Asesorıa de Algebra:Cocientes Notables Prof. Carlos Torres

Solucionario

Pregunta 16

Hallar el termino central del C.N.:

x3n+9 + y6n+11

xn−1 + y2n−3

a) x9y15 b) −x15y9 c) x15y9

d) −x8y17 e) −x9y15

Resolucion:

Como genera C.N., se cumple:

α =3n+ 9

n− 1=

6n+ 11

2n− 3

Donde α : numero de terminos

⇒ (2n− 3)(3n+ 9) = (6n+ 1)(n− 1)

6n2 + 18n− 9n− 27 = 6n2 − 6n+ 11n− 11 ⇒ n = 4

Entonces α = 7.

Luego, por formula para hallar el termino central:

t(central) = t(α+1

2 ) = t4 = (x3)7−4(y5)4−1

= (−1)4+1x9y15

= −x9y15

∴ t(central) = −x9y15

Pregunta 17

Si la siguiente division:

xm2+81 − y2m

x27 − y3

genera un cociente notable. Hallar el numero de terminos

de dicho cociente notable.

a) 6 b) 15 c) 12

d) 13 e) 27

Resolucion:

Como genera C.N., se cumple:

α =m2 + 81

27=

2m

3∈ Z

+

Donde α : numero de terminos

⇒ m2 − 18m+ 81 = (m− 9)2 = 0 ⇒ m = 9

Entonces α = 6.

∴ Numero de terminos = 6

Pregunta 18

Determine el grado del termino central del C.N.:

x6α−3 − y8α+3

xα−1 − yα+1

a) 24 b) 21 c) 22

d) 23 e) 25

Resolucion

Como genera C.N., se cumple:

n =6α− 3

α− 1=

8α+ 3

α+ 1∈ Z

+

Donde n: numero de terminos.

Luego,

6α2 + 3α− 3 = 8α2 − 5α− 3

2α2 − 8α = 0 ⇒ α(α− 4) = 0

De esta ultima ecuacion, se desprende que α = 0 ∨ α = 4.

Considerando α = 4, entonces:

n = 7

Ahora, por la formula para hallar el termino central:

t(central) = t(n+1

2 ) = t4 = (x3)3(y5)3

= x9y15

∴ grado(

t(central))

= 24

Pregunta 19

Dado el cociente notable:

x120 − y40

x3 − y

Ademas: Tp = x90ym. Hallar: mp

a) 72 b) 110 c) 132

d) 56 e) 90

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Resolucion:

Se observa que el numero de terminos que genera el C.N.

es 40. Ahora, como el dato es:

Tp = x90ym

hallamos el termino de posicion p:

Tp = (x3)40−pyp−1 = x90ym

De esta ultima igualdad se desprende que:

40− p = 30 ∧ p− 1 = m ⇒ p = 10 ∧m = 9

∴ mp = 90

Pregunta 20

Indicar el lugar que ocupa el termino independiente del

desarrollo del C.N.:

x27 − x−45

x3 − x−5

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

Resolucion

Se observa que el numero de terminos es 9. Luego, por

formula:

tk = (x3)9−k(x−5)k−1

= x27−3kx5−5k

= x32−8k

Como nos piden el termino independiente, entonces:

32− 8k = 0 ⇒ k = 4

∴ El lugar que ocupa el termino independiente es 4

Pregunta 21

En el cociente notable generado por la division:

x16n+19 − y5(7n+3)

xn+1 − y2n+1

el grado absoluto del termino de lugar undecimo es:

a) 68 b) 66 c) 64

d) 62 e) 60

Resolucion

Como genera C.N. se cumple

α =16n+ 19

n+ 1=

35n+ 15

2n+ 1∈ Z

+ (∗)

Donde α :numero de terminos.

⇒ 32n2+54n+19 = 35n2+50n+15 ⇒ 3n2−4n−4 = 0

Factorizando por aspa simple:

(3n+ 2)(n− 2) = 0 ⇒ n = −2/3 ∨ n = 2

Evaluamos estos valores en (∗) y se observa que el unico

valor valido es n = 2. Ademas, se desprende que α = 17.

Ahora, para hallar el undecimo termino aplicamos formula:

t11 = (x3)6(y5)10 = x18.y50

∴ El grado absoluto de t11 es 68.

Pregunta 22

Halle el cociente de la division:

x95 + x90 + x85 + x80 + . . .+ x5 + 1

x80 + x60 + x40 + x20 + 1

a) x15 − x10 + x5 − 1

b) x15 + 1

c) x15 + x10 + x5 + 1

d) x15 − x5 + 1

e) x15 − 1

Resolucion:

Llevando a cocientes notables:

x95 + x90 + x85 + x80 + . . .+ x5 + 1

x80 + x60 + x40 + x20 + 1=

x100−1

x5−1

x100−1

x20−1

De esta ultima igualdad se desprende que:

x100−1

x5−1

x100−1

x20−1

=x20 − 1

x5 − 1

=(x10 + 1)(x5 + 1)(x5 − 1)

x5 − 1

= (x10 + 1)(x5 + 1)

Finalmente:

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(x10 + 1)(x5 + 1) = x15 + x10 + x5 + 1

Pregunta 23

Si el tercer termino del C.N. generado por la division

12

[

(x+2)n−xn

x+1

]

toma el valor numerico de 1024 cuando x = 2;

calcule el valor de√n+ 2.

a)7 b) 5 c) 4

d) 3 e)√5

Resolucion:

Transformando la division:

1

2

[

(x+ 2)n − xn

x+ 1

]

=(x+ 2)n − xn

2x+ 2=

(x+ 2)n − xn

(x+ 2) + x

Por el dato t3 toma el valor numerico 1024 cuando x = 2,

entonces aplicando formula y evaluando para x = 2:

t3 = (−1)4(x+ 2)n−3(x)2

= 4n−322 = 1024 = 210 ⇒ 22n−4 = 210

Entonces, de la ultima igualdad n = 7

∴

√n+ 2 =

√9 = 3

Pregunta 24

Halle el numero de terminos racionales de desarrollo de

C.N. generado por la division:

√325

− 3√225

√3− 3

√2

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 4

Resolucion:

Aplicamos formula para el termino general k del de-

sarrollo del C.N.Es Importante que se tome en cuenta que

k ∈ Z+ ademas 1 ≤ k ≤ 25

tk = (√3)25−k(

3√2)k−1

= 325−k

2 2k−1

3

De la ultima igualdad, tenemos que 25−k = 2 y k−1 = 3 ya

que nos piden el numero de terminos racionales, esto impli-

ca que en dichos terminos no debe estar presente el sımbolo

radical. Luego,

25− k = 2 ⇒ k = 1, 3, 5, 7, ..,23, 25

k − 1 = 3 ⇒ k = 1, 4, 7, 10, ..., 22, 25

Entonces, se observa que los valores comunes a k son

1, 7, 13, 19, 25.

∴ El numero de terminos racionales que genera el

desarrollo de C.N. es 5.

Pregunta 25

Simplifique la expresion:

x+ x3 + x5 + . . .+ x2n−1

1x+ 1

x3 + 1x5 + . . .+ 1

x2n−1

a) x2n−1 b) x4n−2 c) x2n

d) x4n+2 e) x4n

Resolucion:

De la expresion:

x+ x3 + x5 + . . .+ x2n−1

1x+ 1

x3 + 1x5 + . . .+ 1

x2n−1

(∗)

multiplicamos al denominador por x2n

x2n , ası:

(

1

x+

1

x3+

1

x5+ . . .+

1

x2n−1

)

×x2n

x2n

Ahora, distribuyendo convenientemente:

(

x2n−1 + x2n−3 + x2n−5 + . . .+ x3 + x)

×1

x2n

Luego, reemplazando esta ultima expresion en (∗):

x+ x3 + x5 + . . .+ x2n−1

(x2n−1 + x2n−3 + x2n−5 + . . .+ x3 + x)× 1x2n

=11

x2n

= x2n

∴ La expresion simplificada es x2n

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