Un poco de Area de un conjunto plano

Concepto de area

Al definir area aceptaremos que el area A(Ω) de un conjunto cumple las sigu-

ientes propiedades:

1)A(Ω) ≥ 0 (El area de un conjunto debe ser un numero no negativo)

2)Si Ω es un cuadrado de lado K entonces A(Ω) = k2

3)El area del todo es la suma de sus partes.

A(Ω) =4∑

i=1

A(Ωi)

Proposicion El area de un rectangulo es el producto de su base y su altura.

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Demostracion. Sobre un rectangulo ABCD de dimensiones b y a (AB=b y

BC=a) construimos un cuadrado de lado b+a tenemos entonces que

A(AEIH) = (b+ a)2 = b2 + 2ba+ a2

ademas

A(AEIH) = A(ABCD) + A(BECF ) + A(CFGI) + A(DCHG)

como

4ABC ∼= 4CDA ∼= 4CFI ∼= 4IGC

entonces ABCD y CFGI son rectangulos congruentes entonces A(ABCD)=A(CFGI),

por otro lado BEFC es un cuadrado de area a2 y DHGC es tambien un cuadrado

de area b2 por lo tanto

A(AEIH) = 2A(ABCD) + a2 + b2 ⇒ b2 + 2ba+a2 = 2A(ABCD) +a

2 + b2 ⇒

2ba = 2A(ABCD)⇒ ba = A(ABCD)

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Usando lo anterior trataremos de probar que el area de un triangulo de base b

y altura h es bh2

Demostracion. Para ello vamos a dividir h en n partes iguales

y cada proyeccion sobre b genera una particion en n partes iguales (segun la

figura la particion de b es: 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,p que son el mismo

numero en que particionamos a h) ∴ sumando todas las areas de los rectangulos

tenemos:

b · hb

+

(b− b

n

)· hb

+

(b− 2b

n

)· hb

+ ... =h

n

[b+

nb− bn

+nb− 2b

n+ ...

]=

bh

n2[n+ (n− 1) + (n− 2) + ...+ 1] =

bh

n2

[n(n+ 1)

2

]∴ el area para el triangulo sera:

lımn→∞

bh

n2

[n(n+ 1)

2

]=bh

2

formalizando un poco el concepto de area Sea A un subconjunto de R2. Una

cubierta de A es una secuencia de conjuntos (An) tal que A esta contenido en su

union A ⊂⋃∞

n=1An. En una cubierta dada los conjuntos An se pueden traslapar

o intersectar y si para alguna N, An = ∅ para n > N , se dice que A1, A2, ..., AN

es una cubierta finita.

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Hay muchos tipos de cubiertas, y una de ellas es aquella que esta formada por

conjuntos Qn con n ≥ 1 en forma de rectangulos. Esta tambien puede ser finita.

Continuacion un poco de Area de un conjunto plano

Ahora bien para cada intervalo I de la cubierta sea I = b− a su longitud. Para

cada rectangulo Q = I × J sea ‖Q‖ = |I||J | de donde se sabe que ‖Q‖ es

entero positivo o cero. Partiendo del concepto de cubierta finita formada por

rectangulos, se puede concluir que el area del conjunto dado, en este caso A,

esta definida de la siguiente manera:

area de A = inf∞∑n=1

‖Qn‖

con Qn conjunto de rectangulos que forman la cubierta.

Ejemplo.- Dado el segmento de lınea diagonal A = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤

1, y = x encontrar el area de A.

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para esto definimos Qk = (x, y) ∈ R2 | k−1n ≤ x ≤ k

n ,k−1n ≤ y ≤ k

n, K =

1, 2, ..., n. Entonces Q1, Q2, ..., Qn es una cubierta rectangular para A por lo que

area(A) ≤ ‖Q1‖+ ‖Q2‖+ ...+ ‖Qn‖ =1

n2+

1

n2+ ...+

1

n2= n

1

n2=

1

n

tenemos entonces que

area(A) = inf∞∑n=1

‖Qn‖ = inf1

n = 0

Resumiendo un poco, si A es un rectangulo de base b y altura h entonces

‖A‖ = b× h. Si A es un triangulo de base b y altura h entonces ‖A‖ = b×h2

Para el area del paralelogramo tenemos que

area(P ) = area(A)+area(B)+area(C) = ‖A‖+‖B‖+‖C‖ =a× h

2+b×h+

a× h2

=

2a× h

2+ b× h = (a+ b)× h

∴ el area del paralelogramo es igual al producto de su base y altura.

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Si A es un paralelogramo de base b y altura h entonces ‖A‖ = b× h

Area invariante bajo traslaciones

Si (a, b) es un punto en R2 y A es un conjunto contenido en R2, entonces el

conjunto

A+ (a, b) = (x+ a, y + b)|(x, y) ∈ A

representa la traslacion de A por el punto (a,b).

Entonces [A+ (a, b)] + (c, d) = A+ [(a+ c, b+ d)] y para cualquier rectangulo

Q, Q+ (a, b) es un rectangulo y como consecuencia ‖Q+ (a, b)‖ = ‖Q‖; de esto

se puede concluir que el area es invariante bajo traslacion, escribiendose de la

siguiente forma

area[A+ (a, b)] ≤∞∑n=1

‖Qn + (a, b)‖ =∞∑n=1

‖Qn‖

tomando inf∑∞

n=1 ‖Qn‖ = area(A) se tiene que area[A + (a, b)] ≤ area(A)

y de esta ultima desigualdad sustituimos A por A+(a,b) y (a,b) por (-a,-b)

obteniendo

area[A+ (a, b) + (−a,−b)] ≤ area(A+ (a, b))

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∴ area[A] ≤ area(A + (a, b)) estableciendo la invarianza del area bajo la

traslacion

Area invariante bajo dilatacion

Sea k > 0 un numero real y A es un conjunto contenido en R2, entonces el

conjunto

kA) = (ka, kb)|(x, y) ∈ A

representa la dilatacion de A por k.

Entonces k(cA) = (kc)A para k, c > 0 y para cualquier rectangulo kQ, ‖kQ‖ =

k2‖Q‖ de esto se puede concluir que el area es invariante bajo dilatacion, escri-

biendose de la siguiente forma

area(ka) = k2area(A)

en efecto pues si Qn es una cubierta de rectangulos de A entonces kQn es

tambien una cubierta de rectangulos de kA por lo que

area(kA) ≤∞∑n=1

‖kQn‖ = k2

( ∞∑n=1

‖Qn‖

)7

tomando el ınfimo inf (∑∞

n=1 ‖Qn‖) se tiene que area(ka) ≤ k2area(A) y de

esta ultima desigualdad sustituimos 1k por k y A por kA obteniendo

area(1

kkA) ≤ 1

k2area(kA)⇒ k2area(A) ≤ area(ka)

estableciendo la invarianza del area bajo la dilatacion

Vamos a volumenes

Cuando definimos volumen aceptaremos el hecho de que si se trata de un cubo

de lado a entonces V (cubo) = a3 y si se trata de un cilındro circular recto de

radio r y altura h entonces V (cilindro) = πr2h

Problema.- Aproximaremos el volumen de un cono Para esto, dividamos la

altura en n partes iguales, cada una de longitud an .

Construyamos los n cilindros de altura an y radio rk, k=1,...,n donde rk = k r

n .

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Entonces el volumen del k-esimo cilindro es

Vk = πr2kak = π(kr

n)2(a

n) =

πar2k2

n3

Por lo tanto el volumen del cono es

V ≈n∑

k=1

πar2k2

n3=πar2

n3

n∑k=1

k2 =πar2k2

n3n(n+ 1)(2n+ 1)

6=πar2

6(1+

1

n)(2+

1

n)

En consecuencia

V = lımn→∞

πar2

6(1 +

1

n)(2 +

1

n) =

1

3πar2

Aproximar el volumen de una esfera

Para esto fijemonos en la mitad de la esfera

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El radio del k-esimo cilindro es

rk =

√r2 − (k

r

n)2

es decir

r2k = r2 − (kr

n)2

entonces el volumen del k-esimo cilindro es

V = πr2kr

n= π(r2 − (k

r

n)2)

r

n= πr2(1− k2

n2)r

n= πr3(1− k2

n2)1

n

Es la mitad de la esfera, por lo que

V ≈ 2n∑

k=1

πr3(1− k2

n2)1

n= 2πr3(

1

n

n∑k=1

1− 1

n3

n∑k=1

k2)

= 2πr3(1− 1

6(1 +

1

n)(2 +

1

n))

Por lo tanto

V = lımn→∞

2πr3(1− 1

6(1 +

1

n)(2 +

1

n)) =

4

3πr3

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