DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Desarrollado por Lic. Oscar Ardila Chaparro

Calculo Diferencial

Definición

Confuso ?

“Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto previamente establecido”

Conceptos incluidos en la definición

En la grafica se muestra como ejemplo la recta tangente a una circunferencia (nótese que solo existe un punto de intersección entre los objetos matemáticos).

Recta tangente: Es una recta que tiene solo un punto común con una curva o función.

Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en el eje horizontal (relación de cambio).

Notación:

ym

x

2 1

2 1

y ym

x x

Conceptos incluidos en la definición

Recta secante: Es una recta que interseca dos o más puntos de una curva.

Conceptos incluidos en la definición

Si tenemos claros los conceptos en los cuales se fundamenta la

definición su comprensión será muy sencilla

Conceptos incluidos en la definición

Demostración geométrica

Tenemos una recta tangente y una secante con un punto común P. Por otra parte la secante pasa por los puntos P y Q y la distancia entre ellos sobre el eje x esta dada por ∆x. cada cuadro en la grafica equivale a la unidad.

(a, f(a)) (a+∆x, f(a+ ∆x))

( ) ( ) ( ) ( )f a x f a f a x f am

a x a x

La pendiente de la recta secante esta dada por la relación:

Demostración geométrica

Analiza la siguiente secuencia de graficas y observa como cambia la recta secante y el parámetro Δx.

1

Demostración geométrica

2

Demostración geométrica

3

Demostración geométrica

4

Preguntas orientadoras

• Que pasa con el valor de ∆x?• Que pasa entre las rectas tangente y

secante?• Para que la recta tangente y la recta secante

sean iguales como debería ser el valor de ∆x?

• Un limite podría ayudarnos con el análisis de esta situación?

Finalmente

A partir de el análisis de la situación planteada podemos determinar que la derivada esta dada por la siguiente expresión:

0

( ( )) ( ) ( )limx

d f x f a x f a

dx x

Se lee derivada de f(x) evaluada en términos de x.

A medida que ∆x tiende a cero la recta secante se aproxima a la recta tangente. Si esto es correcto podemos afirmar que el calculo del limite y la relación planteada es equivalente al calculo de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto P establecido (definición geométrica de la derivada).

GRACIAS POR TU

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