COMPORTAMIENTODINÁMICODE’...

TRABAJO FIN DE MÁSTER Autor: Luis Moya Guindo Director: D. Francisco Martínez Cutillas

U n i v e r s i d a d P o l i t é c n i c a d e M a d r i d S e p t i e m b r e d e 2 0 1 5

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM

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ÍNDICE

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 4

1.1. EL FENÓMENO DE LA INESTABILIDAD LATERAL ............................................ 5 1.1.1. Antecedentes .................................................................................................................... 5 1.1.2. Descripción del fenómeno ........................................................................................... 6 1.1.3. Vulnerabilidad frente inestabilidades laterales ................................................... 8

1.2. OTROS FENÓMENOS NATURALES DE SINCRONIZACIÓN .............................. 9 1.3. FUERZAS DE REACCIÓN INDUCIDAS POR EL PEATÓN ................................... 9

1.4. ESTADO DEL ARTE .................................................................................................. 12 1.5. OBJETIVOS DEL TRABAJO ..................................................................................... 13

CAPÍTULO 2. MODELOS ..................................................................................................... 14

2.1. MODELO DE ARUP ...................................................................................................... 14 2.1.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 14

2.1.2. DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS ...................................................................... 14 2.1.3. DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS ................................................................. 14 2.1.3.1. Bases teóricas ................................................................................................................ 14 2.1.3.2. Procesamiento de los resultados ............................................................................ 18

2.1.4. DESCRIPCIÓN DEL MODELO ............................................................................. 22 2.1.5. CONDICIONES PARA LA ESTABILIDAD ......................................................... 26

2.2. MODELO DE MACDONALD .................................................................................... 29 2.2.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 29

2.2.2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ............................................................................ 29 2.2.2.1. Solución para plataforma estática .......................................................................... 30 2.2.2.2. Solución para plataforma móvil .............................................................................. 34

2.2.3. CONTENIDO EN FRECUENCIAS DE LA FUERZA LATERAL ........................ 37

2.2.4. AMORTIGUAMIENTO NEGATIVO .................................................................... 40 2.2.5. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 42

2.3. MODELO DE STROGATZ ........................................................................................ 44

2.3.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 44 2.3.2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO ............................................................................. 44

2.3.3. ECUACIONES PROMEDIADAS ........................................................................... 45 2.3.4. NÚMERO CRÍTICO DE PEATONES ................................................................... 48

2.3.5. MEDIDA DEL GRADO DE SINCRONIZACIÓN ................................................. 49

2.3.6. EJEMPLO DE SIMULACIÓN ................................................................................. 49 2.3.7. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 55

2.4. MODELO PROPIO ..................................................................................................... 58


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2.4.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 58 2.4.2. OSCILADOR ARMÓNICO SOMETIDO A FUERZA DE ROZAMIENTO ....... 58

2.4.3. MODELOS SENCILLOS DE EXCITACIÓN LATERAL ...................................... 61 2.4.3.1. Modelo con fuerza lateral periódica constante .................................................. 61 2.4.3.2. Modelo con fuerza lateral periódica proporcional a la amplitud y amortiguamiento no viscoso ................................................................................................... 62 2.4.3.3. Modelo con fuerza lateral periódica proporcional a la amplitud y amortiguamiento viscoso ......................................................................................................... 66

CAPÍTULO 3. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ............ 72

3.1. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS MODELOS ......................................... 72 3.2. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 74

3.3. RECOMENDACIONES PARA FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ........ 75

REFERENCIAS ....................................................................................................................... 77 APÉNDICE. COMANDOS DE MATHEMATICA ............................................................... 80

A1. MODELO DE ARUP ....................................................................................................... 80 A2. MODELO DE MACDONALD ........................................................................................ 81

A3. MODELO DE STROGATZ ............................................................................................. 83

A4. MODELO PROPIO ......................................................................................................... 86


CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

El sábado 10 de junio del año 2000 se inauguraba oficialmente el Millennium Bridge, una pasarela peatonal suspendida sobre el Támesis llamada a ser uno de los grandes atractivos de la ciudad de Londres. Su diseño innovador había corrido a cargo de un equipo multidisciplinar integrado por el prestigioso estudio de arquitectura Foster&Partners, la firma de ingeniería Arup y el reputado escultor Sir Anthony Caro. Miles de personas se agolpaban el día de su apertura dispuestas a recorrer los 332 metros que separan Peter’s Hill, en la orilla norte del río, de la catedral de Saint Paul, en la orilla sur. Sin embargo, en el transcurso de pocos minutos, el puente comenzó a experimentar vibraciones laterales imprevistas, con amplitudes de hasta 70mm en el vano central.

Ilustración 1.1. Vista del Millennium Bridge desde Peter's Hill. Fuente: es.wikipedia.org

Las imágenes de vídeo capturadas a lo largo del día de la inauguración muestran claramente como un número significativo de los peatones modificaba su forma de caminar para adaptarse al movimiento del puente con la intención de mantener el equilibrio, mientras otros, visiblemente incómodos, se aferraban a las balaustradas a ambos lados del tablero. Los movimientos tuvieron lugar, fundamentalmente, en el vano sur, con una frecuencia de 0.8Hz, y en el vano central, con frecuencia de 1.0Hz (ambas frecuencias corresponden al primer modo lateral del vano en cuestión). Ocasionalmente, también se produjeron movimientos excesivos en el vano norte. Asimismo, se observó que la amplitud de las oscilaciones no era proporcional al número de peatones sobre la plataforma, sino que esta únicamente se disparaba cuando el número de viandantes superaba un cierto valor crítico. La pasarela fue clausurada sine die dos días más tarde con objeto de investigar el fenómeno en profundidad y disponer las medidas precisas para su correcto funcionamiento.

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COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES Luis Moya Guindo Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM 1.1. EL FENÓMENO DE LA INESTABILIDAD LATERAL 1.1.1. Antecedentes Los fenómenos de inestabilidad en puentes peatonales debidos a efectos resonantes son conocidos, al menos, desde que a mediados del siglo XIX se produjera el colapso del puente de Broughton, en Manchester, mientras una tropa de 74 soldados lo cruzaba marcando el paso. La mayor parte de las patologías registradas se asociaban, sin embargo, a cargas dinámicas verticales, las cuales representan aproximadamente el 40% del peso del peatón. Por el contrario, las cargas laterales, de magnitud alrededor de una décima parte de las verticales (sobre plataforma inmóvil), se suponían aleatorias y tendentes a anularse en una multitud, con escasa repercusión sobre el funcionamiento de la estructura. Los llamativos sucesos acontecidos en el Millennium Bridge atrajeron de inmediato el interés de la

Ilustración 1.2. Advertencia junto al Albert Bridge, Londres. Fuente: BBC documentaries.

comunidad técnica hacia un fenómeno que, hasta ese momento, había recibido escasa atención. No era, sin embargo, la primera vez que una pasarela peatonal experimentaba vibraciones laterales excesivas cuando un número importante de peatones circulaba sobre ella. Tan solo un año antes, en 1999, un puente peatonal en arco sobre el río Sena, el Pont de Solferino, en París, había sido cerrado al público por motivos similares, si bien en esta ocasión no se había logrado identificar la causa.

Ilustración 1.3. Puente de Solferino, París. Fuente: es.wikipedia.org

Otro caso reseñable tuvo lugar en un puente atirantado en Japón en la década de los 90’, el T---bridge. La pasarela, que comunicaba una estación de autobuses con un centro deportivo, experimentaba periódicamente vibraciones con amplitudes de hasta 1cm cuando, con motivo de algún evento, era cruzada por una multitud.

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Fujino (1993) condujo una campaña experimental consistente en el seguimiento por videocámara de un cierto número de peatones. Su publicación, “Synchronization of human walking observed during lateral vibration of a congested pedestrian bridge” [1] constituye una de las primeras en la materia, y en él ya identificaba la sincronización de los peatones con la frecuencia de resonancia de alguno de los modos de vibración lateral de la estructura como la causa de las inestabilidades observadas. Su estudio, aunque aún con un carácter marcadamente cualitativo, ya ofrecía algunas pautas y modelos de carga que, probablemente, habrían ayudado a evitar los problemas observados en el Millennium Bridge y en el Pont de Solferino, además de poner de manifiesto un fenómeno no contemplado en la normativa internacional ni en los códigos de buena práctica, por el momento centrados en el efecto de las acciones verticales. 1.1.2. Descripción del fenómeno Los primeros ensayos a gran escala fueron llevados a cabo tras los sucesos del Millennium Bridge por la Universidad de Southampton y el Imperial College sobre plataformas construidas al efecto. Desde entonces, la explicación más extendida del fenómeno de inestabilidad lateral afirma que esta se debe, esencialmente, a la sincronización del paso de los peatones con el movimiento del puente, de modo que estos inducirían una fuerza lateral con frecuencia igual a la frecuencia de resonancia de la estructura y en fase con la velocidad. El grado de acoplamiento, o dicho de otra forma, la probabilidad de que una cierta fracción de los peatones ajuste su paso al balanceo del puente, aumentaría con la amplitud (o la velocidad) de las oscilaciones, puesto que la sensación de incomodidad llevaría a un número creciente de ellos a modificar su forma de caminar. Esta modificación del paso implicaría, además, un incremento de la separación entre ambos pies, por lo que la fuerza ejercida por el peatón individual también aumentaría con la amplitud. Así, la carga lateral resultante de la interacción peatón-‐estructura sería una fuerza auto-‐excitante, en el sentido de que esta aporta mayor energía al sistema a medida que aumenta la amplitud y, recíprocamente, la amplitud aumenta en mayor medida cuanto mayor sea la energía recibida, formando un círculo vicioso comúnmente referido en la

literatura técnica como “excitación lateral sincronizada” (SLE) o “lock-‐in”.

Ilustración 1.4. Arriba, Factor dinámico de carga lateral (relación entre fuerza lateral y peso del peatón) VS. Amplitud; Abajo, probabilidad de “lock-‐in” VS. Amplitud. Resultados obtenidos por el Imperial College. Fuente: [2]


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Poco después, un equipo de Arup integrado, entre otros, por Pat Dallard y Tony Fitzpatrick, llevó a cabo una campaña de ensayos en el propio Millennium Bridge

en la que encontraron una relación aproximadamente lineal entre la fuerza en fase con la velocidad del peatón individual (“correlated excitation force”) y la velocidad local del puente [2][5][6]. De acuerdo con esta importante relación, las fuerzas inducidas por los peatones tendrían el efecto de un “amortiguamiento negativo”. Este hallazgo permitió desarrollar un primer modelo matemático del fenómeno, según el cual la amplitud de las vibraciones aumentaría incontroladamente cuando dicho efecto fuese superior al amortiguamiento de la estructura. Sin embargo, la interpretación anterior del fenómeno es actualmente motivo de controversia. Macdonald (2008) cita algunas importantes observaciones efectuadas durante el estudio del puente de Clifton, en Reino Unido, que plantean interrogantes sobre el “lock-‐in” como responsable de la inestabilidad lateral [3]:

1. Los movimientos del puente tuvieron lugar según el segundo modo lateral, con una frecuencia de 0.524Hz, mientras que la frecuencia “natural” del peatón promedio es, aproximadamente, de 1.0Hz. Resulta extraño que un número significativo de peatones adecuaran su paso a una frecuencia tan baja, particularmente cuando existían otros modos laterales con frecuencias más próximas (modo L3, 0.746Hz y modo L4, 0.965Hz).

2. Una vez que las vibraciones se habían estabilizado según el modo L2, aparecieron espontáneamente componentes del modo L3, por lo que la sincronización no tenía lugar respecto de un único modo lateral.

3. Si existiera sincronización lateral con alguno de los modos de vibración, también debería existir una sincronización vertical con una frecuencia igual al doble de la frecuencia de resonancia lateral. Sin embargo, el espectro de respuesta vertical no mostraba evidencia alguna de sincronización. En lugar de ello, dicho espectro presentaba una composición de frecuencias comprendidas entre 1.5-‐2.1Hz, como cabría esperar de una forma de caminar aleatoria. También Brownjohn et al. (2004) señalan este factor en su análisis del puente de Changi Mezzanine [4].

Ilustración 1.5. Aceleración lateral en el vano norte del Millennium Bridge a medida que aumenta el número de peatones sobre la pasarela en un experimento controlado. Fuente: [6]


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Como se verá en apartados posteriores, Macdonald plantea un modelo en el que la estrategia seguida por el peatón para mantener el equilibrio consiste en la modificación de la amplitud lateral de sus pasos, manteniendo constante la frecuencia. Esta estrategia es, al igual que la sincronización, capaz de generar fuerzas laterales auto-‐excitantes, si bien las simulaciones efectuadas no son del todo consistentes con los resultados experimentales. Así mismo, aún admitiendo la excitación lateral sincronizada como causante de las inestabilidades, existen dudas respecto al mecanismo de iniciación, dado que sería de esperar que, al caminar sobre una plataforma inicialmente estática, las frecuencias de los peatones fueran, al menos en una primera fase, aleatorias. Fitzpatrick et al. (2001) señalan que el comienzo de las oscilaciones podría deberse a la sincronización que surge de manera natural en una multitud como consecuencia de la proximidad entre los peatones, sin necesidad de que, en un primer momento, exista interacción entre peatón y estructura [5]. Otra explicación alternativa es la planteada por Macdonald (2008) [3], según la cual la fuerza lateral ejercida por los peatones puede presentar una componente en la frecuencia de resonancia de la estructura capaz de iniciar el movimiento aun cuando cada uno de ellos mantenga su frecuencia “natural” de paso. 1.1.3. Vulnerabilidad frente inestabilidades laterales El rango de frecuencias “naturales” de los peatones suele estar comprendido entre 0.8-‐1.3Hz, por lo que cualquier pasarela con una frecuencia de resonancia inferior a 1.3Hz según alguno de sus modos normales es potencialmente susceptible de experimentar movimientos laterales excesivos [6]. En la práctica, dicho rango de frecuencias es habitual en pasarelas de gran luz, independientemente del material utilizado, tal y como se observa en la figura. Por otro lado, el amortiguamiento requerido es directamente proporcional al número de peatones que hacen uso de la estructura de forma simultánea e inversamente proporcional a su masa modal. Por tanto, cuanto menores sean la masa modal y el amortiguamiento de la pasarela, y mayor el número de personas sobre ella, mayor será la probabilidad de que tengan lugar vibraciones laterales de gran amplitud.

Ilustración 1.6. Frecuencias laterales de diversas pasarelas en relación a su luz. Frecuencias por debajo de 1.3Hz son muy habituales. Fuente: [6]


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1.2. OTROS FENÓMENOS NATURALES DE SINCRONIZACIÓN La sincronización entre peatones que, presumiblemente, tiene lugar como resultado de su interacción con la superficie subyacente no constituye en absoluto un caso aislado. Numerosos fenómenos naturales, desde la neurología hasta la física, exhiben patrones de respuesta análogos, lo cual permite su estudio dentro de un mismo marco matemático. Entre otros, se han encontrado evidencias de sincronización en los siguientes sistemas naturales [7]-‐[11].

! Emisión de luz sincronizada en cierta especie de luciérnagas presentes en el sureste asiático.

! Sincronización del aplauso entre los asistentes a un auditorio. ! Contracciones sincronizadas de los músculos del corazón para crear un

latido coherente. ! Ritmos circadianos en todos los organismos vivos, desde células procariotas

hasta seres humanos. ! Sincronización en bancos de peces y bandadas de aves para protegerse de

los depredadores. ! Actividad neuronal relacionada con la percepción y el procesamiento de

estímulos externos. ! Enfermedades neurológicas, como la epilepsia. ! Oscilaciones en ciertas reacciones químicas, como la reacción de Belousov-‐

Zhabotinsky. ! Sincronización de relojes pendulares unidos por un soporte común

(sincronización de Huygens, ya observada en el siglo XVII).

Así mismo, el fenómeno natural de la sincronización se ha utilizado con éxito para la fabricación de algunos artefactos, tales como el rayo láser, formado por pequeños osciladores moleculares radiando energía electromagnética con la misma longitud de onda, o las uniones de Josephson, dispositivos superconductores ampliamente utilizados en electrónica capaces de generar oscilaciones de voltaje de alta frecuencia.

Actualmente existen modelos matemáticos que facilitan el estudio de muchos de estos fenómenos. Entre ellos, el que goza de mayor difusión en la literatura técnica y científica es el llamado modelo de Kuramoto, un modelo de gran generalidad que permite el análisis de la sincronización en sistemas de osciladores no lineales, como los que caracterizan la interacción hombre-‐estructura en pasarelas peatonales. La aplicación de dicho modelo, con algunas modificaciones, se expondrá con mayor detalle en el apartado dedicado al modelo planteado por Strogatz et al. en la revista Nature [12]. 1.3. FUERZAS DE REACCIÓN INDUCIDAS POR EL PEATÓN Las fuerzas de reacción ejercidas al caminar se deben a la aceleración/deceleración del centro de masas del peatón, y se transfieren al suelo


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a través del contacto entre este y el pie. La fuerza inducida puede descomponerse según tres vectores perpendiculares entre sí: vertical (Superior-‐Inferior), longitudinal (Anterior-‐Posterior) y lateral (Medial-‐Lateral) (Ingólfsson, 2011) [13]. En la figura siguiente se muestra la forma típica de cada una de estas componentes.

Ilustración 1.7. Forma típica de las fuerzas de reacción inducidas por el peatón sobre plataforma estática. Fuente: [13].

La forma precisa de las fuerzas anteriores depende del peso del sujeto y de su manera particular de caminar, que puede definirse, según Racic et al. (2009) [14], citado por Ingólfsson, mediante tres parámetros espaciales (longitud de zancada, longitud del paso y amplitud del paso) y dos parámetros temporales (velocidad de avance y frecuencia). Algunos otros autores también mencionados por Ingólfsson, como Yamasaki et al. (1999) [15] y Bertram y Ruina (2001) [16], han encontrado relaciones aproximadamente lineales entre la velocidad de avance y la frecuencia y longitud del paso, las cuales presentan, además, una gran dispersión en razón de género y edad.

Ilustración 1.8. Frecuencia (izquierda) y longitud del paso (derecha) VS. Velocidad según Yamasaki (1999) y Bertram y Ruina (2001). Fuente: [13]


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Como se observa en la figura anterior, la frecuencia de paso está comprendida, para velocidades normales de avance, en el rango 1.5-‐2.8Hz (0.75-‐1.4Hz para el ciclo lateral completo pie derecho-‐pie izquierdo). Sin embargo, debe notarse que para velocidades de avance bajas (como las habituales en una multitud), la frecuencia puede reducirse hasta 0.7Hz (0.35Hz para el ciclo completo). Con vistas al estudio de la interacción entre peatón y estructura, resulta de interés expresar las fuerzas ejercidas por aquél en términos de series de Fourier, dado que los armónicos dominantes pueden inducir efectos resonantes. La siguiente tabla muestra las componentes principales de dichas fuerzas según las mediciones efectuadas por diversos autores sobre una plataforma inmóvil. Estas componentes se presentan en forma de “factor de carga dinámica”, esto es, como una fracción del peso del peatón.

No obstante, las mediciones anteriores corresponden a la forma normal de caminar sobre una superficie inmóvil. Las cargas laterales inducidas como resultado de la interacción peatón-‐estructura son altamente complejas y dependientes de numerosos factores biológicos, mecánicos y psicológicos. Los principales efectos de esta aleatoriedad son [13]:

1. Cada peatón responderá de forma diferente a las vibraciones de la plataforma, induciendo cargas laterales distintas (variabilidad inter-‐subjetiva).

2. Pequeñas variaciones en la forma de caminar de un mismo peatón implican que la carga ejercida por este sea una variable aleatoria de banda estrecha, en lugar de una carga perfectamente periódica (variabilidad intra-‐subjetiva). Además, un mismo peatón puede comportarse de forma diferente en dos situaciones idénticas.

Actualmente, el estado del conocimiento en lo relativo a estos efectos es escaso y, hasta la fecha, existen pocos estudios que ayuden a esclarecer la forma en que cada peatón dentro de una multitud reacciona al movimiento de la superficie sobre la que camina.

Tabla 1.1. Componentes de los armónicos principales de las fuerzas ejercidas al caminar sobre plataforma estática según diversos autores. Fuente: [17]


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1.4. ESTADO DEL ARTE Aunque los trabajos de Fujino (1993) [1] ya habían puesto de manifiesto la falta de atención de la normativa hacia el fenómeno de la inestabilidad lateral, ninguno de los más modernos códigos de práctica en vigor en el año 2000, como el británico (BS 5400, 1978) [18], el americano (AASHTO, 1997) [19], el canadiense (OHBDC, 1983) [20] o el europeo (ENV 1995-‐2, 1997) [21], tenían en cuenta este efecto.

En 2002, después del caso del Millennium Bridge, se convocaron varias conferencias internacionales que supusieron el comienzo de un buen número de programas de investigación que tenían por objeto la actualización de la normativa y la elaboración de guías de diseño de pasarelas, especialmente orientadas al análisis dinámico (FIB, 2005 [22]; Sétra, 2006 [23], Butz et al., 2007 [24]; Willford and Young, 2006 [25]; Brownjohn et al., 2009 [26]; NA to BS EN 1991-‐2 UK, 2008 [27]). La mayoría de estas guías de diseño plantean modelos sencillos como el de Arup (Fitzpatrick, Dallard et al., 2001). No obstante, la comunidad técnica está aún lejos de encontrar una explicación plenamente satisfactoria al fenómeno de la inestabilidad lateral en pasarelas, sobre la que no han dejado de publicarse trabajos hasta la fecha desde los más diversos enfoques [28] (estadística, matemática y física aplicada, biomecánica, transporte, mecánica estructural etc.) De forma general, los estudios publicados en esta área pueden dividirse en tres categorías [12]:

1. Ensayos controlados en puentes ya construidos para verificar su susceptibilidad frente a inestabilidades laterales. Normalmente se estudian diversos escenarios y los resultados se evalúan en términos del número de peatones necesario para llegar a una divergencia en la amplitud de las vibraciones (número crítico).

2. Ensayos experimentales sobre plataformas móviles, mesas vibrantes u otro equipamiento para medir directamente las cargas laterales ejercidas por un número limitado de peatones frente a varias configuraciones de amplitud y frecuencia.

3. Modelos teóricos de evaluación de la respuesta, parcialmente contrastados con resultados empíricos.

La tercera vía de investigación ha resultado, hasta la fecha, notablemente fructífera. En los últimos 15 años se han propuesto varios modelos que abordan el problema desde diferentes puntos de vista, y han ido ganando en complejidad a medida que la informática ofrece una mayor potencia de cálculo. Sin embargo, ninguno de los modelos teóricos propuestos es del todo consistente con los resultados experimentales. Además, las dos primeras vías de investigación no han aportado aún un bagaje suficiente de datos estadísticos que permitan calibrar adecuadamente los modelos, aumentar el número de parámetros ajustables y verificar su validez general.


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Por todo ello, el fenómeno de la inestabilidad lateral es todavía un ámbito de la ingeniería abierto a estudio y en el que, presumiblemente, solo se alcanzarán avances más concluyentes cuando se disponga de un mayor número de datos experimentales. 1.5. OBJETIVOS DEL TRABAJO El objetivo del presente trabajo de fin de máster es realizar un breve repaso de algunos de los modelos matemáticos más prometedores que permiten predecir la respuesta dinámica de la estructura y su vulnerabilidad frente a vibraciones laterales excesivas, en función de sus características dinámicas y del número de peatones que transitan. En particular, se estudiarán los modelos de Arup (de base empírica), Strogatz et al. (basado en el modelo de Kuramoto) y Macdonald (modelo alternativo basado en la biomecánica). En todos ellos se llevarán a cabo simulaciones que permitan apreciar la adecuación del modelo matemático a la realidad física que pretende reproducir y se tratará de esclarecer sus posibles limitaciones y su validez general. Finalmente, se propondrá un modelo propio sencillo basado en una analogía con la fuerza de rozamiento que aparece entre un objeto y la superficie sobre la que se apoya cuando aquél es sometido a un movimiento armónico.


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CAPÍTULO 2. MODELOS

2.1. MODELO DE ARUP

2.1.1. INTRODUCCIÓN

Tras los sucesos que tuvieron lugar en el día de su inauguración, el Millennium Bridge fue cerrado al público con objeto de investigar el fenómeno en profundidad. Un equipo de la compañía Arup liderado por Tony Fitzpatrick y Pat Dallard llevó a cabo varios ensayos con peatones in situ a fin de determinar las cargas ejercidas sobre la estructura. Como resultado, el equipo elaboró un modelo empírico simplificado que permite cuantificar el amortiguamiento requerido para prevenir el fenómeno de la inestabilidad lateral o, alternativamente, determinar el número máximo de peatones que admite la estructura para un amortiguamiento dado [2][5][6].

2.1.2. DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS Los ensayos realizados consistieron en hacer circular a un grupo de personas en sentido anti-‐horario entre dos marcas de posición ubicadas en el eje longitudinal del puente. A medida que el ensayo avanzaba, se incrementaba el número de peatones involucrados en el mismo en pequeños grupos, hasta llegar a un máximo de 275. Para determinar la respuesta de la estructura durante el desarrollo del ensayo se instalaron varios acelerómetros, así como un sistema de video cámaras [5]. Paralelamente, otros equipos de investigadores realizaban ensayos similares en plataformas móviles en la Universidad de Southampton y en el Imperial College de Londres.

2.1.3. DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS

2.1.3.1. Bases teóricas De la observación de los videos grabados durante los ensayos, así como de los correspondientes al día de la inauguración del puente, Fitzpatrick et al. establecieron las siguientes hipótesis de partida [5].

1. Los movimientos laterales pueden asumirse sinusoidales según alguno de los modos de vibración de la estructura, con frecuencias muy próximas a la frecuencia natural asociada al modo correspondiente. Así, la posición lateral de una sección del puente puede describirse aproximadamente por:

𝑥 𝑦, 𝑡 = 𝑋(𝑡)𝛷(𝑦) (2.1.1)


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En la expresión anterior, 𝑦 denota la dirección longitudinal del puente, 𝛷 es el factor de forma modal, y 𝑋 representa el desplazamiento modal asociado al modo de vibración considerado, y se define como:

𝑋 𝑡 = 𝑋(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔!𝑡 + 𝜃) (2.1.2) Donde 𝑋(𝑡) denota la amplitud máxima del desplazamiento modal, variable en el tiempo, y 𝜃 indica un cierto desfase inicial.

2. La amplitud máxima del desplazamiento modal, 𝑋 𝑡 , cambia lentamente,

por lo que puede considerarse aproximadamente constante durante períodos cortos de tiempo, como el correspondiente a un ciclo completo. Así pues, la velocidad y aceleración modal pueden aproximarse del siguiente modo:

𝑋 𝑡 ≅ 𝜔!𝑋(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔!𝑡 + 𝜃) (2.1.3)

𝑋 𝑡 ≅ −𝜔!!𝑋(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔!𝑡 + 𝜃) (2.1.4)

En lo que sigue, la velocidad modal 𝑋 𝑡 se denotará por 𝑉(𝑡), y su valor máximo, 𝜔!𝑋 𝑡 , por 𝑉(𝑡). De forma análoga, 𝐴(𝑡) designará la aceleración modal, y 𝐴 𝑡 = 𝜔!!𝑋(𝑡) su valor máximo.

3. Así mismo, se supone que las fuerzas ejercidas por los peatones pueden

considerarse proporcionales al factor de forma modal, según la siguiente expresión.

𝑓! 𝑡 = 𝑓(𝑡)𝛷 𝑦! , 𝑖 = 1,… ,𝑁 (2.1.5)

Donde 𝑓! 𝑡 denota la fuerza real ejercida por el i-‐ésimo peatón.

La fuerza modal resulta, entonces:

𝐹 𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝛷 𝑦! !!!!! (2.1.6)

Partiendo de las hipótesis anteriores, las fuerzas ejercidas por los peatones pueden estimarse mediante un balance energético. En efecto, si en la ecuación diferencial que describe la dinámica del puente, todos los términos se multiplican por la velocidad modal y se integran en un ciclo completo, resulta:

𝑀𝑋𝑋!!!! 𝑑𝑡 + 𝐶!!!

! 𝑋!𝑑𝑡 + 𝐾!!!! 𝑋𝑋𝑑𝑡 = 𝐹!!!

! 𝑋𝑑𝑡 (2.1.7) Donde 𝑀,𝐶 y 𝐾 denotan la masa, amortiguamiento y rigidez modal, respectivamente. En la expresión anterior, el término de la derecha representa el trabajo realizado por los peatones durante un ciclo, 𝑊! . De igual modo, el término que incluye el


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amortiguamiento modal corresponde a la energía disipada por el este, Wd. Los otros dos términos pueden reescribirse de la siguiente forma:

Jtt+T MXX dt = Ll [; MX2 ] = LlEc

ftt+T KXX dt = Ll [; KX 2] = LlU

(2.1.8)

(2.1.9)

Donde E e denota la energía cinética del sistema, y U su energía potencial elástica. Si el ciclo se elige de forma que X(t) = O, LlU = O. La ecuación (2.1.7) se reduce, entonces, a:

(2.1.10)

Puesto que, en virtud de la hipótesis 2., la velocidad modal puede expresarse como X(t) = V(t)cos(w 0 t + 8), la variación de energía cinética resulta:

(2.1.11)

Si se desprecian los términos de segundo orden, teniendo en cuenta que la velocidad modal cambia lentamente en el tiempo, se llega a:

(2.1.12)

Por otro lado, la velocidad modal puede reescribirse, haciendo uso de la identidad trigonométrica de la suma de ángulos, del siguiente modo:

- ( (2rrt) (2rrt) ) V(t) =V cos --:¡:- cose- sen --:¡:- sene (2.1.13)

Donde T representa el período de la vibración. El trabajo realizado por los peatones resulta, entonces:

1 - 2 rt+T (2rrt) 1 - 2 rt+T (2rrt) We = 2r Vcoserh F(t)cos --:¡:- dt- 2r Vsenerh F(t)sen --:¡:- dt

(2.1.14)

En la expresión anterior, los términos

2 rt+T (2rrt) a1 = rh F(t)cos --:¡:- dt

bl = ~ Jtt+T F(t)sen c;t) dt

(2.1.15)

(2.1.16)

representan los coeficientes de Fourier del primer armónico, por lo que:

(2.1.17)

1h.



El primer armónico de la serie de Fourier de F(t), Fv puede escribirse como la suma de un término en fase con la velocidad, Fv(t) y otro desfasado 90º respecto de esta (por tanto, en fase con la aceleración), Fa (t), del siguiente modo:

(2rrt) (2rrt) (2rrt ) { } (2rrt F1 (t) = a1 cos --:¡:- + b1 sen --:¡:- =sen --:¡:-+e a1 sene + b1 cose + cos --:¡:- +

e) {alease- blsene} (2.1.18)

(2rrt ) { } - (2rrt ) Donde Fv(t) = cos --:¡:-+e a1 cose- b1 sene = Fv(t)cos --:¡:-+e

Fitzpatrick et al [1] denominaron a la componente de la fuerza modal en fase con la velocidad, Fv(t), "fuerza de excitación correlacionada" ("correlated excitation force') [5].

Teniendo en cuenta lo anterior, el trabajo realizado por la fuerza modal puede expresarse del siguiente modo:

1--We =-VFvT (2.1.19) 2

Finalmente, la energía disipada por el amortiguamiento puede aproximarse de la siguiente forma.

rt+T . 2 - rt+T 2 1 -2 1 - A Wd=J,t CX dt=:CVJ,t cos (w 0 +e)tdt=-CV T=-CV-T (2.1.20)

2 2 w 0

A su vez, el amortiguamiento modal puede expresarse como una fracción del amortiguamiento crítico, resultando:

(2.1.21)

Sustituyendo (2.1.12), (2.1.19) y (2.1.21) en la igualdad (2.1.10), se tiene:

~ VRT = M~fl AT + MfJLlli 2 V ':> Wo

(2.1.22)

Despejando, se llega a:

F: =2M~A+ML1A V ':> 7r

(2.1.23)

Si bien la expresión anterior puede no resultar familiar, si se particulariza para Fv = O y LlA = O da lugar a dos igualdades conocidas.

SiLlA = O ~ A = _..!.._ Fv , donde_..!.._ es el factor de amplificación dinámica. 2.; M 2.;

17



- LlA Si Fv = O~--::-= -2rr( = -8, donde 8 representa el decremento logarítmico en A

vibración libre amortiguada, definido como 8 = ln (x(t+T)). X(t)

2.1.3.2. Procesamiento de los resultados

La relación (2.1.23) proporciona una forma sencilla de estimar la componente de la fuerza modal en fase con la velocidad ("fuerza de excitación correlacionada") a partir de la aceleración modal y de sus variaciones entre ciclos consecutivos. Dicha aceleración modal se obtiene fácilmente de la historia de aceleraciones registrada por los acelerómetros, del siguiente modo:

(2.1.24)

Donde a denota la aceleración máxima real registrada (a(t) = a(t)sen(w0 t + 8)), e y 0 es la coordenada en la que se encuentra instalado el acelerómetro.

La historia de aceleraciones modales requiere un proceso previo de filtrado de frecuencias, eliminando las aceleraciones con frecuencia diferente a la natural correspondiente al modo de vibración estudiado.

Las siguientes figuras ilustran la evolución temporal de la fuerza de excitación correlacionada (modal), para el Sº modo vertical f!=1.9Hz) y para el primer modo lateral (f=O.SHz).

test_11_CV5_mfo 15+---~----~----~----~--~----~

g o "' ~ ,g

-5

-10

-15

time (s)

- test_11_CV5_mto

Ilustración 2.1. Fuerza modal en fase con la velocidad para el SQmodo vertical [5]

1Q


19

La diferencia entre el modo de vibración vertical y lateral es muy significativa. En el primero la fuerza de excitación correlacionada parece distribuirse de forma aleatoria, adoptando por igual valores positivos y negativos con una media aproximadamente nula. Por el contrario, para el modo lateral la fuerza modal en fase con la velocidad es casi siempre positiva, lo que implica que los peatones añaden constantemente energía al sistema, disparándose espontáneamente en determinados instantes de tiempo. Partiendo de la fuerza modal en fase con la velocidad (“correlated excitation force”), y haciendo uso de las hipótesis citadas en el apartado 2.1.3.1, es posible obtener la fuerza real en fase con la velocidad ejercida por un solo individuo. Por definición, la fuerza modal se determina del siguiente modo.

𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑦, 𝑡!! 𝛷 𝑦 𝑑𝑦 (2.1.25)

Donde 𝑓 𝑦, 𝑡 es la fuerza real ejercida por los peatones en cada instante de tiempo y sección del puente. Esta fuerza puede escribirse como una superposición de cargas puntuales variables en el tiempo, haciendo uso de la función Delta de Dirac.

𝑓 𝑦, 𝑡 = 𝑓!(𝑡)𝛿(𝑦 − 𝑦!)!!!! (2.1.26)

Donde N es el número de peatones involucrados en el ensayo en un instante de tiempo determinado, y 𝛿(𝑦 − 𝑦!) es la función Delta de Dirac, definida como:

𝛿 𝑦 − 𝑦! = ∞, 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑦!0, 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 𝑦!

(2.1.27)

Si, de acuerdo con la hipótesis 3, la fuerza real ejercida por el peatón individual es proporcional al factor de forma modal, se tiene: 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑡) 𝛷 𝑦! 𝛿(𝑦 − 𝑦!)!

!!! (2.1.28)

Ilustración 2.2. Fuerza modal en fase con la velocidad para el 1er modo lateral [5]


21

La diferencia entre las fuerzas verticales y horizontales es muy significativa. Mientras que la primera es aleatoria, la fuerza horizontal guarda una relación notablemente lineal con la velocidad modal. Esta relación puede cuantificarse mediante el coeficiente de correlación, 𝜌!" , definido como sigue:

𝜌!" =![(!!!)(!!!)]

!!!! (2.1.36)

Para el 5º modo vertical se obtuvo un valor insignificante (±0.025), mientras que para el primer modo lateral dicho coeficiente estaba comprendido entre 0.34-‐0.73 [2]. Un ajuste por mínimos cuadrados permitió definir la siguiente correspondencia lineal entre ambas variables [2].

𝑓! 𝑡 = 𝑘𝑉!(𝑡), con 𝑘 ≈ 300𝑁𝑠𝑚!! (2.1.37)

Ilustración 2.5. Ajuste por mínimos cuadrados [2]

Finalmente, la fuerza real en fase con la velocidad resulta:

𝑓!,! 𝑡 = 𝑓! 𝑡 𝛷! 𝑦! = 𝑘𝑉! 𝑡 𝛷! 𝑦! = 𝑘𝑣(𝑦! , 𝑡) (2.1.38)

Ilustración 2.4. 1er modo lateral [5].


22

Donde 𝑣(𝑦! , 𝑡) denota el valor máximo de la velocidad local en la coordenada longitudinal 𝑦! , esto es:

𝑣 𝑦, 𝑡 = 𝑣 𝑦! , 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔!𝑡 + 𝜃) = 𝛷! 𝑦! 𝑉! 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔!𝑡 + 𝜃) (2.1.39)

La igualdad (2.1.38) obtenida para el caso particular analizado se considera extensible a cualesquiera otras circunstancias. Así, en un caso general, la fuerza modal en fase con la velocidad resulta:

𝐹! 𝑡 = 𝑘𝑁𝑉 𝑡 𝛷! 𝑦!!

!!! (2.1.40) Nuevamente, si los peatones se consideran uniformemente distribuidos sobre el tablero, 𝐹! 𝑡 se puede aproximar por:

𝐹! 𝑡 = 𝑘𝑁𝑉 𝑡 !!

𝛷! 𝑦 𝑑𝑦!! (2.1.41)

2.1.4. DESCRIPCIÓN DEL MODELO De acuerdo con las hipótesis recogidas en el apartado 2.1.3.1, el movimiento del puente bajo la acción de las cargas inducidas por los peatones se asume sinusoidal con frecuencia 𝜔!. Así, el desplazamiento, velocidad y aceleración modal quedan del siguiente modo.

𝑋 𝑡 = 𝑋(𝑡)cos (𝜔!𝑡 +θ) (2.1.42)

𝑋 𝑡 = 𝜔!𝑋 𝑡 cos (𝜔!𝑡 + 𝜃)+ 𝑋 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔!𝑡 + 𝜃) (2.1.43)

𝑋 𝑡 = −𝜔!!𝑋 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔!𝑡 + 𝜃 + 2𝜔!𝑋 𝑡 cos 𝜔!𝑡 + 𝜃 + 𝑋 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔!𝑡 + 𝜃 (2.1.44)

Se trata ahora de determinar las condiciones que debe cumplir la amplitud máxima 𝑋(𝑡) para que, bajo las hipótesis adoptadas, sea solución de la ecuación general de la dinámica.

𝑀𝑋 + 𝐶𝑋 + 𝐾𝑋 = 𝐹 (2.1.45) Sustituyendo (2.1.42), (2.1.43) y (2.1.44) en (2.1.45), se llega a la siguiente expresión.

𝑠𝑒𝑛(𝜔!𝑡 + 𝜃) 𝑀 𝑋 𝑡 − 𝜔!!𝑋 𝑡 + 𝐶𝑋 𝑡 + 𝐾𝑋(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔!𝑡 +

𝜃) 2𝑀𝜔!𝑋 𝑡 + 𝐶𝜔𝑋 𝑡 = 𝐹(𝑡) (2.1.46)



Los armónicos con frecuencia distinta a la de resonancia dan lugar a vibraciones con amplitudes acotadas, por lo que no influyen en el desarrollo de inestabilidades laterales.

Descomponiendo el primer armónico F1 ( t) en sus componentes correlacionada y no correlacionada con la velocidad, se obtienen las igualdades (2.1.48) y (2.1.49).

(2.1.47)

(2.1.48)

Fa(t) =M ( X(t)- w6X(t)) + CX(t) + KX(t) (2.1.49)

Si se introduce ahora en la expresión (2.1.48) la relación entre velocidad y fuerza de excitación correlacionada definida por (2.1.41), se obtiene la siguiente ecuación diferencial.

2MX(t) + (C- {J)X(t) = O (2.1.50)

Donde, por simplicidad, se ha adoptado el coeficiente f3 definido, según la expresión (2.1.41), del siguiente modo:

(2.1.51)

(2.1.52)

Si se denomina amortiguamiento efectivo al coeficiente Ce¡ = C- {3, la solución de la ecuación (2.1.50) viene dada por:

X(t) =X0 exp(-~~t) (2.1.53)

Por lo que el desplazamiento modal para el n-ésimo modo queda definido por la siguiente expresión.

X(t) = X(t)sen(w 0 t + 8) = X0 exp (- ~~ t) sen(w0 t + 8) (2.1.54)

Finalmente, sustituyendo (2.1.53) en la igualdad (2.1.49) es posible obtener la componente de la fuerza desfasada 90º respecto de la velocidad.

Fa (t) =M ( X(t)- w6X(t)) + CX(t) + KX(t) = •• o •• o

MX(t) + CX(t) + (K- w6M)X(t) = MX(t) + CX(t) (2.1.55)

(2.1.56)


24

Además, teniendo en cuenta las siguientes igualdades, puede determinarse el valor máximo del primer armónico de la fuerza modal, 𝐹! 𝑡 , así como su desfase respecto de la velocidad, 𝜑 − θ.

𝐹 𝑡 = 𝐹! 𝑡 cos (𝜔!t+ φ) = 𝐹! 𝑡 cos (𝜑 − 𝜃)cos (𝜔!t+ θ)− 𝐹! 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜑 −𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜔!t+ θ) (2.1.57)

𝐹! 𝑡 = 𝐹! 𝑡 cos 𝜑 − θ ,𝐹! 𝑡 = −𝐹! 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜑 − θ) (2.1.58)

𝐹! 𝑡 = 𝐹! 𝑡 ! + 𝐹! 𝑡 ! (2.1.59)

𝑡𝑔θ = − !! !

!! != − !!,!"

!!!

!!!!!!,!"!!!!!,!"

(2.1.60)

Atendiendo al resultado anterior, cuando 𝐶!" = 0,𝜑 − θ = 0 y 𝐹! 𝑡 = 0, por lo que la fuerza modal está en fase con la velocidad y 𝐹! 𝑡 = 𝐹! 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔!t+ θ), por lo que el movimiento corresponde a una vibración libre no amortiguada, definida por la ecuación:

𝑀𝑋 + 𝐾𝑋 = 0 (2.1.61) Además, cuando 𝐶!" es reducido, 𝜑 − θ también lo es y 𝐹! 𝑡 ≪ 𝐹! 𝑡 , estando la fuerza casi en fase con la velocidad. Las siguientes figuras muestran las componentes de la fuerza modal en fase con la velocidad, y desfasada 90º respecto de esta para diferentes valores de 𝐶!" , dados en función del número de peatones sobre el número límite (véase apartado siguiente, expresión (2.1.70)).


25

En el caso en que 𝐶!" sea reducido, el modelo hasta aquí descrito puede aproximarse por un modelo más simple, en el que la fuerza modal (y no solo su componente en fase con la velocidad) es proporcional a la velocidad modal (𝐹 𝑡 = 𝛽𝑋(𝑡) ). En este caso, el modelo se reduce a la siguiente ecuación diferencial:

𝑀𝑋 + 𝐶𝑋 + 𝐾𝑋 = 𝛽𝑋(𝑡) (2.1.62)

𝑀𝑋 + 𝐶!"𝑋 + 𝐾𝑋 = 0 (2.1.63) La ecuación diferencial anterior describe la vibración libre amortiguada del sistema, cuya respuesta viene dada por:

𝑋 𝑡 = 𝑋! exp − !!"!!𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔! 1− 𝜉!"

!𝑡 (2.1.64)

Ilustración 2.6. Fuerza en fase con la velocidad (𝑭𝒗) en rojo, fuerza desfasada 90º (𝑭𝒂) en verde y velocidad modal escalada (𝑽) en (N) VS. tiempo (s). 𝑵 = 𝟏𝟎𝑵𝒄 (arriba), 𝑵 = 𝑵𝒄 (centro) y 𝑵 = 𝑵𝒄/𝟏𝟎 (abajo). Valores adoptados: 𝑴 = 𝟏.𝟏𝟑𝑬𝟓𝒌𝒈,𝑪 = 𝟏.𝟏𝟎𝑬𝟒𝒌𝒈/𝒔, 𝑲 = 𝟒.𝟕𝟑𝑬𝟔𝒌𝒈/𝒔𝟐, 𝒇 = 𝟏.𝟎𝟑𝑯𝒛. Fuente: Elaboración propia.


26

Como se observa, la solución es similar a la obtenida admitiendo proporcionalidad entre velocidad modal y la componente de la fuerza modal en fase con esta (2.1.54). En particular, ambos modelos proporcionan un valor idéntico para la amplitud del desplazamiento máximo, si bien en este caso la vibración ocurre con la frecuencia natural amortiguada del sistema, 𝜔!" , definida como:

𝜔! = 𝜔! 1− 𝜉!,!"! (2.1.65)

Con 𝜉!" =

!!"!!, donde 𝐶! representa el amortiguamiento crítico del sistema para el

modo de vibración considerado (𝐶! = 2𝑀𝜔!). Por tanto, cuando 𝐶!" es cercano a 0 (condición límite de estabilidad), 𝜔! ≈ 𝜔!, y el modelo simplificado proporciona una solución aproximada.

2.1.5. CONDICIONES PARA LA ESTABILIDAD Atendiendo a la expresión (2.1.53), que define la amplitud máxima del desplazamiento bajo la acción de los peatones, pueden darse tres comportamientos bien diferenciados según el signo del exponente.

• Si 𝐶!" > 0 (𝐶 > 𝛽), el exponente es negativo y 𝑋 → 0 cuando 𝑡 → ∞ • Si 𝐶!" = 0 (𝐶 = 𝛽), el exponente es nulo y 𝑋 es constante en el tiempo. • Si 𝐶!" < 0 (𝐶 < 𝛽), el exponente es positivo y 𝑋 → ∞ cuando 𝑡 → ∞

Las siguientes figuras representan 𝑋 𝑡 /𝑋! para diferentes valores de 𝐶!" .


27

Este análisis permite determinar el amortiguamiento mínimo necesario para prevenir el fenómeno de la excitación lateral sincronizada (SLE), sin más que imponer la condición 𝐶 > 𝛽. Si el amortiguamiento se describe, como es habitual, como fracción del amortiguamiento crítico, esta condición resulta:

𝜉 > !!!"#

= !"!!"#

!!

𝛷! 𝑦 𝑑𝑦!! (2.1.66)

Alternativamente, para un amortiguamiento dado, la condición anterior permite determinar el número límite de peatones sobre la estructura:

𝑁! =!!"#$

!!! !! ! !"!!

(2.1.67)

Si el factor de forma modal se asume sinusoidal, la expresión para el número límite de peatones se simplifica.

Ilustración 2.7. Desplazamiento (adimensional) VS. tiempo (s). 𝑵 =𝑵𝒄/𝟏𝟎 (arriba), 𝑵 = 𝑵𝒄 (centro) y 𝑵 = 𝟐𝑵𝒄 (abajo). Valores adoptados: 𝑴 = 𝟏.𝟏𝟑𝑬𝟓𝒌𝒈,𝑪 = 𝟏.𝟏𝟎𝑬𝟒𝒌𝒈/𝒔, 𝑲 = 𝟒.𝟕𝟑𝑬𝟔𝒌𝒈/𝒔𝟐 , 𝒇 = 𝟏.𝟎𝟑𝑯𝒛 . Fuente: Elaboración propia.

Ilustración 2.8. Desplazamiento adimensional para t=100s VS. número de personas sobre el tablero. La intersección con la recta horizontal representa 𝑵𝒄 . Valores adoptados: 𝑴 = 𝟏.𝟏𝟑𝑬𝟓𝒌𝒈,𝑪 = 𝟏.𝟏𝟎𝑬𝟒𝒌𝒈/𝒔, 𝑲 = 𝟒.𝟕𝟑𝑬𝟔𝒌𝒈/𝒔𝟐, 𝒇 = 𝟏.𝟎𝟑𝑯𝒛. Fuente: Elaboración propia.


28

𝛷! 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 !"#

! (2.1.68)

𝑁! =!!"#$

! (2.1.69)

Además, teniendo en cuenta la expresión general para el cálculo de 𝑁! (2.1.67), el coeficiente de amortiguamiento efectivo puede reescribirse de la siguiente forma:

𝐶!" = 𝐶 1− !!!

= 4𝜋𝑓𝑀𝜉 1− !!!

(2.1.70)


29

2.2. MODELO DE MACDONALD

2.2.1. INTRODUCCIÓN

Si bien la mayoría de los modelos matemáticos desarrollados hasta la fecha para la predicción de grandes movimientos laterales en pasarelas por efecto de la carga inducida por los peatones atribuye este comportamiento al fenómeno de la sincronización lateral (“Lateral Synchronous Excitation” o “Lock-‐in”), recientes mediciones, como las efectuadas en el puente de Clifton [3] o en el de Changi Mezzanine [4] parecen arrojar serias dudas sobre esta hipótesis. Macdonald (2008) [29] desarrolla un modelo biomecánico sencillo (modelo del péndulo invertido), en el que la estrategia del peatón para mantener el equilibrio consiste en el control de la posición del pie de apoyo, en lugar de la frecuencia del paso. Macdonald demuestra que las fuerzas horizontales ejercidas siguiendo este comportamiento son capaces de amplificar el movimiento lateral del puente, sin necesidad de que el peatón adapte su paso a una de las frecuencias naturales de la estructura, actuando como un amortiguador negativo en consonancia con los resultados obtenidos por Dallard et al. en el Millennium Bridge [2][5][6].

2.2.2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO El modelo consiste en un péndulo invertido constituido por una masa concentrada (CM) sustentada por un elemento comprimido, rígido y sin masa, de longitud L, según se muestra en la figura. Dicho modelo ha sido ampliamente utilizado en el ámbito de la biomecánica y, pese a su simplicidad, ha demostrado ofrecer resultados razonables para el movimiento en el plano lateral (MacKinnon & Winter 1993 [30]; Lyon & Day 1997 [31]; Hof et al. 2007[32]).

Ilustración 2.9. Modelo del péndulo invertido [29]


30

Tomando momentos alrededor del centro de presiones (CP) del pie de apoyo, se obtiene la siguiente igualdad.

−𝑚𝐿!𝜃 = 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑚𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃𝑥 (2.2.1) Si se asume que los movimientos serán de pequeña amplitud (θ≈90º), la expresión anterior se puede simplificar, teniendo en cuenta que 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 1 y 𝜃 ≈ 𝑦/𝐿.

𝑦 + 𝛺!! 𝑢 − 𝑦 = −𝑥 (2.2.2) Donde 𝛺! = 𝑔/𝐿. La fuerza lateral se obtiene multiplicando la masa por la segunda derivada de la coordenada del CM respecto del sistema de referencia inercial:

𝑓 = −𝑚 𝑥 + 𝑦 = 𝑚𝛺!! 𝑢 − 𝑦 (2.2.3) Las ecuaciones (2.2.2) y (2.2.3) son igualmente válidas para el movimiento con apoyo en el pie izquierdo, aunque en este caso u será, normalmente, menor que y.

2.2.2.1. Solución para plataforma estática En el caso particular de plataforma estática (𝑥 = 𝑥 = 0), la ecuación diferencial (2.2.2.) se reduce a:

𝑦 − 𝛺!!𝑦 = −𝛺!!𝑢 (2.2.4) Cuya solución viene dada por la siguiente función.

𝑦 𝑡 = 𝑎𝑒!!! + 𝑏𝑒!!!! + 𝑢 (2.2.5) La expresión anterior puede reescribirse, por comodidad, en términos de funciones hiperbólicas, teniendo en cuenta las siguientes igualdades.

𝑐𝑜𝑠ℎ𝛺!𝑡 =!!𝑒!!! + 𝑒!!!! (2.2.6)

𝑠𝑒𝑛ℎ𝛺!𝑡 =!!𝑒!!! − 𝑒!!!! (2.2.7)

𝑦 𝑡 = 𝛼𝑠𝑒𝑛ℎ𝛺!(𝑡 − 𝑡!)+ 𝛽𝑐𝑜𝑠ℎ𝛺!(𝑡 − 𝑡!)+ 𝑢 (2.2.8)

Las constantes α y β se determinan imponiendo condiciones iniciales sobre la posición y la velocidad, resultando:

𝛼 =𝑣!𝛺!

,𝛽 = 𝑦! − 𝑢


Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM

y(t) = ~senhflp(t- t0 ) + (y0 - u)coshflp(t- t 0 ) +u flp

Luis Moya Guindo

(2.2.9)

En el caso de plataforma estática, se asume que el paso será continuo y simétrico. Por tanto, si fv es la frecuencia del peatón (ciclo completo pie derecho-pie izquierdo), y si t 0 denota el momento en que este apoya el talón derecho y v0 la

velocidad del CM en ese instante, la velocidad en t = t 0 + _2_ será -v0 . Si se escoge, 2fp

por conveniencia, t 0 = O, Yo = O, se tiene:

y (to + _2_) = v0 cosh (!!E_) - uflpsenh (!!E_) = -v0 2~ 2~ 2~

(2.2.10)

uflpsenh(!j¡-) (.a ) v0 = (n P) = uflptgh _E_

1+cosh _E_ 4/p 2fp

(2.2.11)

Finalmente, dado que y 0 = O y se ha asumido paso simétrico, la posición del CP del pie de apoyo, u, corresponde a la mitad de la amplitud del paso, es decir, de la separación entre ambos pies, denotada en adelante por 8. Si se sustituye v 0 y u en la expresión (2.2.9), el movimiento del CM durante el primer paso queda descrito por la siguiente función.

y(t) = 8/2 ( tgh (:~) senhflvt- coshflvt + 1) (2.2.12)

Para el resto de pasos, deberá tomarse como referencia el instante t 0

correspondiente al final del paso anterior, esto es, to.i = 2~P, i = 1, 2, ... Así mismo,

u será igual a +8 cuando el pie de apoyo sea el derecho, y - 8 cuando lo sea el izquierdo, de modo que puede escribirse ui = ( -l)i-1 8. Con estas matizaciones, el movimiento continuo del CM puede describirse mediante la siguiente función, definida a trozos:

Yi(t) = - tgh _E_ senhflv t- _t_ - coshflv t- _t_ + 1 , _L_:::; t < ( l)Í-18 ( (.Q ) ( . ) ( . ) ) . 2 4~ 2~ 2~ 2~

i+l; i = 1, 2, ... (2.2.13) 2/p

En lo que sigue, se adoptarán los siguientes valores típicos1 para los parámetros involucrados en el modelo: L = 1.2m, m= 70kg,fp = 0. 9Hz, 8 = 92mm.

En las siguientes figuras se representa el movimiento del CM, así como las fuerzas horizontales ejercidas sobre la plataforma, para 10 pasos de un peatón típico.

1 Reportados por Macdonald (2008) en base a los estudios de Pachi & ji (2005) [33}, Hof et al. (2005, 2007) [32}[34}, Donelan et al. (2001) [35}, Townsend (1985) [36}, entre otros.


32

La fuerza horizontal representada en la ilustración 2.11 puede escribirse en serie de Fourier del siguiente modo:

𝑓 𝑡 = 𝑓!𝑒!!!! = 2𝑅𝑒 𝑓!𝑒!!!! = 2 𝑓! cos (𝜔!𝑡 + 𝜑!)!!!!!

!!!!!

!!!! (2.2.14)

Donde,

𝑖 = −1. Unidad imaginaria.

𝜔! = 𝑛 !!!!. Frecuencia del n-‐ésimo armónico.

𝑓! =!!!

𝑓 𝑡 𝑒!!!!!!!! 𝑑𝑡. Coeficiente de Fourier del n-‐ésimo armónico de la fuerza

lateral.

𝑓! = 𝑅𝑒 𝑓! ! + 𝐼𝑚 𝑓! !. Módulo del coeficiente de Fourier del n-‐ésimo armónico.

𝑡𝑔𝜑! =!" !!!" !!

. Ángulo del coeficiente de Fourier del n-‐ésimo armónico.

Ilustración 2.10. Curva roja, CM; curva negra discontinua, CP; curva negra discontinua, y* (ver más adelante). Fuente: Elaboración propia.

Ilustración 2.11. Fuerza horizontal sobre la plataforma (H). Fuente: Elaboración propia.


33

La Ilustración 2.12 representa el ajuste de la fuerza horizontal con los primeros 50 términos de la serie de Fourier, para 𝑇! = 1/𝑓!, obtenidos en el presente trabajo. La Ilustración 2.13 y la Tabla 2.1 muestran la contribución del armónico n-‐ésimo (2 𝑓! ), comparada con los resultados obtenidos por Macdonald (2008) [29] utilizando el modelo del péndulo invertido y con los medidos empíricamente por diversos autores.

Tabla 2.1. Contribución de los 5 primeros armónicos y comparación con mediciones de diversos autores. Fuente: [29]

𝒇𝒑 𝟐𝒇𝒑 𝟑𝒇𝒑 𝟒𝒇𝒑 𝟓𝒇𝒑

2 𝑓! (N) 26.742 0.0137118 10.8837 0.00682699 6.64773 2 𝑓!𝑚𝑔 (%)

3.894276977 0.001996767 1.584927916 0.000994174 0.968069026

Macdonald (2008) 3.9 0 1.6 0 1 Schneider & Chao

(1983) 3.9 0 1.8 0 0.4 Pizzimenti & Ricciardelli (2005) 4 0.8 2.3 0.4 1.1

Dallard et al. (2001b) 4 -‐ -‐ -‐ -‐

Ilustración 2.12. Ajuste de la fuerza horizontal mediante los primeros 50 términos de su serie de Fourier. Fuente: Elaboración propia.

Ilustración 2.13. Contribución de los primeros 50 armónicos.Fuente: Elaboración propia.


34

Los resultados anteriores demuestran que el modelo del péndulo invertido ofrece una predicción razonable de la fuerza lateral ejercida por el peatón, al menos en ausencia de movimiento de la plataforma sobre la que camina.

2.2.2.2. Solución para plataforma móvil Si se supone que la plataforma de apoyo presenta un movimiento sinusoidal, con independencia de su interacción con el peatón, descrita por:

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) (2.2.15)

Donde θ denota el desfase entre el movimiento de la plataforma y el peatón, entonces la ecuación de movimiento (2.2.2) adopta la siguiente forma:

𝑦 − 𝛺!!𝑦 = 𝑥𝜔!𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)− 𝛺!!𝑢 (2.2.16)

Cuya solución, en términos de funciones hiperbólicas, viene dada por la siguiente expresión.

𝑦 𝑡 = 𝛼𝑠𝑒𝑛ℎ𝛺! 𝑡 − 𝑡! + 𝛽𝑐𝑜𝑠ℎ𝛺! 𝑡 − 𝑡! − 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)+ 𝑢 (2.2.17)

Con 𝐴 = !!!(!!/!)!

Los parámetros α y β se determinan imponiendo las condiciones iniciales 𝑦 𝑡! = 𝑦!,𝑦 𝑡! = 𝑣!, de lo que resulta:

α = !!!!+ 𝐴 !

!!cos (𝜔𝑡! + 𝜃) (2.2.18)

𝛽 = 𝑦! − 𝑢 + 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡! + 𝜃) (2.2.19)

Ilustración 2.14. Comparación de los resultados obtenidos por Macdonald (línea continua) con los medidos por Schneider & Chao (línea discontinua) . Fuente: [29].



y(t) = (~+A~ cos (wt0 + 8)) senhflv(t- t 0 ) + (y0 -u+ Asen (wt0 + .flp .flp

8))coshflp(t- t0 ) -A sen(wt + 8) +u (2.2.20)

En este caso no puede admitirse que el movimiento del CM sea simétrico, por lo que la condición inicial impuesta en el caso particular de plataforma estática

(.Y ( t 0 + 2~J = -v0 ) no resulta válida. Sí se asume, en cambio, que el movimiento

será continuo, por lo que deberá cumplirse:

Yo i = Yi-1 (to + _i_), Vo i = Yi-1 (to + _i_); i = 2,3, ... ' 2/p ' 2/p

(2.2.21)

Los valores iniciales para el primer paso, Yo,1 y v0,1 serán, en principio, aleatorios. No obstante, en las simulaciones efectuadas en el presente trabajo se ha supuesto que dichos valores corresponden al caso de plataforma estática, esto es:

(2.2.22)

Resta por determinar el valor del parámetro ui para i = 2,3, ... Para ello es preciso efectuar una hipótesis sobre la estrategia de control del equilibrio seguida por el peatón. Volviendo al caso de plataforma estática (ecuación (2.2.9)), la velocidad del CM para apoyo sobre el pie derecho viene dada por la siguiente expresión.

(2.2.23)

Puesto que v0 > O, al comienzo del ciclo el CM se moverá hacia la derecha (y(t0 ) > O)). No obstante, para que el peatón conserve el equilibrio, la velocidad deberá cambiar de signo en algún instante t', volviéndose negativa. Por tanto,

(2.2.24)

Vo = tghfl t' .flp(U-Yo) p

(2.2.25)

Sin embargo, para t' > O, O < tghflvt' < 1, por lo que la condición de equilibrio vendrá dada por:

u>~+ Yo .flp

(2.2.26)

El criterio seguido por Macdonald afirma que la estrategia del peatón consistirá en mantener en todo momento un cierto margen de diferencia en la inecuación anterior, de modo que:

Vo b U=-+ Yo+ min .flp

Si se define la función y* del siguiente modo:

y*(t) = y(t) + y(t) .flp

(2.2.27)

(2.2.28)


36

La condición de equilibrio anterior puede expresarse como sigue:

𝑢 = 𝑦∗ 𝑡! + 𝑏!"# (2.2.29)

En el caso particular de movimiento sobre plataforma estática, según se definió en el apartado anterior, 𝑢 = !

! , 𝑦! = 0 y 𝑣! = 𝑢𝛺!𝑡𝑔ℎ

!!!!!

, de lo que resulta:

𝑏!"# =!!1− 𝑡𝑔ℎ !!

!!! (2.2.30)

Con los valores adoptados para el peatón típico (véase Apartado 2.2.3), 𝑏!"# =15.614𝑚𝑚

En el caso general de plataforma móvil, se admite que el criterio de estabilidad del peatón será el mismo que el definido por la expresión (2.2.29) para el caso de plataforma estática, adoptándose un margen de estabilidad, 𝑏!"#, igual al obtenido para dicho caso.

Las siguientes figuras muestran los resultados obtenidos de una simulación llevada a cabo con Mathematica para una plataforma cuyo movimiento presenta una amplitud máxima 𝑋 = 2.0𝑚𝑚, una frecuencia 𝑓 = 1.1𝐻𝑧 y un ángulo de desfase 𝜃 = 0.

Ilustración 2.15. Rojo, CM; azul, plataforma; negro discontinuo, CP; negro continuo, y*. Elaboración propia.


37

2.2.3. CONTENIDO EN FRECUENCIAS DE LA FUERZA LATERAL Como se vio en el apartado 2.2.2.1, la fuerza lateral ejercida por el peatón sobre una plataforma estática tiene un alto contenido en la frecuencia de paso, 𝑓!, y en sus primeros múltiplos impares. Si ahora se desarrolla en serie de Fourier la fuerza lateral de la Ilustración 2.16. correspondiente al paso sobre plataforma móvil tomando como periodo de integración 𝑇! = 5/𝑓!, puede observarse que, además de las frecuencias mencionadas, aparece una nueva componente neta para el armónico de frecuencia 𝑓! = 1.1𝐻𝑧 , correspondiente a la oscilación de la plataforma.

Ilustración 2.16. Rojo, fuerza horizontal lateral; negro, velocidad de la plataforma (escalada). Elaboración propia.

Ilustración 2.17. Primeros 50 términos de la serie de Fourier de la fuerza lateral. Elaboración propia.


38

Tabla 2.2. Contribución de los principales armónicos a la fuerza lateral. Elaboración propia.

𝒇(𝑯𝒛) 0.88 (≈ 𝑓!) 1.1(= 𝑓) 2.64(≈ 3𝑓!) 4.4(≈ 5𝑓!)

2 𝑓! (N) 27.1643 4.50071 10.1114 5.03599 2 𝑓!𝑚𝑔 (%) 3.955773992

0.655411388

1.472462502

0.733361002

La existencia de una componente neta para la frecuencia f implica que el movimiento de la plataforma induce una fuerza auto-‐excitante por parte del peatón. Así, las componentes de la fuerza con frecuencia distinta de f no aportarán energía neta al sistema a lo largo de un cierto número de ciclos de vibración del puente, mientras que el armónico con frecuencia igual a la de la plataforma aportará (o sustraerá) energía neta, en función de la diferencia de fase entre dicho armónico y la velocidad del puente 𝜑! − 𝜃 . Dicha energía neta, a lo largo de un tiempo T, vendrá dada por la siguiente expresión: 𝑊! = 𝑓 𝑡 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑓! 𝑥𝜔! cos (2𝜋𝑓!𝑡 + 𝜑!)cos (2𝜋𝑓! + 𝜃)𝑑𝑡

!!

!! (2.2.31)

Donde 𝑓! y 𝜑! son, respectivamente, el módulo y el ángulo del coeficiente complejo de Fourier del armónico de frecuencia f, obtenido mediante la expresión:

𝑓! =!!!!

𝑓 𝑡 𝑒!!!!!!!!!/!!! 𝑑𝑡 (2.2.32)

Donde 𝑛! denota el número de ciclos de vibración de la plataforma considerados en el desarrollo de Fourier. Dado que la fuerza lateral, 𝑓 𝑡 , depende de los parámetros de movimiento de la plataforma, no es posible establecer a priori los valores de 𝑓! y 𝜑! , por lo que es preciso llevar a cabo simulaciones del modelo con diferentes parámetros.

Ilustración 2.18. Contribución del armónico de frecuencia f a la fuerza lateral. Elaboración propia.


39

Las siguientes figuras muestran el trabajo neto de la fuerza lateral, calculado de acuerdo con la expresión (2.2.31), durante 100 pasos del peatón típico 𝑇 = !""

!!! ,

𝑓! = 1.1𝐻𝑧, y diferentes amplitudes máximas 𝑥, en función de θ.

Ilustración 2.19. Energía neta por peatón durante 10 pasos . X=2mm. Elaboración propia.

Ilustración 2.20. Idem, X=3mm

Ilustración 2.21. Idem, X=4mm

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PASARELAS PEATONALES Master en Estructuras, Materiales y Cimentaciones. UPM

Luis Moya Guindo

Según se observa en las figuras anteriores, en todos los casos estudiados el trabajo realizado por la fuerza lateral resulta positivo en todo el rango de valores de <j>. Por tanto, si se admite que un número N de peatones se distribuye uniformemente en relación al ángulo de desfase, el trabajo neto realizado por la suma de todos ellos, We,total• dado por la ecuación (2.2.33), será igualmente positivo, añadiendo energía al sistema.

N J.2rr We total =- 0 We(e)de ' 2rr

(2.2.33)

Por otro lado, la energía disipada por el amortiguamiento es una magnitud fija dependiente del período de integración elegido, T, el amortiguamiento, e, y de los parámetros de movimiento de la plataforma.

(2.2.34)

Puesto que, de acuerdo con la ecuación de conservación de energía, We,totaz -Wd = Ll(Ec +U), donde tanto Ec como U dependen de la amplitud de la oscilación, el modelo predice un número crítico de peatones sobre la plataforma, para una amplitud dada, a partir del cual We,totaz > Wd y la amplitud de las oscilaciones aumenta. Este hecho coincide con las observaciones de Dallard et al. en los ensayos llevados a cabo en el Millennium Bridge [6] y con el modelo de Arup [5].

2.2.4. AMORTIGUAMIENTO NEGATIVO

El armónico de frecuencia f del desarrollo de Fourier de la fuerza lateral, dado por 2lf1 icos (w0 t + ({J¡ ), puede escribirse como la superposición de dos funciones sinusoidales, en fase con la velocidad y desfasada 90º respecto de esta:

2lf1 1{cos(w0 t +e) cos(<p¡- e)+ sen(w0 t + e)sen(<p¡- e)}= Tv cos(w0 t +e)+

fasen(w 0 t + e) (2.2.35)

La componente del armónico en fase con la velocidad vendrá dada, entonces, por:

Tv = 2lftl cos(<p¡- e)= 2lf1 l(cos<p¡cose- sen<p¡sene) = 2coseRe{t1}-

2seneim{t1} (2.2.36)

Donde,

1 f.T · ~ =- P f(t)e-twatdt f Tp O

(2.2.38)

Re{t1} = _!_ f.0Tp f(t)cosw 0tdt,Im{t1} = _ _!_ f.0Tp f(t)senw 0tdt Tp Tp

(2.2.39)

Por tanto,

- 2 f.T 2 f.T fv =- 0 P f(t)(cosw 0tcos8 + senw0tsen8)dt =- 0 P f(t)cos(w 0t + S)dt (2.2.40) ~ ~


41

En la siguiente figura se representa la componente del armónico de frecuencia f en fase con la velocidad, 𝑓! , para 𝑥 = 2.0𝑚𝑚 y valores de 𝜃 entre 0 y 360º, cada 10º. El período de integración considerado corresponde a 100 pasos del peatón típico 𝑇! =

!""!!!

Como puede apreciarse, la curva anterior tiene la misma forma que la de la figura 2.2.11, correspondiente al trabajo externo ejercido por la fuerza lateral, lo que no es extraño teniendo en cuenta que, como se indicó anteriormente, los armónicos con frecuencia distinta de 𝑓! no aportan energía neta a lo largo de un número elevado de ciclos, como tampoco lo hace la componente del armónico de frecuencia f desfasada 90º respecto de la velocidad de la plataforma. De hecho, el trabajo ejercido, 𝑊! , es proporcional a 𝑓! según la siguiente expresión:

𝑊! =!!𝑓!𝑥𝜔!𝑇! (2.2.41)

Suponiendo que un número N de peatones, todos ellos con los parámetros típicos mencionados en el apartado 2.2.3, se distribuyen uniformemente para valores de ϕ entre 0 y 2π, se tiene una fuerza media lateral en fase con la velocidad por peatón de valor:

𝑓! = !!!

𝑓! 𝜃 𝑑𝜃!!! (2.2.42)

Si se denomina k (coeficiente de fuerza lateral por peatón) a la relación entre la fuerza real ejercida por cada peatón, 𝑓! , y la velocidad local de la plataforma, 𝑋𝜔!, se concluye que, para una frecuencia determinada de vibración de la plataforma, f, dicho cociente es aproximadamente constante. La siguiente tabla recoge los valores de k obtenidos mediante Mathematica para valores de f iguales a 0.5, 1.1 y 2.0Hz y amplitudes máximas, X, de 2, 3 y 4mm.

Ilustración 2.22. Componente en fase con la velocidad del armónico de frecuencia f de la fuerza lateral. Elaboración propia.


42

Tabla 2.3. Valores obtenidos para el coeficiente de fuerza lateral. Elaboración propia.

f/X 0.5Hz 1.1Hz 2.0Hz

2mm -‐81.3585 189.766 -‐91.5977

3mm -‐84.8528 190.206 -‐91.6269

4mm -‐86.5999 190.427 -‐91.6415

𝑘(𝑁𝑠𝑚!!) -‐84.2704 190.133 -‐91.62203333

El hecho de que exista una proporcionalidad casi constante entre la fuerza lateral en fase con la velocidad por peatón y la velocidad local de la plataforma está en consonancia con el modelo empírico de Arup [5], lo cual implica que dicha fuerza tendría el efecto de un amortiguamiento negativo en el movimiento de la estructura. Sin embargo, los valores obtenidos difieren notablemente del encontrado por Fitzpatrick et al. durante la campaña de ensayos en el Millennium Bridge (𝑘 ≈ 300𝑁𝑠𝑚!! en el rango de frecuencias 0.5− 1.0𝐻𝑧). La siguiente figura ilustra una simulación más completa [29], elaborada por Macdonald siguiendo un procedimiento similar para diferentes valores de la frecuencia 𝑓! de la plataforma, comparando los coeficientes obtenidos con otros medidos in situ por diversos autores.

2.2.5. CONCLUSIONES El modelo del péndulo invertido es capaz, pese a su sencillez, de reproducir con exactitud las fuerzas laterales ejercidas por un peatón sobre una plataforma inmóvil, de acuerdo a los resultados empíricos recogidos por diversos autores. El modelo predice, así mismo, la existencia de componentes de frecuencia igual a la del movimiento de la plataforma en el espectro de fuerzas laterales, sin necesidad

Ilustración 2.23. Línea negra delgada, modelo del péndulo invertido; línea negra gruesa, mediciones en el Millennium Bridge (Dallard et al. 2001); x, mediciones en el puente de Clifton (Macdonald 2008); +, mediciones en el puente de Changi Mezzanine (Brownjohn et al. 2004); línea discontinua, modelo del péndulo invertido considerando otra estrategia distinta de control de equilibrio. Fuente: [29]


43

de que este modifique la frecuencia de su paso. Así pues, utilizando exclusivamente estrategias de equilibrio basadas en el control de la posición, los peatones aportarían energía neta al sistema, pudiendo provocar una situación de inestabilidad a partir de un cierto número de ellos. Por otro lado, la componente en fase con la velocidad de la fuerza lateral por peatón resulta proporcional a la velocidad local del puente, pudiendo concebirse la acción ejercida por este como un amortiguamiento negativo. Todo ello es congruente con los datos disponibles, especialmente con el modelo empírico de Arup, y ofrece una explicación alternativa del mecanismo responsable del desarrollo de oscilaciones de gran amplitud sin necesidad de que se produzca sincronización lateral o lock-‐in, lo cual es consistente con la ausencia de evidencia de este fenómeno en los ensayos llevados a cabo en el puente de Clifton y en el de Changi Mezzanine. Desafortunadamente, con los parámetros considerados, los valores obtenidos difieren notablemente de los datos empíricos disponibles. Sin embargo, es posible obtener resultados diferentes utilizando otros parámetros o estrategias de control de equilibrio diferentes.


44

2.3. MODELO DE STROGATZ

2.3.1. INTRODUCCIÓN El modelo de Strogatz et al. [12] aborda el problema de las vibraciones excesivas en pasarelas peatonales desde la interpretación más extendida de la excitación lateral sincronizada (SLE). Desde este punto de vista, a diferencia de la hipótesis de Macdonald, el aumento incontrolado de la amplitud de las oscilaciones sería consecuencia de la adaptación progresiva de la frecuencia del paso de los peatones a la frecuencia de resonancia del puente. El modelo de Strogatz et al. es, esencialmente, una modificación del modelo de Kuramoto, que reproduce con una exactitud razonable el comportamiento de osciladores no lineales acoplados en un buen número de fenómenos naturales. Por citar algunos ejemplos, el modelo de Kuramoto se ha aplicado con éxito en campos tan dispares como la neurología (osciladores moleculares), biología (comportamiento de luciérnagas del sureste asiático), psicología (sincronización del aplauso en un auditorio), física (sincronización de relojes pendulares con un soporte común) etc. [7]-‐[11]

2.3.2. DESCRIPCIÓN DEL MODELO El modelo de Strogatz et al. [12] viene definido por un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de dimensión N+1, siendo N el número de peatones sobre la pasarela. La primera de dichas ecuaciones corresponde a la dinámica del puente según el modo de vibración predominante, sometido a la fuerza lateral ejercida por los peatones:

𝑀 !!!!!!

+ 𝐵 !"!"+ 𝐾𝑋 = 𝐺 𝑠𝑒𝑛𝛩!!

!!! (2.3.1) Donde M, B y K representan la masa, amortiguamiento y rigidez modal, respectivamente. La fuerza ejercida por cada peatón se considera sinusoidal, con fase 𝛩! y valor máximo G constante con independencia de la amplitud o la velocidad de la vibración del tablero. Puesto que no se considera un valor de la fuerza máxima particular para cada individuo, G debe interpretarse como el valor medio de una cierta distribución de probabilidad. Las N ecuaciones restantes describen la acomodación del paso de cada peatón al movimiento de la plataforma, según:

!!!!"= 𝛺! + 𝐶𝐴𝑠𝑒𝑛 𝛹 − 𝛩! + 𝛼 , 𝑖 = 1,… ,𝑁 (2.3.2)

Donde 𝐴 y 𝛹 denotan la amplitud y la fase de vibración del puente, variables en el tiempo (como se verá más adelante, el movimiento del puente puede describirse de forma aproximada por 𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝛹(𝑡) ). 𝛺! representa la frecuencia “natural” del peatón, esto es, aquella que adoptaría este en ausencia de movimiento de la plataforma, y estará definido por una cierta distribución de



probabilidad p(fl). Nótese que, en el caso de plataforma estática, dei = ni = cte. dt

Finalmente, a es un parámetro de ajuste y Ces un coeficiente de "sensibilidad" que regula la rapidez con la que el peatón adapta su paso cuando camina sobre una plataforma móvil. De nuevo se asume que dicho parámetro es un valor promedio, obviándose las particularidades de cada sujeto.

El sistema de ecuaciones (2.3.2) es muy similar al que define el modelo de Kuramoto, dado por:

dei kij ¿N . ( - = fl· +- ·- sm B· - B·) dt l N J -1 J l ' i=l, ... ,N (2.3.3)

La diferencia fundamental entre ambos modelos estriba en que, en el modelo de Strogatz et al., cada oscilador tiende a acoplarse a un "oscilador de referencia" (el propio tablero del puente), mientras que en el modelo de Kuramoto cada oscilador se sincroniza con el resto.

2.3.3. ECUACIONES PROMEDIADAS

El método del término medio ( method of averaging, en inglés), es una herramienta matemática en el marco de la teoría de perturbaciones que permite obtener un nuevo sistema de ecuaciones promediadas, cuya solución es próxima a la del sistema original cuando este describe fenómenos lentamente variables. En el caso estudiado, se asume que la amplitud y cierta componente de la fase del movimiento cambian lentamente en el tiempo en relación al movimiento principal, como se verá.

La aplicación del método del término medio requiere previamente reescribir el sistema de ecuaciones (2.3.1) y (2.3.2) en términos adimensionales. Para ello, se definen los siguientes parámetros:

Y las variables adimensionales:

r = fl 0 t

X =X/L a= A/L



Sustituyendo en el sistema (2.3.1) y (2.3.2) y operando, se llega a:

d 2 x dx ( ) - 2 + 2(- +X = E senBi dT dT

(2.3.4)

dei Ili - =- + Easen(IJI- B· +a) dr Il 0 1

(2.3.5)

Luis Moya Guindo

Finalmente, si se introducen los siguientes factores, se llega al sistema de ecuaciones diferenciales (2.3.6) y (2.3.7).

d 2 x ( dx) - 2 + x =E (sen(8i + r))- 2b-dr dr

(2.3.6)

d8i - = E(wi + asen(l/J- ei +a)) i = 1, ... , N (2.3.7) dT

La ventaja de la notación anterior es que E, que se supone un valor pequeño, aparece multiplicando al término de la derecha en ambas ecuaciones, lo que permite aplicar el resultado fundamental del método del término medio en su forma clásica. 2 Nótese que si E= O, las ecuaciones (2.3.6) y (2.3.4) quedan desacopladas, resultando:

d2x +X= O dr2

ctei =O dr

(2.3.8)

(2.3.9)

Cuya solución es x(r) = asen(r + 1/J), con a y 1/J constantes, y ei = cte.

Puesto que en la expresión (2.3.7) no aparece T de forma explícita, la aplicación del método del término medio no altera las ecuaciones. En el caso de (2.3.6), para que sea aplicable el método es preciso transformar la ecuación en un sistema de ecuaciones equivalente de orden inferior. Para ello,

basta con introducir una nueva incógnita, y = dx, de lo que resulta: dt

2 Sea ct"x = E[(t, x, E) un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, siendo E un valor pequeño. Si dt

y(t) es solución del sistema dy = E¡D(x, E), donde dt

¡D(x,E) = ~f: f(t,x,E)dt,

entonces el resultado fundamental del método del término medio establece que y(t, x) es una solución aproximada del sistema original. Para una exposición más rigurosa véase, por ejemplo, [37}.



dx dr =Y dy = -x + E((sen(ei + r))- 2by) dr

Si se introduce el siguiente cambio de variables:

x = a(r)sen( r + l/J(r)) y= a(r)cos (r + 1/J(r))

Entonces, las derivadas de x e y son, respectivamente,

dx da ( dl/J) - = -sen(r + l/J) +a 1 +- cos(r + 1/J) dr dr dr

dy =da cos(r + l/J)- a (1 + dl/J) sen(r + 1/J) dr dr dr

Luis Moya Guindo

(2.3.10)

(2.3.11)

(2.3.12) (2.3.13)

(2.3.14)

(2.3.15)

Sustituyendo las expresiones anteriores en las ecuaciones (2.3.10) y (2.3.11), se llega a:

dl/J 1 da - = ---tg(r + l/J) dr a dr

(2.3.16)

-a dl/J sen(r + 1/J) =-da cos(r + l/J) + E((sen(8i + r))- 2bacos(r + l/J)) (2.3.17) dr dr

Si ahora se sustituye (2.3.16) en (2.3.17), se obtiene:

:: = E((sen(8i + r)) cos(r + l/J)- 2bacos 2 (r + l/J)) (2.3.18)

Por lo que la ecuación (2.3.16) queda como sigue.

dl/J = E(-]:_ (sen(ei + r)) sen( r + ljJ) - 2basen( r + 1/J) cos( r + ljJ )) (2.3.19) dr a

Llegados a este punto, el sistema definido por (2.3.18) y (2.3.19) tiene la estructura apropiada para aplicar el método del término medio. Así, integrando en ambas ecuaciones el término de la derecha, y tomando T = 2rr, resulta el siguiente sistema promediado:

da = E]:_ J,0T ( (sen(8i + r)) cos(r + ljJ) - 2bacos 2 (r + ljJ) )dr = E(-! (sen(l/J -dr T 2

ea)- ba) (2.3.20)

dl/J =E]:_ J,0T (- ]:_(sen(ei + r)) sen(r + l/J)- 2basen(r + l/J) cos(r + l/J)) dr = dr T a

E (- 2~ (cos(l/J- (Ji))) (2.3.21)

Finalmente, si se introduce la variable "tiempo lento", dada por r* = Er, el sistema definido por (2.3.7), (2.3.20) y (2.3.21) queda como sigue.

L17



a= -ba- ~(sen(l/J- ea) alj; = _}:_(cos(l/J- ei ))

2

()i = wi + asen(l/J- ei +a) i = 1, ... ,N

Luis Moya Guindo

(2.3.22)

(2.3.23)

(2.3.24)

Donde el punto superior denota la derivada respecto del tiempo lento(-= d~.)

Una vez resuelto el sistema anterior, las incógnitas del problema original pueden obtenerse fácilmente sin más que deshacer los cambios de variable efectuados: A = aL, ljl = l/J + flot, ei = ei + flot, y teniendo en cuenta que r* = Eflot.

2.3.4. NÚMERO CRÍTICO DE PEATONES

Dada la alta complejidad del sistema (2.3.22), (2.3.23) y (2.3.24), no resulta posible encontrar una solución analítica para el caso general, debiéndose resolver cada caso particular por métodos numéricos. No obstante, mediante la aplicación de procedimientos estadísticos y de métodos de bifurcación, Strogatz et al. [12] llega a una expresión para el número crítico de peatones sobre la pasarela. Asumiendo que el coeficiente de ajuste a = rr/2 y que la distribución de probabilidad de la frecuencia natural del peatón, p(fl), es simétrica y unimodal, dicha expresión resulta:

N = 4~ K e rr GCp(f20 )

(2.3.25)

A falta de un mayor número de ensayos que permitan ajustar el modelo, la fuerza máxima e puede suponerse, con grandes precauciones, similar a la ejercida sobre una plataforma estática. Strogatz et al. [12] proponen el valor e = 30N, que excede ligeramente la obtenida por el método del péndulo invertido en ausencia de movimiento. Así mismo, parece razonable suponer que fl sigue una distribución normal, con media fln y desviación estándar CJn, por lo que el factor p(fl0) vendrá dado por:

1 ( 1 (f2o-f.ln) 2) p(fl0) = --exp -- --.JZn(Jn 2 (Jn,

(2.3.26)

O bien, en términos de frecuencias,

(2.3.27)

Por último, el parámetro C resulta difícil de estimar debido a la escasez de información al respecto. Para el caso particular del Millennium Bridge, Strogatz et al. [12] proponen el valor C ~ 16m-1s-1 . No obstante, a la vista de la ecuación (2), debe cumplirse que C ~ O cuando ljl ~ O, por lo que C debe ser una función de la frecuencia de resonancia de la estructura. De hecho, si se compara la expresión anterior con la obtenida por Fitzpatrick, Dallard et al. para el modelo de Arup, resulta:

LlQ



e= 2fok Gp(12 0 )

(2.3.28)

Luis Moya Guindo

Siendo k~ 300Nsm-1 (para 0.5Hz:::; [0 :::; 1Hz) el factor de excitación lateral.

2.3.5. MEDIDA DEL GRADO DE SINCRONIZACIÓN

El parámetro tradicionalmente utilizado en el modelo de Kuramoto para medir el grado de sincronización entre los diferentes osciladores es el denominado parámetro de orden "r", definido como sigue:

Nótese que, si todos los osciladores están perfectamente sincronizados (e1 = e2 = ··· = eN), entonces z = eie y r = 1. Por el contrario, si se tienen dos osciladores desfasados 180º, r = O, revelando una ausencia total de sincronía. Además, la fase </> = Arg(z) es un factor indicativo de la fase media de los osciladores.

No obstante, el parámetro de orden de Kuramoto se refiere a la sincronización de los múltiples osciladores entre sí, sin tomar ninguno de ellos como referencia. Sin embargo, dado que en el caso objeto de estudio el acoplamiento de los peatones tiene lugar respecto de un oscilador de referencia (el propio tablero del puente), se propone en este trabajo un nuevo parámetro de orden, rp, definido como sigue:

Con la definición anterior, si rp = llos peatones no solo están sincronizados entre sí sino, además, sincronizados todos ellos con el movimiento del tablero.

2.3.6. EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Se presenta en este apartado una simulación llevada a cabo mediante Mathematica. Los parámetros mecánicos utilizados son los proporcionados por Strogatz et al. para el Millennium Bridge [12].

M= 1.13E5kg,K = 4.73E6Nm-l,B = 1.10E4Nsm-1

[ 0 = 1.03Hz, ( = 0.752%

Para el valor máximo de la fuerza se toma el valor recomendado por Strogatz et al. [12], G = 30N, que excede ligeramente los obtenidos por el modelo del péndulo invertido y los medidos empíricamente por diversos autores para peatones sobre plataforma estática. Se asumirá que la frecuencia "natural" de los peatones sigue una distribución normal, p(fl) = N(f112 , 0'12 ). Para la frecuencia lateral media, se tomará el medido por Pachi&Ji (2005) sobre una muestra de 400 peatones caminando de forma natural sobre dos puentes [33], 0.9Hz, de lo que resulta fln = 2rr · 0.9Hz =

LlQ


50

5.65𝑟𝑎𝑑/𝑠 En ausencia de más datos, se asumirá la desviación estándar recogida por Strogatz et al., 𝜎! = 2𝜋 · 0.1𝐻𝑧 = 0.63𝑟𝑎𝑑/𝑠.

Finalmente, puesto que algunos de los parámetros escogidos son distintos de los propuestos por Strogatz et al., el coeficiente de sensibilidad C se obtendrá por medio de la expresión (2.3.28), de modo que el número crítico de peatones coincida con el predicho por el modelo de Arup. Puesto que

𝑝 𝛺! =1

2𝜋 · 0.63exp −

122𝜋 · 1.03− 5.65

0.63

!

= 0.2738𝑠!!

Resulta 𝐶 ≈ 75.2𝑚!!𝑠!!.

En estas condiciones, 𝑁! = 74.

! Caso 𝑵 < 𝑵𝒄 (𝑵 = 𝟓𝟎)

En primer lugar, se muestra el conjunto aleatorio de N frecuencias 𝑓! y N fases iniciales 𝜃!,! generado mediante Mathematica. Las primeras siguen una distribución normal 𝑁(𝜇! = 0.9𝐻𝑧,𝜎! = 0.1𝐻𝑧), mientras que para las segundas se ha supuesto una distribución uniforme 𝑈[0,2𝜋], tal y como se muestra en las siguientes figuras.

Ilustración 2.24. Muestra aleatoria de tamaño N=50. Puntos en rojo, valores aleatorios de frecuencias, 𝒇𝒊 (izquierda) y fase inicial, 𝜣𝒊,𝟎 (derecha); línea continua, distribución de probabilidad asociada; líneas verticales azules, μ-‐σ, μ y μ+σ. Elaboración propia.

Las simulaciones consisten en la resolución del sistema de ecuaciones definido por (2.3.22)-‐(2.3.24) mediante el método de Runge-‐Kutta (véase apéndice Mathematica), con las siguientes condiciones iniciales:

𝐴 0 = 0.001𝑚,𝜓 0 = 0,𝜃! 0 = 𝜃!,!(𝑟𝑎𝑑)

La siguientes figuras muestran la evolución de los parámetros más significativos que describen la interacción peatones-‐estructura.


51

Como se observa en la figura, la amplitud evoluciona de manera caótica, con valores comprendidos entre 0 y 1mm, sin un incremento sostenido a lo largo del tiempo considerado.

Las fases representadas en la ilustración anterior siguen aproximadamente una recta, cuya pendiente corresponde a la frecuencia circular del movimiento del puente y de los peatones, sin mostrar evidencia de interacción.

Ilustración 2.25. Amplitud de las vibraciones VS. Tiempo. Elaboración propia

Ilustración 2.26. Línea roja continua, fase del puente 𝜳 ; Líneas discontinuas, fases de tres peatones escogidos al azar 𝜣𝒊 . Elaboración propia

Ilustración 2.27. Línea roja, frecuencia del puente 𝒅𝜳/𝒅𝒕 ; líneas discontinuas, frecuencia de tres peatones escogidos al azar 𝒅𝜣𝒊/𝒅𝒕 . Elaboración propia.


52

En general, salvo oscilaciones de pequeña magnitud que se anulan en promedio, cada peatón mantiene su frecuencia “natural”, de manera similar a lo que sucedería si caminaran sobre una plataforma inmóvil. Por su parte, el tablero presenta oscilaciones caóticas de cierta magnitud en torno a la frecuencia de resonancia (1.03Hz).

La suma de las fuerzas laterales ejercidas por cada peatón muestra un patrón similar al de los casos anteriores, sin tendencia creciente. Los valores oscilan en torno a 0, con valores máximos alrededor de 400N y anulándose en promedio.

Ilustración 2.29. Izquierda, parámetro de orden 𝒓; Derecha, parámetro de orden 𝒓𝒑. Elaboración propia.

Como se puede comprobar, ambos parámetros de orden muestran un comportamiento caótico, adoptando valores reducidos y sin experimentar un aumento sostenido en el tiempo, por lo que la sincronización entre peatones, y entre peatones y estructura, es prácticamente inexistente.

! Caso 𝑵 > 𝑵𝒄 (𝑵 = 𝟗𝟎)

Se muestra a continuación el conjunto aleatorio de N frecuencias (f) y N fases iniciales 𝜃! generado mediante Mathematica con iguales distribuciones de probabilidad que en el caso anterior.

Ilustración 2.28. Fuerza lateral total ejercida por los peatones 𝑮 𝒔𝒆𝒏𝜣𝒊𝑵

𝒊!𝟏 VS. Tiempo. Elaboración propia.


53

Ilustración 2.30. Muestra aleatoria de tamaño N=90. Puntos en rojo, valores aleatorios de frecuencias, 𝒇𝒊 (izquierda) y fase inicial, 𝜣𝒊,𝟎 (derecha); línea continua, distribución de probabilidad asociada; líneas verticales azules, μ-‐σ, μ y μ+σ. Elaboración propia.

Las siguientes figuras muestran la evolución de los parámetros más significativos que describen la interacción peatones-‐estructura, partiendo de las mismas condiciones iniciales que en el caso 𝑁 < 𝑁! .

La figura anterior evidencia que la estructura presenta una respuesta marcadamente diferente a la del caso 𝑁 < 𝑁! . La amplitud sigue ahora una tendencia monótonamente creciente hasta estabilizarse en un valor máximo de 0.0350642m, aproximadamente a los 200s del comienzo del proceso de carga.

Ilustración 2.31. Amplitud de las vibraciones VS. Tiempo. Elaboración propia.

Ilustración 2.32. Línea roja continua, fase del puente 𝜳 ; Líneas discontinuas, fases de tres peatones escogidos al azar 𝜣𝒊 . Elaboración propia.


54

La evolución de las fases del puente y los peatones también muestra una diferencia muy notable. Mientras que en el caso anterior cada fase presentaba una pendiente propia, ahora todas ellas siguen una trayectoria paralela al poco tiempo del comienzo de la simulación, lo que constituye una evidencia de sincronización, como se verá en las siguientes figuras.

A diferencia del caso anterior, la frecuencia de paso de los peatones no se mantiene constante en promedio en torno a su frecuencia “natural” 𝑓! , sino que tiende a acoplarse a la frecuencia de resonancia de la estructura, 1.03Hz, al poco tiempo del comienzo de la simulación, como ya sugería la ilustración 2.32. De igual manera, la suma de las fuerzas laterales ejercidas por cada peatón aumenta de forma aproximadamente lineal en los primeros segundos, estabilizándose en torno a 2600N. Nótese que si la sincronización fuese perfecta 𝑟! = 1 , la fuerza máxima tomaría el valor 𝐹!"# = 𝐺𝑁 = 30𝑁 · 90 = 2700𝑁, lo que indica un alto grado de sincronización.

Ilustración 2.33. Línea roja, frecuencia del puente 𝒅𝜳/𝒅𝒕 ; líneas discontinuas, frecuencia de tres peatones escogidos al azar 𝒅𝜣𝒊/𝒅𝒕 . Elaboración propia.

Ilustración 2.34. Fuerza lateral total ejercida por los peatones 𝑮 𝒔𝒆𝒏𝜣𝒊𝑵

𝒊!𝟏 VS. Tiempo. Elaboración propia.


55

Ilustración 2.35. Izquierda, parámetro de orden 𝒓; Derecha, parámetro de orden 𝒓𝒑. Elaboración propia.

Los parámetros de orden revelan ahora una tendencia claramente creciente hasta alcanzar un valor máximo de 0.971705 en el caso del parámetro de orden 𝑟, y 0.973741 en el de 𝑟!, que indican una sincronización casi perfecta, como ya se adelantó.

2.3.7. CONCLUSIONES El modelo de Strogatz et al. pronostica la existencia de un número crítico de peatones sobre la plataforma a partir del cual la respuesta del sistema cambia radicalmente, lo cual es consistente con las observaciones de Dallard et al. [2][5][6] en el Millennium Bridge. El modelo ofrece además un criterio sencillo para determinar la estabilidad de la estructura frente a las cargas inducidas por los peatones, que incluye factores no contemplados en el criterio de Arup, como la distribución de probabilidad de la frecuencia de paso, si bien excluye la influencia del factor de forma modal. En cualquier caso, existe un elevado grado de incertidumbre en relación al valor de algunos de los parámetros involucrados, especialmente en cuanto al factor de sensibilidad C. La determinación precisa de la relación entre este parámetro y la frecuencia de resonancia de la estructura, así como la corroboración general del modelo, requeriría llevar a cabo una campaña de ensayos. Por otro lado, la campaña experimental conducida por Dallard et al. evidenciaba la existencia de una relación lineal entre la fuerza en fase con la velocidad por peatón, 𝑓!(𝑡), y la velocidad local del tablero, 𝑉(𝑡), de la forma 𝑓!(𝑡) = 𝑘𝑉(𝑡), donde 𝑘 ≈ 300𝑁𝑠𝑚!! es el factor de excitación lateral. Puede comprobarse la consistencia del modelo de Strogatz et al. con el resultado anterior si la velocidad local se aproxima por:

𝑉 𝑡 = !!"

𝐴 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝛺!𝑡 + 𝜓(𝑡) ≅ 𝐴(𝑡)𝛺!cos (𝛺!𝑡 + 𝜓(𝑡)) (2.3.31)

𝑉 𝑡 ≅ 𝐴(𝑡)𝛺! (2.3.32) Por otra parte, la fuerza por peatón resulta:

𝑓 𝑡 = 𝐺 !!

𝑠𝑒𝑛𝛩! = 𝐺 𝑠𝑒𝑛𝛩!!!!! (2.3.33)


56

La expresión anterior puede escribirse como la suma de una componente en fase con la velocidad, y otra desfasada 90º respecto de ella, recordando los cambios de variable descritos en el apartado 2.2.3. 𝑓 𝑡 = 𝐺 𝑠𝑒𝑛𝛩! = 𝐺 𝑠𝑒𝑛(𝛺!𝑡 + 𝜃!) = 𝐺 𝑠𝑒𝑛(𝛺!𝑡 + 𝜓 𝑡 + (𝛩! − 𝜓 𝑡 ) =𝐺𝑠𝑒𝑛 𝛺!𝑡 + 𝜓 𝑡 cos 𝜃! − 𝜓 + 𝐺𝑐𝑜𝑠 𝛺!𝑡 + 𝜓 𝑡 sen 𝜃! − 𝜓 (2.3.34) La componente de la fuerza por peatón en fase con la velocidad resulta, entonces,

𝑓!(𝑡) = 𝐺 sen 𝜃! − 𝜓 (2.3.35) En la siguiente figura se muestra la relación obtenida entre 𝑓!(𝑡) y 𝑉 𝑡 para el caso 𝑁 > 𝑁! estudiado en el apartado anterior.

Como se observa, los resultados obtenidos de la simulación siguen una tendencia curva, de modo que el coeficiente de excitación lateral, k, se reduce a medida que aumenta la velocidad local del tablero. Dicha tendencia puede describirse de forma aproximada mediante la parábola:

𝑓!(𝑡) = −0.0947+ 215.93𝑉 − 417.96𝑉! No obstante, en el intervalo [0, 0.15m/s] (intervalo recogido en [5] y [6]), la relación puede asumirse aproximadamente lineal, con pendiente 𝑘 = 165.48𝑁𝑠𝑚!!. Aún así, dicho valor está lejos del reportado por Dallard et al. (𝑘 = 300𝑁𝑠𝑚!!). Existe, además, otro aspecto contradictorio con el modelo de Arup. En efecto, cuando se supera el número crítico de peatones, el modelo de Strogatz et al. predice el aumento progresivo de la amplitud de las vibraciones de la estructura, hasta estabilizarse en un valor máximo. Nótese que, si la sincronización entre peatones y estructura es total 𝑟! = 𝑟 = 1 , todos los peatones caminarán con una frecuencia igual a la frecuencia de resonancia, de modo que la ecuación dinámica del puente (1), se transforma en:

Ilustración 2.36. 𝒇𝒗 VS. 𝑽. Línea continua azul, ajuste parabólico; línea continua roja, ajuste lineal entre 0-‐0.15m/s; línea discontinua, relación de Dallard et al.


57

𝑀 !!!

!!!+ 𝐵 !"

!"+ 𝐾𝑋 = 𝐺 𝑠𝑒𝑛𝛩!!

!!! = 𝐺𝑁𝑠𝑒𝑛𝛺!𝑡 (2.3.36) Cuya solución, en régimen estacionario, viene dada por:

𝑋 = !!!

!"!𝑐𝑜𝑠𝛺!𝑡 (2.3.37)

Donde !

!! representa el factor de amplificación dinámica.

Volviendo a la simulación del caso 𝑁 > 𝑁! , la amplitud máxima obtenida resultaba 0.0350642m para un parámetro de orden 𝑟 = 0.973741, mientras que para 𝑟 = 1 se obtendría 𝐴!"# =

!!!

!"!= 0.0379385m.

La amplitud está, por tanto, acotada en función del número de peatones y del amortiguamiento y rigidez de la estructura, por lo que el modelo no es capaz de reproducir el crecimiento exponencial de la amplitud que se observaba en el modelo de Arup. No obstante las incoherencias mencionadas respecto a los resultados empíricos disponibles, el modelo de Strogatz et al. plantea una interesante línea de investigación. La última inconsistencia mencionada podría corregirse mediante la introducción del efecto del aumento de la fuerza ejercida por los peatones en función de la velocidad del puente (o de su amplitud). Esta modificación podría, además, conducir a valores del coeficiente de excitación lateral más próximos a los observados en los ensayos.


58

2.4. MODELO PROPIO

2.4.1. INTRODUCCIÓN Se estudia a continuación un modelo simple del fenómeno de la inestabilidad lateral inspirado en el problema físico de un cuerpo unido a un resorte y sobre el que actúa la fuerza de rozamiento con la superficie sobre la que se apoya. Este problema representa un caso de disipación energética no viscosa, en el que una fuerza periódica de amplitud constante se opone al movimiento. Si por el contrario, la fuerza es ejercida a favor del movimiento, es decir, en fase con la velocidad, la fuerza es auto-‐excitante y tiene el efecto de aumentar la energía del sistema. Una pequeña modificación de este modelo consiste en suponer que dicha fuerza es proporcional a la amplitud del movimiento. Este último modelo proporciona resultados semejantes al modelo de Arup (Fitzpatrick, Dallard et al., 2001) [2][5][6].

2.4.2. OSCILADOR ARMÓNICO SOMETIDO A FUERZA DE ROZAMIENTO Considérese el problema de un cuerpo de masa M unido a un resorte de constante K y apoyado sobre una superficie con coeficiente de rozamiento μ. La fuerza de rozamiento 𝐹! vendrá dada por la siguiente expresión:

𝐹! = −𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥)𝑀𝑔𝜇 (2.4.1) Donde 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥) es el signo de la velocidad, y g la aceleración de la gravedad. La ecuación diferencial del sistema se obtiene aplicando la segunda ley de Newton y dividiendo todos los miembros por M, de lo que resulta:

𝑥 + 𝜔!!𝑥 = −𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥 𝑔𝜇 = 𝐹!,!/𝑀 (2.4.2) Siendo 𝜔! = 𝐾/𝑀 la frecuencia natural del sistema. Puesto que el signo de la velocidad cambia en cada semiperiodo de la oscilación, la solución de la ecuación diferencial anterior vendrá dada por una función definida a trozos, cada una de ellas solución de (2.4.2) con su signo correspondiente y las condiciones iniciales apropiadas. Durante un semiperiodo la ecuación (2.4.2) es una ecuación diferencial lineal completa de coeficientes constantes, cuya solución viene dada por la siguiente expresión.

𝑥! 𝑡 = 𝛼! cos 𝜔 𝑡 − 𝑡!,! + 𝜙! + !!,!/!!!

(2.4.3) Donde 𝑖 = 1, 2,… denota el i-‐ésimo “trozo” de la solución. Si se considera que en el instante inicial 𝑡! el cuerpo tiene una cierta coordenada 𝑥! y velocidad es nula 𝑥! 𝑡!,! = 𝑥!,! , 𝑥! 𝑡!,! = 0 , las constantes 𝛼! y 𝜙! anteriores toman los siguientes valores:



FRi/M ai = x0 i--· 2-, c/Ji =O (2.4.4)

' w

Por lo que la solución resulta,

Luis Moya Guindo

xi(t) = x0,icosw(t- to,i) + FR~~M ( 1- cosw(t- to,i)) para to,i < t::::; to,i+l

i = 1, 2, ... (2.4.5)

Donde, si para el primer semiciclo se toma como referencia t0 ,1 = O, entonces to. = rr(i-1).

,l w

Si se supone que la pos1c10n inicial para el primer semiperiodo es positiva (x0,1 > 0), FR,dM puede escribirse del siguiente modo:

No obstante, debe notarse que, dado que xi ( to,i) = O, si para el i-ésimo ciclo la fuerza ejercida por el resorte es inferior a la de rozamiento (ambas en valor absoluto), este no será capaz de continuar la oscilación. La fuerza de rozamiento tiene, por tanto, un valor máximo igual a la fuerza de restitución del resorte para t = to,i• resultando:

(2.4.7)

Por último, la posición inicial del i-ésimo semiciclo Xo,i deberá coincidir con la final del semiciclo anterior:

x0.i = xi_ 1 (to.a i = 2, 3, ... (2.4.8)

A continuación se presenta un ejemplo realizado en Mathematica con los siguientes valores para los parámetros involucrados: M= 1kg,K = 47.77Nm- 1,f0 = 1.1HZ,f1 = 0.3,x0,1 = 2.0m


60

Tal y como se observa en la figura anterior, la fuerza de rozamiento está desfasada 180º respecto de la velocidad. Esto implica que la potencia será siempre menor o igual que cero por lo que, pese a no ser una fuerza de tipo viscoso, su efecto es el de disipar energía progresivamente conduciendo a amplitudes cada vez menores. En la siguiente figura se presenta la potencia y la energía disipada por el rozamiento en función del tiempo.

Ilustración 2.39. Potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento (izquierda) y energía disipada (derecha).

Ilustración 2.37. Azul, x(t); Rojo, amplitud máxima de la vibración Vs. Tiempo.

Ilustración 2.38. Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza de rozamiento dimensionalizada 𝟏𝟎𝑭𝑹𝒎𝝎

.


61

2.4.3. MODELOS SENCILLOS DE EXCITACIÓN LATERAL

2.4.3.1. Modelo con fuerza lateral periódica constante Las ideas anteriores pueden utilizarse para modelizar la fuerza lateral ejercida por un peatón sobre una plataforma móvil. En efecto, si se supone que dicha fuerza tiene valor constante y se encuentra en fase con la velocidad, la solución del problema es análoga a la del caso anterior (ecuación (2.4.5)), sin más que modificar el signo del coeficiente 𝐹!,!/𝑀 y eliminar la restricción sobre su valor máximo, dada por (2.4.7). Con estas matizaciones, la solución vendrá dada por la siguiente expresión:

𝑥! 𝑡 = 𝑥!,!𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 − 𝑡!,! + !!,!/!!!

1− 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 − 𝑡!,! para 𝑡!,! < 𝑡 ≤ 𝑡!,!!!

𝐹!,!/𝑀 = (−1)!𝑔𝜇 𝑡!,! =!(!!!)!

𝑖 = 1, 2,… (2.4.9) Con la condición de continuidad 𝑥!,! = 𝑥!!!(𝑡!,!) 𝑖 = 2, 3,… A continuación se presenta un nuevo ejemplo resuelto mediante Mathemática con los siguientes datos: 𝑀 = 1𝑘𝑔,𝐾 = 47.77𝑁𝑚!!, 𝑓! = 1.1𝐻𝑧, 𝜇 = 0.3, 𝑥!,! = 0.3𝑚.

En esta ocasión, la fuerza lateral ejercida por los peatones está en fase con la velocidad, por lo que la potencia desarrollada será siempre mayor o igual que cero


Ilustración 2.41. Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza lateral dimensionalizada 𝟏𝟎𝑭𝟎

𝝎 .


62

y el trabajo realizado será positivo en cualquier instante de tiempo, aumentando la energía del sistema.

Ilustración 2.42. Potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento (izquierda) y energía disipada (derecha).

2.4.3.2. Modelo con fuerza lateral periódica proporcional a la amplitud y

amortiguamiento no viscoso Una modificación simple del modelo anterior consiste en que tanto el amortiguamiento como la fuerza lateral ejercida por los peatones es proporcional a la amplitud de la oscilación en cada semiperiodo.

𝐹!,!/𝑀 = −𝐹!𝑥!,! 𝑖 = 1, 2,… (2.4.10) Esta suposición parece razonable teniendo en cuenta que la fuerza de amortiguamiento viscosa clásica es proporcional a la velocidad 𝐹! = 2𝑀𝜔𝜉𝑥 y que la velocidad, para una frecuencia dada, es proporcional a la amplitud. Así mismo, una fuerza lateral proporcional a la amplitud parece intuitiva considerando la tendencia natural del peatón a aumentar la separación entre sus pies a medida que esta aumenta. Así mismo, esta suposición es congruente con los ensayos llevados a cabo en el Millennium Bridge (Dallard et al., 2001) en los que se encontró que la fuerza en fase con la velocidad resulta proporcional a la velocidad. Con estas condiciones, la solución del problema es similar a la de los casos anteriores y viene dada por la expresión:

!! !!!,!

= 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 − 𝑡!,! − !!!!

1− 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 − 𝑡!,! para 𝑡!,! < 𝑡 ≤ 𝑡!,!!!

𝑡!,! =

!(!!!)!

𝑖 = 1, 2,… (2.4.11) La amplitud máxima de la vibración puede determinarse teniendo en cuenta que:

!!,!"#!!,!

= !!(!!,!!!)!!,!

= −1− !!!!! (2.4.12)

Puesto que 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥!,! = (−1)!!! y que 𝑥!,! = 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥!,! 𝑥!,! , se tiene:

!!,!"#!!,!

= (−1)!!! + (−1)!!! !!!!! (2.4.13)


63

Y como 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥!,!"# = −𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑥!,! = (−1)! ,

!!,!"#!!,!

= 1+ !!!!! (2.4.14)

Si se toma como referencia el valor inicial de la amplitud para el primer semiperiodo, puede escribirse, para el semiperiodo n-‐ésimo:

!!,!"#!!,!

= !!,!"#!!,!!!

· !!!!,!"#!!,!!!

··· !!,!"#!!,!

= 1+ !!!!!

! (2.4.15)

La expresión anterior puede generalizarse para todo tiempo t en función del semiperiodo T/2 de la vibración del siguiente modo:

!!"#(!)!!,!

= 1+ !!!!!

!!/! = 1+ !!!

!!

!"! (2.4.16)

A continuación se presenta un ejemplo del modelo elaborado con Mathematica con los siguientes parámetros:

𝑀 = 1𝑘𝑔,𝐾 = 47.77𝑁𝑚!!, 𝑓! = 1.1𝐻𝑧, 𝑐! = 10𝑠!!, 𝑥!,! = 0.3𝑚

En cuanto al coeficiente 𝐹!, que engloba tanto el efecto del amortiguamiento (signo negativo) como el de la fuerza lateral (signo positivo), es razonable suponerlo lineal con respecto al número de peatones, de la forma:


Ilustración 2.44. Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza lateral dimensionalizada 𝑭𝟎

𝝎 .


64

𝐹! = 𝑘!𝑁 − 𝑘! (2.4.17)

En la expresión anterior, 𝑘! representa el efecto del amortiguamiento y 𝑘!𝑁 el de la fuerza lateral, siendo N el número de peatones. Nótese que si 𝑘! > 𝑘!𝑁, 𝐹! tiene signo negativo, de modo que la amplitud será decreciente, tal y como se ilustra en la figura 2.45., donde 𝐹! = −10𝑠!! y el resto de los parámetros son idénticos a los del ejemplo anterior.

Ilustración 2.45. Izquierda: Línea azul, x(t); Rojo, amplitud máxima de la vibración Vs. Tiempo; derecha: Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza lateral dimensionalizada 𝑭𝟎

𝝎 .

Los parámetros 𝑘! y 𝑘! pueden calibrarse a partir de los resultados obtenidos por Dallard et al. y el modelo de Arup. Para ello, es preciso recordar que el valor máximo de las oscilaciones según dicho modelo viene dada por la siguiente expresión (véase el apartado 2.1., correspondiente al modelo de Arup).

! !!!

= exp −𝜉!"𝜔!𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔!𝑡 + 𝜑) (2.4.18) De donde se obtiene:

!!"#(!)!!,!

= exp −𝜉!"𝜔!𝑡 (2.4.19) Donde 𝜉!" es el factor de amortiguamiento efectivo, que incluye el efecto de la fuerza lateral ejercida por los peatones.

𝜉!" = 𝜉 − !"!!!!

· !!

𝛷!𝑑𝑥!! (2.4.20)

ξ. Factor de amortiguamiento de la estructura. L. Longitud del vano. Φ. Factor de forma modal. k. Coeficiente de excitación lateral, con valor aproximado 300𝑁𝑠𝑚!! Igualando las expresiones (2.4.16) y (2.4.19) y aplicando logaritmos se llega a:

𝐹! =!!!

!(exp −𝜋𝜉!" − 1) (2.4.21)



Si la expresión anterior se desarrolla en serie de Taylor, y se desprecian los términos de orden O((e/), se obtiene la siguiente igualdad:

1 2 ~ 1 2 (~ kN 1 I.L 2d ) F0 ~ -- w0 rr., t = -- w0 rr ., - -- ·- cp x 2 e 2 2Mw0 L O

(2.4.22)

Y, teniendo en cuenta (2.4.17), se obtienen los valores de las constantes del modelo.

k = warrk J,L cp2 dx 1 4ML O

k - 1 2 ~ 2 --Wo rr.,

2

(2.4.23)

(2.4.24)

Igualando k 1N = k 2 (F0 = 0), se obtiene la misma expresión para el número crítico de peatones que por el modelo de Arup:

(2.4.25)

Expresión que puede simplificarse teniendo en cuenta que w = 2rrf y si se asume que el factor de forma modal es sinusoidal, resultando:

• Ejemplo 1

8rrMf0 (

Nc = k

Se presenta ahora un ejemplo comparativo entre el modelo descrito y el modelo de Arup, con los siguientes datos:

M= 1.13E5kg,K = 4.73E6Njm,f0 = 1.03Hz,( = 0.752%,x0,1 = 0.3m

8rr · 1.13E5 · 1.03 · 0.00752 N - -73 e- 300 -

Supóngase que N > Nc, por ejemplo N = 100 y que el factor de forma modal es sinusoidal. Entonces,

kN 300·100 (e¡ = ( + 4Mw = 0.00752- 4 . 1.13E5 . 2rr. l.03 = -0.00274

_ wrrk _ 2rr 2 • 1.03 · 300 _ _2 k1 - SM - S1.13E5 - 0.00675ms

1 1 k 2 = 2 w2 rr( = 2 (2rr · 1.1)2 rr · 0.00752 = 0.495ms-2


66

La siguiente figura elaborada mediante Mathematica reproduce el movimiento según ambos modelos. Como puede apreciarse, ambos resultan indistinguibles dado que 𝜉!" es un valor pequeño. No obstante, a medida que N aumenta, ambos modelos diferirán lentamente. Sin embargo, los casos en los que 𝑁 ≫ 𝑁! no resultan interesantes, ya que los peatones habrán dejado de caminar tiempo atrás debido a la fuerte incomodidad.

2.4.3.3. Modelo con fuerza lateral periódica proporcional a la amplitud y amortiguamiento viscoso

El modelo anterior, en el que la fuerza constante proporcional a la amplitud incluía, además del efecto de la carga inducida por los peatones, el efecto del amortiguamiento, puede modificarse de modo que ambos queden separados y regulados por mecanismos diferentes. Así, en este modelo el efecto del amortiguamiento se manifiesta en forma de un amortiguamiento tipo viscoso (proporcional a la velocidad), mientras que la acción de los peatones se modeliza

Ilustración 2.46. Línea roja, amplitud máxima según el modelo con fuerza lateral proporcional a la amplitud; línea azul, ídem según el modelo de Arup; línea negra discontinua, x(t)

Ilustración 2.47. Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza lateral dimensionalizada 𝟓𝟎𝑭𝟎

𝝎



mediante una fuerza constante en cada semiciclo y proporcional a la amplitud, igual a la del modelo anterior, -F0 xo,i·

La ecuación dinámica resulta, en este caso:

(2.4.26)

Cuya solución, en cada semiciclo, viene dada por la siguiente expresión.

(2.4.27)

Donde Wv = w 0 ) 1 - ( 2 es la frecuencia natural amortiguada del sistema.

Si ahora se imponen las condiciones iniciales xi ( t 0.a = xo,i y xt ( t 0.a = O, las constantes ai y cp toman los siguientes valores:

a · = ____Q¿_ 1 + ....Q. x·( F:) t sencf> w6

b-~2 tgcp = --~

(2.4.28)

(2.4.29)

Sustituyendo las constantes anteriores en la expresión (2.4.27), se llega a la siguiente solución de la ecuación (2.4.26).

xi(t) = - 1 - (1 + Fa) e-wo~(t-to.d sen(w (t- t ·) + A-) - Faxo,i para t · < t < t · x . sen-+. wZ D O,t 'P wZ O,t - O,t+1 0,! 't' o o

t . _ rr(i-1) O,t - wv Í = 1, 2, ... (2.4.30)

La amplitud máxima de la vibración puede determinarse teniendo en cuenta que:

Xi,max = Xi(to,i+l) = _1_(1 + F~) e-1TWo/WD~sen(1f + cp) _ FoX~,i = xo,i xo,i sencf> w0 w0

- (1 + Foz) e-ncotgcf> - Fax~,i (2.4.31) Wo Wo

Y dado que xo,i = sign( x0.a lxo,i 1 = ( -1 )i+1lxo,i 1 y xo,i+1 = sign( xo,i+1) lxo,i+11 = ( -1)i+2 lxo,i+11, se tiene:

lxi,maxl = _ Xi,max = (1 + F~) e-ncotgcf> + FoX~,i ; Í = 1,2, ... lxo,d Xo,i Wo Wo

(2.4.32)

Si, por simplicidad, se introduce el factor h( cp) = e -ncotgcf>, la expresión anterior puede reescribirse del siguiente modo:

lxi,maxl - Fo (1 h) h .. - 1 2 1 1

-----z + + ,l- , , ... Xo,i Wo

(2.4.33)

h.7


68

Si se toma como referencia el valor inicial de la amplitud para el primer semiperiodo, puede escribirse, para el semiperiodo n-‐ésimo:

!!,!"#!!,!

= !!,!"#!!,!!!

· !!!!,!"#!!,!!!

··· !!,!"#!!,!

= !!!!!

1+ ℎ + ℎ ! (2.4.34)

La expresión anterior puede generalizarse para todo tiempo t en función del semiperiodo T/2 de la vibración del siguiente modo:

!!"#(!)!!,!

= !!!!!

1+ ℎ + ℎ!!/! = !!

!!!1+ ℎ + ℎ

!!!! (2.4.35)

A continuación se presenta un ejemplo del modelo elaborado con Mathematica con los siguientes parámetros:

𝑀 = 1𝑘𝑔,𝐾 = 47.77𝑁𝑚!!, 𝑓! = 1.1𝐻𝑧, 𝑐! = 10𝑠!!, 𝑥!,! = 0.3𝑚

El factor de proporcionalidad 𝐹! de la expresión anterior, que representa el efecto de la carga inducida por los peatones, puede ajustarse teniendo en cuenta la

Ilustración 2.48. . Azul, x(t); Rojo, amplitud máxima de la vibración Vs. Tiempo.

Ilustración 2.49. Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza lateral dimensionalizada 𝟑 𝑭𝟎

𝝎 ; línea azul discontinua, fuerza de

amortiguamiento dimensionalizada 𝟑 !𝑪𝒙𝒎𝝎

= −𝟔𝝃𝒙



expresión (2.4.19), correspondiente al modelo de Arup. Igualando dicha expresión con (2.4.35), y despejando, se llega a:

(2.4.36)

De donde se obtiene:

Fa = Wo e -l;tgcp - h 2 ( rrse¡ )

l+h (2.4.37)

La expresión exacta anterior puede simplificarse si el término entre paréntesis se desarrolla en serie de Taylor y se desprecian los términos de orden superior, obteniéndose:

F, _ nw6 (1 _(e¡) o - (l+h)tgcp (

(2.4.38)

Sustituyendo en la expresión anterior la igualdad (2.4.20), y llamando g(<f>) =

ncotgcfJ' se obtiene la siguiente expresión simplificada de la fuerza ejercida por los l+h

peatones:

F, = N (A..) wok!_ J.L[ct>( )]Zd O g '1-' 2M( L O y y (2.4.39)

El criterio de estabilidad se obtendrá, en este caso, imponiendo lxlax(lt)l < 1, de Xo,1

donde resulta:

Nc = G(A..) 1 ZMwo( = G(A..)NcArup (2.4.40) '1-' k¡)0 [<P(y)]Zdy '1-' '

Donde la función G ( </>) se define como:

l-e -rrcotgcp G(A..) = (2.4.41)

'1-' ncotgcp

Nótese que, para amortiguamientos reducidos, la expresión para el número crítico de peatones definida por (2.4.40) coincide con la obtenida mediante el modelo de Arup, puesto que lim~__.0 G(</>) = 1.

• Ejemplo2

Se presenta ahora un ejemplo comparativo entre el modelo descrito y el modelo de Arup, con los siguientes datos:

M= 1.13E5kg,K = 4.73E6Nfm,f0 = 1.03Hz,~ = 0.752%,x0,1 = 0.3m

Brr · 1.13E5 · 1.03 · 0.00752 Nc,Arup = 300 = 73.33

?;Q


70

𝑁! =1− 𝑒!!"#$%&

𝜋𝑐𝑜𝑡𝑔𝜙 𝑁!,!"#$ =1− 𝑒

! !"!!!!

𝜋 𝜉1− 𝜉!

𝑁!,!"#$ = 72.47

Puede comprobarse que ambos procedimientos proporcionan un valor muy similar para el número crítico de peatones. Supóngase que 𝑁 > 𝑁! , por ejemplo 𝑁 = 100 y que el factor de forma modal es sinusoidal. Entonces,

𝐹!/𝑀 = 𝑁𝜋𝑐𝑜𝑡𝑔𝜙

1+ 𝑒!!"#$%&𝜔!𝑘2𝜉𝑀

1𝐿 𝛷 𝑦 !𝑑𝑦

!

!= 0.6827𝑁/𝑘𝑔

La siguiente figura elaborada mediante Mathematica reproduce el movimiento según ambos modelos.

Como puede apreciarse, ambos modelos proporcionan resultados muy similares para la amplitud dado que ξ es un valor pequeño.

Ilustración 2.50. Línea roja, amplitud máxima según el modelo con fuerza lateral proporcional a la amplitud y amortiguamiento viscoso; línea azul, ídem según el modelo de Arup; línea negra discontinua, x(t)

Ilustración 2.51. Línea roja, velocidad; línea negra discontinua, fuerza lateral dimensionalizada 𝟓𝟎𝑭𝟎𝝎

; línea azul discontinua, fuerza de amortiguamiento dimensionalizada 𝟓𝟎 !𝑪𝒙𝒎𝝎

= −𝟏𝟎𝟎𝝃𝒙


71



CAPÍTULO 3. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

3.1. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS MODELOS

Se comparan en este apartado los diferentes criterios de vulnerabilidad frente a inestabilidades laterales proporcionados por los modelos analizados frente a datos reales registrados en pasarelas que han experimentado esta patología. Dichos datos, reportados por Ingólfsson (2011) [13], consisten en parejas de valores (f, Scp), donde f representa la frecuencia de las vibraciones excesivas observadas y Scp denota el número de Scruton, un parámetro adimensional indicativo del número de peatones sobre la plataforma, definido por:

S = 2(M cp Mp (3.1.1)

Donde ~ y M denotan la razón de amortiguamiento y la masa modal de la estructura, respectivamente, y Mv representa la masa modal de los peatones, definida del siguiente modo:

(3.1.2)

Siendo mv (y) la densidad de peatones en la coordenada longitudinal y, y <P el factor de forma modal. Si se admite que los peatones se distribuyen uniformemente sobre el tablero, y que el factor de forma modal es sinusoidal, el número de Scruton resulta:

S = 4(M cp mN (3.1.3)

Donde N es el número de peatones y m su masa media (aproximadamente 70kg).

Para poder comparar, los criterios de estabilidad obtenidos mediante los diferentes modelos deben reescribirse en términos del número de Scruton. Así, para el modelo de Arup, el modelo propio y el modelo de Macdonald, el criterio de estabilidad es común, y toma la expresión:

N< 8n(foM

k (3.1.4)

Donde k representa el coeficiente de excitación lateral, con valor k = 300Nms-1

para el modelo de Arup y el modelo propio, y k = k(f0 ) para el modelo de Macdonald (véase figura 2.23., apartado 2.2.4). Dicha función puede aproximarse, en el intervalo de [0 [0, l. 75Hz], por el siguiente polinomio de interpolación, donde f debe introducirse en Hz y el valor de k está dado en Nms- 1 .

k= -791.627[0 + 1314.48[02 - 333.373[03 - 91.0098[04 (3.1.5)

7?


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Operando, el criterio anterior (ecuación 3.1.4), puede expresarse del siguiente modo:

𝑆!" >!

!!!!! (3.1.6)

Por otro lado, el criterio planteado por Strogatz et al. [12], dado por la expresión (3.1.7), puede reescribirse fácilmente en la forma dada por (3.1.8).

𝑁 < !!!

!!"#(!!)

(3.1.7)

𝑆!" >!"#(!!)!!!!!!!

(3.1.8) En la siguiente figura se comparan los datos reportados por Ingólfsson (2011) [13], con los criterios dados por las expresiones (3.1.6) y (3.1.8).

De acuerdo con la figura anterior, una estructura sometida al paso de peatones será segura frente a inestabilidad lateral si el par (𝑓!, 𝑆!") se sitúa por debajo de la curva que define el criterio considerado. Como puede observarse, solamente el criterio de Arup (que coincide con el modelo propio), predice el desarrollo de grandes vibraciones laterales en todos los casos reportados, si bien puede resultar excesivamente conservador en algunos de ellos. También resulta excesivamente conservador el criterio de Strogatz et al. para los valores utilizados en la simulación llevada a cabo en el apartado 2.3.6 (𝜇! = 0.9𝐻𝑧,𝜎! = 0.1𝐻𝑧 y 𝐶 =

Ilustración 3.1. Línea negra discontinua, criterio de Arup y propio; línea roja, criterio de Macdonald; línea azul, criterio de Strogatz para 𝝁𝒇 = 𝟎.𝟗𝑯𝒛,𝝈𝒇 = 𝟎.𝟏𝑯𝒛 y 𝑪 = 𝟕𝟓.𝟐𝒎!𝟏𝒔!𝟏 ; línea rosa discontinua, ídem para 𝝁𝒇 = 𝟎.𝟗𝑯𝒛,𝝈𝒇 = 𝟎.𝟏𝑯𝒛 y 𝑪 = 𝟑𝟕.𝟒𝟎𝒎!𝟏𝒔!𝟏; línea violeta discontinua, ídem para 𝝁𝒇 = 𝟏.𝟎𝟑𝑯𝒛,𝝈𝒇 = 𝟎.𝟏𝑯𝒛 y 𝑪 = 𝟏𝟔𝒎!𝟏𝒔!𝟏; puntos negros, casos de inestabilidad reportados por Ingólfsson [13]; punto rojo, vano norte del Millennium Bridge [6]. Elaboración propia.


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75.2𝑚!!𝑠!!) dado que, en ese caso, el coeficiente de sensibilidad C se ajustó de modo que el número crítico de peatones sobre el vano norte del Millennium Bridge coincidiera con el proporcionado por el modelo de Arup (74 peatones). El mismo criterio, pero haciendo uso de los valores utilizados por Strogatz et al. [12] (línea violeta discontinua en la figura) no ofrece en absoluto predicciones consistentes con los datos experimentales, como tampoco lo hace el criterio de Macdonald. Sin embargo, el criterio de Strogatz et al. para 𝜇! = 0.9𝐻𝑧,𝜎! = 0.1𝐻𝑧 y 𝐶 = 37.40𝑚!!𝑠!! (valor ajustado al número crítico real de peatones observado en el vano norte del Millennium Bridge, aproximadamente 150 [6]) sí proporciona predicciones razonables y sensiblemente ajustadas para la mayoría de los casos reportados por Ingólfsson, excepto para frecuencias de resonancia muy reducidas.

3.2. CONCLUSIONES El modelo de Arup proporciona un criterio sencillo y (en base a los escasos datos experimentales disponibles) fiable para la evaluación de la susceptibilidad de una estructura frente a las inestabilidades laterales inducidas por los peatones. No obstante, dicho modelo es empírico y no ofrece una explicación precisa de la causa del fenómeno, además de arrojar resultados muy conservadores en algunos casos (nótese, por ejemplo, que el número crítico de peatones predicho por este modelo para el vano norte del Millennium Bridge resulta ser 74, mientras que el valor real observado fue, aproximadamente, 150 [6]). Además, la relación lineal observada entre la fuerza de excitación correlacionada y la velocidad local del tablero (hasta el momento, el dato experimental más concluyente), definida por el coeficiente de excitación lateral 𝑘 = 300𝑁𝑚𝑠!! se obtuvo para las frecuencias propias del Millennium Bridge (0.5-‐1.0Hz), y podría no resultar válida para frecuencias fuera de este rango. Así mismo, dicha relación podría no ser lineal para velocidades mayores que las registradas por el equipo de Arup, que alcanzaron un valor máximo de 0.15m/s. Por otra parte, el modelo propio planteado en el presente trabajo, con una fuerte analogía con la fuerza de rozamiento que experimenta un cuerpo que desliza sobre una superficie rugosa, concuerda con gran precisión con el modelo empírico de Arup. Las fuerzas inducidas por los peatones, proporcionales a la amplitud de la vibración, presentan una forma más consistente con las mediciones efectuadas por diversos autores y con las obtenidas por el modelo de Macdonald (véase apartado 1.3 e Ilustración 2.14.). Además, se plantea en el mismo la posibilidad de considerar mecanismos de disipación no viscosos en lugar del tradicional, proporcional a la velocidad. De entre los modelos puramente teóricos, el de Strogatz et al., adecuadamente ajustado, parece ofrecer predicciones aceptables en la mayoría de los casos observados, además de proporcionar una explicación muy precisa del fenómeno. No obstante, dicho modelo es muy sensible a la relación entre la frecuencia de resonancia de la pasarela y la frecuencia “natural” media de los peatones, la cual puede presentar valores muy dispares dada su fuerte dependencia con la velocidad de avance, que a su vez depende del grado de congestión sobre la estructura. Así, si bien dicha frecuencia “natural” suele estar en torno a 1.0Hz en condiciones de baja


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densidad, esta puede descender hasta valores tan bajos como 0.35Hz en entornos altamente congestionados (véase apartado 1.3). Este modelo presenta, además, ciertas incongruencias con los resultados experimentales obtenidos por Dallard et al. En primer lugar, la relación encontrada entre la fuerza de excitación correlacionada y la velocidad local del tablero no es lineal, sino aproximadamente parabólica (Ilustración 2.36., apartado 2.3.7). Además, incluso admitiendo que la relación puede considerarse aproximadamente lineal en el intervalo de velocidades [0, 0.15m/s] (rango al que se reducen los datos presentados por Dallard, Fitzpatrick et al. [2][5]), el coeficiente de excitación lateral encontrado (165.48𝑁𝑚𝑠!!) queda aún lejos del medido por el equipo de Arup. Por último, la propia naturaleza del modelo, que solamente incluye el efecto de la sincronización pero no la posibilidad de que la fuerza lateral ejercida por el peatón individual pueda cambiar en función de la velocidad de las vibraciones, implica que la amplitud de estas estará acotada por el valor !"

!!". El modelo no será, por tanto,

capaz de reproducir un aumento incontrolado de la amplitud, como presumiblemente ocurriría si los peatones no dejaran de caminar cuando la incomodidad fuese excesiva. Por último, el modelo de Macdonald, si bien presenta grandes discrepancias con los resultados experimentales, con valores de k muy alejados del medido por Arup (siendo incluso negativo para frecuencias relativamente bajas), sí plantea algunos aspectos interesantes. En primer lugar, las fuerzas laterales obtenidas para el caso de plataforma estática son consistentes con los medidos experimentalmente (apartado 2.2.2.1). Así mismo, la estrategia de control de equilibrio da como resultado fuerzas laterales individuales de amplitud variable en función del movimiento del tablero. Dichas fuerzas, además, aportan energía al sistema sin necesidad de que tenga lugar forma alguna de sincronización entre peatones, lo que podría explicar el inicio de las vibraciones que, a continuación, conduciría probablemente a una sincronización progresiva.

3.3. RECOMENDACIONES PARA FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN De entre los modelos analizados en este trabajo, el de Strogatz et al. parece especialmente prometedor. Las inconsistencias encontradas respecto de los resultados experimentales podrían ser consecuencia de la excesiva simplicidad de las fuerzas laterales consideradas (sinusoidales de amplitud constante). En este sentido, el modelo de Macdonald aporta ideas interesantes que podrían utilizarse para completar el modelo de Strogatz et al., introduciendo estrategias de equilibrio que permitan reproducir fuerzas variables en función de la velocidad (o la amplitud) de las vibraciones y con una forma más próxima a las medidas experimentalmente, por ejemplo, mediante la combinación de varios armónicos. En este sentido, ya Eckhardt, Strogatz et al. han planteado modelos de sincronización más generalistas que podrían subsanar algunas de las deficiencias observadas [38]. No obstante, uno de los grandes obstáculos para el desarrollo de un modelo teórico fiable del fenómeno de la inestabilidad lateral inducida por peatones es la escasez de datos experimentales que permitan contrastar los modelos, ajustar


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adecuadamente los parámetros e incrementar su complejidad. Además de la campaña de ensayos llevada a cabo por el equipo de Arup en el Millennium Bridge, solo se han emprendido unos pocos proyectos al respecto, la mayoría a pequeña escala sobre plataformas ad hoc. En este sentido, es destacable el trabajo de Ingólfsson (2011) [13], en el que se plantea un modelo probabilístico (poco contrastado aún en situaciones reales) que, además de ser útil en sí mismo como herramienta de diseño, podría facilitar el ajuste y validación de modelos teóricos como los expuestos en el presente trabajo.


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APÉNDICE. COMANDOS DE MATHEMATICA

A1. MODELO DE ARUP Mn=1.13 10^5; Cn=1.10 10^4; Kn=4.73 10^6; fn=1.03; k=300; wn=2 Pi fn Cc=2 Mn wn psi=Cn/Cc beta:=k n/2 Y1[t_]:=Exp[-‐(Cn-‐beta)/2/Mn t] F01[t_]:=beta wn Y1[t] F901[t_]:=Mn Y1''[t]+Cn Y1'[t] F0[t_]:=F01[t]*Cos[wn t] F90[t_]:=-F901[t]*Sin[wn t] Y[t_]:=Y1[t]*Sin[wn t] Nc=8 Pi fn Mn psi/k n=10 Nc Plot[{500000 Cos[wn t],F0[t],F90[t]},{t,0,3},PlotStyle®{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}}] n=Nc*2; Plot[{10000 Cos[wn t],F0[t],F90[t]},{t,0,3},PlotStyle®{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}}] n=Nc; Plot[{10000 Cos[wn t],F0[t],F90[t]},{t,0,3},PlotStyle®{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}}] n=Nc/2; Plot[{10000 Cos[wn t],F0[t],F90[t]},{t,0,3},PlotStyle®{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}}] n=Nc/10; Plot[{1000 Cos[wn t],F0[t],F90[t]},{t,0,3},PlotStyle®{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,1,0]}}]


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n=Nc/10; Plot[{Y[t],Y1[t],-Y1[t]},{t,0,50},PlotStyle®{{},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,0,0]}}] n=Nc*2; Plot[{Y[t],Y1[t],-Y1[t]},{t,0,50},PlotStyle->{{},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,0,0]}}] n=Nc; Plot[{Y[t],Y1[t],-Y1[t]},{t,0,50}] Clear[n]; Y100[n_]=Y1[100] Plot[{Y100[n],1},{n,0,1.5 Nc},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{}}] A2. MODELO DE MACDONALD Clear["Global`*"]; L=1.2; fp=0.9; delta=92/1000; Om=Sqrt[9.81/L]; X=2/1000; w=2 Pi 1.1; phi=0*Pi/180; A=X/(1+(Om/w)^2); bmin=15.7/1000; m=70; Mn=1.13 10^5; Cn=1.10 10^4; Kn=4.73 10^6; Cc=2 Mn w; psi=Cn/Cc; y0=0; v0=Om delta/2 Tanh[Om/4/fp]; t0=0; u=delta/2; datos={{t0,y0,v0,u,u-y0}}; y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u; Y={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[y[t]],True,0]}; PASOS={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[u],True,0]}; H={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[(u-y[t])*m*Om^2],True,0]}; npasos=100; For[i=2,i£npasos,i++,y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u;t0=(i-1)/2/fp;y0=y[t0];v0=y'[t0];u=y0+v0/Om+(-1)^(i-1) bmin;y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w


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t+phi]+u;AppendTo[Y,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[y[t]],True,0]];AppendTo[PASOS,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[u],True,0]];AppendTo[H,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[(u-y[t]) m Om^2],True,0]];AppendTo[datos,{t0,y0,v0,u,u-y0}]]; y[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,y[t_]=y[t]+Y[[i]]]; pas[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,pas[t_]=pas[t]+PASOS[[i]]]; f[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,f[t_]=f[t]+H[[i]]]; datos//MatrixForm Plot[{pas[t],y[t],y[t]+y'[t]/Om,X Sin[w t+phi]},{t,0,npasos*1/2/fp},PlotStyle®{{Dashing[{0.01,0.01}]},{RGBColor[1,0,0]},{},{RGBColor[0,0,1]}},AxesLabel®{"t(s)","Desplazamiento(m)"}] Plot[{f[t],10 Cos[w t+phi]},{t,0,npasos*1/2/fp},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{}},AxesLabel®{"t(s)","H(N)"}] Welista={}; Wdlista={}; For[phi=0,phi£2 Pi,phi=phi+10*Pi/180, y0=0; v0=Om delta/2 Tanh[Om/4/fp]; t0=0; u=delta/2; datos={{t0,y0,v0,u,u-y0}}; y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u; Y={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[y[t]],True,0]}; PASOS={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[u],True,0]}; H={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[(u-y[t])*m*Om^2],True,0]}; npasos=10; For[i=2,i£npasos,i++,y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u;t0=(i-1)/2/fp;y0=y[t0];v0=y'[t0];u=y0+v0/Om+(-1)^(i-1) bmin;y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u;AppendTo[Y,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[y[t]],True,0]];AppendTo[PASOS,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[u],True,0]];AppendTo[H,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[(u-y[t]) m Om^2],True,0]];AppendTo[datos,{t0,y0,v0,u,u-y0}]]; y[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,y[t_]=y[t]+Y[[i]]]; pas[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,pas[t_]=pas[t]+PASOS[[i]]]; f[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,f[t_]=f[t]+H[[i]]]; We=NIntegrate[f[t] X w Cos[w t+phi],{t,0,npasos/2/fp}]; Wd=2 psi Mn w NIntegrate[(X w Sin[w t+phi])^2,{t,0,npasos/2/fp}]; AppendTo[Welista,{phi*180/Pi,We}]; AppendTo[Wdlista,{phi*180/Pi,Wd}]]


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g1=ListPlot[Welista,PlotJoined®True,PlotStyle®RGBColor[1,0,0],AxesLabel®{"f (∫)","We (J)"}] g2=ListPlot[Wdlista,PlotJoined®True,PlotStyle®RGBColor[0,0,1]] fhoriz={}; we2={}; For[phi=0,phi£2 Pi,phi=phi+10*Pi/180, y0=0; v0=Om delta/2 Tanh[Om/4/fp]; t0=0; u=delta/2; datos={{t0,y0,v0,u,u-y0}}; y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u; Y={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[y[t]],True,0]}; PASOS={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[u],True,0]}; H={Which[t>=t0&&t<(1/2/fp),Evaluate[(u-y[t])*m*Om^2],True,0]}; npasos=10; For[i=2,i£npasos,i++,y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u;t0=(i-1)/2/fp;y0=y[t0];v0=y'[t0];u=y0+v0/Om+(-1)^(i-1) bmin;y[t_]=(v0/Om+A w/Om Cos[w t0+phi])*Sinh[Om (t-t0)]+(y0-u+A Sin[w t0+phi])*Cosh[Om (t-t0)]-A Sin[w t+phi]+u;AppendTo[Y,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[y[t]],True,0]];AppendTo[PASOS,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[u],True,0]];AppendTo[H,Which[t>=t0&&t<(t0+1/2/fp),Evaluate[(u-y[t]) m Om^2],True,0]];AppendTo[datos,{t0,y0,v0,u,u-y0}]]; f[t_]=0; For[i=1,i£npasos,i++,f[t_]=f[t]+H[[i]]]; Tp=npasos/2/fp; Hv=2/Tp NIntegrate[f[t] Cos[w t+phi],{t,0,Tp}]; AppendTo[fhoriz,{phi*180/Pi,Hv}] AppendTo[we2,{phi*180/Pi,1/2 Hv X w Tp}]]; ListPlot[fhoriz,PlotJoined®True] g2=ListPlot[we2,PlotJoined®True,PlotStyle®Dashing[{0.01,0.01}]] Show[g1,g2] hmedio=0; For[i=1,i<=Dimensions[fhoriz][[1]],i++,hmedio=hmedio+fhoriz[[i,2]]/Dimensions[fhoriz][[1]]]; hmedio A3. MODELO DE STROGATZ ClearAll["Global`*"] n=90; G=30; c=75.2; alfa=Pi/2;


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k=4.73 10^6; m=1.13 10^5; Cn=1.1 10^4; Om0=Sqrt[k/m]//N; psi=Cn/(2 m Om0) f0=Om0/2/Pi ep=Sqrt[n G c/k/Om0]//N; b=psi/ep; L=Sqrt[n G Om0/k/c]//N; Omi=2 Pi 0.8; wi=1/ep*(Omi/Om0-1); A0=0.001; a0=A0/L; mu=0.9; sigma=0.1; pOm0=(2 Pi)^(-3/2)/sigma Exp[-1/2 (f0-mu)^2/sigma^2] Nc=4 psi/Pi k/G/c/pOm0 ! GENERACIÓN DE FRECUENCIAS ALEATORIAS <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=NormalDistribution[mu,sigma]; frec=RandomArray[dist,n]; fmedio=0; For[i=1,i£n,i++,fmedio=fmedio+frec[[i]]]; fmedio=fmedio/n; s=0; For[i=1,i£n,i++,s=s+(fmedio-frec[[i]])^2]; s=s/(n-1); s=Sqrt[s]; lista={}; For[i=1,i£n,i++,AppendTo[lista,{frec[[i]],1}]]; g1=ListPlot[lista,PlotStyle®{PointSize[0.012],RGBColor[1,0,0]},GridLines®{{mu,mu+sigma,mu-sigma},{}}] g2=Plot[1/sigma/Sqrt[2 Pi]*Exp[-1/2 (x-mu)^2/sigma^2],{x,mu-2 sigma,mu+2 sigma},PlotRange®All] Show[g1,g2,PlotRange®{0,5}] Dimensions[frec] fmedio s frec=2 Pi frec; !GENERACIÓN DE FASES ALEATORIAS fases={}; For[i=1,i£n,i++, AppendTo[fases,Random[Real,{0,2 Pi}]]] listafases=Table[{fases[[i]],0.075},{i,1,n}]; g3=ListPlot[listafases,PlotStyle®{PointSize[0.012],RGBColor[1,0,0]},GridLines®{{Pi


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-Pi/Sqrt[3],Pi,Pi+Pi/Sqrt[3]},{}}]; g4=Plot[1/2/Pi,{x,0,2 Pi}]; Show[g3,g4,PlotRange®{0,1/2/Pi*1.25}] fases; !PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES Y CONDICIONES INICIALES senom=0; For[i=1,i£n,i++,senom=senom+Sin[phi[T]-theta[i][T]]]; senom=senom/n; cosenom=0; For[i=1,i£n,i++,cosenom=cosenom+Cos[phi[T]-theta[i][T]]]; cosenom=cosenom/n; ecuaciones={a'[T]�-b a[T]-1/2 senom,a[T] phi'[T]�-1/2 cosenom,a[0]�a0,phi[0]�0}; For[i=1,i£n,i++,wi=1/ep (frec[[i]]/Om0-1);AppendTo[ecuaciones,theta[i]'[T]�wi+a[T] Sin[phi[T]-theta[i][T]+alfa]];AppendTo[ecuaciones,theta[i][0]�fases[[i]]]]; ecuaciones; incognitas={a[T],phi[T]}; For[i=1,i£n,i++,AppendTo[incognitas,theta[i][T]]]; incognitas; T0=0; Tf=300; !RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES POR MÉTODOS NUMÉRICOS sol=NDSolve[ecuaciones,incognitas,{T,T0,Tf}]; ! DEFINICIÓN DE VARIABLES Y SALIDAS GRAFICAS a[T_]=a[T]/.sol[[1]]; phi[T_]=phi[T]/.sol[[1]]; For[i=1,i£n,i++, theta[i][T_]=theta[i][T]/.sol[[1]]] Plot[a[T],{T,T0,Tf},PlotRange®All,AxesLabel®{"T=ep*Om0*t","a=A/L"}]; Plot[{phi[T],theta[1][T],theta[2][T],theta[3][T]},{T,T0,Tf},AxesLabel®{"T=ep*Om0*t","phi,theta(rad)"},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{Hue[0.5],Dashing[{0.01,0.01}]},{Hue[0.6],Dashing[{0.01,0.01}]},{Hue[0.7],Dashing[{0.01,0.01}]}}] A[t_]=L a[T]/.T®ep Om0 t; PHI[t_]=(phi[T]/.T®ep Om0 t)+Om0 t; For[i=1,i£n,i++, THETA[i][t_]=(theta[i][T]/.T®ep Om0 t)+Om0 t] F[t_]=0; For[i=1,i£n,i++,F[t_]=F[t]+G Sin[THETA[i][t]]]; v[t_]=D[A[t] Sin[PHI[t]],t] Plot[A[t],{t,T0/ep/Om0,Tf/ep/Om0},PlotRange®All,AxesLabel®{"t(s)","A(m)"}] Plot[{PHI[t],THETA[1][t],THETA[2][t],THETA[3][t]},{t,T0/ep/Om0,Tf/ep/Om0},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{Hue[0.5],Dashing[{0.01,0.01}]},{Hue[0.6],Dashing[{0.01,0.01}]},{Hue[0.7],Dashing[{0.01,0.01}]}},AxesLabel®{"t(s)","PHI,THETA(rad)"},PlotRange®All]


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Plot[F[t],{t,T0/ep/Om0,Tf/ep/Om0},AxesLabel®{"t(s)","F(N)"}] Plot[{F[t],v[t] Om0 m/100},{t,600,610},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{Dashing[{0.01,0.01}]}},AxesLabel®{"t(s)","F(N)"}] Plot[{PHI'[t]/2/Pi,THETA[1]'[t]/2/Pi,THETA[2]'[t]/2/Pi,THETA[3]'[t]/2/Pi},{t,T0/ep/Om0,Tf/ep/Om0},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{Hue[0.5],Dashing[{0.01,0.01}]},{Hue[0.6],Dashing[{0.01,0.01}]},{Hue[0.7],Dashing[{0.01,0.01}]}},AxesLabel®{"t(s)","f0,fi(Hz)"},PlotRange®All] !FACTORES DE ORDEN z=0; For[i=1,i£n,i++,z=z+Exp[I THETA[i][t]]]; z=z/n; rpeaton=Abs[z]; thetamedpeaton=Arg[z]; Plot[rpeaton/.t®t,{t,T0/ep/Om0,Tf/ep/Om0},PlotStyle®RGBColor[0,0,1],AxesLabel®{"t(s)","r"}] z1=0; For[i=1,i£n,i++,z1=z1+1/2 (Exp[I THETA[i][t]]+Exp[I (PHI[t]+Pi/2)])]; z1=z1/n; r=Abs[z1]; Plot[r/.t®t,{t,T0/ep/Om0,Tf/ep/Om0},PlotStyle®RGBColor[1,0,0],AxesLabel®{"t(s)","rp"}] !OBTENCIÓN DEL COEFICIENTE DE EXCITACIÓN LATERAL fpeaton[T_]=0; For[i=1,i£n,i++,fpeaton[T_]=fpeaton[T]+G/n Sin[theta[i][T]-phi[T]]]; Plot[fpeaton[T],{T,T0,Tf}] kdallard[T_]=fpeaton[T]/A[T/ep/Om0]/Om0; Plot[kdallard[T],{T,T0,Tf},PlotStyle®RGBColor[1,0,0],AxesLabel®{"t*","k*"}] A4. MODELO PROPIO Clear["Global`*"] m=1.13 10^5; k=4.73 10^6; w=Sqrt[k/m]; g=9.81; mu=0.3; !Modelo con fuerza constante x01=0.3; x0=x01;


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nciclos=20; c=-g mu; t0=0; t1=Pi/w; If[k Abs[x0]£m g mu,x[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[x0],True,0];f[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[k x0],True,0],x[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[x0 Cos[w (t-t0)]+ c/w^2 (1-Cos[w (t-t0)])],True,0];f[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[m c],True,0]]; For[i=2,i£nciclos,i++,t0=Pi/w (i-1);t1=Pi/w i;x0=x[t0];If[k Abs[x0]£m g mu,x[t_]=x[t]+Which[t>t0&&t£t1,Evaluate[x0],True,0];f[t_]=f[t]+Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[k x0],True,0],x[t_]=x[t]+Which[t>t0&&t£t1,Evaluate[x0 Cos[w (t-t0)]+(-1)^(i+1) c/w^2 (1-Cos[w (t-t0)])],True,0];f[t_]=f[t]+Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[m c (-1)^(i+1)],True,0]]]; Plot[{x01-2 c/Pi/w t,-(x01-2 c/Pi/w t),x[t]},{t,0,nciclos Pi/w},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,0,1]}},AxesLabel®{"t(s)","x(m)"}] Plot[{x'[t],10 f[t]/m/w},{t,0,nciclos Pi/w},PlotStyle®{RGBColor[1,0,0],{Dashing[{0.01,0.01}]}},PlotRange®All,AxesLabel®{"t(s)","v(m/s)"}] Plot[f[t] x'[t],{t,0,nciclos Pi/w},AxesLabel®{"t(s)","P(W)"},PlotStyle®RGBColor[0,0,1]] npuntos=100; Welist={}; For[i=1,i£npuntos,i++,tt=nciclos Pi/w/(npuntos-1) (i-1);We=NIntegrate[f[z] x'[z],{z,0,tt}];AppendTo[Welist,{tt,We}]]; ListPlot[Welist,PlotJoined®True,AxesLabel®{"t(s)","W(J)"},PlotStyle®RGBColor[1,0,0]] ! Modelo con fuerza proporcional a la amplitud y amortiguamiento no viscoso x01=0.3; x0=x01; nciclos=30; c0=0.675-0.494 c=-c0 x0; t0=0; t1=Pi/w; If[k Abs[x0]£m g mu,x[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[x0],True,0];f[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[k x0],True,0],x[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[x0 Cos[w (t-t0)]+ c/w^2 (1-Cos[w (t-t0)])],True,0];f[t_]=Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[m c],True,0]]; For[i=2,i£nciclos,i++,t0=Pi/w (i-1);t1=Pi/w i;x0=x[t0];c=-c0 Abs[x0];If[k Abs[x0]£m g mu,x[t_]=x[t]+Which[t>t0&&t£t1,Evaluate[x0],True,0];f[t_]=f[t]+Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[k x0],True,0],x[t_]=x[t]+Which[t>t0&&t£t1,Evaluate[x0 Cos[w (t-t0)]+(-1)^(i+1) c/w^2 (1-Cos[w (t-t0)])],True,0];f[t_]=f[t]+Which[t>=t0&&t£t1,Evaluate[m c (-1)^(i+1)],True,0]]]; Plot[{x[t],x01 (1+2 c0/w^2)^(w t/Pi),-(x01 (1+2 c0/w^2)^(w t/Pi)),x01 Exp[-chi w t],-


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x01 Exp[-chi w t]},{t,0,nciclos Pi/w},PlotStyle®{{Dashing[{0.001,0.005}]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,0,0]},{Dashing[{0.05,0.05}],RGBColor[0,0,1]},{Dashing[{0.05,0.05}],RGBColor[0,0,1]}},AxesLabel®{"t(s)","x(m)"}] Plot[{x'[t],50 f[t]/m/w},{t,0,nciclos Pi/w},PlotStyle®{{Hue[0.01]},{Dashing[{0.01,0.01}]}},PlotRange®All,AxesLabel®{"t(s)","v(m/s)"}] ! Modelo con fuerza proporcional a la amplitud y amortiguamiento viscoso ClearAll["Global`*"] M=1; K=47.77; f0=1.1; c0=10; x01=0.3; psi=0.01; phi=ArcTan[Sqrt[1-psi^2]/psi]; w0=2 Pi f0; wD=w0 Sqrt[1-psi^2]; t0=0; t1=Pi/wD; x0=x01; x[t_]=0; f[t_]=0; nciclos=10; For[i=1,i£nciclos,i++,x[t_]=x[t]+Which[t£t1&&t>t0,Evaluate[x0 (1/Sin[phi] (1+c0/w0^2) Exp[-w0 psi (t-t0)] Sin[wD (t-t0)+phi]-c0/w0^2)],True,0];f[t_]=f[t]+Which[t£t1&&t>t0,Evaluate[-c0 M x0],True,0];x0=x[t1];t0=t1;t1=t1+Pi/wD]; h=Exp[-Pi/Tan[phi]]; incx=c0/w0^2 (1+h)+h; xmax[t_]=x01 incx^(wD t/Pi); Plot[{x[t],xmax[t],-xmax[t]},{t,0,nciclos Pi/wD},PlotStyle®{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,0,0]}},AxesLabel®{"t(s)","x(m)"},PlotRange®All] Plot[{x'[t],3 f[t]/M/w0,-‐6 psi x'[t]},{t,0,nciclos Pi/wD},PlotStyle®{{RGBColor[1,0,0]},{Dashing[{0.01,0.01}]},{RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.01,0.01}]}},AxesLabel®{"t(s)","x(m)"},PlotRange®All] ClearAll["Global`*"] M=1.13 10^5; K=4.73 10^6; f0=1.03; c0=10; x01=0.3; psi=0.00752; phi=ArcTan[Sqrt[1-psi^2]/psi]; w0=2 Pi f0;


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wD=w0 Sqrt[1-psi^2]; k=300; g=(1/Tan[phi])/(1+Exp[-Pi/Tan[phi]]); Ncarup=8 Pi M f0 psi/k Nc=Ncarup*((1-Exp[-Pi/Tan[phi]])/(Pi/Tan[phi])) n=100; c0=n g w0 Pi k/2/psi/2/M psief=psi-n k/2/M/w0/2; xarup[t_]=x01 Exp[-psief w0 t]; t0=0; t1=Pi/wD; x0=x01; x[t_]=0; f[t_]=0; nciclos=30; For[i=1,i£nciclos,i++,x[t_]=x[t]+Which[t£t1&&t>t0,Evaluate[x0 (1/Sin[phi] (1+c0/w0^2) Exp[-w0 psi (t-t0)] Sin[wD (t-t0)+phi]-c0/w0^2)],True,0];f[t_]=f[t]+Which[t£t1&&t>t0,Evaluate[-c0 M x0],True,0];x0=x[t1];t0=t1;t1=t1+Pi/wD]; h=Exp[-Pi/Tan[phi]]; incx=c0/w0^2 (1+h)+h; xmax[t_]=x01 incx^(wD t/Pi); Plot[{x[t],xmax[t],-xmax[t],xarup[t],-xarup[t]},{t,0,nciclos Pi/wD},PlotStyle®{{Dashing[{0.01,0.01}]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.05,0.05}]},{RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.05,0.05}]}},AxesLabel®{"t(s)","x(m)"},PlotRange®All]

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