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UNIVERSIDAD DE LA TERCERA EDAD

LICENCIATURA EN DERECHO

ASIGNATURA:

MATEMÁTICA PROPEDÉUTICA

SUSTENTADO POR:

FRANCISCO ESPINAL GÓMEZ (ST2015-1391)

FACILITADOR:

ANTONIO MARTES UREÑA

05 DE OCTUBRE DEL 2015

SANTIAGO, REP. DOM.

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1.1 CONJUNTO NUMERICO

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades

estructurales.

Sus características estructurales más importantes son:

Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

Admiten relación de orden.

Admiten relación de equivalencia

Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de

Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con

la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un

diagrama de Hasse (es una recta).

Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta

otra más compleja.

1.2 LOS NÚMEROS NATURALES

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien

expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el

minuendo es mayor que sustraendo.

5 − 3

3 − 5

3

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la

división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por

varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta.

1.2.1 LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con

respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la

división es exacta.

6 : 2

2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.

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La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

1.3 LOS NÚMEROS RACIONALES

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos

enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números

racionales; pero los números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número

racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

1.3.1 LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se

pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la

circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

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El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula

de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci,

Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

1.4 NÚMEROS IMAGINARIOS

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real

i es la unidad imaginaria:

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

1.4.1 NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo en forma binómica es a + bi.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de los números complejos se designa por .

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1.5 PROPIEDADES DE NUMEROUS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES.

1.5.1 PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales es el primer conjunto y surge de manera empírica para

satisfacer las necesidades de cuantificar. Este conjunto permite contar y ordenar. Se representa

con la letra N y se expresa así:

N= (1, 2, 3, 4, 5…) ó N=(1,2,3,…, n+1, n+2,…)

a) El conjunto de los números naturales es ordenable.

b) El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento y no tiene un último

elemento, es decir, es un conjunto infinito.

c) Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

d) Todo número natural “n” posee un número anterior, menos el 1. Esto implica que el 1 es el

primer número natural:

1+1=2, segundo número natural

2+1= 3, tercer números natural

e) A todo número natural sigue otro número natural. Expresamos el siguiente número natural

mediante: n + 1, (para todo n que pertenece al conjunto de los números naturales).

1.5.2 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o

que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación

primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)

Número mayor: Que supera en cantidad a otro.

Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.

El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.

El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.

Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre

una división y la siguiente es siempre la unidad (1).

1.5.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS RACIONALES

Todo número racional puede escribirse como una RAZÓN. Una razón será entonces dos cosas:

a) Una cantidad, y b) una forma de representar una cantidad.

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Simbólicamente ambas cosas llevan a tener un retrato análitico del NÚMERO RACIONAL, el

cual está representado por dos partes:

EL NUMERADOR: es el símbolo o conjunto de símbolos que representa CUANTAS

PORCIONES ESTÁN REPRESENTADAS.

EL DENOMINADOR: es el símbolo o conjunto de símbolos que representa el

TAMAÑO DE LAS PORCIONES REPRESENTADAS.

1.6 OPERACIONES INTERNAS O DEFINIDAS EN EL CONJUNTO NUMÉRICO

A- Ley de la composición interna.

Esta se cumple cuando al realizar una operación con dos o más elementos de un conjunto dado,

el resultado de esta operación es otro elemento que también pertenece al conjunto, a esta ley

también se le conoce como ley de clausura o cerradura de un conjunto bajo una operación.

Ejemplo

Sea B={-4,-2,0,2},si consideramos la operación (x).

Cuando efectuamos la multiplicación con dos elementos del conjunto B,el resultado es otro

elemento del conjunto B. En consecuencia la multiplicación es una operación interna en el

conjunto B

El símbolo (*) ,indica que la operación es interna en el conjunto o binaria en el conjunto

considerado.

Se dice que es binaria cuando la operación se realiza con dos elementos del conjunto

considerado.

Entonces la operación interna binaria (*) es interna en B,si y solo si para todo x,y , se verifica

que (x*y) є A ,A≠Ǿ

Operaciones internas en los conjuntos numéricos

Conjunto de los números naturales:

Las operaciones internas en el conjunto de los números naturales son la adicción y la

multiplicación esto se expresa así:

∀a , b є N

Se verifica que :

1- a+b=c c є N

2- axb=d d є N

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Si consideramos ejemplos numéricos, se verifica que:

1- 3+8=11 11 є N

2- 3x8=24 24 є N

Por tanto la sustracción y la división no son internas en el conjunto de los números naturales N.

Operaciones internas en los enteros

∀a , b , c , d є Z

Se verifica que :

1) a+b=c c є Z 3) a-b=e e є Z

2) axb=d d є Z 4) b-a=f f є Z

Ejemplos:

Sean -4 y 8 dos enteros:

1- -4+8=4 4 є Z

2- -4-8=-12 -12 є Z

3- -4x8=-32 -32 є Z

Operaciones Internas en el conjunto de los números racionales y los reales

La operaciones definidas para el conjunto de los números racionales y reales son la adición,

sustracción y multiplicación.

Si tenemos Q y R sin el cero Q0 y R0 entonces si podemos decir que la división es interna

en Q0 y R0

b) Propiedad conmutativa.

1-En la adición , se verifica que a+b=b+a,el orden de los sumandos no altera la suma.

Ejemplo:

1) 2+4=4+6

2- En la multiplicación ,se cumple que axb=bxa ,el orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo:

1- 7 x 3=3 x 7

2- 8 x 0.5=0.5 x 8

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c) Propiedad asociativa

1- En la adición ,se cumple que (a+b)+c=a+(b+c),la manera en que se asocien los sumando no

altera la suma.

Ejemplos:

1- (3+5)+8=3+(5+8)

2- (0.7+6)+3=0.7+(6+3)

2-En la multiplicación , se cumple que (axb)xc=ax(bxc),la manera en que se asocien los

factores no altera el producto.

Ejemplos

d) Propiedad distributiva

1- Propiedad distributiva de la multiplicación con relación a la suma y sustracción.

ax(b±c)=ab±ac

Ejemplos:

1- 2(7+8)=2·7+2·8

2- 3(6-2)=3·6-3·2

2-Propiedad distributiva de la potencia con relación a la multiplicación.

Ejemplo:

3- Propiedad distributiva de potención con relación a la división.

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Ejemplo:

4- Propiedad distributiva de la radicación con relación a la multiplicación.

Ejemplos:

1.7 NUMEROS PRIMOS

Un número primo es un número natural mayor que 1 que se descompone exactamente, en dos

factores diversos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los compuestos,

que son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1. El

número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto

1.7.1 NUMEROS PARES

Un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k (es decir, divisible de

manera entera entre 2), donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número

2). Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden

escribir como 2k+1.

Los números pares son:

1.8 REALES DE DIVIDISIVIDAD MCM Y MCD

MCM (Mínimo Común Múltiplo) y MCD (Máximo Común Divisor)

Para calcular el Mínimo Común Múltiplo (MCM) o el Máximo Común Divisor (MCD) de dos

números, procederemos de la siguiente forma: descomponemos en factores primos los dos

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números. Luego colocamos los factores de forma ordenada en una tabla, comparamos y

elegimos los que necesitamos.

Calcular el MCM y el MCD de 84 y 140:

El árbol de factores de 84 es El árbol de factores de 140 es

La descomposición factorial de cada una será:

84 = 2 × 2 × 3× 7

140 = 2 × 2 × 5 × 7

Los escribimos de forma ordenada, con cada factor en una columna, de esta forma nos resultará

más sencillo.

El Máximo Común divisor (MCD) es el mayor número que divide a 84 y 140. En otras

palabras, es el número que contiene a los factores comunes de ambos números. En este caso, el

MCD es el producto de todos los factores que tienen en común 84 y 140.

84 2 2 3 7

140 2 2 5 7

MCD 2 2 7

Entonces el MCD es 2 × 2 × 7 = 28.

Por otro lado, el Mínimo Común Múltiplo (MCM) es el menor número que contiene a 84 y 140

como factores, es decir, el menor número que es un múltiplo de ellos. Luego será el número

más pequeño que contiene como factores a los dos números.

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84 2 2 3 7

140 2 2 5 7

MCM 2 2 3 5 7

luego el MCM es 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420.

Usando este método, calculamos de manera fácil el MCD y MCM de dos o más números.

Para el MCD, elegimos los factores que coinciden en todas las filas. Para el MCM,

seleccionamos todos los factores, independientemente de en cuántas filas se encuentren.