信号処理の基本おさらいと...
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信号処理の基本おさらいとサンプリング定理
1. フーリエ級数
→三角関数表示
→複素数表示
2. フーリエ変換
3. 離散時間信号
→サンプリング定理
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フーリエ級数とは
周期関数は三角関数の足し合わせで表現できる
各成分の周期は,基本周期の整数倍
cos2
sin2
t
T0
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フーリエ級数とは
t
T0
…
cos2
sin2
cos Ω
cos 2Ω
sin Ω
sin 2Ω
基本周波数未満,
整数倍以外の周波数成分
は出てこない
Ω
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フーリエ級数 係数の求め方 a0
cos2
sin2
…
-T0/2 T0/2
cos2
sin2
cos2
sin2
0 0
1
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フーリエ級数 係数の求め方 ak,bk
cos2
sin2
…
-T0/2 T0/2
例えば,a1を求める場合
cos2
sin2
cos2
三角関数の直交性
sin2
cos2
0
cos2
cos2
2 ,
cos2
cos2
cos2
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フーリエ級数 係数の求め方 ak,bk
cos2
sin2
…
-T0/2 T0/2
例えば,a1を求める場合
cos2
cos2
cos2
cos2
sin2
cos2
2cos
2
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フーリエ級数 係数の求め方
cos2
sin2
…
-T0/2 T0/2
最終的に
2cos
2
2sin
2
1
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フーリエ級数の意味
サイン波の鐘を強さak
コサイン波の鐘を強さbk
で打つ
サイン波の鐘を振幅,位相を変化させて打つ
各周波数成分の振幅と位相を明示的に表現
することができる
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フーリエ級数-指数関数表示
オイラーの公式を用いて
三角関数の足し合わせ ⇔ 複素指数関数の足し合わせ
cos2
sin2
2 2
12
12
三角関数
指数関数
12 , 0
12 , 0
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フーリエ級数-指数関数表示
,
12 , 0
12 , 0
Fkは複素数 ⇒ 振幅と位相情報をもつ
Fkを各周波数成分に分解
これを“周波数スペクトル”と呼ぶ
:振幅スペクトル∠ :位相スペクトル
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2.フーリエ変換
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フーリエ変換
フーリエ級数 ⇒ 周期関数にしか適用できない
フーリエ変換 ⇒ 非周期関数にも適用可
t
T0
t
周期関数
非周期関数 無限大
,
1 ⁄
⁄
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フーリエ変換
基本周期T0
周期無限大
フーリエ級数展開
t
T0
00
基本周期2T0フーリエ級数展開
t
2T0
00
0/20/2
フーリエ展開
t
無限大
00
0/20/2
離散スペクトル
連続スペクトル
周期が長くなると,スペクトルの線の間隔が狭くなる
1 ⁄
⁄
Ω
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フーリエ変換対の例
F() =f(t)=(t)
t
f(t)=rect(t)
デルタ関数 (t)
矩形関数 rect(t)
t
T0
フーリエ変換
フーリエ変換
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正弦波 sin(t)
余弦波 cos(t)
フーリエ変換
フーリエ変換
t
t
0
0
00
フーリエ変換対の例
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インパルス列
フーリエ変換対の例
0 = 2/T0
t
T0
フーリエ変換
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フーリエ変換の性質
線形性
対称性
時間軸の伸縮
時間軸と周波数軸の推移
微分
積分
畳み込み積分
⟺ Ω Ω
⟺ 2 Ω
⟺1 Ω
⟺ Ω
⟺ Ω Ω
⟺ΩΩ
· ⟺ Ω ∗ Ω
時間領域 周波数領域
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フーリエ変換の性質 畳み込み積分
t
t
00
t
の周波数スペクトルは?
掛け算畳み込み積分
?
フーリエ変換
フーリエ変換
フーリエ変換
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フーリエ変換の性質 畳み込み積分
’
00
Ω ∗ Ω12 Ω Ω Ω Ω
ΩΩ Ω
1
Ω Ω
2 3 4 5 6 7
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フーリエ変換の性質 畳み込み積分
t
t
00
t
00
の周波数スペクトルは?
フーリエ変換
フーリエ変換
フーリエ変換
掛け算畳み込み積分
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3. 離散時間信号サンプリング定理
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標本化(サンプリング)と量子化
アナログ信号 時間も値も連続的
t
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サンプリング ⇒ 時間の離散化
標本化(サンプリング)と量子化
t
Ts サンプリング周期
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量子化 ⇒ 値の離散化(整数化)
標本化(サンプリング)と量子化
t
2.05
3.1
-2
-3
2nで分割(nビット)
0
2n
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サンプリング間隔について
t
t
サンプリング間隔が短い
サンプリング間隔が長い
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t
t
サンプリング周期が短い
サンプリング周期が長い
Ts
Ts
周波数低い?
サンプリング間隔について
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サンプリング定理
連続信号f(t) に含まれる最大周波数の2倍以上の周波数で
サンプリングすると元信号を復元できる
t
T0=1/f0
fs ≧ 2f0
Ts=1/fs
サンプリング定理を満たすfs ≧ 2f0
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サンプリング定理
連続信号f(t) に含まれる最大周波数の2倍以上の周波数で
サンプリングすると元信号を復元できる
t
T0=1/f0
fs ≧ 2f0
Ts=1/fs
サンプリング定理を満たしていない
fs < 2f0
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サンプリング定理の説明
11
2 2
3 3
4 4
5, 5
66
, 7 7一回転するのに必要な時間が
1周期(T=1/)
00
t左回転
s/2 s/2
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11
22
33
4
4
一回転するのに必要な時間が1周期以上
右回転
00
サンプリング定理の説明
s/2 s/2
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11
22
33
4
4
一回転するのに必要な時間が1周期以上
右回転
00
s/2 s/2
サンプリング定理の説明
折り返し現象
(エイリアシング)
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エイリアシングの例
エイリアシングなし エイリアシングあり
ドップラによる血流観測
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離散化した信号のスペクトル
t
t
00
t
ss
フーリエ変換
フーリエ変換
フーリエ変換
時間領域 周波数領域
掛け算畳み込み積分
Tsss