【小数のしくみ1】小数の位取り€小数の...日にち： 月 日 名まえ 1．次の小数を表の中に書きましょう。十 の 位 一 の ①56.103 位 ②15.37
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第二节 函数极限 主要内容： 一、函数极限的概念 二、无穷大量与无穷小量 三、极限的四则运算及两个 重要极限
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第二节 函数极限
主要内容：
一、函数极限的概念
二、无穷大量与无穷小量
三、极限的四则运算及两个
重要极限
一、 时（自变量趋于有限数）0x x
01
( ) :
x x
f x
把 附近的自变量 与它对应的函数
值 列表
x 0.9 0.98 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.02 1.1
f (x)=x+1 1.9 1.98 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.02 2.1
01 ,
( )
1
,2
x x
f x
当 从 的左右近旁越来越接近于 时
函数 越来越接近于 并且要多接近就会
有多接近.
1 (, ) .2x f x 当 无 限 变 小 时 也 无 限 变 小
(1 ) ( ) 1f x x ， 1x
( ) 1f x x 1x
1 1lim ( ) lim ( 1 .2)x x
f x x
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
•
•
x 0.9 0.98 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.02 1.1
f (x)=x+1 1.9 1.98 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.02 2.1
•
1
1)(
2
x
xxg
2
0
2
1( ) 1 , 1
1
1( ) 1. ,1 2( ) .
1
xg x x x
x
xg x x x g x
x
在 处无定义 当
时 = 当 时
0 0, , ( ) ( )x x g x g x x这表明 时 的极限与 在
点是否有定义并无关系.
1 1 0x x
1 1lim ( ) lim ( 1) 2x x
f x x
2
1 1
1
1lim ( ) lim
1
( 1)( 1)lim
1
x x
x
xg x
x
x x
x
1lim( 1)x
x
•-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
•
•1
1)(
2
x
xxg
2
1 1lim ( ) lim ( 1) 2x x
f x x
有关函数极限的说明：
★ 函数在某点的极限与函数在这点的函数值是否存在，以及取值是多少并
没有关系. ★ 函数在某点的极限只与函数在这点附近的变化趋势有关系.
定义 设函数 f(x)在点 0( , )U x 。
内有定义，如果对于
任意正数ε (不论它多么小),总存在正数δ,使得
满足 00 x x 的一切x,能使 ( )f x A 恒成立,
则称函数 f(x)当 0xx 时以A为极限, 或称函数
)(xf 在 0x 点有极限.记作
00
lim ( ) ( ) ( ).x x
f x A f x A x x
或
该 定 义 称 为 “ ” 定 义 .
0
0, 0,
0 , ( ) .x x f x A
该定义的简洁表示方法：
使当 时 恒有
对于任意的 存在
几何解释:( )y f x
A
A
A
0x 0
x 0
x x
y
o
0( , ) ,
( )
, 2
.
x U x
y f
y A
x
。当 在 时
图形完全
落在以直线 为
中心线 宽为 的带
形区域内
注意： ;)(.1 0是否有定义无关在点函数极限与 xxf
2. . 与任意给定的正数 有关
( )
例10
lim ( ).x x
C C C
证明 为常数
证明
( )f x A C C
0, 任给
0 成立, .lim0
CCxx
0, 任取 00 ,x x 当 时
例2 .lim 00
xxxx
证明
,)( 0xxAxf 0, 任给 取 ，
00 ,x x 当 时
0( )f x A x x 成立， .lim 0
0
xxxx
证明
即常数的极限就是该常数.
( ) 0 ,
1 , 0 .
1, 0
0
x x
x
x
f
x
x
设函数 ，
，
0 ( )x f x讨 论 当 时 的 极 限 ：
二、单侧极限—左右极限
( ) 0
0 0
f x x
x x
由于 在 点断开，是分段函数
分 和 两种情况分别讨论：
0 0, ( )x x x f x从 左侧无限趋近 的极限称为左极限，
0;x x 记 作
0 0
lim ( ) lim ( 1) 1,x x
f x x
x
y
o
1
1
1y x
1y x
0 0,
( )
x x x
f x
从 右侧无限趋近
的极限称为右极限，
0x x 记 作 ；
0 0
lim ( ) lim ( 1) 1,x x
f x x
0
lim ( )x x
f x A
定理
0 0
lim ( ) lim ( ) .x x x x
f x f x A
( )
0 ( ) .
f x
x f x
上题中由于 的左、右极限不相等，
因此当 时， 无极限
0 0
lim ( ) lim ( 1) 1,x x
f x x
x
y
o
1
1
1y x
1y x
20
1 , 03 ( ) lim ( ) 1.
1, 0 x
x xf x f x
x x
，例 设 证明
，y
o x
1
xy 1
12 xy
00 0
lim ( ) lim ( ) 1, lim ( ) 1.xx x
f x f x f x
由于已知函数
是分段函数，根据前定理，
考虑左
提示与分析:
、右极限.
0 0
lim ( ) lim(1 ) 1,x x
f x x
证
2
0 0
lim ( ) lim( 1) 1,x x
f x x
三、 时（自变量的绝对值无限增大时的情形）
x
(1 ) ( ) a r c ta nf x x
πlim arctan
2xx
πlim arctan
2xx
π
2
•
, 0,
, 0,
lim arctan lim arctan lim arctan .x x x
x x x x x
x x x
x x x
表示 无限变大，即 沿 轴正方向
无限变远； 表示 无限变大.
由于 ， 不存在
•
π
2
lim ( )x
f x a
( )
( )
.
x f x
a f x x a
如果 无限增大时，函数 无限
趋近于常数 ，则称 在 时，以 为
极限
定
，记作
义
xy
1
o x
y
xy
1
1lim 0.x x
0
lim sin
1lim
x
x
x
x
还有一种极限不存在的情形: 不存
在,这与 情况不同.
在x→∞时，sinx并不向某个点逼近，所
以无极限.
00 , ( ) ( )
0 ( ) 0 ( ).
x x f x A A
A A f x A A f x
当 时 恒成立，
因而 成立，
四、函数极限的性质
0
0 0 0
lim ( ) , 0( 0),
( , ), ( , )
( ) 0( ( ) 0).
x xf x A A A
x U x x U x
f x f x
。 。
若 且 或 则存
在 点某邻域 对一切 ，
恒有 或
定理
0
.
x x
x
下面仅对 的变化过程讨论函数极限
的性质，对 的情形有类似结论
0
lim ( ) 0, ,
, ,
x xf x A
A
证明 由“ 定义”
若取任意正数 则存在相应
0( , ), ( ) 0( ( ) 0),
.
x U x f x f x 。 由于在 恒有 或
称 局部保定理为 号性定理该
0
( ) 0 lim ( ) 0.x x
f x f x A A
若 ，且 ，那么定理
0
( ) 0 lim ( )
0.
x xf x f x A
A
要注意的是，若 ， ，
那么
0 0
( ) ( ) lim ( ) lim ( )
.
x x x xf x g x f x A g x B
A B
若 ，且 ， ，
那么
推论
0
( ) ( ) ( ) 0
lim ( ) 0
.
x x
F x g x f x
F x
A B
只需令 ，
由上定理知 ，
即
2
2
1
1 ( ) ( 1) 0
lim( 1) 0.x
x f x x
x
比如，当 时,函数 ，
但
五、无穷大量与无穷小量
0
( )
( )
( )
( ) .
( )
f x
f x
f x
f
f
x x x x
x
若在某个变化过程中，函数 的绝
对值 变得越来越大，且想多大就会有
多大，则称 的
定
（
极限是无穷大，
记作 .
称
或 ）
无穷大量为 ，简称
义
无穷大
0
1limx x
，+0
lim l ,nx
x
1
lim2
,x
x
11( )
2, ,( ) ln
0
)
0, , .
(x
h xx
g x x
x
f x
x x
函数 分别称
为 过程中的无穷大量
1) 无穷大量
注:无穷大是变量,不能与很大的数混淆.
o x
y
0
1limx x
+0
lim lnx
x
1lim
2x
x
注意: （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大.
0
2 lim ( ) ;x x
f x
（ ）切勿将 认为极限存在
( ) cos ( ) ,
.
f x x x x 是无界变量 但不是
无穷大量
（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆.
（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.
注：
02
1lim
nn
2)无穷小量
( )
( )
2008
f x
f x
若在某个变化过程中，函数 的绝对值
变得越来越小，且想多小就会有多小.
如， 年北京奥运会倒计时.
{ }1 .n
x n 极限为零的数列 也可称为 时的（ 无穷小量）
以零为极限的
变量为
定义：在某个变化过
.
程中，
简称无穷小量 无穷小.
xy
1
o x
y
xy
1
例4
,0sinlim0
xx
,01
lim xx
s in 0x x 函 数 是 当 时 的 无 穷 小 .
1x
x 函数 是当 时的无穷小.
无穷小量与函数极限的关系:
证明 必要性
,)(lim0
Axfxx
设 ( ) ( ) ,x f x A 令
0
lim ( ) 0,x x
x
因而 ( ) ( ).f x A x
充分性
( ) ( ),f x A x 若 0
( ) ,x o x x 其中 （ ）
0 0
lim ( ) lim( ( ))x x x x
f x A x
于是
0
lim ( ) .x x
A x A
0
0
lim ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
x xf x A f x A x
x o x x
其中
定理
.
1.有限个无穷小量的代数和是无穷小量.
无穷小量的性质：
例5 0 , sin ,
, 0 , sin
x x x
x x x
当 时 与 都是无穷小量
所以 当 时 是无穷小量.
sinlim lim( )in 0 .
1s
x x
x
xx
x
有界变量无 穷 小 量
2.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量.
3.有限个无穷小量的乘积是无穷小量.
4.常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.
例6 2
2
tan0
tan
x xx
x x
当 时， 与 都是无穷小量，
所以 是无穷小量.
例7当 x→ 0时,sinx 是无穷小量，所以3 sinx
是当x→ 0时的无穷小量.
无穷小与无穷大的关系
在 x 变化同一过程中,无穷大的倒数
为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为
无穷大.
意义：关于无穷大的讨论,都可归结为
关于无穷小的讨论.
无穷小量
1( )
2x
f x
xxf
2
1)(
02
1lim
xx
02
12
x
xx ，时，
无穷大量
如
3 2, , ,y xy x y x 三个函数 0 , 0.x 当 时 都趋近于
下面观察它们趋于0的快慢程度.
无穷小量阶的比较
2
0limx
x
x
30
limx
x
x
极限值的不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
0,
, 观察各极限
30x x比 趋近于 的速度要慢得多.
20x x比 趋近于 的速度要快得多.
y x
2y x
3y x
定义 设 ， 是 自 变 量 同 一 变 化 过 程 中 的 无 穷 小 ，
00
lim ( ) .0
( ).o
若 ，则称 是比 的无穷小
记作
高阶
，03
lim2
0
x
x
x
20 3 .x x x 当 时 ， 是 比 高 阶 的 无 穷 小
2( 3 ) ( 0 ).x o x x 即
不定式
0lim ( ) .
0
若 ，则称 是比 的阶 无穷小低
观察各极限
，1sin
lim0
x
x
x
0 s in .x x x 当 时 ， 与 是 等 价 无 穷 小
s in ~ ( 0 ).x x x 即
lim , .C
若 则称 的同阶是 无穷小
lim ,1
.
若 则称 是 的 无穷小，
记作
等价
x
xy
sin
观察各极限
两个无穷大量之比也是不定式，称为
型不定式.
2,ln
x
xx
如： 时 属于 型不定式 .
End
类似地可以作出两个无穷大量阶的比较。
定理
推论1 lim ( ) , ,
lim[ ( )]
f x c
c f x
如果 存在 而 为常数 则
这意味着,常数因子可以提到极限符号的外面.
(1) lim [ ( ) ( )] ;f x g x A B
( 2 ) lim [ ( ) ( )] ;f x g x A B
lim ( ) , lim ( ) ,f x A g x B 设 则
( )(3) lim , 0.
( )
f x AB
g x B 其中
六、极限的四则运算
c lim ( ).f xc
推论2
这意味着, 求一个函数 n 次幂的极限
等于该函数极限值的n 次幂.
lim ( ) , ,
lim ( ) lim ( ) .] [ ]n n
f x n
f x f x
如果 存在 而 是正整数 则
[
例10 2
1lim(2 3 4)x
x x
2
1lim(2 )x
x
.1
2
12lim
xx
1lim 3x
x
1
lim( 4)x
13lim 4
xx
2
12(lim ) 3 4
xx
代数和的极限等于极限的代数和.
lim [ ( ) ( )]f x g x A B
lim [ ( )] lim ( )cf x c f x
lim [ ( )] [lim ( )]n n
f x f x
2
1
1lim
2x
x
x
2
1
1
lim( 1)
lim( 2)
x
x
x
x
2
1
1
lim 1
lim 2
x
x
x
x
1 1
1 2
.0
在对商求极限时,若分母不为0，商的极限等于先求极限后,再做除法.
0)2(l im1
xx
( )lim , 0.
( )
f x AB
g x B 其中
例11
2
1
2
4 1lim
2 1x
x
x
1
2
(2 1)(2 1)lim
(2 1)x
x x
x
1
2
lim(2 1)x
x
.2
要看分子,分母能否因式分解，并约分.
当分母的极限为 0 的情形，
1, 2 1 0,
2x x 而在 时
可以约分.
2lim 4 1)
lim 2 1)
x
x
（不能写成
（
1
2
lim(2 1) 0,x
x
由于
( )lim , 0.
( )
f x AB
g x B 其中
例12
22
5lim
4x
x
x
2
2
4lim 0
5x
x
x
.
1. 要看能否因式分解；
对于分母求极限为0的情形，
2. 考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质.
22
5lim
4x
x
x
2
2
2
lim( 4) 0,
4
xx
x
可以因式分解
但与分子不能约分，
需要另外想办法.
2 ,
,
x 注意当 时 分母是
无穷小量 分子是常数.
例13
其中，
0
sin 215 lim
sin 3x
x
x例
1sin
lim2
2sinlim
0
2
0
t
t
x
x
t
xt
x
0
sin 22 3
3 2 slim
in 3x
x x
xx
x
x
x
x
xx 3sin
3lim
2
2sinlim
3
2
00 .
2
3
31 li (
16
m 1 )x
x x
例
）33
3
1lim[(1 ) ]
x
x x
331
lim[(1 ) ]
xt
t
t t
12) lim 1 )
x
x x（ 11
lim[ 1 ) ]x
x x
（
1lim(1 ) e
x
x x e
3.e e
1.e
e
