Conceptos de Calculo Variacional

A. Carnicero

LA FORMULACIÓN DÉBIL DEL PROBLEMA ELÁSTICO

1. CONCEPTOS GENERALES

Sea el problema de contorno

Au f u Ω− = ∈ (1.1)

con sus correspondientes condiciones de contorno definidas en Ω∂ . El operador A, es un

operador de segundo orden1 lineal y definido positivo. El planteamiento diferencial, o

solución fuerte del problema, exige continuidad en la segunda derivada de la variable de

campo ( ( )2u C Ω∈ ). En problemas con dominios irregulares o o fuertes variaciones de ‘f’ o

de las fuerzas en el dominio, es posible que no se pueda encontrar esa solución con un nivel

tan exigente en cuanto a continuidad. Aparece un planteamiento alternativo, la formulación

débil o integral, que se presenta a continuación.

Considerese el funcional:

Au f 0+ = (1.2)

como

*V Vu Au f

→→ +

V* es el espacio de aplicaciones lineales y continuas de V en R (Espacio Dual2).

Partiendo de la ecuación (1.2) realizamos el producto escalar3 en L2

Au, f , Vη η η− = ∀ ∈ (1.3)

1 El procedimiento puede extenderse sin dificultad a operadores de orden superior2 El Espacio Dual es un espacio topológico, lineal, normado, Banach (las series de Cauchy son convergentes) y Hilbert (el

producto escalar recupera la norma).

La formulación débil del problema elástico 2

donde η son las denominadas funciones de prueba, a las que en principio no se les exige

ningún tipo de condición. Desarrollando los productos escalares

Au f VΩ Ω

η η η− = ∀ ∈∫ ∫

Si se emplea la identidad de Green4 (integral por partes) para transformar la integral en el

dominio, se tiene

* * *A u A A u n fΩ Ω Ω

η η η∂

⋅ − ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ (1.4)

donde A*, es un operador de primer orden. Dado que las funciones de prueba pueden ser

cualesquiera, podemos elegir (cuando sea posible) un conjunto que verifique las condiciones

de contorno homogeneas del problema de forma que (1.4) se reduce a

* *A u A fΩ Ω

η η⋅ =∫ ∫ (1.5)

Las ecuación (1.4) y (1.5) constituyen la denominada solución débil del problema. De esta

forma, las exigecias de continuidad sobre la variable de campo se han reducido, así5:

* 21u, A u L

Espacio de Sobolev Wu g ; u Ω

∈

= ∈∂

Denotaremos por

3 f ,g f g; f,gΩ

= ⋅ ∈∫ ¡4 Sean f(x)=f(x1,x2,......,xn) y g(x)=g(x1,x2,......,xn) funciones de n variables. El Teorema de Green dice

i

i i

f gg f g n f

x xΩ Ω Ω∂

∂ ∂= ⋅ ⋅ −

∂ ∂∫ ∫ ∫

5 Se denotara por Wi0 el espacio de Sobolev con condiciones de contorno homogéneas y ‘exigencias’ hasta la derivada iesima.


[ ]( )G u Au f ,η η= +

es decir, a la formulación débil del problema.

1.1.1 Ejemplo

Supongamos una cierta función continua 2Cη ⊂ y que verifica las condiciones de contorno

esenciales (en desplazamientos) del problema. Partimos de la ecuación de campo para flexión:

2 2

2 2

d d vEI q( x )

dx dx

=

l l2 2

2 20 0

d d vEI dx q( x ) dx

dx dxη η

⋅ = ⋅ ⋅

∫ ∫

integrando dos veces por partes se tiene que

( ) ( )l l l l2 2 2 2

2 2 2 20 00 0

d d v d d v d d vEI EI EI qdx

dx dx dx dx dx dxη η

η η− + =∫ ∫

donde los dos primeros términos son las condiciones de contorno naturales. En el caso de

considerar una viga de sección constante:

ll l2 2

2 20 0 0

d d v dEI qdx M Q

dx dx dxη η

η η = + − ∫ ∫ (1.6)

Este resultado obtenido mediante la ecuación (1.6) es el obtenido mediante la formulación

energética o variacional. Esta formulación se denomina formulación débil del problema y

constituye un planteamiento alternativo a la formulación diferencial o fuerte. Interpretando los

términos de la ecuación (1.6) se tiene que el término de la izquierda representa el trabajo

realizado por los momentos internos al considerar una ‘deformada virtual’, η , mientras que

los términos de la derecha representan el trabajo de las cargas exteriores, bien aplicadas sobre

la barra bien sobre los bordes de la misma.


La solución a las ecuaciones de campo en un caso general puede ser dificil y/o costosa de

obtener cuando no imposible. Por lo tanto en muchas ocasiones nos hemos de conformar con

encontrar soluciones que se aproximen a la real. En este caso es necesario definir el conjunto

de funciones candidatas a ser solución del problema y la acotación del error.

En general se buscan funciones simples (polinómicas o trigonométricas) que verifiquen las

condiciones de contorno esenciales.

Tomenos por ejemplo el caso de una viga con carga uniforme y aproximamos la solución por:

xv( x ) Asen

lπ

;

que verifica las condiciones de contorno.

Sustituyendo en la ecuación (1.6) se tiene:

l l2 2

2 20 0

A d xEI sen dx qdx

l dx lπ ϕ π

ϕ− =∫ ∫

dado que la función ϕ puede ser cualquiera, consideramos x

senl

πϕ =

22 l l

0 0

x xA EI sen dx sen qdx

l l lπ π π − =

∫ ∫

considerando que la viga es de sección constante, se tiene que

l3 4

4 50

2l x 4lA q sen dx q

EI l EIπ

π π= =∫

por lo que la solución aproximada es de la forma

4

5

4l xv q sen

EI lπ

π= ⋅

La figura inferior muestra la diferencia entre la solución exacta y la solución aproximada,

como se puede ver el error cometido es del orden del 1 %.


0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Longitud

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Solución exacta

Solución aproximada

Error

Figura 1 - 1. Comparación entre la solución aproximada y la exacta para una viga apoyada

1.2 El problema de mínimo

Un planteamiento alternativo al presentado es buscar la solución como el mínimo de un

funcional. Bajo determinadas condiciones es posible garantizar la existencia de ese funcional

[ ]uΦ a minimizar. El funcional se construye de la forma

[ ] [ ]( )1

0

u G tu u dtΦ = ∫

En el caso presentado anteriormente se tiene que

[ ] ( )2*1u A u fu

2Ω

Φ = −∫

en el caso de elasticidad lineal este funcional a minizar es la energía de deformación.

1.3 Aplicación al caso de tracción

En el caso de una barra a tracción la formulación débil del problema es

[ ]( ) ( )l

l

00

G u ' AEu' q dx Nη η η η= − −∫

Por lo tanto el funcional a minimizar es


[ ] ( )( )1 l

l

00 0

u u' AE ut ' uq dx uN dtΦ

= − −

∫ ∫

[ ] ( )l

l2

00

1u AE u' uq dx uN

2Φ = − −

∫

Relacionando el desplazamiento con la fuerza axil en la barra se tiene que el funcional se

puede escribir como

[ ]l l2

l

00 0

Nu dx uqdx uN

2AEΦ = − −∫ ∫

Pensemos en el caso de que la carga por unidad de longitud, q, fuese una carga concentrada P

y que en su punto de aplicación hay un desplazamiento u=uo. Supongamos también que los

extremos están fijos. El funcional anterior será

[ ]l 2

o0

Nu dx Pu

2AEΦ = −∫

El valor del desplazamiento uo puede calcularse minimizando el funcional respecto del valor

de P, es decir

[ ]( ) [ ] l 2int

o0

u UNP Min u 0 u dx

P P 2AE PΦ

Φ ∂ ∂∂

⇒ = ⇒ = = ∂ ∂ ∂ ∫

Es decir, obtenemos el Teorema de Castigliano.

2. APLICACIÓN A ELASTICIDAD

El problema de contorno planteado en la teoría de elasticidad es

ij ,i j

ij i 1

jj 2

f 0 en n en

u u en

σ Ωσ Ω

Ω

+ =

∂ = ∂

i (1.7)


este problema es el mismo que el planteado en (1.1). El operador A de la ecuación (1.7) se

denómina operador de la teoría de la elasticidad. Es un operador definido positivo.

Denotemos por jη las funciones de prueba con condiciones homogeneas en 2Ω∂ . Empleado

los conceptos expuestos anteriormente sobre la primera de las ecuaciones (1.7)

ij ,i j j jf 0Ω Ω

σ η η⋅ + ⋅ =∫ ∫

y dado que

( )ij j ij ,i j ij j ,i,iΩ Ω Ω

σ η σ η σ η⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

es posible escribir

( )ij j ij j ,i j j,if 0

Ω Ω Ω

σ η σ η η⋅ − ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫

Suponiendo que se cumplen los requisitos para aplicar el Teorema de la divergencia6

( )1

ij j i ij j ,i j jn f 0Ω Ω Ω

σ η σ η η∂

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫

Debido a la simetría que presenta los tensores de tensión y deformación y asociando las

funciones de prueba a desplazamientos, se tiene que las deformaciones producidas por estos

serán

( )ij

*j ,i i , j

12

ε η η= +

luego


1

*ij ij j j j jP f

Ω Ω Ω

σ ε η η∂

= ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ (1.8)

que representa la formulación débil del problema elástico.

Esta expresión tambien es conocida como Principio de la Trabajos Virtuales (PTV). Ya que la

expresión (1.8) puede interpretarse como una igualdad entre el trabajo realizado por las

fuerzas internas (tensiones) y las fuerzas externas al dar un desplazamiento ‘virtual’,

representado por las funciones de prueba, al sistema.

Para la deducción de (1.8) no se ha realizado ninguna hipótesis en cuanto al comportamiento

del material, por lo tanto esta expresión es válida tanto para modelos de comportamiento

lineales como no lineales.

2.1 Problema de Mínimo

Planteando el problema como la minimización de un funcional, se tiene que el funcional a

minimizar es

( )1

*j ij ij j j j j

1F P f

2 Ω Ω Ω

η σ ε η η∂

= − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫ (1.9)

Dado que la funciones de prueba pueden ser cualesquiera, supongamos que éstas coinciden

con el campo real de desplazamientos, se tiene que el funcional a minimizar es

( )1

j ij ij j j j j

1U u P u f u

2 Ω Ω Ω

σ ε∂

= − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫ (1.10)

El primer término de la ecuación (1.10) es la energía debida a la deformación, o energía

interna (en el caso de materiales elásticos se le conoce comúnmente como energía elástica),

mientras que el segundo es la energía potencia de las cargas exteriores y fuerzas volumétricas.

De ahí que este tipo de formulación también se demonime formulación energética.

6 ( )div t t nΩ Ω∂

= ⋅∫ ∫


De la condición de mínimo, se deduce que el campo de desplazamientos es aquel que

minimiza la energía del sistema, es decir

( ) ( )u u U u Min U u= =

de donde se deduce

U0

u∂

=∂

(1.11)

Esta condición precisamente el punto de partido del denominado Método de Ritz, donde se

supone que la solución al problema es de la forma

i ii

u a ϕ= ∑ (1.12)

La condición (1.11) permite obtener los coeficientes de la ecuación (1.12) mediante la

resolución de un sistema de ecuaciones lineales. La aplicación de las ecuaciones (1.11) y

(1.12) sobre un dominio previamente discretizado es la base del Método de los Elementos

Finitos.

2.1.1 Ejemplo

Consideremos el caso de una placa rectangular empotrada en sus extremos y con una carga

uniformemente distribuida.

b

a


En primer lugar es necesario plantear la ecuación de la energía interna de la placa en forma

integral en función del desplazamiento vertical w de sus puntos. Esta ecuación puede

encontrarse en cualquier libro de elasticidad,

( ) dydxyx

wyw

xw

yw

xw

DUA∫∫

∂∂

∂−

∂∂

∂∂

−−

∂∂

+∂∂

=22

2

2

2

22

2

2

2

2

1221

ν

El trabajo realizado por la carga ),( yxp aplicada sobre la placa será

dydxyxpyxwWA∫∫= ),(),(

La energía potencial de la placa quedará por tanto expresada según la siguiente relación

⇒−=Π WU

( ) ∫∫∫∫ −

∂∂

∂−

∂∂

∂∂

−−

∂∂

+∂∂

=Π⇒AA

dydxpwdydxyx

wyw

xw

yw

xwD

22

2

2

2

22

2

2

2

2

122

ν

Utilizaremos las condiciones de contorno del problema para simplificar en parte la ecuación

anterior. Estas condiciones de contorno, que ya deben de resultarnos bastante familiares, son,

0=w y 0=∂∂

xw

en 0=x y ax =

0=w y 0=∂∂

yw

en 0=y y by =

Se integrará por partes el término de las derivadas cruzadas para simplificarlo gracias a las

condiciones de contorno

∫∫∫∫ =∂∂

∂∂∂

∂=

∂∂

∂AA

dydxyx

wyx

wdydx

yxw 2222

=∂∂

∂∂∂

−∂∂

∂∂∂

= ∫ ∫∫ dydxxw

yxw

dxxw

yxw

l A 2

32

dydxyw

xw

dyyw

xw

dxxw

yxw

All ∫∫∫∫ ∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂∂

= 2

2

2

2

2

22

Aplicando las condiciones de contorno se obtiene que las dos primeras integrales son nulas

por lo que


dydxyw

xw

dydxyx

wAA ∫∫∫∫ ∂

∂∂∂

=

∂∂

∂2

2

2

222

De aquí se deduce que todo el término que se encuentra multiplicando al factor ( )ν−12 en la

expresión de la energía potencial de la placa es nulo,

022

2

2

2

2

=

∂∂

∂−

∂∂

∂∂

∫∫ dydxyx

wyw

xw

A

Con lo cual, la expresión de la energía interna de flexión queda reducida a

∫∫

∂∂

+∂∂

=A

dydxyw

xwD

U2

2

2

2

2

2

Es en este punto cuando introducimos una expresión para los desplazamientos verticales de la

placa. Como ya se dijo anteriormente la función elegida simplemente debe verificar las

condiciones de contorno del problema que se quiere resolver. Supondremos que la flecha de la

placa viene dada por la siguiente expresión

∑∑∞

=

∞

=

−

−=

1 1

2cos1

2cos1),(

m nnm b

yma

xmayxw

ππ

donde los coeficientes nma son las incógnitas del problema. Sustituyendo el desplazamiento

),( yxw supuesto en la expresión de la energía interna de flexión de la placa que calculamos

anteriormente queda

dxdya

xmb

ynbn

byn

axm

am

aD

Ub a

m nnm

2

0 01

2

2

2

2

1

2 2cos1

2cos

2cos1

2cos4

2 ∫ ∫ ∑∑

−

+

−

=

∞

=

∞

=

πππππ

Desarrollando la expresión anterior se obtiene

+

+

+

+

= ∑∑∑∑∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=nsnr

m r ssmrm

m r snm

m n

aabn

aaam

abn

am

bn

am

DbaU1 1 1

4

1 1 1

42

1 1

22444 222332π

La expresión anterior es válida siempre que sr ≠

Utilizaremos ahora la expresión supuesta para ),( yxw con el objeto de calcular el trabajo

realizado por la carga 0),( pyxp = . Sustituyendo en la expresión del trabajo W planteada la

principio de este desarrollo se obtiene


∫ ∑∑∫ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=

−

−=

b

m nnm

a

m nnm aabpdydx

bym

axm

apW0

1 100

1 10

2cos1

2cos1

ππ

Para obtener ahora la solución ),( yxw buscada se minimiza la expresión de la energía

potencial de la placa obteniéndose un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los

coeficientes nma del desarrollo en serie de Fourier que determina la expresión de la flecha

0=∂

Π∂

nma con lo cual

0222334 01

4

1

422444 =−

+

+

+

+

∑∑

∞

=

∞

=

bapabn

aam

abn

am

bn

am

baDr

nrr

rmnmπ

De aquí se pueden obtener tantos coeficientes nma como se quiera con sólo plantear el

correspondiente sistema de ecuaciones algebraicas.

Particularizamos para un solo término de los desarrollo en serie.

Se va a obtener en primer lugar el coeficiente 11a para lo cual simplemente será necesario

sustituir m y n por 1 en la ecuación que general que acabamos de obtener y resolver. Lo que

estamos haciendo en este caso es aproximar la flecha de la placa ),( yxw por el primer

término de la serie que utilizamos para representar la flecha de la placa al plantear el

problema.

−

−≅

bym

axm

ayxwππ 2

cos12

cos1),( 11

Se están despreciando por tanto todos los demás coeficientes de la serie por lo que la ecuación

a partir de la cual se obtiene el coeficiente buscado es

Dap

aba

ba

4

40

11

24

4233

π=

+

+

Llegados a este punto es necesario dar valores numéricos a los diferentes parámetros del

problema. Se darán los mismos valores que ya se dieron en el capítulo 1 para así poder

comparar los resultados que se obtienen por este método con los resultados que en su

momento se obtuvieron utilizando tanto la formulación fuerte como el método de los

elementos finitos.


mmtmb

ma

mN

E

Pap

203

5.13.0

102

25000

211

0

====

⋅=

=

ν

Para estos valores numéricos se obtiene que 000601196.011 =a . Si representamos la flecha

aproximada por el primer término de la serie se obtiene el siguiente gráfico:

Puede observarse que la aproximación a la placa empotrada que estamos buscando ya es

extraordinariamente buena. Haciendo la comparación entre el resultado obtenido por

elementos finitos con el modelo de 32 elementos con 8 nodos por elemento (gráfica en rosa),

el resultado obtenido de resolver la formulación fuerte del problema tomando los 10 primeros

términos de la serie solución (gráfica en verde) y este resultado que acabamos de obtener

quedándonos con el primer término de la serie resultante de resolver el problema aplicando el

método de Ritz (gráfica en azul) se obtiene el siguiente resultado,


Las flechas máximas obtenidas por cada uno de los tres métodos son las siguientes:

mmwmmw

mmw

otérRitz

ANSYS

fuertenformulació

40478.21972.2

30686.2

min1 ==

=

Los errores relativos del resultado que se acaba de obtener respecto a los obtenidos en el

capítulo 1 son de aproximadamente el 4.25% comparándolo con el resultado obtenido tras

resolver la ecuación diferencial y del 9.45% si se compara con el resultado proporcionado

por ANSYS.

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