Congruencias y solución de problemas -...
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Congruencias y solucin de problemas
Instituto de VeranoAFAMaC 2010Arturo Portnoy
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Congruencias Supongamos que en este momento son las
10:00 am. Qu hora ser dentro de 2500 horas? Y qu hora fue hace 2500 horas?
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Congruencias Decimos que ab (mod n) si n|a-b. La congruencia induce una relacin de
equivalencia en los enteros. Encontrar las clases de equivalencia mdulo 4.
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Congruencias Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos
38 (mod 3).
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Congruencias Propiedades algebricas de la congruencia.
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Congruencias Encontrar el residuo mdulo 5 de
37^4+49(801)+120.
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Congruencias Principio de sustitucin: en sumas y productos
en una congruencia podemos sustituir cantidades congruentes.
OJO: 12^62^6 (mod 5) pero 2^6 no es congruente a 2^1 (mod 5).
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Congruencias Demostrar que mdulo 3 y mdulo 9, cualquier
nmero es congruente a la suma de sus dgitos. Estos son los criterios de divisibilidad para el 3 y 9.
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Congruencias Encontrar el dgito de las unidades de
2(325)+3(8^7)+5104+123^5.
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Congruencias Encontrar el dgito de las unidades de
3^2008+3^2006.
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Congruencias Deducir el criterio de divisibilidad del 11,
usando congruencias.
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Congruencias Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se
remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que qued la tarjeta 1002. Miente o dice la verdad?
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Congruencias Conjuntos de residuos: Zn. Operaciones en Zn.
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Congruencias Probar que en cualquier coleccin de 7 o ms
enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.
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Congruencias Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3,
Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y multiplicativos.
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Congruencias Encontrar el inverso multiplicativo de 3 mdulo
17.
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Congruencias Encontrar el inverso multiplicativo de 12 mdulo
15.
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Congruencias Aparear cada uno de los elementos invertibles
bajo el producto de Z12 con sus inversos. Repetir para Z17.
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Congruencias Encontrar, si existen, las soluciones de 4x5
(mod 7). Repetir para 4x5 (mod 6). Repetir para 4x8 (mod 6).
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Congruencias Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas
naranjas tena ayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando haca montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.
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Congruencias Si S(n) denota la suma de los dgitos de un
nmero natural n, encuentre todas las soluciones de n(S(n)-1)=2010, mostrando que son las nicas. (Problema 1, XII OMCC)
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Congruencias Solucin de Marcos Pertierra (estudiante de OMPR). Sabemos que S(n)n (mod 9). n(S(n)-1)n(n-1)20103 (mod 9). n-n-3n-n-120 (mod 9). (n+3)(n-4)0 (mod 9). Por lo tanto, n6 (mod 9) o n4 (mod 9). Adems, como n|2010, los nicos factores que satisfacen lo
anterior son 6, 15, 67, 402, 670 y 1005. Probando cada uno vemos que el nico que sirve es 402.