Conjuntos numéricos - Colégio Sete de Setembro - Paulo ... · Introdução É indiscutível que...
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Conjuntos numéricos
Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento
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Introdução
É indiscutível que os números exercem influência marcante no dia a dia dos seres humanos.
Na economia global, por exemplo, os indicadores de índices e porcentagens nos permitem fazer a leitura e a análise dos resultados alcançados e, consequentemente, prever possíveis mudanças econômicas e sociais em nosso planeta.
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Retomando os conjuntos dos números naturais,
inteiros e racionais(Pág. 4)
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Os conjuntos numéricos já estudados são...
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Relações aplicadas aos conjuntos numéricos
• Relação de pertinência
• Relação de inclusão
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Conjuntos numéricos
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Fração geratriz de uma dízima periódica
São chamados de dízimas periódicas os números decimais não exatos que apresentam, na parte decimal, algarismos que se repetem periodicamente e infinitamente.
Por exemplo:
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Fração geratriz de uma dízima periódica
Denomina-se fração geratriz a fração que gera ou dá origem a uma dízima periódica.
Exemplos:
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Exemplo:
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Nem sempre a parte decimal apresenta apenas os algarismos do período. Então, o que deve ser feito quando a dízima apresentar outros algarismos que não os do período na parte decimal?
É fácil! Basta estabelecer uma equação e resolvê-la, conforme os exemplos:
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Exemplos:
a) 0,1555...
Algarismo do período: 5
Algarismo não periódico: 1
Fração geratriz procurada: x
x= 0,1555...
Procedimentos:
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Exemplos:
b) 3,2111...
Algarismo do período:1
Algarismo não periódico: 2
Fração geratriz procurada: x
x= 3,2111...
Procedimentos:
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Exemplos:
c) 0,12333...
Algarismo do período:3
Algarismo não periódico: 1 e 2
Fração geratriz procurada: x
x= 0,12333...
Procedimentos:
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O número de ouro: curiosidade ou coincidência?
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Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram então o retângulo de ouro. Era um retângulo, com proporções: o lado maior dividido pelo lado menor e a partir dessa proporção tudo era construído. Assim eles fizeram o Parthenon. A proporção do retângulo que forma a face central e lateral, a profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.
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Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3.ª fileira e assim por diante. Durante milénios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas depois de muito tempo - veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam o retângulo de ouro grego.
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Mas no ano 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos, criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática, a série Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência, onde um número é igual à soma dos dois números anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
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Aí entra a 1.ª "coincidência": a proporção de crescimento média da série é 1,618. Os números variam, um pouco acima às vezes, em outras um pouco abaixo, mas a média é 1,618 - exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção, a ponto de os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.
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Por exemplo: - A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1,618. - A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618. - A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1,618. - A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618.
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E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618. Por isso, o número phi ficou conhecido como a divina proporção.
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Por que é que os historiadores religiosos descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo?
Por volta de 1500, com o retorno do Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda.
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Michelangelo e, principalmente Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: ele, como cientista, usava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a divina proporção do que o corpo humano, obra prima de Deus.
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Por exemplo:
- Meça a sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão: o resultado é 1,618.
- Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo: o resultado é 1,618.
- Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra: o resultado é 1,618.
- Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O resultado é 1,618.
- A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça dá 1,618.
- Da sua cintura até a cabeça e depois divida só pelo altura do tórax: o resultado é 1,618.
Considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos acurados de medição.
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Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela divina proporção. Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem, coisas teoricamente diferentes, são todas ligadas numa proporção em comum. Encontramos ainda o número phi em famosas sinfonias como a 9.ª de Beethoven, e em outras diversas obras. Então, tudo isto, seria uma mera coincidência?"
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O número de ouro: curiosidade ou coincidência?
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O número de ouro é representado pela letra fi (ϕ) e é um número irracional. Todo
número cuja representação decimal é infinita e não periódica é chamada de
número irracional.
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O número de ouro: φ
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O número de ouro: φ
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Um número irracional especial
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Um número é denominado de irracional e pertencerá ao conjunto dos números
irracionais, quando não for possível representá-lo como quociente entre dois números inteiros
a e b, com b ≠ 0.
Exemplo: Todas as raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos:
7; 3; 21; √32.
Algumas raízes cúbicas, quartas, entre outras:
33
; 23
; 73
; 5;4
74
.
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Um número irracional especial: 𝝅
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Dentre os números irracionais, o mais famoso é o “pi”, representado pela letra grega 𝝅 , que tem o seu valor expresso por 3,1415926535...
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Números reais
A reunião entre os elementos do conjunto dos números racionais ( ℚ ) e os elementos do conjunto dos números irracionais (𝕀) resulta em um novo conjunto: o conjunto dos números reais, representado por ℝ.
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Números reais
Simbolicamente: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.
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Referências
• BONJORNO. AYRTON. Matemática Fazendo a Diferença, 7ª Série. Editora FTD, 2008.
• GIOVANNI. CASTRUCI. GIOVANNI JR. A Conquista da Matemática, 7ª Série. São Paulo; ed. FTD, 2008.
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade, 7ª série. São Paulo; ed. Atual, 2010.