CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA

MUNICIPIO DE MEDELLÍN

CÁLCULO Y ANÁLISIS MATEMÁTICO

LOGROS:

Reconoce el concepto de función dentro de las Matemáticas y su utilidad para resolver problemas de

aplicación y de la vida diaria.

INDICADOR DE LOGRO:

Identifica relaciones que son funciones.

Halla operaciones con funciones y calcula el dominio de cada una.

Analiza, dibuja e interpreta gráficas de funciones reales y resuelve problemas de aplicación sobre

relaciones funcionales.

HISTORIA

Figura 1: Leibniz

Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio, 1646 - 14 de noviembre, 1716) fue un filósofo, matemático,

jurista y político alemán, de origen sorbio, nacido en Leipzig en julio de 1646.

Educado en leyes y filosofía, Leibniz jugó un importante papel en la política y diplomacia europea de su

época. Ocupa un lugar igualmente grande en la historia de la Filosofía y en la de las Matemáticas.

Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se halla desde

entonces en uso general. También inventó el sistema binario, en que se basan casi todas las arquitecturas

de computación actuales.

En Filosofía es más recordado por el optimismo; por ejemplo, su conclusión de que nuestro universo es

el mejor mundo posible que Dios podría haber creado. Junto con René Descartes, y Baruch Spinoza es

uno de los tres grandes filósofos racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza con la tradición

escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica.

CLASES DE FUNCIONES

PERÍODO 2

ÁREA MATEMÁTICAS

FECHA: 26 de agosto de 2019

2

FUNCIONES REALES

F. POLINÓMICA

F. ALGEBRAÍCAS

F. RACIONAL

F. EXPONENCIAL

F. TRASCENDENTES F. LOGARÍTMICA F. Seno

F. Coseno

F. Tangente

F. TRIGONOMÉTRICAS F. Cotangente

F. Secante

F. Cosecante

F. VALOR ABSOLUTO

F. ESPECIALES F. MAYOR ENTERO CONTENIDO

F. POR TRAMOS O PARTE

CLASES DE FUNCIONES

FUNCIÓN CONSTANTE:

Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace

x = 0. La función constante se define como:

𝑓(𝑥) = 𝑘, donde k es una constante y 𝑘 𝑅 El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k.

La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = k.

Ejemplo:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3

F. Constante

F. Lineal

F. Lineal afín

F. Idéntica

F. Potencia

F. Cuadrática

F. Polinómica General

3

Solución:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = 𝐼𝑓 = {−3}

La gráfica de f es una recta paralela al eje 𝑥, y corta el eje 𝑦 en 𝑦 = −3

Tabla de valores

x (−∞,∞) y −3

FUNCIÓN LINEAL

Una función es estrictamente hablando una aplicación entre conjuntos numéricos o subconjuntos de

estos, también se puede decir que es una ley que relaciona una variable 𝑥 (llamada independiente) con

otra variable 𝑦 (llamada dependiente) de forma unívoca, es decir, que a cada elemento de la primera

variable, le corresponde un valor y solo uno de la variable dependiente.

La variable independiente 𝑥 corresponde al dominio de la función y la variable dependiente 𝑦 es el

codominio de ella. También se dice conjunto de partida (A) y conjunto de llegada (B).

Las funciones pueden expresarse de diferentes maneras, mediante una gráfica, una tabla de valores, una

frase que exprese la relación entre ambas variables, una expresión matemática de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), donde 𝑦 se llama imagen de 𝑥 y por consiguiente 𝑥recibe el nombre de preimagen de 𝑦.

4

Las gráficas de las funciones lineales son rectas que pasan por el origen de coordenadas, su ecuación es

𝑦 = 𝑚𝑥.

Ejemplo:

Un tanque de reserva tiene un grifo que vierte 4 litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros se almacenarán

al cabo de 0 s, 0.2 s, 1 s, 1.5 s, 3.3 s, 4 s y 6 s? ¿Cuál es la fórmula que expresa el volumen en función

del tiempo?

a. Si el volumen inicial del tanque de reserva fuera 0 litros:

Tiempo (min) 0 0.2 1 1.5 3.3 4 6 t

Volumen (l) 0 0.8 4 6 13.2 16 24 4.t

La fórmula que expresa la relación entre el Volumen y el Tiempo es: V = 4.t.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [0, 6] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = 𝐼𝑓 = [0, 24]

Ejemplo:

5

Graficar la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥, hallar su dominio y rango.

Tabla de valores

x 0 1

y 0 -3

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = (−∞,∞)

FUNCIÓN LINEAL AFÍN

Las gráficas de ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 son rectas paralelas a la de 𝑦 = 𝑚𝑥, que atraviesan al eje de

ordenadas(𝑦) a una altura 𝑏. Estas funciones se denominan funciones afines. En consecuencia sólo se

precisan un par de valores para obtener su respectiva gráfica, siempre y cuando el dominio de la función

𝐷𝑓 y su codominio 𝐶𝑓 o imagen es 𝐼𝑓 sean los números Reales.

Una función afín es la que tiene por ecuación 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃. Al coeficiente 𝒎 se le llama

pendiente y a 𝒃 ordenada en el origen o intercepto con el eje y. Su gráfica es una línea recta.

Ejemplo:

De una función afín 𝑓:𝑅 → 𝑅, cuya fórmula 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 desconocida, sólo sabemos las imágenes de

los valores 0, 1, 5, 7 y 10:

6

Incremento de x:

x 0 1 5 7 10

y 2 3.5 9.5 12.5 17

Incremento de y:

El incremento de una función se representa con la letra griega en mayúscula ∆, o en minúscula 𝛿, nombre

“delta”, equivalente en romano a 𝑑 y que para el caso de las Matemáticas significan incremento o

variación de una variable. Si se asocia a cada incremento un segmento de igual longitud, se puede

observar un triángulo rectángulo que permite en cada caso definir una razón entre sus lados. ¡Observa!

∆𝑥= incremento de x o distancia dirigida horizontal

∆𝑦= incremento de y o distancia dirigida vertical

Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y:

𝑥 4 2 3

𝑦 6 3 4,5

Observamos que se corresponde con una relación de proporcionalidad directa de razón, que en este caso

es:

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥= 1.5 =

3

2 ¡compruébalo!

+1 +4 +2 +3

+1.5 +6 +3 +4.5

7

A esta razón se le denomina pendiente y se representa generalmente con la letra 𝑚. Se puede demostrar

que la fórmula que expresa la función tiene por pendiente 1.5, es decir, 𝑦 = 1.5𝑥 + 2 ¿Por qué?

Como 𝑓(1) = 3,5; entonces será 3,5 = 1,5 (1) + 𝑏, de donde 𝑏 = 2 y la fórmula buscada sería:

𝑦 = 1,5 𝑥 + 2 o también: 𝑦 =3

2𝑥 + 2

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4

Solución:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓

La pendiente de la gráfica es -2 y corta el eje y en 𝑦 = 4

Tabla de valores

x 0 2

y 4 0

FUNCIÓN IDENTIDAD:

x -2 3 5

y -2 3 5

8

La función identidad es una función lineal con a = 1 y b = 0. La función lineal se define por: 𝑓(𝑥) = 𝑥.

El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función

identidad biseca los cuadrantes I y III.

FUNCIÓN POTENCIA:

Una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎, donde a es una constante, se llama función de potencia.

Consideramos varios casos.

1. a = n, donde n es un entero positivo.

Las gráficas de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 para n = 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en las siguiente figuras:

La forma general de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces 𝑓(𝑥) =𝑥𝑛 es una función par y su gráfica es semejante a la parábola 𝑦 = 𝑥2; si n es impar, entonces 𝑓(𝑥) =𝑥𝑛es una función impar y su gráfica es semejante a la de 𝑦 = 𝑥3.

Sin embargo, a medida que n aumenta, la gráfica de 𝑦 = 𝑥𝑛 se hace más plana cerca de 0 y más empinada

cuando |𝑥| ≥ 1.

9

2. 𝑎 =1

𝑛, donde n es un entero positivo.

La función 𝑓(𝑥) = 𝑥1

𝑛 = √𝑥𝑛 es una función raíz. Para n = 2 es la función raíz cuadrada, cuyo dominio

es [0, ∞) y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola 𝑥 = 𝑦2.

Para otros valores pares de n, la gráfica de 𝑦 = √𝑥𝑛

es semejante a la de 𝑦 = √𝑥 . Para n = 3 tenemos la

función raíz cúbica 𝑓(𝑥) = √𝑥3

cuyo dominio es R. La gráfica de 𝑦 = √𝑥𝑛

para n impar (n > 3) es

semejante a la de 𝑦 = √𝑥3

.

10

3. 𝑎 = −1

La gráfica de la función recíproca 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 =𝟏

𝒙 se muestra en la siguiente figura. Su gráfica tiene

la ecuación 𝑦 =1

𝑥, o 𝑥𝑦 = 1, y es una hipérbola con los ejes de coordenadas como sus asíntotas.

Tabla de valores

𝑥 -4 -3 -2 -1 -0.5 -0.4 -0.2 -0.1 0 0.1

𝑦 -0.25 −0. 3̂ -0.5 -1 -2 -2.5 -5 -10 N.E. 10

11

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0,∞) = 𝑅 − {0}

𝐼𝑓 = (−∞,0) ∪ (0,∞)

FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Una función cuadrática es una función f de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde a, b y c son números

reales y 𝑎 ≠ 0.

En particular, si se toma 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑐 = 0, se obtiene una función cuadrática simple que sería 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y de 𝑉(0, 0).

FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se puede expresar en la forma estándar:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘

completando el cuadrado. La grafica de f es una parábola con vértice (h, k); la parábola se abre hacia

arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Sea f una función cuadrática con forma estándar. 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. El valor máximo o mínimo de

𝑓 ocurre en x=h.

Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es 𝑓(ℎ) = 𝑘

Si a < 0, entonces el valor máximo de f es 𝑓(ℎ) = 𝑘

12

Si se está interesado solo en hallar el valor máximo o mínimo, entonces hay una fórmula para hacerlo.

Esta fórmula se obtiene completando el cuadrado para la función cuadrática general como sigue:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥) + 𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2−𝑏2

4𝑎2) + 𝑐

= 𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2) + 𝑐 −

𝑎𝑏2

4𝑎2

= 𝑎 (𝑥 +𝑏

2𝑎)2

+ 𝑐 −𝑏2

4𝑎

Esta ecuación está en la forma estándar 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 con:

h = −b

2a y k = 𝑐 −

𝑏2

4𝑎=

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎

Ejemplo:

Hallar el valor máximo o mínimo de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5. Puesto que a < 0, la

función tiene el valor máximo en:

h = −b

2a= −

4

2(−2)= 1

k = −5 −42

4(−2)= −5 +

16

8= −5 + 2 = −3

El valor de k también se puede obtener con la imagen de h, es decir f(h) = k

f(1) = −2(1)2 + 4(1) − 5 = −3

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1

13

Tabla de valores

𝑥 -0.41 0 1 2.41

𝑦 0 -1 -2 0

Interceptos:

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑓(0) = 02 − 2(0) − 1 = −1 (0,−1)

𝑆𝑖 𝑦 = 0 → 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−1)

2(1)=2 ± √8

2=2 ± 2√2

2= 1 ± √2

𝑥1 = 1+ √2 ≈ 2.41

𝑥2 = 1 − √2 ≈ −0.41 (−0.41, 0) y (2.41, 0)

FUNCIÓN POLINÓMICA:

Una función se denomina polinómica si está definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +

⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, donde los coeficentes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 son números reales y 𝑛 ∈ 𝑍+ ∪ {0}.

𝑓 se llama función polinomial de grado 𝑛, si el coeficiente principal 𝑎𝑛 ≠ 0.

El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 5

14

Solución:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) La gráfica corta al eje 𝑦 en 5

La gráfica corta al eje 𝑥, en dos puntos.

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = [𝑎,∞)

Encontrar el valor de 𝑎, requiere conocimientos de cálculo diferencial, dado que se debe calcular puntos

máximos y mínimos por medio del concepto de Derivada.

Tabla de valores

𝑥 -3 -2 -2.5 -1 0 0.5 1 2

𝑦 55 -14 -2.81 -6 5 3.18 2 45

FUNCIÓN RACIONAL:

Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales.

Esto es, una función racional es de la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥), donde P y Q son polinomios. El dominio de la función racional consiste de todos los

números reales, a excepción de aquellos para los cuales Q(x) = 0.

Ejemplo:

f(x)= 3

3

x

x, como el índice de la raíz es impar, en el numerador se puede dar cualquier valor real a x.

Debido a que la división por cero no está definida en los reales, se debe excluir este valor del dominio de

la función. Así:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {0} 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = (0,∞)

15

Ejemplo:

6

1243)(

2

23

xx

xxxxf

Para hallar el dominio debemos resolver la siguiente ecuación:

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −2

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {−2, 3} = (−∞,−2) ∪ (−2, 3) ∪ (3,∞)

Ahora:

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12

𝑥2 − 𝑥 − 6=(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)= 𝑥 − 2, 𝑥 ≠ {−2, 3}

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = 𝑅 − {−4, 1}

X -2 0 3 4

Y N.E. -2 N.E. 2

16

Ejemplo:

Hallar los interceptos, simetrías, dominio, rango y construir la gráfica de 𝑓(𝑥) =2𝑥2

𝑥2−1

Interceptos: (0, 0)

Simetrías: con el eje y

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {−1, 1} 𝐼𝑓 = (−∞.0] ∪ (2,∞)

RECORDEMOS QUE:

LAS ASÍNTOTAS son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo

menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una

de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada

tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 {𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠𝑂𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎𝑠

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea 𝑎 un número real positivo. La función que a cada número real 𝑥 le hace corresponder la potencia 𝑎𝑥

se llama función exponencial de base a y exponente x.

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Como 𝑎𝑥 > 0 para todo 𝑥𝑅, la función exponencial es una función de R en 𝑅+.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base

𝑎 > 1 (fig. 1) y de base 𝑎 < 1 (fig. 2).

Figura 1:

Figura 2:

18

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝐼𝑓 = (0,∞)

Note que cuando la base a >1, la función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 (fig.1) no está acotada superiormente. Es

decir, 𝑎𝑥 crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo

inferior. Esto es, 𝑎𝑥 tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 (fig.2) no está acotada superiormente,

pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, 𝑎𝑥 crece sin

límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y 𝑎𝑥 tiende a cero, cuando la variable x toma valores

grandes positivos.

Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras

y, frecuentemente, se denota por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥.

EL NÚMERO DE EULER (𝑒)

Cualquier número positivo se puede usar como base para una función exponencial, pero algunas bases

se usan con más frecuencia que otras.

El numero e se define como el valor al que se aproxima (1 +1

𝑛)𝑛

cuando n se vuelve grande. (En calculo

esta idea se hace más precisa por el concepto de limite).

En la tabla de valores siguiente se muestran los valores de la expresión (1 +1

𝑛)𝑛

para valores de n cada

vez más grandes.

𝑛 (1 +

1

𝑛)𝑛

1 2.00000

5 2.48832

10 2.59374

100 2.70481

1000 2.71692

10 000 2.71815

100 000 2.71827

1 000 000 2.71828

Valor aproximado a 20 lugares decimales sería: 𝑒 ≈ 2.71828182845904523536

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Sea a un real positivo fijo, 𝑎 ≠ 1 y sea x cualquier real positivo, entonces:

𝑦 = log𝑎 𝑥 ↔ 𝑎𝑦 = 𝑥

Así, log𝑎 𝑥 es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.

19

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base 𝑎 ≠ 1 , denotada

por 𝑦 = log𝑎 𝑥 , se llama: función logarítmica de base a, y, el número log𝑎 𝑥 se llama logaritmo de x en

la base a.

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en una base

dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Ejemplo:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0,∞) 𝐼𝑓 = (−∞,∞). Asíntota: 𝑥 = 0

Sí 𝑎 > 1, siempre creciente y continua.

Sí 0 < 𝑎 < 1, siempre decreciente y continua.

y=𝑙𝑜𝑔1 2 𝑥

20

Sí 0 < 𝑎 < 1, siempre es decreciente y continua.

𝑦 = 2𝑥 𝑒 𝑦 = log2 𝑥

Observe que: las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x. Es decir, respecto a la función

idéntica.

Logaritmo Común o Decimal:

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy

habituales es frecuente no escribir la base.

log10 𝑥 = log𝑥

Logaritmo Natural:

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número

e.

log𝑒 𝑥 = ln 𝑥

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Propiedad Razón

1. log𝑎 1 = 0 Se debe elevar 𝑎 a la potencia 0 para obtener 1.

2. log𝑎 𝑎 = 1 Se debe elevar 𝑎 a la potencia 1 para obtener a.

3. log𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥 Se debe elevar 𝑎 a la potencia x para obtener 𝑎𝑥.

4. 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 log𝑎 𝑥 es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.

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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS NATURALES

Propiedad Razón

1. ln 1 = 0 Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.

2. 𝑙𝑛 𝑒 = 1 Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.

3. 𝑙𝑛 𝑒𝑥 = 𝑥 Se tiene que elevar 𝑒 a la potencia x para obtener 𝑒𝑥.

4. 𝑒𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 es la potencia a la cual e debe ser elevar para obtener x.

LEYES DE LOS LOGARITMOS

Sea a un número positivo, con 𝑎 ≠ 1. Sea 𝑥 y 𝑦 números reales cualesquiera con 𝑥 > 0 y 𝑦 > 0.

log𝑎(𝑥 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 El logaritmo de un producto de números es igual a la suma de los

logaritmos de los números.

log𝑎 (𝑥

𝑦) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 El logaritmo de un cociente de números es igual a la diferencia de

los logaritmos de los números.

log𝑎(𝑥𝑟) = 𝑟 log𝑎 𝑥 El logaritmo de una potencia de un número es el exponente

multiplicado por el logaritmo del número. (Donde r es cualquier

número real).

Ejemplo:

Encuentre el dominio de la siguiente función y bosqueje su gráfica.

ℎ(𝑥) = log10(𝑥 − 3)

La grafica de h se obtiene de la gráfica de log10 𝑥 desplazándola a la derecha tres unidades, dado que es

una transformación.

Recordemos que: 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐), la gráfica se desplaza una distancia de 𝑐 unidades hacia la derecha, con

respecto a 𝑦 = 𝑓(𝑥).

La recta x = 3 es una asíntota vertical. Puesto que log10 𝑥 se define solo cuando x > 0, el dominio de ℎ(𝑥) es:

𝑥 − 3 > 0

𝑥 > 3

𝐷𝑜𝑚 𝑅 = (3,∞) 𝐼𝑓 = (−∞,∞) = 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

𝑥 3 4 5 6 7 8 9 13

𝑦 = log10(𝑥 − 3) N.E. 0 0.30 0.47 0.60 0.69 0.77 1

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y= Sen x y= Cos x y= Tan x y= Cot x y= Sec x y= Csc x

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝐼𝑓 = [−1, 1]

El rango también se puede expresar:

−1 ≤ 𝑦 ≤ 1

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−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤ 1, o bien, en términos de valor absoluto: |𝑠𝑒𝑛 (𝑥)| ≤ 1

Del mismo modo, los ceros de la función seno se presentan en múltiplos enteros de 𝜋; esto es, sen x = 0

cuando 𝑥 = 𝑛𝜋, n es un entero.

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienen

periodo 2𝜋. Esto significa que, para todos los valores de x:

𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = 𝑦 = tan(𝑥)

La función tangente está relacionada a las funciones seno y coseno por la ecuación:

tan(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

cos(𝑥)

No está definida siempre que cos(𝑥) ≠ 0, es decir, cuando 𝑥 ≠ ±𝜋

2, ±

3𝜋

2, …. Su rango es (−∞,∞).

Observe que la función tangente tiene periodo 𝜋:

tan(𝑥 + 𝜋) = tan(𝑥), para toda 𝑥.

24

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto se define por:

𝑓(𝑥) = |𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 00, 𝑠𝑖 𝑥 = 0−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

La función valor absoluto está definida por partes.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = [0,∞)

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FUNCIÓN MAYOR ENTERO CONTENIDO

Para denotar el mayor entero contenido en un número real 𝑥, se usa el símbolo ⟦𝑥⟧. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ está definida por la regla: ⟦𝑥⟧ = 𝑛, donde 𝑛 es un entero que satisface 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1.

La expresión anterior, traducida a lenguaje coloquial, significa lo siguiente: el valor funcional 𝑓(𝑥) es

el entero mayor 𝑧 que es menor o igual a 𝑥, si 𝑥 ∈ 𝑅.

Ejemplo:

𝑓(−1.5) = ⟦−1.5⟧ = −2

𝑓(0.4) = ⟦0.4⟧ = 0

𝑓(𝜋) = ⟦𝜋⟧ = 3

𝑓(5) = ⟦5⟧ = 5

𝑓(−√2) = ⟦−√2⟧ = −2

El dominio de f es el conjunto de números reales y consta de la unión de una infinidad de intervalos

ajenos; en otras palabras, 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ es una función definida por partes. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 y el rango de f es

el conjunto de enteros: 𝐼𝑓 = 𝑍.

Para hacer la gráfica, es necesario calcular algunos valores para 𝑛 ∈ 𝑍:

Si −3 ≤ 𝑥 < −2, entonces 𝑦 = ⟦𝑥⟧ = −3

Si −2 ≤ 𝑥 < −1, entonces ⟦𝑥⟧ = −2

Si −1 ≤ 𝑥 < 0, entonces ⟦𝑥⟧ = −1

Si 0 ≤ 𝑥 < 1, entonces ⟦𝑥⟧ = 0

Si 1 ≤ 𝑥 < 2, entonces ⟦𝑥⟧ = 1

Si 2 ≤ 𝑥 < 3, entonces ⟦𝑥⟧ = 2 y así sucesivamente.

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𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,∞) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = 𝐼𝑓 = 𝑍

Geométricamente, el máximo entero ⟦𝑥⟧ es el número entero ubicado a la izquierda más próximo de 𝑥,

o que coincide con este, en caso de ser 𝑥 un número entero.

PROPIEDADES

Sea 𝑥 𝜖 𝑅 𝑦 𝑛 𝜖 𝑍, entonces:

1. ⟦𝑥⟧ ∈ 𝑍

2. ⟦𝑥⟧ = 𝑛 ↔ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1

3. ⟦𝑥⟧ ≤ 𝑥 < ⟦𝑥⟧ + 1, ∀ 𝑥 ∈ 𝑅

4. 0 ≤ 𝑥 − ⟦𝑥⟧ < 1, ∀ 𝑥 ∈ 𝑅

5. ⟦𝑥⟧ = 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑍

6. ⟦⟦𝑥⟧⟧ = ⟦𝑥⟧

7. ⟦𝑥 + 𝑛⟧ = ⟦𝑥⟧ + 𝑛, ∀ 𝑛 ∈ 𝑍

Ejemplo:

Resolver la ecuación ⟦𝑥 − 5⟧ = 4 ⟦𝑥 − 5⟧ = 4 ↔ ⟦𝑥 + (−5)⟧ = 4

↔ ⟦𝑥⟧ + (−5) = 4

↔ ⟦𝑥⟧ = 4 + 5

↔ ⟦𝑥⟧ = 9

↔ 9 ≤ 𝑥 < 9 + 1

↔ 9 ≤ 𝑥 < 10

𝑆 = [9,10)

Ejemplo:

Hallar el dominio de la función 𝑓(𝑥) =𝑥−2

⟦𝑥⟧+2

Se sabe que 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅 ↔ ⟦𝑥⟧ + 2 ≠ 0

Pero ⟦𝑥⟧ + 2 = 0 ↔ ⟦𝑥⟧ = −2 ↔ −2 ≤ 𝑥 < −2 + 1, aplicando la definición de máximo entero. O

sea que 𝑥 ∈ [−2,−1) Entonces ⟦𝑥⟧ + 2 ≠ 0 ↔ 𝑥 ∉ [−2,−1). Por lo tanto:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,−2) ∪ [−1,∞)

Ejemplo:

Construir la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = ⟦𝑥 + 3⟧

Si ⟦𝑥 + 3⟧ = 𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ 𝑍 ⟺ 𝑛 ≤ 𝑥 + 3 < 𝑛 + 1. Por definición de mayor entero contenido.

⟺ 𝑛 − 3 ≤ 𝑥 + 3 − 3 < 𝑛 + 1 − 3

⟺ 𝑛 − 3 ≤ 𝑥 < 𝑛 − 2

27

Entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥: 𝑥 ∈ [𝑛 − 3, 𝑛 − 2), 𝑛 ∈ 𝑍} = 𝑅

Como 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑛, entonces el 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = 𝑍

Luego eligiendo algunos valores para 𝑛 ∈ 𝑍, se tiene:

𝑓(𝑥) = ⟦𝑥 + 3⟧ =

{

.

.−2, 𝑠𝑖 − 5 ≤ 𝑥 < −4−1, 𝑠𝑖 − 4 ≤ 𝑥 < −30, 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 < −21, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < −12, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 03, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

.

.

.

NOTA: dada una función 𝑔, cuya gráfica es conocida (se traza de forma discontinua), la gráfica de la

función 𝑓(𝑥) = ⟦𝑔(𝑥)⟧ estará constituida por segmentos horizontales, uno de cuyos extremos estará

sobre la gráfica de 𝑔.

FUNCIÓN SEGMENTADA O POR TRAMOS

Ejemplo:

f(x)= {𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −4

√16 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 4 < 𝑥 < 4 6 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

28

Solución:

La variable independiente 𝑥 puede tomar cualquier valor real, dado que:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−∞,−4] ∪ (−4, 4) ∪ [4,∞) = (−∞,∞) = 𝑅

De acuerdo con la gráfica de la función, los valores que puede tomar la viariable dependiente 𝑦, sería:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = 𝐼𝑓 = (−∞, 4]

El punto sólido indica que el punto por ejemplo (-4, 2) está incluido en la gráfica; el punto abierto indica

que el punto (-4, 0) está excluido de la gráfica.

TABLA DE VALORES

𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 6

-4 2

-5 1

-6 0

-7 -1

𝑥 𝑔(𝑥) = √16 − 𝑥2 -4 0 (No está contenido)

-3 √7 ≈ 2.64

-2 2√3 ≈ 3.46

-1 √15 ≈ 3.87

0 4

1 √15 ≈ 3.87

2 2√3 ≈ 3.46

3 √7 ≈ 2,64

4 0 (No está contenido)

𝑥 ℎ(𝑥) = 6 − 𝑥 4 2

5 1

6 0

7 -1

8 -2

29

SIMETRÍA

FUNCIÓN PAR

Si una función f satisface 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo número x en su dominio, entonces f se llama función

par. Por ejemplo, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es par porque:

𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥)

La importancia geométrica de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Esto

significa que si hemos trazado la gráfica de f para 𝑥 ≥ 0, obtenemos toda la gráfica con sólo reflejar esta

parte respecto al eje y.

30

Ejemplo:

𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥2

Como el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅, por ser 𝑓 una función polinómica, entonces:

Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 ⟹ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅. 𝑓(−𝑥) = 3(−𝑥)4 − 2(−𝑥)2 = 3𝑥4 − 2𝑥2 ⟹ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) Por lo tanto, 𝑓 es una función par.

Ejemplo:

𝑔(𝑥) = |𝑥3 + 2𝑥|, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−3, 3)

Si 𝑥 ∈ (−3, 3) ⟹ −3 < 𝑥 < 3 ⟺ 3 > −𝑥 > −3⟹ −𝑥 ∈ (−3, 3) Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = (−3, 3) ⟹ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = (−3, 3) 𝑔(−𝑥) = |(−𝑥)3 + 2(−𝑥)| = |−𝑥3 − 2𝑥| = |−(𝑥3 + 2𝑥)| = |𝑥3 + 2𝑥|⟹ 𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔

Por lo tanto, 𝑔 es una función par.

Ejemplo:

ℎ(𝑥) = ⟦|𝑥| +3

2⟧ , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−2, 2]

Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−2, 2] ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⟹ 2 ≥ −𝑥 ≥ −2 ⟹ −2 ≤ −𝑥 ≤ 2⟹ −𝑥 ∈ [−2, 2] Luego:

Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 ℎ = [−2, 2] ⟹ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 ℎ = [−2, 2]

ℎ(−𝑥) = ⟦|−𝑥| +3

2⟧ = ⟦|𝑥| +

3

2⟧ = ℎ(𝑥)

Por lo tanto, ℎ es una función par.

¿Cuál sería su gráfica?

Como La función es par es simétrica con respecto al eje y, por lo tanto, su punto medio con respecto al

dominio está en cero. Para dibujar la gráfica se tiene que:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−2, 0) ∪ [0, 2] Entonces se tienen dos partes para dibujar:

𝑓1(𝑥) = ⟦|𝑥| +3

2⟧ , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0, 2] y 𝑓2(𝑥) = ⟦|𝑥| +

3

2⟧ , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−2, 0)

Si 𝑥 ∈ [0, 2], |𝑥| = 𝑥 ⟹ 𝑓1(𝑥) = ⟦𝑥 +3

2⟧ = 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍

Si 𝑥 ∈ [0, 2] ⟺ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⟹ 0+3

2≤ 𝑥 +

3

2≤ 2 +

3

2

⟹3

2≤ 𝑥 +

3

2≤

7

2

⟹ 1.5 ≤ 𝑥 + 1.5 ≤ 3.5

Ahora, se dan valores a 𝑛 hasta cubrir el intervalo [3

2,7

2] = [1.5, 3.5], se sigue que:

31

⟦𝑥 +3

2⟧ = {

1, 𝑠𝑖 1.5 ≤ 𝑥 + 1.5 < 22, 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 + 1.5 < 33, 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 + 1.5 < 3.5

⟹ 𝑓1(𝑥) = {1, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 0.52, 𝑠𝑖 0.5 ≤ 𝑥 < 1.5

3, 𝑠𝑖 1.5 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓

Entonces la segunda parte de la gráfica se obtiene por reflexión, sobre el eje Y.

FUNCIÓN IMPAR

Si f satisface 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo número x en su dominio, entonces f se llama función impar. Por

ejemplo, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 es impar porque: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 = −𝑓(𝑥)

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Si ya tenemos la gráfica de f para 𝑥 ≥ 0,

podemos obtener toda la gráfica al girar 180° esta parte alrededor del origen.

32

Ejemplo:

Determinar si la función dada es impar.

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥

Sí 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 ⟹ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅

𝑓(−𝑥) = 2(−𝑥)3 − 3(−𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥 = −(2𝑥3 − 3𝑥) ⟹ 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) Por lo tanto, 𝑓 es una función impar.

Ejemplo:

Determinar si la función dada es impar.

𝑔(𝑥) = √𝑥(2 + |𝑥|)3

, si 𝑥 ∈ [−2, 2] Sí 𝑥 ∈ [−2, 2] ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⟹ 2 ≥ −𝑥 ≥ −2 ⇒ −𝑥 ∈ [−2, 2]

𝑔(−𝑥) = √−𝑥(2 + |−𝑥|)3

= √−𝑥(2 + |𝑥|)3

= −√𝑥(2 + |𝑥|)3

⟹ 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥) Por lo tanto, 𝑔 es una función impar.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una función 𝑓 se llama creciente en un intervalo 𝐼 si 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2 en el I.

Se llama decreciente en un intervalo I si 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2 en el I.

Ejemplo:

Según los datos de la siguiente gráfica de la temperatura registrada a lo largo de un día:

a) Estimar la temperatura máxima y mínima de ese día y las horas a las que se produjeron tales

temperaturas.

b) ¿En cuáles períodos del día la temperatura crece? ¿Y en cuáles decrece?

c) ¿A qué hora la temperatura fue de 0°C?

33

Solución:

a) La temperatura máxima se produce a las 2 de la tarde y es aproximadamente de 15°C. La

temperatura mínima se produce a las 4 de la mañana y es de -4°C.

b) La temperatura aumenta entre las 4 a.m. y las 8 a.m. y entre las 10 a.m. y las 2 p.m. Disminuye

entre las 0 horas y las 4 a.m., entre las 8 a.m. y 10 a.m. y entre las 2 p.m. y las 24 horas o 12 p.m.

c) A las 2 a.m. y 5:15 a.m., aproximadamente.

COMBINACIÓN DE FUNCIONES

Dos funciones f y 𝑔 se pueden combinar para formar nuevas funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔 y 𝑓

𝑔 de un

modo semejante a como sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números reales. Las funciones

de suma y diferencia están definidas por:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), con 𝑔(𝑥) ≠ 0

Si el dominio de f es A y el dominio de 𝑔 es B, entonces el dominio de 𝑓 + 𝑔 es la intersección 𝐴 ∩ 𝐵

porque 𝑓(𝑥)𝑦 𝑔(𝑥) tienen que estar definidas.

FUNCIÓN COMPUESTA

Hay otra forma de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Por ejemplo, supongamos

que 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 y 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1.

34

Como y es una función de 𝑢 y u es, a su vez, una función de x, se deduce que y es en última instancia

una función de x. Calculamos esto por sustitución:

𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥2 + 1) = √𝑥2 + 1

El resultado es una nueva función ℎ(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] obtenida al sustituir 𝑔 en f. Se denomina composición

(o compuesta) de 𝑓 𝑦 𝑔. Se denota por 𝑓 ∘ 𝑔 (“f círculo 𝑔”).

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)]

FUNCIÓN BIUNÍVOCA O INYECTIVA

Definición: una función f recibe el nombre de función biunívoca o correspondencia uno a uno, si nunca

toma el mismo valor dos veces; esto es,

𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2

Otra definición equivalente de una función inyectiva es que la igualdad de dos elementos del rango

implica la igualdad de dos elementos del dominio. Es decir: 𝑓:𝐴 → 𝐵 cumple esta condición si:

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴

Ejemplo:

La 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 es inyectiva, ya que

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 2𝑥1 − 1 = 2𝑥2 − 1

⟹ 2𝑥1 = 2𝑥2

⟹ 𝑥1 = 𝑥2

Igualdad de imágenes ⟹ Igualdad de preimágenes

Prueba de la recta horizontal:

Una función es biunívoca si y sólo si no hay una recta horizontal que cruce su gráfica más de una vez.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva cuando el rango y el codominio (conjunto de llegada) son iguales.

También si todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A; es decir:

𝑓:𝐴 → 𝐵 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ⟺ 𝑓(𝐴) = 𝐵

Ejemplo:

¿La función ℎ: 𝑁 ∪ {0} → 𝑁 definida por la propiedad: ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1 es sobreyectiva?

Puesto que el 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ℎ = 𝐼ℎ = 𝑁, se concluye que la función es sobreyectiva.

35

Ejemplo:

Sea 𝑔: 𝑅 → 𝑅 definida por la propiedad: 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1. ¿Es sobreyectiva?

Miramos si el rango de 𝑔 coincide con el conjunto de llegada que son los Reales. Para ello despejamos

la 𝑥.

𝑦 = 𝑥2 − 1⟺ 𝑥2 − 1 = 𝑦

⟺ 𝑥2 = 𝑦 + 1

⟺ 𝑥 = ±√𝑦 + 1

Si √𝑦 + 1 ∈ 𝑅 → 𝑦 + 1 ≥ 0

𝑦 ≥ −1

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑔 = 𝐼𝑔 = [−1,∞)

Como el rango no coincide con el conjunto de llegada, entonces no es sobreyectiva.

FUNCIÓN BIYECTIVA

Son inyectivas y sobreyectivas a la vez.

La condición para que una función 𝑓 tenga inversa, es que 𝑓 sea biyectiva.

FUNCIÓN INVERSA

Las funciones biunívocas o inyectivas son importantes porque son precisamente las que poseen funciones

inversas de acuerdo con la siguiente definición.

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa 𝑓−1 tiene dominio

B y rango A y está definida por:

𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑓(𝑥) = 𝑦

PROPIEDAD:

𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥, para cualquier 𝑥 en A

𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥, para cualquier 𝑥 en B

COMO DETERMINAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNO A UNO

a) Escriba 𝑦 = 𝑓(𝑥) b) Resuelva esta ecuación para 𝑥 en términos de 𝑦 (si es posible)

c) Intercambie 𝑥 ∧ 𝑦. La ecuación resultante es y= 𝑓−1(𝑥)

OBSERVACIÓN:

La gráfica de 𝑓−1 se obtiene reflejando la de f en la recta 𝑦 = 𝑥.

36

LAS FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

VARIACIÓN

Existen dos tipos de variación: variación directa y variación inversa.

Variación Directa: es una función que se define por una ecuación que está en la forma y = k x, donde k

es una constante no igual a cero. La variable y varía directamente de x. La constante k es llamada la

constante de variación o de proporcionalidad. La variación directa establece un único valor de y para

cada valor de x. En la variación directa las dos variables aumentan (o disminuyen) juntas. Cuando el

dominio es un conjunto de números reales, la gráfica de la variación directa es una línea recta con

pendiente k que pasa por el origen.

Variación Inversa: es una función que se define por una ecuación que está en la forma 𝑦 =𝑘

𝑥, donde x

no es igual a cero. La variable y varía a la inversa de x. En la variación inversa el aumento de una de las

variables significa la disminución de la otra variable. La gráfica de esta variación es una hipérbola.

ECUACIÓN SIGNIFICADO

𝑦 = 𝑘𝑥; con 𝑘 constante y varía directamente con x

y es directamente proporcional a x.

𝑦 = 𝑘𝑥𝑛; con k constante y varía directamente con la n-ésima potencia de x.

y es directamente proporcional a la potencia n-ésima de x.

𝑦 = 𝑘

𝑥; con k constante y varía inversamente con x.

y es inversamente proporcional a x.

𝑦 =𝑘

𝑥𝑛; con k constante y varía inversamente con la n-ésima potencia de x.

37

y es inversamente proporcional a la potencia n-ésima de x.

𝑦 = 𝑘 𝑥

𝑤; con k constante y varía directamente con x e inversamente con w.

TALLER: PLAN DE MEJORAMIENTO SEGUNDO PERÍODO

1. A continuación, se dan las gráficas de algunas relaciones definidas en intervalos de números

reales. Determinar el conjunto de partida o dominio, su rango, intercepto con los ejes, las posibles

simetrías con los ejes y con el origen y cuál de estas es una función.

38

2. En los siguientes ejercicios se pide:

Hallar los intercepto con los ejes

Determinar las posibles simetrías

Hallar el dominio

Hallar el rango o imagen

Elaborar una tabla de valores, dibujar la gráfica y asíntotas si existen

Redefinir si es necesario y luego determinar si la función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

a) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 4𝑥2} b) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4} c) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 2𝑥2 − 3𝑦2 = 6} d) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 12} e) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦2 = −4𝑥} f) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦2 − 3𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0}

39

g) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥𝑦 = 2} h) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 2𝑥 + 1} i) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = 4}

j) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 =𝑥+2

𝑥+3}

k) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑦2 = 4}

3. En los siguientes ejercicios calcular para cada función 𝑓:

a) 𝑓(−3) b) 𝑓(0) c) 𝑓(2) d) 𝑓(𝑎 + 𝑏) e) 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)

f) 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ g) 𝑓 (

1

𝑎) h) 𝑓(𝑥 + 1) i) 𝑓(𝑎 − 1) j) 𝑓(2𝑥)

k) 𝑓(−1) l) 𝑓(1 + √2) m) 𝑓(2 + ℎ) n) 𝑓(−𝑥)

4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 − 4

5. 𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+3

6. 𝑓(𝑥) = 𝑥3

7. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2

8. 𝑓(𝑥) = 𝑥

9. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 + 1

10. 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥+1

11. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3

12. 𝑓(𝑥) = 5

13. Para cada una de las siguientes funciones identifica el tipo de función, halla el dominio, rango y

dibuja su gráfica:

a) 𝑓(𝑥) = −2

b) 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1

c) ℎ(𝑥) = −𝑥2

d) 𝑗(𝑥) = 3 − 𝑥2

e) 𝑘(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

f) 𝑔(𝑥) = √𝑥

g) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1

h) ℎ(𝑥) =1

𝑥−3

i) 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 3| + 1

j) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 1|

k) 𝑓(𝑥) =𝑥2+5𝑥+6

𝑥+2

l) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 8𝑥 + 1

m) 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3

n) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1

o) 𝑓(𝑥) = log(3𝑥 − 2) p) 𝑓(𝑥) = 𝑥5

40

q) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥2

r) 𝑓(𝑥) = {√−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

√2𝑥 − 𝑥2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

√𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 > 2

s) 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥 + 2⟧, 𝑔(𝑥) = ⟦√𝑥⟧ y ℎ(𝑥) = ⟦4

1+𝑥2⟧

t) 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥−2

u) 𝑓(𝑥) = log(𝑥 + 1)

14. Determina si la función f es par, impar o ninguna de la dos. Si f es par o impar, utilice la simetría

para trazar su gráfica.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥−3

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥

e) 𝑔(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 1

f) ℎ(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥

g) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2

15. Obtenga las funciones (𝑓 + 𝑔)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (𝑓. 𝑔)(𝑥), (𝑓

𝑔) (𝑥) así como sus dominios.

Graficar (𝑓 + 𝑔)(𝑥) sí:

a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 y 𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥2

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 5

c) 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥 y 𝑔(𝑥) = √1 − 𝑥

d) 𝑓(𝑥) =1

1+𝑥 y 𝑔(𝑥) =

𝑥

𝑥+1

e) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 y 𝑔(𝑥) = 2 √𝑥

16. Sean 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1, halla:

a) 𝑓(𝑔(𝑥)) =

b) 𝑓(𝑔(2)) =

c) 𝑔(𝑓(𝑥)) =

d) 𝑔(𝑓(−1)) =

17. Calcule g (c) y utilice este número para determinar 𝑓(𝑔(𝑐)) y determine 𝑓[𝑔(𝑥)] y emplee este

valor para calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(c)

𝑓(𝑥) =1

𝑥−1; 𝑔(𝑥) =

2

𝑥2+1; 𝑐 =

1

2

41

18. De acuerdo con las siguientes funciones determina (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥), (𝑓 ∘ 𝑔)(−2), (𝑓 ∘𝑓)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑓)(4), (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) así como su dominio:

a) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥+1 , 𝑔(𝑥) = 𝑥10, ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑔(𝑥) = √2 − 𝑥, ℎ(𝑥) = 𝑥 + 2

c) 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥3, ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 1 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 5, ℎ(𝑥) = √𝑥

e) Dados 𝐹(𝑥) = √𝑥 + 94

, obtenga las funciones 𝑓 y 𝑔 tales que 𝐹 = 𝑓 𝑜 𝑔

f) Dados 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 9)5, obtenga las funciones 𝑓 y 𝑔 tales que 𝐹 = 𝑓 𝑜 𝑔

h) Dados 𝐹(𝑥) =𝑥2

𝑥2+4, obtenga las funciones 𝑓 y 𝑔 tales que 𝐹 = 𝑓 𝑜 𝑔

TALLER

1. Exprese el perímetro de un cuadrado como función de su área.

2. Una lata contiene 1 litro de aceite. Exprese el área de la superficie de la lata como función de su

radio.

3. Durante una tormenta ve el rayo antes de oír el trueno porque la luz viaja a mayor velocidad que

el sonido. La distancia entre usted y el centro de la tormenta varía directamente con la longitud

del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno.

a) Suponga que el trueno de una tormenta cuyo centro está a 5400 pies de distancia, tarda 5 seg

en alcanzarlo. Determine la constante de proporcionalidad y escriba la ecuación de la

variación.

b) Trace la gráfica de esta ecuación. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad?

c) Si la longitud del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno es ahora de 8 seg, ¿qué tan lejos

está el centro de la tormenta?

4. Exprese la ley de gravitación de Newton como una ecuación y elabore una gráfica.

5. Exprese el área A de un circulo como una función de su circunferencia C.

6. La ley de Hooke dice que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado x unidades más

allá de su longitud natural es directamente proporcional a x. Aquí la constante de

proporcionalidad se conoce como la constante del resorte.

a) Escriba la ley de Hooke como una ecuación.

b) Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se requiere de una fuerza de 40 N para

mantener el resorte estirado a una longitud de 15 cm, determine cuál es la constante del

resorte.

c) ¿Qué fuerza se necesita para mantener estirado el resorte una distancia de 14 cm?

7. La Junta de Deportes de la ciudad, planea construir un campo deportivo rectangular de 3600 m2

de área. El campo de juego ha de estar rodeado por una cerca. Expresar la longitud de la cerca

como una función de la longitud de uno de sus lados.

8. A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m. de radio y 16 m. de

altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado:

a) En función de la altura h.

b) En función del radio de la base x.

9. R varía directamente con t.

10. P es directamente proporcional a u.

11. v es inversamente proporcional a z

12. y es proporcional a s e inversamente proporcional a t.

42

13. m varía directamente con n e inversamente con el cuadrado de p.

14. El volumen de un cilindro circular recto varía conjuntamente con la altura y el cuadrado del radio.

Si el volumen de un cilindro circular recto de radio 4 cm y de altura 7 cm es 352 cm3. Calcular el

volumen de otro cilindro de radio 8 cm y altura 14 cm.

Exprese el enunciado como una fórmula. Utilice la información dada para determinar la constante de

proporcionalidad.

15. 𝑦 es directamente proporcional a 𝑥. Sí 𝑥 = 4, entonces 𝑦 = 72.

16. 𝑤 es inversamente proporcional al cuadrado de 𝑟. Si 𝑟 = 6, entonces 𝑤 = 10.

17. t es conjuntamente proporcional a xy, y es inversamente proporcional a r. Si 𝑥 = 2, 𝑦 = 3 y 𝑟 = 12, entonces 𝑡 = 25.

18. Entre todos los pares de números cuya suma es 100, determinar el par cuyo producto es lo más

grande posible.

19. Un granjero desea proteger un campo rectangular con una cerca y dividirlo en dos campos

rectangulares más pequeños mediante otra cerca paralela a uno de los costados del campo. Tiene

disponibles 3000 yardas de cerca. Determine las dimensiones del campo, de tal manera que el

área total protegida sea máxima.

20. Obtenga dos números cuya suma es -24 y cuyo producto es máximo.

TALLER

1. Demuestre que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y 𝑔(𝑥) = 𝑥1

3 son inversas entre sí.

2. Obtenga la función inversa de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2

3. Obtenga la función inversa de 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2, grafique ambas funciones y trace la recta 𝑦 = 𝑥, ¿qué

observas?

4. Demuestre que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 y 𝑔(𝑥) =𝑥+5

2 son inversas entre sí.

5. Obtenga la función inversa de 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2

Referencias bibliográficas:

Stewart, J. et ál. (2005). Precálculo. México: International Thomson editores.

Uribe, J. (2009). Matemática experimental 11. Medellín: Uros editores.

Referencias electrónicas:

http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/Limite_Sucesiones/

Elaboró: Jorge Cardeño Espinosa

Departamento de Matemáticas. CEFA