La Grande Guerra Il significato della guerra Le fasi Le conseguenze.
CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ DELLE FUNZIONI DI PIÙ...
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CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ
DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
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Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneConseguenze della Conseguenze della
continuità delle funzioni.continuità delle funzioni.Conseguenze della Conseguenze della
differenziabiltà delle funzioni di differenziabiltà delle funzioni di più variabili: continuità, più variabili: continuità, derivabilità, gradiente.derivabilità, gradiente.
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CONSEGUENZE CONSEGUENZE DELLA CONTINUITÀDELLA CONTINUITÀ
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Un sottoinsieme A RRnn si dice limitato se esiste un numero
reale r > 0, tale che A {x RRnn : |x|<r } = SO
r.
Un sottoinsieme K RRnn limitato e chiuso si dice anche
un insieme compatto.
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Teorema
Ogni funzione continua f : K Rn R,
con K chiuso e limitato,
ha un valore massimo e uno minimo.
(di Weierstrass)
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Un sottoinsieme A RRnn si dice connesso (per archi) se comunque si prendano due punti x,y A esiste un arco di curva continua a valori in A che congiunge x con y.
Un arco di curva continua è una funzione f : I RRnn , f = (f1 , .., fn)T, nella quale le singole componentif1(t) , .., fn(t) sono funzioni continue. I = [a,b] è un intervallo della retta reale, per esempio I = [0,1].
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xy
f(0)= (f1(0),…, fn(0))T = x
f(1)= (f1(1),…, fn(1))T = y
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Teorema(degli zeri)
Sia A un insieme connesso in Rn ef : A Rn R, una funzione continua.
Se x e y sono punti di A tali che
f(x) > 0 e f(y) < 0,
allora esiste z A tale che f(z) = 0.
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CONSEGUENZE CONSEGUENZE DELLA DELLA
DIFFERENZIABILITÀDIFFERENZIABILITÀ
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TeoremaTeoremaOgni funzione differenziabile
in un punto x0
è continua
nello stesso punto.
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f : A Rn Rf : A Rn R
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione
lineare L : Rn R tale che lineare L : Rn R tale che
f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+(x)|x-x0|
con (x) 0 se x x0.
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Un’applicazione lineare
L : Rn RL : Rn R
si scrive esplicitamente
L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn
0)L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn
0)
con L1, …, Ln numeri reali.
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limlimxx xx00
ff (( xx ))ff (( xx00))
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TeoremaTeoremaSe una funzione è differenziabile
in un punto x0, essa
ha derivate in ogni direzione
in x0. In particolare, ha tutte
le derivate parziali.
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Sia x = x0 + vt l’equazione della retta per x0 di direzione v.
|x - x0| = |t| |v| = |t|, |v| = |t|, poiché |v| = 1 (v è un versore).
f(x0+vt)-f(x0)_____________________
t== L(v)+(x0+vt) |t||t|
t
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Dunque
∂f∂v
(x0) = L(v) = L1v1+…+ Lnvn
In particolare
∂f∂ek
(x0) = L(ek) = L10+…+ Lk1 +
…+ Ln0= Lk =∂f∂xk
(x0)
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Si dice differenziale di f in x0
dfx0 (x-x0) = L(x-x0) =
(x0)(x1- x10)+…+
∂f∂xn
∂f∂x1
(x0)(xn- xn0)
La derivata direzionale si scrive
∂f∂v
(x0) = ∂f∂x1
(x0)v1 +…+∂f∂xn
(x0)vn
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Se f, in particolare, è la proiezionesull’asse k-esimo, f(x1,…, xn) = xk,
le derivate parziali di f rispetto a xi sono Di f(x0) = ik (0 se i≠k, 1 se i=k),
e perciò il suo differenziale in x0 èdfx0(x-x0) = xk - xk
0. Dunque: dxk (x-x0) = xk - xk
0. Da ciò nasce la notazione spesso
usata
dfx0 = (x0)ddx1+…+ ∂f∂xn
∂f∂x1
(x0)ddxn
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Il vettore che ha come componentile derivate parziali di f in x0 si dice il gradientegradiente della funzione in x0.
(grad f)(x0) = (f )(x0) =
=((∂f/∂x1)(x0), …, (∂f/∂xn)(x0))T=
=((D1f)(x0) , …, (Dnf)(x0))T
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CONCLUSIONE
Se f è differenziabile in x0
f ha derivate in x0 in ogni direzione e
(Dvf)(x0) = (grad f)(x0)v =
= (f)(x0)v = (f)(x0), v
Nota: il simbolo si legge “nabla”.
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Supponiamo |(f)(x0)| ≠ 0. Poiché
(Dvf)(x0) = (f)(x0), v =|(f)(x0)|||v| cos cos
Il massimo di (Dvf)(x0) si ha per =0, =0,
il minimo per il minimo per = =. Cioè la derivata . Cioè la derivata direzionale è massima nella direzionedirezionale è massima nella direzionedi di (f)(x0); minima nella direzioneopposta -(f)(x0).
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ULTERIORI CONSEGUENZEDELLA DIFFERENZIABILITÀ
Se f è differenziabile in x0 vale
f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+(x)|x-x0|
con (x) 0 se x x0.
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Il valore di f(x) è dato dalla somma di un termine lineare f(x0)+ L(x-x0) e di un contributo infinitesimo (x)|x-x0| d’ordine maggiore di uno (rispetto
a |x-x0| ).
Il termine lineare f(x0)+ L(x-x0) è in Rn l’equazione di un “iperpiano”, chesi dice l’iperpiano tangente al grafico
di f in x0.
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z-z0 = (x0)((x1- x10) +…+
∂f∂xn
∂f∂x1
(x0)((xn- xn0)
Equazione dell’iperpiano tangente al grafico di f in x0.
Equazione del piano tangente al grafico di f(x,y) in (x0,y0).
z-z0 = (x0)((x- x0) +∂f∂y
∂f∂x
(x0)((y - y0)
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0
4
2
0
-2
-4
-6
y
0
2
1
0
-1
-2
x
0
2
1
0
-1
-2