Conjuntos Nebulosos - Introdução Se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego Atribuído a...
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Conjuntos Nebulosos - Introdução
Se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego
Atribuído a Dinísio de Agapunta (300 AC)
Adriano Joaquim de O Cruz – NCE e IM, UFRJ
©2002 [email protected]
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@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Conjuntos Nebulos Introdu₤₧o 2
Sumário
Conjuntos Clássicos Função de Inclusão em Conjuntos Clássicos Operações com Conjuntos Clássicos Propriedades de Conjuntos Clássicos Conjuntos Nebulosos Funções de Inclusão em Conjuntos
Nebulosos Terminologia de Conjuntos Nebulosos
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@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ
Conjuntos Clássicos
Universo de Discurso– Corresponde ao espaço onde estão
definidos os elementos do conjunto– Por exemplo: alturas de seres humanos: 0 <= alt <= 2.5m temperatura ambiente: -70o<=temp<=70o
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Conjuntos Clássicos
Função de Inclusão – Define se um pertence ou não a um
conjunto
70.1,0
70.1,1(X)A
x
x
1
01,70 altura
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Problemas/Conjuntos Clássicos
Apresentam problemas quando aplicados à uma enorme classe de problemas do mundo real.
O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto/não alto) é denominado de paradoxo de Sorites, atribuído ao dialético, Eubulides de Mileto, adversário de Aristóteles
O paradoxo se enuncia com os seguintes termos“Quando um monte de areia deixa de ser um monte de
areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?”
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Operações com conjuntos clássicos
}|{|},|{
}|{}|{
BxAxxBADiferençaXxAxxAoComplement
BxAxxBAInterseçãoBxAxxBAUnião
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Tabelas Verdade
011|11
001|01
101|10
100|00
| xyxyxyx
Que funções matemáticas poderiam ser usadas para representar as operações de união, intercessão, e complemento?
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Propriedades de Conjuntos Clássicos
)()()(
)()()(
)()(
)()(
CABACBA
CABACBAvidadeDistributi
CBACBA
CBACBAidadeAssociativ
ABBA
ABBAdadeComutativi
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Propriedades de Conjuntos Clássicos
AXA
XXA
A
AAIdentidade
AAA
AAAiaIdempotênc
BABA
BABAMorganDe
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@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Conjuntos Nebulos Introdu₤₧o 10
Leis de Aristóteles
“Tudo deve ser ou não ser, seja no presente ou no futuro.”
A União de um conjunto com seu complemento forma o conjunto Universo.
Esta é chamada de lei da exclusão do meio
XAA
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Leis de Aristóteles
A Intercessão de um conjunto com seu complemento é vazia.
Esta é chamada de lei da não contradição
AA
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Conjuntos Nebulosos
A função de inclusão de elementos em um conjunto nebuloso A é caracterizada por
que mapeia cada elemento do conjunto X em um número real no intervalo [0,1]
1.0
01,70 altura
0.5
1,80
]1,0[:(.) X
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Conjuntos Nebulosos - definição
Um conjunto nebuloso pode ser expresso por um conjunto ordenado de pares:
}|))(,{( XxxxA A
Universo de Discurso
Conjunto Nebuloso
Função de Inclusão
Valor
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Tipos de Inclusão
Inclusão com grau: um elemento pertence a um conjunto com um determinado grau de certeza. Alguns elementos são mais representativos da idéia central do conjunto que outros– alunos excelentes={(Pedro,0.8), (Ana,0.9),
(Paulo,0.9), (Marta,1.0)}–muito altos = {(Oscar,0.95), (Michael
Jordan, 0.95), (Junior Baiano,0.8)}
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Tipos de Inclusão
Inclusão em diversos conjuntos: um elemento pode ser membro parcial de mais de um conjunto– crian₤as={Pedro, Ana, Paulo, Marta}– adolescentes = {Pedro, Mateus, Joaquim}
– crianças(Pedro)=0.2– adolescentes(Pedro)=0.8
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Não é probabilidade
Pertencer ao conjunto das pessoas altas, com um grau de inclusão de 0.25, indica afastamento da definição ideal de uma pessoa alta por uma diferença de 0.75
O grau 0.25 não significa que uma pessoa com esta altura possa ser encontrada com probabilidade 0.25 no conjunto das pessoas altas
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Não é probabilidade
Um líquido em uma garrafa tem 95% de probabilidade de ser veneno puro
Um líquido em uma garrafa pertence a conjunto das garrafas com água pura com grau 0.95, isto é 5% de veneno na água
Veneno nesta concentração não mata, mas você irá passar muito mal.
De qual garrafa você beberia?
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Representando conjuntos nebulosos
Pares ordenados: um conjunto nebuloso pode ser representado por um par ordenado de pares, sendo que o primeiro elemento denota o elemento do conjunto e o segundo o seu grau de inclusão no conjunto
Altos = {(João=1.6, 0.0), (Ana=1.7,0.5), (Oscar=1.8,1.0)}
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Representando Conjuntos Nebulosos
Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]
9.10
9.17.15.95
7.15.15.75
5.10
)(
altura
alturaaltura
alturaaltura
altura
alturamedia
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Representando Conjuntos Nebulosos
Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]
1.71.5 1.9
µ(x)
altura
Alturas médias
1.0
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Função Unimodal
Uma função é unimodal se
Uma função unimodal contém informação de tal maneira que quando (x)>(y) para um conjunto A implica que x está mais perto da definição ideal de A do que y.
)](),(min[))1((:]1,0[,, 212121 xxxxXxx
bimodalunimodal
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Função Singular
Função singular (singleton) quando
xx
xxxx 0
1)(
SvOutPlaceObject
1
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Função Clássica
Funções clássicas são empregadas para definição de conjuntos clássicos
1
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Função Linear
Conjunto nebuloso dos mais simples
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Função Trapezoidal e Triangular
Fáceis de implementar e permitem representar conjuntos complexos. Podem ser representadas por 4 valores (a, b, c, d)
cba d
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Função Trapezoidal e Triangular
Uma função trapezoidal pode ser especificada por 4 parâmetros (a, b, c, d). Triângulos , b=c
dx
dxccdxd
cxb
bxaab
axax
dcbaxtrap
0
1
0
),,,:(
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Função Sigmóide
É definida usando-se três parâmetros: seu valor 0 de inclusão (), seu valor 1 de inclusão () e o ponto de inflexão (), que é o ponto onde o valor da função de inclusão vale 0.5
x
xx
xx
x
xS
1
21
2
0
),,,( 2
2
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Função Sigmóide
0
1
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Função Beta
É definida com dois parâmetros, o valor em torno do qual a curva é construída () e um valor que indica a metade da largura da curva no ponto de inflexão ()
2
1
1),,(
x
xB
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Suporte de um conjunto
O suporte de um conjunto nebuloso A, definido sobre um universo de discurso X, é um conjunto clássico definido como
}0)(|{ xXxS AA
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Suporte compacto
O suporte de um conjunto nebuloso é compacto quando seu tamanho é menor que o Universo de Discurso original.
Caso a função de inclusão não seja compacta várias regras serão ativadas por cada entrada, causando que o sistema seja sobrecarregado.
Suporte não compacto Suporte compacto
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Conjunto Corte Alfa
O conjunto clássico A, , de elementos que pertencem ao conjunto nebuloso A até pelo menos o grau é chamado de conjunto corte . O conjunto é definido como:
O conjunto clássico A’ é chamado conjunto corte forte. Ele é definido como:
}0)(|{ xXxA A
}0)(|{' xXxA A
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Conjunto Corte Alfa
1
0
Nível alfa
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Cardinalidade
A cardinalidade |A| de um conjunto nebuloso finito A é definida como
A cardinalidade relativa de A é definida como
Xx
xA )(||
X
AA
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Cardinalidade - Exemplo
Seja o conjunto
definido no universo de notas de 0 até 10 com notas de 0.5 em 0.5. A cardinalidade de A vale
Então a cardinalidade relativa de A vale
)}25.0,5.9(),5.0,9(),75.0,5.8(
),1,8(),75.0,5.7(),5.0,7(),25.0,5.6{(A
0.425.05.075.0175.05.025.0|| A
2.020
0.4A
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Cardinalidade - cont
Para conjuntos X infinitos, a cardinalidade é definida como
x
A dxxA )(
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Altura de conjunto nebuloso
A altura de um conjunto nebuloso A é definida como
Um conjunto é definido como normal se HA=1 e subnormal no caso contrário
)}({max xH AXxA
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Distância
Mede a distância que um valor está da definição ideal do conjunto. É definida como
0)(1
)(
10)(
),( xx
xxAd
AA
A
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Distância
0
1
Conjunto A(x)
Distância d(A,x)
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Exemplo de Conjuntos
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Exemplo de Conjuntos
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@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ
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