CONSTRUINDO OBJETOS TRIDIMENSIONAIS:

INTERDISCIPLINARIDADE ENTRE ARTE E GEOMETRIA

Adriana Vaz

UFPR – Departamento de Expressão Gráfica adriana.vaz@ufpr.br

Rossano Siva

UFPR – Departamento de Expressão Gráfica rossano.silva@ufpr.br

Resumo

No Ensino Fundamental e Médio cabe tanto ao professor de Artes quanto ao de Matemática desenvolver as habilidades geométrico-espaciais dos alunos. Partindo dessa constatação, o curso intitulado: “Construindo objetos tridimensionais com figuras planas”; vinculado aos Departamentos de Matemática e de Expressão Gráfica, da UFPR, teve como objetivos: analisar as possibilidades de criação de objetos tridimensionais, partindo das transformações geométricas e de princípios da composição plana; ampliar o repertório do licenciado em Matemática, tendo como base teórica o estudo da arte, no que tange a linguagem de escultura Concreta e Neoconcreta brasileira; e demonstrar uma possibilidade de diálogo entre essas duas disciplinas escolares.

Palavras-chave: Ensino-aprendizagem, Expressão gráfica, Escultura.

Abstract

For Arts and Math of Elementary and High School’s teachers, it’s important to developt in the students the geometrical and spacial skills. Based on this the course named “Building three-dimensional objects with flat figures” linked to the Math and Graphic Expression Department, UFPR, aimed to: analise the possibilities for creating three-dimensional objects starting from the principles of geometric transformations and flat compositions; trying to expand the knowledge of a degree in Math based on the art study theory with a regard to the sculture language of Brazilian Concrete and Neoconcrete; showing a possibility of a dialogue between both subjects (Arts and Math). Keywords: Teaching, Graphic expression, Sculpture.

1 Apresentação

O presente artigo discute os resultados obtidos no curso de extensão “Construindo

objetos tridimensionais com figuras planas”, que teve duração de 20 horas e fez parte

do projeto de cursos de férias promovidos pelo Departamento de Matemática da

UFPR, em 2010. O curso foi estruturado pelo Departamento de Expressão Gráfica

como ação prevista do projeto de pesquisa, coordenado pela Profª Ms. Adriana Vaz,

“O estudo de obras tridimensionais, na produção paranaense sob a influência do

concretismo e neoconcretismo brasileiro”. Um dos objetivos desse projeto é o

desenvolvimento de estratégias interdisciplinares focadas no ensino-aprendizagem da

geometria tendo a arte como ponto de contato. Objetivando-se estreitar o diálogo entre

o professor de Arte e de Matemática, dentro da áreas comuns aos dois campos do

saber.

No caso específico do curso em questão, seu objetivo foi trabalhar com

professores e graduandos do curso de Matemática, buscando sensibilizar esses

profissionais sobre as possibilidades de diálogo entre Arte e Matemática, utilizando

como mote a arte do concretismo brasileiro. Participaram dessa etapa, ocorrida entre 8

a 12 de fevereiro de 2010, 12 alunos, sendo que desses: seis eram professoras da

rede pública estadual de ensino e os outros seis eram estudantes de graduação em

Licenciatura em Matemática da UFPR e da PUC-PR.

2 Conceitos fundamentais do Campo da Arte

O debate acerca da arte concreta e neoconcreta na produção brasileira permite

aprofundar o estudo interdisciplinar entre Arte e Matemática. José Carlos CIFUENTES,

em seu artigo “Fernando Pernetta Velloso e a teoria do não-objeto de Ferreira Gullar”

(2005, p.186), mostra a preocupação do estudo de uma nova matemática pautada no

“belo matemático” e não apenas no seu uso racional. É nessa dicotomia entre uma

produção racional em oposição à outra mais sensível e expressiva que ocorre a

ruptura no interior do concretismo brasileiro da arte concreta à neoconcreta.

Conforme o artista plástico e escritor Ferreira Gullar (1999), o concretismo surge

com Manifesto Concretista, publicado em 1952, pelo Grupo Ruptura (São Paulo) –

assinado por Waldemar Cordeiro, Geraldo de Barros, Lothar Charoux, Kazmer Féjer,

Leopoldo Haar, Luís Sacilotto e Anatol Wladislaw. O grupo propunha uma nova

linguagem para as artes plásticas, fazendo uso da abstração geométrica. Buscava-se

nas formas geométricas o caminho de uma arte racional, universal, e “moderna” ao

seu tempo.

No Rio de Janeiro, a nova linguagem recebe adeptos com o Grupo Frente, que se

reuniam em torno do Museu de Arte Moderna (MAM-RJ). O grupo era integrado por

Aluísio Carvão, Lygia Clark, João José Silva Costa, Vincent Ibberson, Lygia Pape, Ivan

Serpa, Carlos Val, Décio Vieira, Abraham Palatnik, Hélio Oiticica e César Oiticica.

Independente de serem integrantes do Grupo Ruptura ou do Grupo Frente, com a

“I Exposição Nacional de Arte Concreta”, realizada em 1956, funda-se uma identidade

concreta formada por artistas brasileiros. Porém, a unidade de ambos os grupos

direcionada pela abstração geométrica parte-se em dois: de um lado, os artistas do

Grupo Frente, juntamente com os divergentes do grupo paulista e, de outro, os que se

mantiveram fiéis aos pressupostos teóricos do Grupo Ruptura.

A dissolução foi oficializada com o Manifesto Neoconcreto, publicado em 1959,

assinado por Ferreira Gullar, Amílcar de Castro, Franz Weissmann, Lygia Clark, Lygia

Pape, entre outros. Com isso, tem-se a valorização do ato de contemplação da obra

de arte, em que o público participa como sujeito ativo, em oposição à racionalidade

proposta pela arte concreta – exemplificada pela produção de Lygia Clark e Hélio

Oiticica, bem como a teoria do não objeto, de Ferreira Gullar (1999).

A expressão neoconcreto é uma tomada de posição em face da arte não-figurativa “geométrica” (neoplasticismo, construtivismo, suprematismo, Escola de Ulm) e particularmente a face da arte concreta levada a uma perigosa exacerbação racionalista. [...] O racionalismo rouba à arte toda a autonomia e substitui as qualidades intransferíveis da obra de arte por noções da objetividade científica: assim os conceitos de forma, espaço, tempo, estrutura – que na linguagem da arte estão ligadas a uma situação existencial, emotiva, afetiva – são confundidos com a aplicação teórica que deles faz a ciência. [...] A arte neoconcreta, afirmando a integração absoluta desses elementos [tempo, espaço, forma, cor], acredita que o vocabulário “geométrico” que utiliza pode assumir a expressão de realidades humanas complexas, tal como o provam muitas das obras de Mondrian, Malevitch, Pevsner, Gabo, Sofia Tauerb-Arp, etc. Se mesmo esses artistas confundiam o conceito de forma-mecânica com o de forma-expressiva, urge esclarecer que na linguagem da arte, as formas ditas geométricas perdem o caráter objetivo da geometria para se fazerem veículo da imaginação (...) A arte neoconcreta funda um novo espaço “expressivo”. (GULLAR, 1999. p. 283-287).

Nos trechos citados, fica visível o legado proposto pelos integrantes da arte

neoconcreta em superar o uso excessivo da racionalidade por parte das correntes

concretas, porém, na linguagem do desenho projetivo – geometria descritiva, desenho

técnico e desenho geométrico – e não da arte. O uso das obras produzidas, tanto na

corrente concreta quanto neoconcreta, torna-se pertinente para o desenvolvimento de

material didático pautado nessas disciplinas técnicas, visto que a produção

neoconcreta, mesmo com a liberdade no sentido expressivo, não deixa de transmitir

conhecimentos racionais. Para esclarecer a separação entre arte concreta e

neoconcreta, Ferreira Gullar (1977) menciona:

A arte concreta encontrou, no campo da escultura – ou da construção no espaço real – terreno mais propício para o seu desenvolvimento do que na pintura – espaço bidimensional – onde se limitou na maioria dos casos à ilustração de problemas perceptivos. [...] A superioridade da escultura de [Max] Bill [introdutor da arte concreta no Brasil] sobre suas pinturas não indica simplesmente que Bill é melhor escultor que pintor, mas, sobretudo, que as idéias concretistas nasceram de preocupações ligadas à construção no espaço real. (GULLAR, 1977. p. 235)

3. No campo da Interdisciplinaridade: Processos de criação versus

Geometria Plana e Espacial

A dissertação de Márcia Elisa de Paiva Gregato (2005), intitulada “Construção de

formas geométricas no espaço analisando as obras de Franz Weissmann e Amílcar de

Castro”, teve dois objetivos. Primeiro foi o de comparar a produção dos dois artistas

por meio de conceitos e práticas pertinentes às obras analisadas, embasadas na

produção concreta e neoconcreta brasileira – peso, unidade, verticalidade, cortes,

dobras, etc. E, por segundo, utilizar a obra dos artistas como referência para

desenvolver seu processo de criação como escultora.

As obras de Gregato fazem uso do desenho geométrico ao eleger formas planas

básicas: o quadrado, o círculo, o triângulo e o retângulo, decompondo-as e criando

obras tridimensionais baseadas no corte e na dobra.

Estabeleci um processo de trabalho que opta pela ordem, sem desprezar nenhuma parte da matéria, desenvolvendo assim uma idéia de estrutura, de ordenação “construtiva”, apropriando-se deste universo de formas básicas para enaltecer sua simplicidade, criando formas que levem o apreciador a conceitos de equilíbrio e leveza, olhando-as sob diversos ângulos, quando se transformam ou são transformadas pelo espectador, que interage com a obra. (GREGATO 2005. p. 25).

A pesquisa de José dos Santos Laranjeira (1996), “13 esculturas: criação e

estruturação simbólica”, discorre sobre seu processo de criação em escultura, no qual

o artista faz uso da geometria tanto na concepção da obra quanto na leitura delas – no

sentido morfológico. Entre a ideia e a execução da obra propriamente dita, o autor tem

como base quatro fases de planejamento, a saber: a criação como modelo, a criação

experimental, a criação mito-poética e a criação da criação.

A “criação como modelo” ou “método do engenheiro”, é a fase do processo que busca a maturação da idéia, ou seja, a sua concreção – para tanto, percorre-se uma série de fases lógicas: apreensão –

preparação – incubação – iluminação – verificação – comunicação. A segunda fase denominada “criação experimental” ou “método do pintor”, expressa a etapa de correção de erros e confirmação de acertos, permitindo ao artista manter ou refutar o que seja pertinente com a idéia original. Respondendo a questão: Isso pode servir? Tem-se a terceira etapa, a “criação mito-poética” ou “método do bricoleur” que consiste no uso do arcabouço teórico e prático que o artista disponibiliza como fonte na criação da obra. E, por último, a “criação da criação” ou “método metalingüístico” que possibilita a “meta-criação”, que está ancorado nas perguntas: Depois de? Além de? –podendo priorizar uma das etapas conforme a necessidade estabelecida pelo artista. (LARANJEIRA, 1996. p. 11-13).

Na análise dos elementos de sintaxe da escultura – dimensão real, escala,

proporção (relação entre as medidas), superfície escultórica (cor, textura) –, torna-se

presente a interdisciplinaridade entre Arte e Geometria, o artista/escultor se apropria

do espaço, ou seja, utiliza-o em sua forma física, material e real.

As esculturas produzidas por Laranjeira, propiciam o estudo morfológico “a

morfologia pode ser entendida como o estudo dos modos em que uma cultura

concreta entende e organiza suas formas”. (ARNHEIM apud LARANJEIRA, 1996, p.

14).

A geometria oferece um amplo espectro de alternativas quanto a figuras, que ora delimito apoiando-me em dois conceitos fundamentais, um de natureza bidimensional, o polígono, e outro de natureza tridimensional, o poliedro. Tanto um como outro referem-se a uma sucessão ordenada pelo número de elementos que definem as estruturas. No caso do polígono temos a quantidade de lados que definem a área, no caso do poliedro são os planos definidores do volume. (...) Cada figura, seja ela regular ou irregular, leva implícita uma estruturação geométrica como planeamento espacial em termos de medianas, diagonais, eixos de simetria, etc”. (LARANJEIRA, 1996, p.22).

Na relação entre figura e estrutura, as matrizes geométricas são necessárias para

a análise morfológica da figura escultórica. Discorrendo sobre seu processo de

elaboração das esculturas, em que a morfologia e a geometria são fundamentais tanto

na execução quanto na interpretação das obras.

No meu caso em particular, estabeleço duas matrizes geométricas em cada obra. Uma de natureza bidimensional, determinada arbitrariamente, sobre uma vista privilegiada da escultura, onde o critério de escolha é influenciado pela necessidade de apresentação gráfica e fotográfica. A outra é a matriz geométrica tridimensional onde levo em consideração a estrutura dominante espacial e volumétrica. (LARANJEIRA, 1996, p. 24).

Com o título “Projeto de escultura auxiliado por computador”, Celso Luiz D’Angelo

(1977) tem como objeto de interesse o projeto de escultura, o qual pode consistir em

um simples esboço, um sofisticado desenho técnico ou até mesmo um modelo

tridimensional.

Entendo por projeto, as idéias e as atividades mentais e técnicas que antecedem a execução de uma escultura. O objetivo destas atividades é o de fixar as idéias, ou insight, do escultor, criando um modelo ou maquete para o objeto do projeto, a escultura, ou seja, a criação de uma representação não ambígua onde podem-se avaliar as características do objeto, bem como o planejamento das

atividades envolvidas em sua execução. (D’ANGELO, 1977, p. 17).

Independente do procedimento utilizado na fase preliminar de criação da

escultura, que vai desde o projeto, a visualização, a compreensão e a representação

do espaço, tudo isso faz parte do ofício do escultor. D’Angelo compara o processo de

criação de três escultores: Michelangelo Buonarroti (1475-1564), August Rodin (1840-

1917) e Henry Moore (1898-1986) – cada um em sua respectiva época são

considerados os melhores desenhistas. Em sua argumentação, o autor referência

depoimentos de Rodin e Moore, citados a seguir:

Quando inicio uma figura, olho primeiramente a parte anterior, a parte posterior e os dois perfis, o esquerdo e o direito; em outras palavras, observo seus contornos a partir de quatro ângulos diferentes, em seguida, com a argila, coloco no lugar a massa amorfa que vai ser a figura... na seqüência realizo... os perfis, vistos de um ângulo de três quartos. Depois, girando o barro e o modelo vivo ao mesmo tempo, vou comparando-os e aperfeiçoando a obra... Então, mudo a minha posição e a do meu modelo, a fim de conseguir um novo perfil; giro novamente, e assim, por estágios, realizo um circuito completo do corpo. (RODIN apud D’ ANGELO, 1977, p. 17).

Moore vincula o domínio do desenho como fundamental para a representação do

espaço, ou seja, antes de ser escultor é preciso ser desenhista:

Desenho é tudo. Se alguém vem até mim e diz: Há um jovem escultor e está encaminhando para ser muito bom – você gostaria de ver seu trabalho? Eu pergunto, o que ele está desenhando? Oh, ele não desenha. Bem então, eu sei que ele não é bom... (MOORE apud D’ ANGELO, 1977. p. 35).

O projeto de escultura desenvolvido com auxílio do computador utiliza recursos de

computação gráfica interativa, a partir do uso de software de desenho tridimensional

para criar um modelo (objeto) – no caso da pesquisa realizada por D’ANGELO foi

utilizado o programa gráfico Autodesk 3D Studio release 4.0, versão DOS

desenvolvida para a plataforma padrão IBM-PC.

O objeto é um elemento geométrico resultante de uma operação matemática,

formando um componente individual único que pode ser manipulado com o propósito

de realizar várias operações: alteração das dimensões do objeto, modificação do

objeto, visualização dos objetos em todas as suas vistas, visualização dos resultados

alterados, alteração de texturas e materiais. Os componentes geométricos básicos são

vértice, face e borda, entre outros resultantes dos básicos, a saber: segmento, objeto,

elemento. O programa era formado pelos seguintes módulos: 2D Shaper (criar formas

básicas bidimensionais – polígonos), 3D Lofter (converter as formas bidimensionais

em malhas tridimensionais), 3D Editor (cria a cena estática com luzes, câmaras e

materiais de superfície) Keyframer (anima a cena final), Materials Editor (cria os

materiais que serão assumidos pelas geometrias da cena).

Dentre as conclusões feitas por D’Angelo, têm-se que: o software escolhido não é

indicado para esboços rápidos, os processos com auxílio do computador não excluem

os métodos convencionais, porém, mesmo com o uso de software gráficos que

facilitem a manipulação de formas tridimensionais e a sua visualização, o uso de tais

instrumentos implica no conhecimento tanto de geometria plana quanto espacial, visto

que o programa mencionado utiliza o repertório teórico de tais disciplinas.

O domínio do desenho projetivo continua sendo necessário para o

desenvolvimento de processos de criação nas artes visuais, principalmente na

linguagem de escultura tanto na fase do projeto quanto na fase de materialização da

obra, ou seja, o artista utiliza conhecimentos de desenho projetivo por meio de

esboços, maquetes, desenho técnico, programas de computador, entre outros.

4 Metodologia

Metodologicamente, o curso “Construindo objetos tridimensionais com figuras planas”

se deu com a apresentação dos conteúdos teóricos das três áreas: Arte, Geometria e

Matemática. O desenvolvimento prático da atividade foi dividida em duas partes:

primeiro, a construção de um objeto único utilizando formas geometricas, modificado

por meio do recorte e dobra; segundo, o agrupamento em módulo desse mesmo

objeto, aplicando transformações geométricas. O curso teve duração de cinco dias,

tendo o seguinte cronograma: apresentação do aspectos teóricos, dois dias;

construção do objeto e agrupamento em modulo, três dias. Ao final do quinto dia,

realizou-se uma exposição dos resultados.

Dentre os aspectos teóricos das áreas de Geometria e Matemática, foram

abordados conceitos de transformação geométricas: translação, simetria, homotetia,

os quais foram exemplificados tanto em termos de conceituação matemática, como em

seu uso na construção de figuras tridimensionais. Por exemplo, o conceito de

translação que é definido como a transformação que modifica a posição de uma figura

preservando as suas medidas. Além da definição, foram trabalhadas as propriedades

geométricas da translação, como observado na figura a seguir.

Fig. 1: Princípio da translação, desenho do autor.

• o triângulo ABC’ obtido por translação é homólogo ao original ABC, onde são

congruentes.

• a translação é um deslocamento (u) que mantém os elementos lineares sempre

paralelos à posição primitiva.

Após a conceituação dos princípios geométricos de translação, foi demonstrado

como ele poderia ser aplicado na construção de uma figura tridimensional por meio da

repetição de um elemento aplicando a translação da forma.

Fig. 2: Aplicação da translação na construção de objeto tridimensional.

WONG, Wucius, 2001, p. 252.

A mesma dinâmica foi aplicada com outros conceitos citados anteriormente. Além

dos conceitos geométricos, nessa etapa do curso foram trabalhadas a apreciação e

contextualização de obras do concretismo e neoconcretismo brasileiro, explicitando os

principais conceitos dos movimentos artísticos. Percebeu-se, nessa fase do curso, a

falta de familiaridade dos participantes com as obras apresentadas e com os conceitos

de teóricos da arte, que apesar de perceberem os elementos inerentes à geometria,

faltou-lhes conhecimentos acerca da estética do movimento. Entre os artistas

trabalhados estavam: Almicar de Castro, Luís Sacilotto e Franz Weissmann.

Após a apreciação e contextualização das obras, e do estudo dos conceitos

geométricos, desenvolveu-se a parte prática do curso em duas etapas, como

mencionado anteriormente. A primeira etapa foi a da construção de uma forma

tridimensional por meio de procedimentos de dobra e corte em uma superfície plana

(papel cartão). Nessa fase, os alunos, em duplas, receberam uma figura plana de base

e uma transformação geométrica que deveria ser aplicada na segunda etapa do

trabalho.

As equipes foram divididas da seguinte forma: círculo e translação, quadrado e

homotetia, paralelogramo e translação, retângulo e simetria, trapézio e simetria, e

losango e rotação. Nessa etapa, cada equipe realizou os trabalhos com sua forma

base que deveria passar de bidimensional para tridimensional, usando dobras e

cortes. Inicialmente, as equipes desenvolveram croquis e desenhos em vistas para

esboçar seus projetos, conforme o exemplo da equipe do quadrado e homotetia.

Fig. 3: Croqui das vistas realizado pela equipe Quadrado e Homotetia. Foto do autor.

A seguir, passou-se à construção das formas tridimensionais, utilizando papel

cartão.

Fig. 4: Construção da figura tridimensional, baseada no quadrado. Foto do autor.

Após a forma estar pronta, cada equipe aplicou o conceito de transformação

geométrica que lhe foi atribuído, demonstrando-o em sua obra como podemos ver no

trabalho da equipe do quadrado, em que o princípio da homotetia foi aplicado. Aqui,

construiu-se uma figura menor, mas manteve-se as mesmas características da

original.

Fig. 5. Aplicação do princípio da homotetia. Foto do autor.

Em outro exemplo, retratado a seguir, podemos ver o conceito de translação

aplicado à forma do círculo, realizado por outra equipe.

Fig. 6: Aplicação da translação na figura do círculo. Foto do autor.

5 Considerações Finais

Dentre os resultados obtidos, no que diz respeito ao processo de criação utilizando

recursos de corte e dobra de figuras planas, constatou-se que não houve dificuldade

dos participantes em aplicá-los ou até mesmo em conceber uma escultura de

abstração geométrica.

Na avaliação do curso realizada por um questionário entregue aos participantes

no último dia do curso, ao serem questionados sobre a aplicação da

interdisciplinariedade entre Arte e Geometria, os participantes constataram as

possibilidades do uso de Arte como uma forma de explicitação dos conceitos da

geometria, como figuras planas, poliedros, ângulos e transformações geométricas.

Apesar dessa constatação, ao perguntar sobre as possibilidades interdisciplinares

da proposta apresentada no curso, nenhum dos participantes declarou a possibilidade

de realizar um trabalho em conjunto com a disciplina de Artes. Nesse sentido, os

conteúdos de Arte serviriam para explificar conceitos matemáticos, mas não para uma

elaboração de um plano comum de trabalho entre as duas disciplinas trabalhadas, o

que, de certa forma, demonstra o isolamento e compartilhamento que as disciplinas

assumem no currículo escolar.

Referências

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