquello que su definicin no muestra, no deja ver. Por ejemplo, la
naturaleza implcita de sus clusulas, con los ejemplos de DAmore, y la restriccin que
plantea la frase .....en relacin al conocimiento matemtico en juego, considerando la
introduccin de la naturaleza epistemolgica del conocimiento y la creacin de la nocin de
contrato a partir de explicar la falla electiva o exclusiva en la clase de matemticas.
El Contrato didctico desde la aproximacin socioepistemolgica La aproximacin socioepistemolgica a la investigacin en matemtica educativa se ocupa
especficamente del problema que plantea la constitucin del saber matemtico y de su
incorporacin al sistema escolar. Dado que el saber se ha constituido socialmente, en
mbitos no escolares, su introduccin al sistema le obliga a una serie de modificaciones que
afectan directamente su estructura y su funcionamiento; de manera que afectan tambin, las
relaciones que se establecen entre los estudiantes y su profesor. Al momento de introducir
el saber al aula se producen discursos intencionales que facilitan la comunicacin de ideas
matemticas y en consecuencia favorece la formacin de consensos. Estos discursos
reciben el nombre genrico de Discurso Matemtico Escolar (Cantoral, 1999) y son vistos
como el medio para lograr una participacin de la cultura en el mbito didctico.
El grupo de investigacin que trabaja bajo esta aproximacin se ha propuesto el rediseo
del discurso matemtico escolar de forma que enfrente los problemas socioculturales que
rodean a la actividad escolar en el campo de las matemticas. Por ejemplo, la masificacin
de los sistemas de enseanza, la traduccin de obras educativas de una cultura o de una
lengua a otra, los fenmenos de subordinacin metrpoli colonia, las prcticas de
exclusin por gnero, etnia o condicin laboral, son todos asuntos de ndole sociocultural
que habran de ser explicitados por las investigaciones de la aproximacin
socioepistemolgica. De ah, que la nocin misma de contrato didctico, junto con la
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metodologa de la ingeniera didctica en tanto productora de situaciones didcticas, sirve
como herramienta para el rediseo del discurso matemtico escolar. Sin embargo, desde la
aproximacin socioepistemolgica, las nociones matemticas que entran en juego pueden,
incluso, no ser objetos matemticos propiamente aceptados por la comunidad matemtica o
en la currcula oficial, sino nociones que viven en ambientes alternativos como los que
provee la propia ingeniera, la artesana, el comercio, diversas prcticas sociales o cultural e
incluso econmicamente importantes, ya que la matemtica tambin vive y evoluciona
fuera del aula de matemticas. Lo hace en las clases de fsica, qumica, etc, y lo hace en las
prcticas cotidianas de contar y medir por citar un caso. Algunas primeras caracterizaciones
pueden encontrarse en (Cantoral, 1990, Farfn, 1993 y Cordero, 1994) relativas a las
nociones de prediccin, estabilidad, y acumulacin respectivamente. O ms recientemente
respecto de la promediacin, la argumentacin, los recursos argumentantivos ante la lectura
de textos y la resolucin de experiencias, etc. As al trabajar mediante la metodologa de la
ingeniera didctica, se asume como presupuesto terico, el marco de la teora de
situaciones didcticas, sin embargo, no podramos hablar de una situacin de
institucionalizacin si no hay un objeto matemtico en juego en el sentido clsico de la
teora. Con esto se pretende reforzar la idea de la extensin de las aproximaciones tericas
existentes, y desde nuestra perspectiva, en este trabajo pretendemos aadir a las
componentes epistemolgica, cognitiva y didctica, la componente sociocultural, a fin de
rescatar la naturaleza social de la construccin de conocimiento matemtico.
Evidentemente, bajo esta perspectiva el contrato didctico girar entorno al profesor, el
alumno y el conocimiento o nocin matemtica en juego, pero en el sentido de la
socioepistemologa y en ese sentido, se incluyen en el contrato didctico las condiciones
socioculturales que rodean a la construccin o negociacin de conocimiento.
Mediante este trabajo de investigacin estamos extendiendo dichas aportaciones tericas
hacia temas matemticos ms complejos y que pueden ser externos al saln de clase de
matemticas, al menos en la forma que aqu habrn de ser tratados. Del mismo modo,
haremos algunas extensiones al tratar con otros escenarios educativos como el que plantea
la educacin a distancia y la formacin de profesores.
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La primera parte de este captulo mostr algunos aspectos de la naturaleza de la categora
llamada contrato didctico, especficamente aquellas concernientes a develar el porqu sta
es considerada como un conjunto de reglas, implcitas en su mayora, y porqu es especfica
de un conocimiento matemtico.
Como pudimos observar, el contrato didctico existe dentro de una estructura social donde
se presentan los contratos escolar y pedaggico. Estos contratos son parte importante en las
interacciones entre profesor y estudiante, incluso se perciben con mayor facilidad, y como
ya vimos son necesarios para que exista el contrato didctico. Entonces, para describir el
contrato didctico es necesario mirar todo aquello que influye en l, la intencionalidad de
las actividades, el diseo, la epistemologa de los saberes y del profesor3, entre otros.
Ocuparemos esta seccin para describir detalladamente aquello que rodea a nuestro
fenmeno de estudio y que caracteriza a las interacciones entre los actores principales del
sistema didctico.
Las observaciones a las que haremos referencia, fueron tomadas de un Curso Especializado
del posgrado en ciencias destinado a la formacin de profesores, titulado Seminario de
Investigacin en Matemtica Educativa II, SIME II por sus siglas, el cual tuvo una
duracin de cuatro semanas intensivas, y forma parte del Programa En lnea de la
3 En la teora se entiende por epistemologa del profesor aquel funcionamiento implcito o el modelo que ha construido del conocimiento matemtico para resolver los conflictos del contrato didctico.
El saber a ensear
S E G U N D A P A R T E
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Maestra en Ciencias con especialidad en Matemtica Educativa del CICATA4-IPN.
Aunque este programa de posgrado est dirigido a profesores, a partir de este momento
designaremos como alumno al profesor participante cuyo objetivo es cursar el seminario
para construir un problema de investigacin propio, como profesor al diseador del
seminario, quien establece los objetivos y problemas de aprendizaje, y como coordinadores
a quienes lo auxilian.
Este seminario, como parte de un programa de formacin docente, tuvo el objetivo de
profundizar en algunos de los aspectos tericos y metodolgicos, a partir de ejemplos
concretos, necesarios para el desarrollo de las diversas investigaciones en el campo de la
matemtica educativa. Pues se pretenda que el participante, pudiera mirar una
investigacin en curso en una etapa en que ellos y ellas se encuentran en fase de definicin
de sus temas de investigacin.
El proyecto de investigacin que sirvi como eje del seminario fue el que se desarrolla en la
lnea de investigacin Pensamiento y Lenguaje Variacional, del cual se han derivado
importantes investigaciones que hoy tienen producciones innovadoras para el aula de
matemticas (ver Cantoral y Farfn, 2000; Dolores, 1999; Mirn, 2000; Cantoral y Ferrari,
2001)
Pensamiento y Lenguaje Variacional Entendiendo a la matemtica escolar de la educacin superior como conocimientos al
servicio de otros dominios cientficos y de otras prcticas de referencia, de donde desarrolla
su estatus de herramienta y en esa medida adquiere tambin tanto sentido como
significacin (Cantoral y Farfn, 2000). Es ah donde comienza la bsqueda por entender
los procesos de construccin del conocimiento matemtico basados en prcticas
extramatemticas, cuando las nociones y los procedimientos se orientan por el pensamiento
fsico. En esta aproximacin, se encontr que fue la idea de prediccin la que gener una
cantidad considerable de resultados matemticos y que sirvi como base de la actividad
matemtica a partir del siglo XVII. Por esa razn, se requiere entender cules son los
mecanismos funcionales que operan la relacin, considerada dialctica, entre las nociones
4 Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada
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de prediccin, propia de las ciencias fsicas y de la ingeniera, y de lo analtico, peculiar de
las matemticas (Cantoral, 2001)
Bajo este principio tuvo origen la lnea de investigacin Pensamiento y Lenguaje
Variacional, ubicada al seno del acercamiento socioepistemolgico, pues permite tratar de
la articulacin entre la investigacin y las prcticas sociales que dan vida a la matemtica
de la variacin y el cambio en los sistemas didcticos.
En esta segunda parte mostraremos a manera resumida los artculos que caracterizan con
ms claridad esta lnea de investigacin (Cantoral, y Farfn, 2000, Cantoral, 2000, Dolores,
2000, y Dolores, 1999, Cantoral y Montiel 2001, Cantoral y Ferrari, 2001) con el objetivo
de que se perciban claramente las problemticas planteadas a los alumnos del seminario en
lnea que vamos a analizar.
El Pensamiento y Lenguaje Variacional, como lnea de investigacin que articula las cuatro
componentes de la construccin social de conocimiento matemtico, precisa de procesos
temporalmente largos si pensamos en los tiempos escolares tradicionales, supone del
dominio de la matemtica bsica y de los procesos del pensamiento asociados, pero exige
simultneamente de diversas rupturas con estilos del pensamiento prevariacional, como el
caso del pensamiento algebraico. Ruptura que no puede sostenerse exclusivamente al seno
de lo educativo con base en un nuevo paradigma de rigor que se induce simplemente de la
construccin de los nmeros reales como base de la aritmetizacin del anlisis, ni tampoco
puede basarse en la idea de la aproximacin; sino que debe ayudar tambin a la
matematizacin de la prediccin de los fenmenos de cambio.
Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional se precisa, entre otras cosas del manejo
de un universo de formas grficas extenso y rico en significados por parte del que aprende.
Es decir, el conocimiento superficial de la recta y la parbola no resultan suficientes para
desarrollar las competencias desarrolladas esperadas en los cursos de anlisis (Cantoral y
Farfn, 2000)
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Objetivos institucionales y objetivos de aprendizaje en SIME II Como parte de un Programa de Posgrado, el Seminario de Investigacin en Matemtica
Educativa II tiene objetivos institucionales dentro de la formacin de los alumnos. El
seminario se plantea como un medio adecuado para trabajar a un nivel introductorio, los
posibles vnculos entre la investigacin y la realidad educativa, es decir, a la luz de una
serie de estudios de la lnea del pensamiento y lenguaje variacional, derivar implicaciones
factibles hacia los sistemas de enseanza.
Se delinearon bien los objetivos, y se hicieron del conocimiento de los alumnos utilizando
los medios tecnolgicos a su alcance.
En esta etapa de su formacin, a un ao y medio de haber comenzado el posgrado, los
alumnos deben perfilar su problema de investigacin, a fin de obtener el grado de maestro
en ciencias. La estrategia del profesor fue la de construir un diseo didctico tal que los
hiciera reconstruir el problema de investigacin al que llamaremos Problema de
Investigacin Origen. Por lo que hubo intenciones que no se dejaron ver a los alumnos,
pero se disearon actividades mediante las cuales se esperaba que fuesen los propios
Presentacin
Este seminario tiene el objetivo de profundizar en algunos de los aspectos tericos y metodolgicos, a
partir de ejemplos concretos, necesarios para el de