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Conceptos de Señales -...
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Conceptos de Señales
ELO 313 –Procesamiento Digital de Señales con Aplicaciones
Primer semestre - 2012
Matías Zañartu, Ph.D.
Departamento de Electrónica
Universidad Técnica Federico Santa María
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Transformaciones Lineales Básicas en Tiempo
Continuo
Conceptos de Señales
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CTFT: Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Transformaciones en Tiempo Continuo
Definición CTFT
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4
CTFT: Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
¿No se acuerda de NADA? Urgente leer Capítulos 1-4 de “Signals and systems” de Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Syed Hamid Nawab, 2nd edition, 1997
Transformaciones en Tiempo Continuo
Propiedades de la CTFT
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Transformaciones Lineales en Tiempo Discreto
Conceptos de Señales
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Reflexión
𝑦 𝑛 = 𝑥 −𝑛
Operación espejo con respecto al origen
Transformaciones Lineales
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Corrimiento
𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑛0)
El corrimiento 𝑛0 debe ser un entero
Corrimiento hacia la derecha (restar un 𝑛0 positivo) se asocia a un retardo
¿Cómo se visualiza un retardo en un osciloscopio?
Transformaciones Lineales
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Transformaciones Lineales
Escalamiento temporal
Downsample: 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝐷𝑛)
Reduce la cantidad de muestras. ¿Problemas asociados a esto?
¿Qué sucede con el periodo de la señal, si fuese periódica?
¿Qué problemas puede traer esta operación?
Notación:
Decimation: Downsampling + Filtro pasabajo (antialiasing)
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Transformaciones Lineales
Escalamiento temporal
Upsample: 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛/𝐷)
0
, si 𝑛/𝐷 es un entero , en caso contrario
Aumenta la cantidad de muestras
¿Qué sucede con el periodo de la señal, si fuese periódica?
Notación:
Interpolación: Upsampling + Filtrado pasabajo (antialiasing)
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Preguntas
¿Qué otro tipo de escalamiento existe?
¿Se cancelan siempre las operaciones de downsampling y upsampling?
¿Bajo qué condiciones NO se cancelarían estas operaciones?
Asumiendo que el muestreo se mantiene constante, cuál es su intuición de lo que sucede con las componentes de frecuencia de una señal (ancho de banda) al sufrir operaciones de:
Reflexión
Corrimiento
Downsampling
Upsampling
Para poder contestar bien esta última pregunta necesitamos estudiar la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
Transformaciones Lineales
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Señales Especiales en Tiempo Continuo
Conceptos de Señales
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Señales especiales en tiempo continuo
Sinc es una versión normalizada cuya integral = 1 y con cruces de 0 en enteros (menos en t=0)
La definición de la función delta es intuitiva, pero no formal
→ Delta de Dirac
→ Otras definiciones (Sinc, Gauss, teoría de medida)
→ Integral = 1
→ No es función
Señales en Tiempo Continuo
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CTFT: Transformada de Fourier en Tiempo Continuo
Señales en Tiempo Continuo
Pares de CTFT
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Señales Especiales en Tiempo Discreto
Conceptos de Señales
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Escalón
𝑢 𝑛 = 10, si 𝑛 ≥ 0 , en caso contrario
Impulso
𝛿 𝑛 = 10, si 𝑛 = 0 , en caso contrario
Delta de Kronecker
Propiedad de interés: 𝑥 𝑛0 = 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 − 𝑛0
¿Qué relación existe entre las señales escalón e impulso?
¿Qué ventajas tienen estas señales con respecto a sus contrapartes análogas?
Señales Especiales en Tiempo Discreto
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Rectángulo (ventana cuadrada)
𝑤 𝑛 = 𝑢 𝑛 + 𝑁 − 𝑢(𝑛 − 𝑁)
¿Qué largo tiene esta señal?
MATLAB: rectwinN 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢(𝑛 − 𝑁)
Es la ventana más simple → No modifica la señal finita en la porción donde es distinta de cero
Cuando no se aplica una ventana a una señal se está usando ésta
Señales Especiales en Tiempo Discreto
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Sinusoides
𝑥 𝑛 = 𝐴 sin(𝜔0𝑛 + 𝜃)
Frecuencia: 𝜔0 = 2𝜋/𝑁 para una señal con período N
Si 𝜔1 = 𝜔0, y 𝜔2 = 𝜔0+ 2𝜋𝑘 entonces 𝜔1 es equivalente a 𝜔2
Dependiendo de 𝜔0, 𝑥 𝑛 puede verse no muy sinusoidal
𝑥 𝑛 es periódica si 𝜔0 = 2𝜋(𝑝/𝑞), donde p y q son enteros, donde q sería el período
Señales Especiales en Tiempo Discreto
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Sinc
La definición en tiempo discreto es igual a tiempo continuo
¿Qué pasa con T=1?
Es conveniente definir otra función sinc periódica de período 2π y definida en el dominio de la frecuencia
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Señales Especiales
Tn
TnTn
)sin()(sinc
)2/sin(
)2/sin()(psincN
N
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Operador Rep
Produce una señal periódica de período T
Definición se puede extender a tiempo discreto: ¿Cómo?
¿Qué sucede si la señal es también periódica?
Señales Especiales: Operadores
k
kTtxtx )()]([repT
)(tx
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Señales Especiales: Operadores
kk
kTttxtxkTttx )()()()()]([combT
Operador Comb
Produce una señal modulada por un tren de pulsos de período T
Definición se puede extender a tiempo discreto ¿Cómo?
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Pregunta
¿Cuál es la transformada de Fourier de éstas señales?
Intuición: Similar a las contrapartes análogas
Para poder contestar esto necesitamos estudiar la DTFT
Señales Especiales
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Operadores: CTFT
Los operadores comb y rep se relacionan en el dominio de la frecuencia
¿Cuál es la relación en tiempo y frecuencia entre las señales?:
Tiempo continuo vs discreto
Periódicas y aperiódicas
¿Cuál es la CTFT de un tren de impulsos?
Señales Especiales
Pares de CTFT
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Tren de impulsos
La CTFT de un tren de impulsos es también un tren de impulsos (con distinto espaciamiento y amplitud)
Reciprocidad en la separación de los impulsos en tiempo y frecuencia
Un tren de impulsos se puede representar con operadores comb y rep
Señales Especiales
n
T
nTt
trepts
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CTFT
CTFT t 1