Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
Transcript of Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
-
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
1/33
Universitatea Politehnica din Bucuresti
CONSULTATIE
MATEMATICA 1
Alexandru NEGRESCU
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 1 / 33
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
2/33
1 Integrale curbiliniiIntegrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta a II-a
2 Integrale duble
3 Integrale triple
4 Bibliografie si recomandari
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 2 / 33
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
3/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta I
1. Calculati
Cxy ds,
undeCeste portiunea situata n primul cadran a elipsei de ecuatie
x2
a2 +
y2
b2 = 1,
cua, b >0.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 3 / 33
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
4/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta I
FieJun interval real. O aplicatie continua:J R2 se numestedrum.
DacaJ= [a, b], atunci(a)si(b)se numesccapeteledrumului. Un
drum se numeste nchisdaca(a) =(b).
Daca(t) = (x(t), y(t)), atunciecuatiile parametriceale drumuluisunt:
x= x(t),y=y(t).
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 4 / 33
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
5/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta I
Un drum:J R2
, cu(t) = (x(t), y(t)), se numeste neteddacax, ysunt de clasaC1 peJ si, pentru orice t J,(x(t))2 + (y(t))2 >0.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 5 / 33
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
6/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta I
Teorema
Fie : [a, b] R2 un drum neted si fief :D R o functie continua
astfel ncat([a, b]) D. Integrala curbilinie de speta Ia functieifde-a lungul drumuluieste
f(x, y) ds=
b
af(x(t), y(t))
(x(t))2 + (y(t))2 dt.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 6 / 33
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
7/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta I
2. Calculati lungimea arcului de cicloida, parametrizat astfel
x= a(t sin t),y=a(1 cos t),
undea este un numar pozitiv sit [0, 2].
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 7 / 33
I l bili ii I l bili ii d I
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
8/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Cicloida
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 8 / 33
I t l bili ii I t l bili ii d t I
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
9/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta I
Integrale curbilinii de speta I
Teorema
Dacaeste un drum de clasaC1 atunci lungimea sa este data de
L() =
ba
(x(t))2 + (y(t))2 dt.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 9 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
10/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
Integrale curbilinii de speta a II-a
3. Calculati
Cy
2
dx +x2
dy,
unde curbaCeste de ecuatiex2 +y2 y= 0si este orientata n senstrigonometric.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 10 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
11/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
Integrale curbilinii de speta a II-a
Consideram o multime deschisaD R2
si functiileP, Q:D R.Numim1-form a diferential aexpresia =Pdx +Q dy.
Fie : [a, b] R2 un drum neted, parametrizat astfel
(t) = (x(t), y(t)) ,
cu imaginea inclusa nD.
Integrala curbilinie de speta a II-aa 1-formei diferentialede-a lungul
drumuluieste
Pdx+ Q dy=
ba
P(x(t), y(t)) x(t) +Q (x(t), y(t)) y(t)
dt.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 11 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
12/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II a
Integrale curbilinii de speta a II-a
4. Consideram campul vectorial
V(x,y,z) =
y2 cos x, 2y sin x +e2z , 2ye2z
.
a) Aratati caVeste un camp de gradienti.
b) Aflati potentialulU(x,y,z)din care deriva campulV, stiind ca
acesta este egal cu 1 n origine.
c) Aflati circulatia campului vectorialV de-a lungul unei curbe netede
de laA(0, 1, 0)laB2 , 3, 0
.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 12 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
13/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II a
Integrale curbilinii de speta a II-a
O 1-forma diferentiala=Pdx +Q dy+R dzse numeste exact apemultimea deschisaD R3 daca exista o functieF, numitapotential,de clasaC1 peD, astfel ncatdF =, i.e.,
F
x =P,
F
y =Q,
F
z =R,
n orice punct dinD.
In acest caz, campul de vectori
V = (P,Q,R) = Fse numeste c ampde gradienti.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 13 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
14/33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II a
Integrale curbilinii de speta a II-a
O 1-forma diferentiala=Pdx +Q dy+R dzse numeste nchis apemultimeaD daca:
P
y =
Q
x,
Q
z =
R
y,
R
x =
P
z,
n orice punct dinD.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 14 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
15/33
g g p
Integrale curbilinii de speta a II-a
MultimeaD se numeste stelat adaca exista un punctx0 Dcuproprietatea ca segmentul[x0, x] D, pentru oricex D.
Teorema lui Poincare
Daca multimeaD este stelata, atunci orice 1-forma diferentiala nchisa
este exacta.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 15 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
16/33
Integrale curbilinii de speta a II-a
Teorema
Fie =dFo 1-forma diferentiala exacta peD si fieun drum neted,
parametrizat, cu imaginea inclusa nD, avand capeteleA siB . Atunci:
dF =F(B) F(A);
daca drumuleste nchis, dF=0.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 16 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
17/33
Integrale curbilinii de speta a II-a
Circulatiacampului vectorialV = (P,Q,R)de-a lungul curbeieste
marimea
C=
V dr =
Pdx+ Q dy+R dz.
DacaVeste un camp de forte, atunci Creprezinta lucrul mecanic
efectuat deVde-a lungul curbei.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 17 / 33
Integrale curbilinii Integrale curbilinii de speta a II-a
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
18/33
Integrale curbilinii de speta a II-a
5. Calculati
z dx +x dy+y dz,
undeeste cercul situat la intersectia suprafetelorx +z = 1six2 + y2 +z2 = 1.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 18 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
19/33
Integrale duble
6. Calculati
D
x2 dx dy,
unde
D=
(x, y) R2 | x 1, y 0, y2 x
.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 19 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
20/33
Integrale duble
7. Aratati ca
limn
[0;1]2
dx dy1 +xn +yn
= 1.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 20 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
21/33
Integrale duble
8. Calculati
D
x2 +y2
x+
x2 +y2 dx dy,
undeD este portiunea din discul unitate inclusa n R+ R+.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 21 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
22/33
Integrale duble
9. Calculati
D
(x+y)2 dx dy,
unde
D=
(x, y) R2 | x2 +y2 x 0, x2 +y2 y 0, y 0
.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 22 / 33
Integrale duble
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
23/33
Integrale duble
10. Calculati
0ex
2
dx.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 23 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
24/33
Integrale duble
11. Aratati ca
0
arctg x arctg xx
dx=
2ln .
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 24 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
25/33
Integrale duble
12. Calculati aria multimii planeD, marginite de curba (lemniscata lui
Bernoulli) de ecuatie
x2 +y2
2=a2
x2 y2
,
afiind o constanta pozitiva.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 25 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
26/33
Lemniscata lui Bernoulli pentrua = 1
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 26 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
27/33
Integrale duble
A(D) =D
dx dy
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 27 / 33
Integrale duble
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
28/33
Integrale duble
13. FieD R2 si fief :D [0,)o functie continua. Volumulmultimii
=
(x,y,z) R
3
| (x, y) D, 0 z f(x, y)
este
V() =
D
f(x, y) dx dy.
Aplicatie: D= {(x, y) R2 | x2 +y2 2x+ 2y 1} sif(x, y) =y.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 28 / 33
Integrale triple
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
29/33
Integrale triple
14. Calculati
0xyz1xyz dx dy dz.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 29 / 33
Integrale triple
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
30/33
Integrale triple
15. Calculati volumul elipsoidului de ecuatie
x2 +12
y2 +34
z2 +xz = 1.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 30 / 33
Integrale triple
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
31/33
Integrale triple
16. Calculati volumul multimii, marginite de suprafetele de ecuatii
z =x2 +y2 1 si z = 2 x2 y2.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 31 / 33
Bibliografie si recomandari
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
32/33
Bibliografie si recomandari
L.-T. Costache,Analiz a matematic a. Culegere de probleme, Ed.Printech, 2009.
P. Flondor, O. Stanasila,Lectii de analiz a matematic a, Ed. ALL, 1998.
A. Halanay, R. Gologan, D. Timotin, Elemente de analiz a matematic a,Ed. Matrix Rom, 2003.
M. Olteanu,Analiz a matematic a. Notiuni teoretice si probleme rezolvate,Ed. Printech, 2004.
J. Stewart,Calculus, Sixth edition, Brooks/Cole, Cengage Learning,2009.
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 32 / 33
Bibliografie si recomandari
http://find/ -
7/25/2019 Consultatie 2016-01-09_Analiza Matematica
33/33
Va multumesc pentru atentie!
Alexandru Negrescu (UPB) 9 ianuarie 2016 33 / 33
http://find/