Comunicare, ragionare, comprendere: i legami tra ... · Linguaggio quotidiano Linguaggio della...
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Comunicare, ragionare, comprendere: i legami tra
educazione linguistica e matematica
Pier Luigi Ferrari
Università del Piemonte Orientale
Dipartimento di Scienze e Innovazione Tecnologica
Convinzioni e atteggiamenti degli studenti
Convinzione che il linguaggio abbia un ruolo marginale nella matematica
Convinzioni di chi fa ricerca
Linguaggio quotidiano
Linguaggio della matematica
‘Naturale’
‘Formale’
‘Conciso’
‘Rigoroso’
Nella scuola
Linguaggio per fare matematica
Linguaggio per comunicare
Caratteristiche divergenti
Cooperativo
Poco cooperativo
Approccio funzionalista Michael A.K. Halliday , Ruqaiya Hasan Le funzioni sociali del linguaggio ne disegnano la grammatica.
Confronto fra registri colloquiali e registri
evoluti
Registri matematici come forma estrema di
registri evoluti
I registri colloquiali sono fondamentali nella costruzione dei concetti
Problema (Radford, 2000; Ferrari, 2006)
O O O O O O
O O O O O O O O O O
Quante palline ci sono nelle figure fino alla ventesima?
Trovate una formula per calcolare il numero delle palline di ogni figura.
Riferimenti deittici (e anaforici)
“Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari”
Espressioni
che il contesto rende non ambigue
che aprono la strada a generalizzazioni
“Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla figura”
“ Al numero indicato nella figura”
“Perché in alto ce n’è sempre una in meno”
“In meno rispetto alla base”
Funzioni del linguaggio in matematica
Organizzazione del sapere: tassonomie tecniche
Organizzazione del discorso: argomentazione
Comuni alle discipline scientifiche
Decidibilità, rappresentazione degli algoritmi
Organizzazione del sapere: il lessico matematico
Gerarchia inclusiva
Equilatero/isoscele Quadrato/rettangolo
</ Razionale/reale
Rappresentazione efficiente del sapere matematico
Retta/curva
Conseguenza che deriva dal contenuto di un testo ma anche dall’assunzione che sia cooperativo.
“ABCD è un rettangolo ”
“Non tutte le caramelle sono alla menta”
implicatura
Non è un quadrato
Qualcuna è alla menta
“Trova le soluzioni dell’equazione …”
“Trova tutte le soluzioni dell’equazione …”
“Trova, se ne esistono, tutte le soluzioni dell’equazione …”
“Se l’equazione … ha soluzioni, trovale tutte, altrimenti …”
“Se l’equazione … ha una o più soluzioni, trovale tutte, altrimenti …”
3( )f x x x
−2 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−2 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−2 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
“Quale grafico corrisponde a f ?
“ Uno dei grafici corrisponde a f . Quale?
−2 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y “Una delle equazioni corrisponde al grafico. Quale?”
3 1y x
3 1y x
3 1y x
2 1y x
Sintassi rigida
23+4 2(3+4)
Proprietà di decidibilità, algoritmi
Operazioni aritmetiche Radici equazioni
Organizzazione del testo a < b
a è minore di b
b > a
b è maggiore di a
Unicità di lettura di una formula
Topic Focus
1 1 4 3
3 4 12 12
Funzione puramente tecnica
Comportamenti rilevabili
Difficoltà nell’uso del linguaggio
Produzione di testi inaccurati, abuso dei
registri colloquiali
Errori di interpretazione di lessico, testi, formule,
immagini
Comportamenti non rilevabili
Mancate risposte, risposte a caso, risposte da stress
Linguaggio / conoscenze
Il prezzo di un prodotto all’inizio dell’anno è 50000 €. Nel corso dell’anno il prezzo aumenta del 20%.
Quanto costa il prodotto alla fine dell’anno?
Risposta: “52000 €. 50000 + 20 100 = 50000 + 2000 = 52000”
20%
Scritto
20100
Parlato
“Venti per cento”
Tra i grafici riportati sotto indicane tre che non corrispondono, nell’intervallo visualizzato, alla derivata della funzione g rappresentata a destra. Motiva.
−10 −5 5 10
2
4
6
x
y
−10 −5 5 10
−2
2
4
x
y
Grafico A
Oltre il lessico: l’organizzazione dei testi matematici.
La distanza di due punti di coordinate P(x,y) e Q(a,b)
è la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze fra le ascisse di P e Q e le ordinate di P e Q.
2 2
PQd x a y b
Considero P e ne determino l’ascissa x e l’ordinata y. Considero Q e ne determino l’ascissa a e l’ordinata b. Calcolo la differenza fra l’ascissa di P e quella di Q e la elevo al quadrato. Calcolo la differenza fra l’ordinata di P e quella di Q e la elevo al quadrato. Sommo i due quadrati
così ottenuti. Calcolo la radice quadrata della somma.
Metafora grammaticale (Halliday)
Un’espressione è sostituita da un’altra di categoria grammaticale diversa
Nominalizzazione
Verbi nomi Addizionare somma Dividere divisore, … Unire unione
Aggettivi nomi Continuo continuità Parallelo parallelismo
Verbi aggettivi Crescere crescente Dividere divisibile
Altre trasformazioni
Se gli Umori dell’Occhio si degradano per l’Età avanzata, in modo da rendere, a causa della contrazione, la Cornea e la Membrana dell’Umor Vitreo più piatte di prima, la Luce non verrà rifratta abbastanza, e per mancanza di una sufficiente Rifrazione non convergerà al fondo dell’Occhio ma in qualche luogo oltre esso, e di conseguenza disegnerà nel fondo dell’Occhio un’Immagine confusa, and in base alla Confusione di questa Immagine l’Oggetto apparirà confuso. Questa è la ragione del degrado della vista nei Vecchi, e mostra perché la loro Vista è accomodata dagli Occhiali. Infatti quelle lenti Convesse compensano la mancanza di rotondità nell’Occhio, e aumentando la Rifrazione, fanno convergere i Raggi prima, in modo da incontrarsi distintamente al fondo dell’Occhio se la lente ha un grado di convessità adatto.
Complessità dei testi
Atteggiamenti Testi come prodotti
fuori controllo
Testi poco importanti
Lunghezza dei testi Processi di lettura selettivi
“Trova tutti i numeri primi della forma 2k+1, con k primo.”
Nel caso di passaggi in cui l’interpretazione attesa differisce da quella colloquiale, la percentuale di insuccesso dipende fortemente dalla lunghezza del testo e dalla presenza di elementi ritenuti focali dagli studenti (anche in base al contratto didattico).
2 1 1 1x x x
“Scrivi un polinomio di II grado con almeno due radici intere e almeno una razionale.”
Argomentazione
Per lo studente è innanzitutto la produzione di un testo.
Coesione del testo Organizzazione logica dell’argomentazione
Struttura topic – focus
Coesione testuale
Il tema della coesione testuale si sovrappone a quello dell’organizzazione logica degli argomenti.
Sia f definita in da
a) Calcola f ’(x) ……………………………..
Tra i grafici che seguono identificane uno che sicuramente non corrisponde a f. Spiega.
1
3
5( )
5
x
xf x
A) B)
x
y
x
y
Lo studente MF segna la B. Scrive: “Sicuramente non è il B perché la retta non può essere lineare e deve toccare l’asse delle x.”
Lo studente ZM segna la B. Scrive: “L’equazione essendo decrescente non ha un andamento costante, quindi la B non è. Nella A la x diventa 0, quindi la linea passa per i punti delle ascisse.”