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1CPV ESPMJUN2013
MATEMÁTICA
21. O valor numérico da expressão (x2 + 4x + 4) . (x2 – 2x)
x2 – 4
para x = 48 é:
a) 4800 b) 1200 c) 2400 d) 3500 e) 1800
Resolução:
Fatorando a expressão, temos:
(x2 + 4x + 4) . (x2 – 2x)
(x2 – 4) =
(x + 2)2 . x (x – 2)(x + 2) . (x – 2)
= (x + 2) . x
Para x = 48,
(x + 2) . x = 50 . 48 = 2400Alternativa C
22. Um número natural N, quando dividido por 18 ou por 15, deixa o mesmo resto R. Se R é o maior possível e N o menor possível, o valor de N + R é:
a) 98 b) 121 c) 100 d) 105 e) 118
Resolução:
N = 18 q + R (0 ≤ R ≤ 17) N = 15 q' + R (0 ≤ R ≤ 14)
Como R é o maior valor possível, temos R = 14. Assim,
N = 18 q + 14, N – 14 = 18 q N = 15 q' + 14, N – 14 = 15 q'
Como N tem que ser o menor valor possível e N – 14 tem que ser múltiplo de 18 e 15, temos que:
N – 14 = mmc (18; 15) Þ N – 14 = 90 Þ N = 104
Portanto, N + R = 104 + 14 = 118Alternativa E
Þ
ESPM Resolvida – PRova e – 23/junho/2013
CPV – esPecializado na ESPM
ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM2
CPV ESPMJUN2013
23. As soluções inteiras da equação x2 – y2 = 7 formam 4 pares ordenados. Esses pares representam, no plano cartesiano, os vértices de um quadrilátero cuja área vale:
a) 30 b) 48 c) 24 d) 32 e) 36
Resolução:
x2 – y2 = 7 Û (x + y) . (x – y) = 7
Para soluções inteiras, temos:
x + y = 7 Þ (x = 4 e y = 3) ou x – y = 1
x + y = 1 Þ (x = 4 e y = –3) ou x – y = 7
x + y = –7 Þ (x = – 4 e y = –3) ou x – y = –1
x + y = –1 Þ (x = – 4 e y = 3) x – y = –7
Então, o quadrilátero em questão pode ser representado no plano cartesiano:
A área do quadrilátero é 8 . 6 = 48 Alternativa B
y
3
4
–3
–4 x
24. Na função f (x) = 2x – x, o valor de fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3) é:
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
Resolução:
Pelo enunciado temos:
fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3)
f(f (0)) + f(f (1)) + f(f (2)) + f(f (3)) f (0) = 20 – 0 = 1
f (1) = 21 – 1 = 1
f (2) = 22 – 2 = 2
f (3) = 23 – 3 = 5
f (1) + f (1) + f (2) + f (5) f (5) = 25 – 5 = 27
Portanto, 1 + 1 + 2 + 27 = 31Alternativa D
25. O valor máximo que a função f (x) = 1( )2
x2 – 4x pode
asumir é:
a) 16 b) 32 c) 8 d) 1 e) 4
Resolução:
Como a função f (x) = 1( )2
x2 – 4x é uma função exponencial
decrescente, ela será máxima quando seu expoente (x2 – 4x) for
mínimo; como o expoente é dado por uma função quadrática, seu
valor mínimo será:
yv = – Δ4a
= – ((–4)2 – 4 . 1 . 0)
4 . 1 = – 4
Portanto, o valor máximo de f (x) é:
1( )2
–4 = 16
Alternativa A
3CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 23/06/2013
ESPMJUN2013 CPV
26. O mais amplo domínio da função real f (x) = log2x–2 (x2 – 3x + 2) é o conjunto D = {x Î | x > k}. O valor de f (k + 1) é:
a) –1 b) 0
c) 14
d) 2
e) 12
Resolução:
Analisando o domínio da função logarítmica, temos:
x2 – 3x + 2 > 0 x < 1 ou x > 2 2x – 2 > 0 Þ x > 1 Þ x > 2 2x – 2 ≠ 1 x ≠ 1,5
Ou seja: D = {x Î | x > 2} e k = 2. f (2 + 1) = f (3) = log2 . 3 – 2 (32 – 3 . 3 + 2) = log4(2) =
12
Alternativa E
27. Sabe-se que as raízes da equação x2 + kx + 6 = 0 são dois números naturais primos. O valor de k pertence ao intervalo:
a) [–8; –6] b) [–6; –3] c) [–3; 0] d) [0; 4] e) [4; 7]
Resolução:
Analisando a soma e o produto das raízes da equação
x2 + kx + 6 = 0 temos:
soma = – k produto = 6
Como as raízes são dois números naturais primos e de produto 6, elas só podem ser os números 2 e 3.
Soma = 2 + 3 = – k Þ k = – 5 Portanto, k pertence ao intervalo [– 6; –3].
Alternativa B
28. Uma agência de turismo fez uma consulta a um grupo de clientes. 40% dos consultados disseram que tinham viajado nas últimas férias, sendo que, destes, 60% viajaram pelo Brasil, 30% para a América do Norte e as outras 12 pessoas foram para a Europa.
O número de entrevistados que disseram não ter viajado nessas férias foi:
a) 240 b) 180 c) 120 d) 90 e) 200
Resolução:
Chamado de T o total das pessoas consultadas, temos que: 40% T → viajou 60% T → não viajou
Dos que viajaram temos:
40% T . 60 % → viajaram pelo Brasil 40% T . 30 % → viajaram pela América do Norte 40% T . 10 % → viajaram pela Europa.
Como 40 % . T . 10% = 12 T = 300
Logo, o número de entrevistados que disseram não ter viajado é dado por:
60% . 300 = 180Alternativa B
ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM4
CPV ESPMJUN2013
29. Um produto que custou R$ 1300,00 foi vendido com lucro de 20% sobre o preço de custo. Depois disso, foi vendido novamente, mas com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Podemos afirmar que este último preço de venda foi de:
a) R$ 1870,00 b) R$ 1980,00 c) R$ 2105,00 d) R$ 1950,00 e) R$ 1890,00
Resolução:
Na primeira venda temos:
v1 → preço de venda
c1 = 1300 → custo
L1 = 0,2 . c1 → lucro
Como L1 = v1 – c1 0,2 . 1300 = v1 – 1300 v1 = 1560
Como o produto foi vendido novamente, para o revendedor, 1560 é o preço de custo, preço pelo qual ele comprou o produto na primeira venda.
Na segunda venda temos:
v2 → preço de venda
c2 = 1560
L2 = 0,2 v2
Como L2 = v2 – c2 Þ 0,2 v2 = v2 – 1560
v2 = 1950,00Alternativa D
30. Um tanque abastecido por duas torneiras de mesma vazão fica completamente cheio em 4 horas. Ao meio-dia iniciou-se o enchimento desse tanque com as duas torneiras abertas, mas duas horas depois uma delas foi fechada, completando-se o processo com uma só torneira.
Podemos concluir que o tanque ficou totalmente cheio às:
a) 17 h b) 17 h30 min c) 18 h d) 18 h30 min e) 19 h
Resolução:
Como as duas torneiras possuem a mesma vazão, uma torneira sozinha enche o tanque em 8 horas. Após duas horas em que as torneiras estão abertas, metade do tanque foi cheio, sobrando a outra metade para uma torneira sozinha. Como ela leva 8 horas para encher o tanque todo, em 4 horas ela encherá metade.
Sendo assim:
2 horas + 4 horas = 6 horas duas uma torneiras torneira juntas sozinha
Como o trabalho iniciou-se ao meio dia, terminou às 18 h (6 horas depois.)
Alternativa C
5CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 23/06/2013
ESPMJUN2013 CPV
31. Duas matrizes quadradas de mesma ordem são inversas se o seu produto é igual à matriz identidade daquela ordem.
Sendo A = 2 1[ ] 0 –1 e B = x y[ ] z w matrizes inversas, o
valor de x + y + z + w é:
a) 0 b) 1 c) –2 d) 3 e) – 4
Resolução:
2 1[ ] 0 –1 . x y[ ] z w
= 1 0[ ] 0 1
2x + z 2y + w[ ] –z –w = 1 0[ ] 0 1
Assim:
2x + z = 1 x = 1/2 2y + w = 0 y = 1/2 – z = 0 z = 0 – w = 1 w = – 1 Logo, x + y + z + w = 0
Alternativa A
32. Sabendo-se que a b| | m n = 2, podemos afirmar que:
a) 2a 2b| | 2m 2n = 4
b) a m| | b n = –2
c) 2m 2n| | a b = –4
d) –a –b| | –m –n = –2
e) a a + b| | m m + n = 4
Resolução:
a b| | m n = 2 Þ –
m n| | a b = 2 Þ m n| | a b = – 2
Logo, 2m 2n| | a b = 2 . m n| | a b = – 4
Alternativa C
Þ
33. O campeonato de futsal de uma faculdade será disputado por 6 equipes. Na primeira fase de classificação, todas as equipes jogam entre si, uma única vez. Das 4 melhores colocadas, a primeira joga com a quarta e a segunda joga com a terceira e os vencedores dessas partidas jogam entre si, resultando daí a equipe campeã.
O número total de jogos realizados será igual a:
a) 15 b) 20 c) 18 d) 16 e) 21
Resolução:
Na primeira fase temos: C6,2 = 15 jogos
Na fase seguinte temos: 1a x 4a e 2a x 3a Þ 2 jogos
Na fase final: 1 jogo
Assim, o número total de jogos será igual a 18. Alternativa C
34. No curso de Administração de uma faculdade, 80% dos alunos são homens, mas no curso de Propaganda esse percentual cai para 60%. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno de cada curso, a probabilidade de que sejam duas mulheres é igual a:
a) 20% b) 16% c) 12% d) 8% e) 6%
Resolução:
No curso de Administração, 80% são homens e 20% mulheres.
No curso de Propaganda, 60% são homens e 40% mulheres. Assim, escolhendo-se ao acaso um aluno de cada curso, a
probabilidade de que sejam mulheres é dada por:
20% . 40% = 8%Alternativa D
ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM6
CPV ESPMJUN2013
35. Um polinômio P(x) dividido por x – 1 tem como quociente Q(x) e resto 2. Quando esse polinômio é dividido por x – 2 tem o mesmo quociente Q(x) e resto 3.
Podemos afirmar que o valor de Q(1) + Q(2) é:
a) 1 b) 0 c) –2 d) –1 e) 2
Resolução:
P(x) = (x – 1) . Q(x) + 2 P(1) = 2 P(x) = (x – 2) . Q(x) + 3 P(2) = 3
Assim,
P(2) = (2 – 1) . Q(2) + 2 3 = Q(2) + 2 Q(1) = 1 P(1) = (1 – 2) . Q(1) + 3 2 = – Q(1) + 3 Q(2) = 1
Logo, Q(1) + Q(2) = 2Alternativa E
e
ÞÞ
36. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. BCE e EBF são triângulos isósceles de bases BE e BF, respectivamente. Sabendo-se que A, C e E estão alinhados e que A, B e F também estão alinhados, a medida do ângulo x é:
a) 22º30' b) 30º c) 15º d) 45º e) 60º
Resolução:
Da figura, temos:
2α = 45º α + β = 90º Þ α = 22º30', β = 67º30' e x = 45º x + 2β = 180º
Alternativa D
45º
45ºα
α
β β
7CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 23/06/2013
ESPMJUN2013 CPV
37. Na progressão aritmética finita (–5, ..., 15), sabe-se que o último termo é igual à soma de todos os anteriores. O produto da razão pelo número de termos dessa PA é igual a:
a) 24 b) 18 c) 12 d) 30 e) 15
Resolução:
Na PA finita (–5, ..., 15), temos:
Sn – 15 = 15 Þ Sn = 30
Þ (–5 + 15) . n2
= 30 Þ n = 6
Assim,
a6 = a1 + 5r Þ 15 = –5 + 5r Þ r = 4
Portanto, n . r = 6 . 4 = 24Alternativa A
38. Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1, com t Î . O coeficiente angular (ou declividade) dessa reta é igual a:
a) –2 b) 2 c) – 1
2 d) –1
e) 12
Resolução:
x = 2t + 1 x = 2t + 1
y = t – 1 –2y = –2t + 2
Somando membro a membro as duas equações, temos:
x – 2y = 3 Þ y = 12
x – 32
Portanto, o coeficiente angular da reta é 12
.Alternativa E
Þ
39. A parábola de equação x2 = 2y + 4 e a circunferência de equação x2 + y2 = 4 interceptam-se nos pontos A, B e C.
A área do triângulo ABC é igual a:
a) 4 b) 12 c) 8 d) 2 e) 16
Resolução:
x2 = 2y + 4 x2 + y2 = 4
No plano cartesiano, temos:
y
xAB
C
(2;0)(–2;0)
(0;–2)
A área do triângulo ABC é 4 . 2
2 = 4
Alternativa A
Þ (x = 2 e y = 0) ou (x = –2 e y = 0) ou (x = 0 e y = –2)
ESPM – 23/06/2013 CPV – esPeCializado na esPM8
CPV ESPMJUN2013
40. A base de um prisma reto é um triângulo retângulo que possui um ângulo interno de 30º e a hipotenusa medindo 8 cm.
Se a altura desse prisma é igual ao maior cateto da base, seu volume é igual a:
a) 108 cm3
b) 96 cm3
c) 218 cm3
d) 154 cm3
e) 84 cm3
Resolução:
Chamemos de x o valor do maior cateto do triângulo retângulo. Assim:
cos 30º = x8
Þ x = 4 3 cm
A área da base é AB = 12
. 4 3 . 8 . sen 30º = 8 3 cm2
O volume do prisma é V = AB . x = 8 3 . 4 3 = 96 cm3
Alternativa B
x
8
30º
COMENTÁRIO DO CPV
A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM (junho de 2013) premiou os vestibulandos com uma avaliação primorosa, de enunciados claros e precisos, escolha adequada de assuntos e apesar de sua simplicidade, muita criatividade.
Acreditamos que os candidatos mais preparados puderam deliciar-se em meio a estas questões, mostrando o seu potencial.
Parabenizamos a Banca examinadora por esta excepcional demonstração de competência.