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SISTEMAS DIGITALES

Tema 1

Introducción a los Conceptos Digitales

Ing. Christian Lezama Cuellar Semestre de 2016-I

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

INTRODUCCIÓN

● El término digital se deriva de la forma en que las computadoras realizan las

operaciones contando dígitos. Durante muchos años, las aplicaciones de la

electrónica digital se limitaron a los sistemas informáticos.

● Hoy en día, la tecnología digital tiene aplicaciones en un amplio rango de

áreas además de la informática. Aplicaciones como la televisión, los sistemas

de comunicaciones, de radar, sistemas de navegación y guiado, sistemas

militares, instrumentación médica, control de procesos industriales y

electrónica de consumo. Todos ellos usan técnicas digitales.

● A lo largo de los años, la tecnología digital ha progresado desde los circuitos

de válvulas de vacío hasta los transistores discretos y los circuitos

integrados, conteniendo algunos de ellos millones de transistores.

● Esta unidad presenta la electrónica digital y proporciona una introducción a

muchos conceptos, componentes y herramientas muy importantes.

MAGNITUDES ANALÓGICAS

● La mayoría de las cosas que se pueden medir son analógicas

generalmente

y varían

manejar

● Los sistemas digitales pueden procesar, almacenar, y transmitir datos más

eficientemente, pero sólo se pueden asignar valores discretos a cada punto.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A .M. P.M.

continuamente. Los sistemas analógicos pueden

niveles de potencia superior a los sistemas digitales.

Temperature

( F)

100

95

90

85

80

75

70

Time of day

SISTEMAS ANALÓGICOS Y DIGITALES

● Muchos sistemas usan una mezcla de electrónica digital y analógica para

aprovechar las ventajas de cada tecnología. Un ejemplo típico es un

reproductor de CD que acepta datos digitales desde una unidad de CD y

luego los convierte a una señal analógica para su amplificación.

10110011101

Datos

digitales

Reproducción

Analógica de

la señal de

audio de la

música

Altavoz

(Speaker)

Ondas de sonido

(Sound waves)

Convertidor

Digital a

Análogo

Amplificador

Lineal

Unidad de CD

(CD drive)

DÍGITOS BINARIOS Y NIVELES LÓGICOS

● La electrónica digital utiliza circuitos que tienen dos estados, los cuales se

representan por niveles de voltaje diferentes llamados ALTO y BAJO. Los

voltajes representan números en el sistema binario.

VH(max)

VH(min)

VL(max)

VL(min)

ALTO

Inválido

BAJO

● En binario, un único número se denomina bit

(binary digit). Un bit puede tener un valor 0 o 1,

dependiendo de si el voltaje es ALTO o BAJO.

FORMAS DE ONDAS DIGITALES

● Las formas de ondas digitales cambian entre los niveles BAJO y ALTO. Un

impulso (también llamado “pulso”) positivo es aquel que va desde su nivel

normalmente BAJO, hasta su nivel ALTO, y luego otra vez retorna al nivel

BAJO. Una señal digital está compuesta por una serie de impulsos.

La caída o el

borde de ataque

(b) Negativo curso de pulso

Negative–going pulse

HIGH

Rising or trailing edge

LOW

(a) Positivo continuo pulso

Positive–going pulse

HIGH

El aumento o

la vanguardia

La caída o el borde de salida

LOW t 0

t 1

t 0

t 1

DEFINICIONES DE IMPULSO

● En la realidad los impulsos no son ideales. Un impulso no ideal es

caracterizado por algunos parámetros: tiempo de subida (rise time), tiempo

impulso (pulse de bajada (fall time), amplitud (amplitude), anchura del

width) y otras características.

50%

10%

Base line

Pulse width

Rise time Fall time

Amplitude tW

tr tf

Undershoot

Ringing

Overshoot

Ringing

Droop

90%

TREN DE IMPULSOS PERIÓDICO

● Un tren de impulsos periódico está compuesto de pulsos que se repiten a un

intervalo de tiempo fijo llamado Periodo. La frecuencia es la tasa a la que se

repiten los impulsos y se mide en Hertz.

𝑇 = 1

𝑓 f =

1

𝑇

● En los sistemas digitales, todas las señales se sincronizan con una señal de

temporización básica denominada reloj (clock en inglés). El reloj es un

ejemplo de señal periódica.

¿Cuál es el periodo de una onda repetitiva si f = 3.2 GHz ?

𝑇 = 1

3.2𝐺𝐻𝑧 = 313 ps 𝑇 =

1

𝑓

TREN DE IMPULSOS PERIÓDICO

● Además de la frecuencia y el periodo, las señales periódicas se describen por

su amplitud (A), anchura de impulso (tw) y ciclo de trabajo. El ciclo de

trabajo es el ratio (en %) entre tw y T.

Amplitude (A)

Pulse

width

W (t )

Volts

Time Period, T

Ciclo de trabajo=𝑡𝑤

𝑤 100%

DIAGRAMAS DE TIEMPO (CRONOGRAMAS)

● Un diagrama de tiempo se utiliza para mostrar la relación temporal real

entre dos o más señales, y cómo varía cada señal en relación con las demás.

Clock

A

B

C

Un diagrama como este se puede observar

directamente sobre un analizador lógico.

TRANSFERENCIA DE DATOS (SERIE Y PARALELO)

● Los datos se transfieren de dos formas: SERIE y PARALELO.

Computer

Modem

1 0 1 1 0 0 1 0

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

Computer

Printer

0

t0 t1

1

0

0

1

1

0

1

OPERACIONES LÓGICAS BÁSICAS

Salida “Verdadera” sólo si todas

las entradas son verdaderas.

Salida opuesta a la entrada.

Salida “Verdadera” sólo si una o

más entradas son verdaderas.

FUNCIONES LÓGICAS BÁSICAS

● Los operadores and, or, y not se pueden combinar para formar funciones

lógicas más complejas. Algunos ejemplos son:

Función de comparación

Funciones aritméticas básicas

Two binary numbers

Outputs

Comparator

A > B A

A = B

B

A < B

Adder

Two

binary

numbers Carry out

A

Cout B

Cin Carry in

Sum Σ

FUNCIONES LÓGICAS BÁSICAS

Función de codificación

Función de decodificación Binary input

7-segment display

Decoder

Calculator keypad

9 Encoder 8 7 6 5 4 3 2 1 0

7

8

9

HIGH

4 5 6

1 2 3

0 . +/–

Código binario por

9 utilizados para el

almacenamiento y

/ o cálculo

FUNCIONES DE SISTEMAS BÁSICOS

Multiplexer Demultiplexer

∆t 1 ∆t 2 ∆t 3 ∆t 1

Data from Ato D

Data from B to E

Data from C to F

Data from Ato D

Switching sequence

control input

Función de selección de datos

A

B

C

∆t2

∆t3

∆t1

Switching sequence

control input

∆t2

∆t3

∆t1

D

E

F


Función de conteo o “contador”

… y otras funciones tal como conversión de

código y almacenamiento.

Contador

Líneas de salida

en paralelo Binary

code

for 1

Binary

code

for 2

Binary

code

for 3

Binary

code

for 4

Binary

code

for 5

Secuencia de códigos binarios que representan

el número de pulsos de entrada contados.

1 2 3 4 5

Pulsos de Entrada


Inicialmente, el registro contiene datos onlyinvalido todos ceros como se muestra aquí. En primer bit (1) es desplazado en serie en el registro. En segundo bit (0) es desplazada en serie en el registro y primera bit se desplaza a la derecha.

En tercer bit (1) se desplaza en el registro y el primer y segundo bits se desplaza a la derecha.

0 1 0 1 0

0 1 0 1 Cuarta bit (0) se desplaza en el registro y el primero, segundo, y tercer bits se desplaza a la derecha. El registro ahora almacena los cuatro bits y está lleno.

Bits de serie en la línea de entrada

0101 0 0 0 0

010 1 0 0 0

01 0 1 0 0

● Un tipo de función de almacenamiento es el registro de desplazamiento o

(shift register), que mueve y almacena datos a cada señal de reloj.

CIRCUITOS INTEGRADOS

● Sección de un encapsulado DIP (Dual-In-line Pins):

Plastic case

Pins

La serie TTL, disponible como DIPs son muy

populares en laboratorios de lógica digital.

Chip


● La figura muestra un ejemplo de prototipado en el laboratorio. El circuito

contiene encapsulados DIPs y puede ser testeado desde el propio dispositivo

de pruebas.

DIP chips ● En este caso, el test

también se puede hacer

mediante un computador

conectado al sistema.


● Encapsulados DIP y de montaje superficial.

Pin 1

Dual in-line package Small outline IC (SOIC)


● Otros encapsulados de montaje superficial.

End view

LCCC

End view

PLCC

End view

SOIC

INSTRUMENTOS PARA PRUEBAS Y BÚSQUEDA DE AVERÍAS

● El panel de control frontal de un osciloscopio de propósito general se puede

dividir en cuatro grupos.

HORIZONTAL VERTICAL TRIGGER

5 s 5 ns

POSITION

CH 1 CH 2 EXT TRIG

AC-DC-GND

5 V 2 m V

VOLTS/DIV

COUPLING

CH 1 CH 2 BOTH

POSITION

AC-DC-GND

5 V 2 m V

VOLTS/DIV

COUPLING

SEC/DIV

POSITION

SLOPE

Ð +

LEVEL

SOURCE

CH 1

CH 2

EXT

LINE

TRIG COUP

DC AC

DISPLAY

INTENSITY

PROBECOMP 5 V


● Un analizador lógico puede desplegar múltiples canales de información

digital o mostrar datos de forma tabulada.


● Un multímetro digital o (DMM) puede

realizar tres mediciones eléctricas

básicas.

V

40 m A

Range

Autora nge 1 s

Touc h/Hold 1 s

Fused

OFF V

V

Hz

m V

A

0.01 V

● En trabajo digital, DMMs son útiles para comprobar el

voltaje suministrado por los dispositivos de potencia,

verificar resistores, comprobar continuidad, etc.

Voltaje

Resistencia

Corriente

PALABRAS CLAVES

Analógico

Digital

Binario

Bit

Impulso

Representa valores continuos.

Relacionado a dígitos o cantidades discretas; son un

conjunto de valores discretos.

Que tiene dos valores o estados; describe un sistema de

numeración de base 2 y utiliza 1 y 0 como sus dígitos.

Un dígito binario, que puede ser un 1 o un 0.

Un cambio repentino desde un nivel (o estado) a otro,

seguido después de un tiempo (llamado anchura de pulso),

por un cambio repentino al nivel original.

PALABRAS CLAVES

Reloj

Puerta

OR

Una señal de temporización básica en un sistema digital; una

forma de onda periódica utilizada para sincronizar acciones.

Un circuito lógico que realiza una operación lógica básica tal

como AND o OR.

Una función lógica básica que realiza una inversión.

Una operación lógica básica en la que una salida verdadera (ALTO)

ocurre cuando una o más entradas son verdaderas (ALTO).

NOT

AND Una operación lógica básica en la que una salida verdadera

(ALTO) ocurre solamente cuando todas las entradas son

verdaderas (ALTAS).

Tema 02:

Sistemas de Numeración,

Operaciones y Códigos.

Ing. Christian Lezama Cuellar Ingeniero Electrónico

NTRODUCCIÓN

• El sistema de numeración binario y los códigos digitales son fundamentales en las computadoras y, en general, en la electrónica digital.

• Esta unidad está enfocada principalmente al sistema de numeración binario y sus relaciones con otros sistemas de numeración tales como el decimal, hexadecimal y octal.

• Se cubren las operaciones aritméticas con números binarios con el fin de proporcionar una base para entender cómo trabajan las computadoras y muchos otros tipos de sistemas digitales.

• También se abordan códigos digitales como el código decimal binario (BCD, Binary Code Decimal), el código Gray y el ASCII.

• Se presenta el método de paridad para la detección de errores en los códigos y se describe un método para corregir dichos errores.

2

Sistemas de Numeración, Operaciones

y Códigos Contenido: 1) Sistema decimal 2) Sistema binario 3) Conversión binario a decimal 4) Sistema hexadecimal 5) Conversión binario-hexadecimal 6) Conversión hexadecimal-binario 7) Conversión hexadecimal-decimal 8) Conversión decimal-hexadecimal 9) Sistema octal 10) Conversión octal-decimal 11) Conversión decimal-octal 12) Conversión octal-binario 13) Conversión binario-octal

3

Definición de Sistema de Numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. La principal regla es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.

4

1.NÚMEROS DECIMALES • Todos estamos familiarizados con el sistema de

numeración decimal porque los usamos cada día.

• Aunque los números decimales son triviales, a menudo, su estructura de pesos no se comprende. En lo sucesivo, revisaremos la estructura de los números decimales.

• Esto ayudará a entender más fácilmente la estructura del sistema de numeración binario, que es tan importante en las computadoras y la electrónica digital.

5

1.NÚMEROS DECIMALES

• A la posición de cada número en un “sistema de numeración posicional” se le asigna un “peso” basado en la base o radix del sistema. El radix de los números decimales es 10, porque sólo se utilizan 10 símbolos (de 0 a 9) para representar cualquier número.

• Los pesos de las columnas de números decimales son potencias de 10 que se incrementan de derecha a izquierda empezando por 100=1

• Para números decimales fraccionales, los pesos de las columnas son potencias negativas de 10 que disminuyen de izquierda a derecha.

6

1.NÚMEROS DECIMALES • Los números decimales se pueden expresar como la

“suma de productos” de cada dígito por los valores de las columnas (potencias de 10) para ese dígito. Así, el número 9240 se puede expresar como:

9240 = 9 × 103 + 2 × 102 + 4 × 101 + 0 × 100

ó 9240 = 9 × 1000 + 2 × 100 + 4 × 10 + 0 × 1

7

EJEMPLO 1. Expresar el número decimal 47 como una suma de valores de cada dígito.

Solución Como indican sus respectivas posiciones, el dígito 4 tiene un peso de 10, que es 101. El dígito 7 tiene un peso de 1, que es 100.

47 = 4 × 101 + 7 × 100 47 = 4 × 10 + 7 × 10

47 = 40 + 7

2. Expresar el número decimal 568,23 como suma de los valores de cada dígito

Solución El dígito 5 de la parte entera tiene un peso de 100, que es 102, el dígito 6 tiene un peso de 10, que es 101, el dígito 8 tiene un peso de 1, que es 100; el dígito 2 de la parte fraccionaria tiene un peso de 0,1, es decir, 10−1, y el dígito 3 de la parte fraccionaria tiene un peso de 0,01, que es 10−2.

568,23 = 5 × 102 + 6 × 101 + 8 × 100 + 2 × 10−1 + 3 × 10−2

568,23 = 5 × 100 + 6 × 10 + 8 × 1 + 2 × 0,1 + 3 × 0,01 568,23 = 500 + 60 + 8 + 0,2 + 0,03

8

EJEMPLO 1. En el valor del número 528 se pude calcular como:

5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 = 500 + 20 + 8 = 528

2. En, el número 245,97 se calcularía como:

2 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 + 9 x 10-1 + 7 x 10-2 = 245,97

3. Expresar el número 480.52 como la suma de valores de cada dígito.

480,52 = 4 x 102 + 8 x 101 + 0 x 100 + 5 x 10-1 + 2 x 10-2 = 480,52

9

2.NÚMEROS BINARIOS • El sistema de numeración binario es simplemente otra

forma de representar magnitudes.

• El sistema binario es menos complicado que el decimal ya que solo tiene dos dígitos. Al principio puede parecer complicado por no ser familiar.

• El sistema decimal con sus diez dígitos es un sistema en base diez, el sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos.

• Los dos dígitos binarios (bits) son 1 y 0. La posición de un 1 o un 0 indican su peso o valor en un número de la misma manera que en el sistema decimal.

10

2.NÚMEROS BINARIOS

• Para los sistemas digitales, se utiliza el sistema de numeración binario. El sistema binario tiene un radix de 2 y utiliza los dígitos 0 y 1 para representar cantidades.

• Los pesos de columna para números binarios son potencias de 2 que aumentan de derecha a izquierda empezando por 20 =1.

• Para números binarios fraccionales, los pesos de las columnas son potencias negativas de 2 que disminuyen de izquierda a derecha.

11

2.NÚMEROS BINARIOS

• A la izquierda se muestra una secuencia de conteo binario para los números decimales de 0 a 15.

• Observe los patrones de ceros y unos de cada columna.

• Los Contadores Digitales tienen comúnmente el mismo patrón de dígitos.

12

Numero Decimal

Numero Binario

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

3.CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL

El equivalente decimal de un número binario se puede determinar sumando los valores de las columnas de todos los bits que son 1 y descartando todos los bits que son 0.

Ejemplo 01: Convertir el número binario 100101.01 a decimal.

Solución: Comience por escribir la columna de pesos; luego sumar los pesos que corresponden a cada 1 en el número.

13

EJEMPLO 02: Convertir el número entero binario 1101101 a decimal.

Solución Se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se obtiene la suma de los pesos para obtener el número decimal.

Peso : 𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝟐𝟒𝟐𝟑 𝟐𝟐 𝟐𝟏 𝟐𝟎

Numero binario : 1 1 0 1 1 0 1

= 𝟏𝒙𝟐𝟔 + 𝟏𝒙𝟐𝟓 +𝟎𝒙𝟐𝟒 +𝟏𝒙𝟐𝟑 + 𝟏𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝒙𝟐𝟏 + 𝟏𝒙𝟐𝟎

= 𝟏𝟎𝟗

Convertir el número binario 10010001 a decimal

14

EJEMPLO 03: Convertir el número binario fraccionario 0,1011 a decimal.

Solución Se determina el peso de cada bit que está a 1, y luego se suman los pesos para obtener la fracción decimal.

Peso : 𝟐𝟎 , 𝟐−𝟏 𝟐−𝟐𝟐−𝟑 𝟐−𝟒

Número binario : 0 ,1 0 1 1

= 𝟎𝒙𝟐𝟎 + 𝟏𝒙𝟐−𝟏 +𝟎𝒙𝟐−𝟐 +𝟏𝒙𝟐−𝟑 + 𝟏𝒙𝟐−𝟒

=0 + 0,5 + 0+ 0,125 + 0,0625

= 0,6875

Convertir el número binario 10,111 a decimal.

15

3.CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO

En la diapositiva anterior vimos cómo convertir un número binario en el número decimal equivalente. Ahora vamos a aprender dos métodos para convertir un número decimal en un número binario.

1. Método de la suma de pesos: Se puede convertir un número entero decimal en uno binario revirtiendo el procedimiento. Para ello:

Escribir el peso decimal de cada columna y poner 1’s en las columnas que suman el número decimal.

Ejemplo 01: Convertir el número decimal 49 a binario.

16

EJEMPLO 02 Convertir a binario los siguientes números decimales:

(a) 12 (b) 25 (c) 58 (d) 82 (e) 125

Solución:

a) 12 = 8 + 4 = 𝟐𝟑 + 𝟐𝟐 1100

b) 25 = 16 + 8 + 1 = 𝟐𝟒 + 𝟐𝟑 + 𝟐𝟎 11001

c) 58 = 32 + 16 + 8 + 2 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟒 + 𝟐𝟑 + 𝟐𝟎 111010

d) 82 = 64 + 16 + 2 = 𝟐𝟔 + 𝟐𝟒 + 𝟐𝟏 1010010

17

3.CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO

2. Método de la división sucesiva por 2: Se puede convertir un decimal a cualquier base dividiendo repetidamente por la base. En el caso binario, dividir repetidamente por 2. La condición de parada se produce cuando la parte entera del cociente es 0.

Ejemplo 01: Convertir el número decimal 49 a binario dividiendo repetidamente por 2.

Solución

Se puede hacer por “división en reversa” y la respuesta se leerá de izquierda a derecha. Poner cocientes a la izquierda y restos encima.

18

Ejemplo 02 Convertir el numero decimal 12 a binario

Solución: para convertir el número decimal 12 a binario, comenzamos dividiendo 12 entre 2

19

Ejemplo 03

20

Ejemplo Convertir a binario los siguientes números decimales:

(a) 19 (b) 45

Método de la división sucesiva por 2

Ejemplo . Convertir el número 151 decimal a binario.

El resultado es: 100101112

MSB LSB

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A

BINARIO Se puede convertir un número decimal fraccionario a binario multiplicando repetidamente los resultados fraccionales de sucesivas multiplicaciones por 2. Los acarreos forman el número binario. • Ejemplo 01: Convertir el decimal fraccionario 0.188 a

binario multiplicando los resultados fraccionales por 2.

• 0.188 x 2 = 0.376 acarreo = 0 • 0.376 x 2 = 0.752 acarreo = 0 • 0.752 x 2 = 1.504 acarreo = 1 • 0.504 x 2 = 1.008 acarreo = 1 • 0.008 x 2 = 0.016 acarreo = 0

• Respuesta = .00110 (para 5 dígitos significativos)

22

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A

BINARIO • El primer acarreo que se obtiene es el MSB y el último

acarreo es el LSB. Este procedimiento se ilustra como sigue:

23

LSB = Least Significant Bit = Bit Menos Significativo. MSB = Most Significant Bit = Bit Más Significativo.

4.NÚMEROS HEXADECIMALES • El sistema de numeración hexadecimal consta de

dieciséis dígitos y se usan fundamentalmente como una forma simplificada de representar o escribir los números binarios, ya que es muy fácil la conversión entre binario y hexadecimal.

• Los números binarios largos son difíciles de leer y escribir, ya que es fácil omitir o trasponer un bit. La representación hexadecimal ayuda a solventar esta limitante al reducir la cantidad de símbolos en la notación.

• El sistema hexadecimal se usa frecuentemente en computadoras y aplicaciones de microprocesadores.

24

4.NÚMEROS HEXADECIMALES

La representación Hexadecimal usa dieciséis caracteres para representar números: los números del 0 al 9 y los caracteres alfabéticos de la A a la F.

Para contar en hexadecimal por sobre la F, sencillamente se inicia otra columna y se continúa de la siguiente

manera: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,

17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2A, 2B, 2C, 2D, 2E, 2F, 30, 31, . . . .

25

5. CONVERSIÓN BINARIO-HEXADECIMAL

La conversión de un número binario en hexadecimal es un procedimiento muy sencillo. Simplemente, se parte el número binario en grupos de 4 bits, comenzando por el bit más a la derecha, y se reemplaza cada grupo de 4 bits por su símbolo hexadecimal equivalente, como ilustra abajo.

Ejemplo: Convertir a hexadecimal los siguientes números binarios:

(a) 1100101001010111 (b) 1111000101101001

Solución:

26

5. CONVERSIÓN BINARIO-HEXADECIMAL

La conversión de un número binario en hexadecimal es un procedimiento muy sencillo. Simplemente se parte el número binario en grupos de 4 bits, comenzando por el bit más a la derecha, y se reemplaza cada grupo de 4 bits por su símbolo hexadecimal equivalente.

Ejemplo: Convertir a hexadecimal los siguientes números binarios:

(a) 1100101001010111 (b) 1111000101101001

Solución:

(a) 1100101001010111 (b) 00111111000101101001

27

6. Conversión hexadecimal-binario

Para convertir un número hexadecimal en un número binario se realiza el proceso inverso, reemplazando cada símbolo hexadecimal por el grupo de cuatro bits adecuado. Debería estar claro que es mucho más fácil tratar con un número hexadecimal que con el número binario equivalente. Puesto que la conversión también es fácil, el sistema hexadecimal se usa ampliamente para representar los números binarios en programación, salidas de impresora y displays.

EJEMPLO: Determinar los números binarios correspondientes a los siguientes números hexadecimales:

(a) 10𝐴416 (b) 𝐶𝐹8𝐸16 (c) 974216

Solución

28

1 0 A 4

0000 1010 0100 1

C F 8 E

1111 1000 1110 1100

9 7 4 2

0111 0100 0010 1001

6. Conversión hexadecimal-binario

Un método para encontrar el equivalente decimal de un número hexadecimal es, primero, convertir el número hexadecimal a binario, y después, el binario a decimal.

EJEMPLO: Convertir los siguientes números hexadecimales a decimal:

(a) 1𝐶16 (b) 𝐴8516

Solución Recuerde que primero se hace la conversión del número hexadecimal a binario y luego a decimal.

29

1 C

0001 1100

= 24 + 23 + 22

A 8

1010 1000

= 211 + 29 + 27 + 22 + 20

5

0101

= 2048 + 512 + 128 + 4 + 1 = 269310 = 16 + 8 + 4 = 2810

7. Conversión hexadecimal-decimal Otro método para convertir un número hexadecimal a su equivalente decimal es multiplicar el valor decimal de cada dígito hexadecimal por su peso, y luego realizar la suma de estos productos. Los pesos de un número hexadecimal crecen según las potencias de 16 (de derecha a izquierda). Para un número hexadecimal de 4 dígitos, los pesos son:

163 162 161 160

4096 256 16 1

EJEMPLO: Convertir los siguientes números hexadecimales a decimal:

(a) 𝐸516 (b) 𝐵2𝐹816

30

𝐸516 = (E × 161) + (5 × 160)

= (14 × 16) + (5 × 1) = 224 + 5 = 22910

𝐵2𝐹816 = (B × 163) + (2 × 162) + (F × 161) + (8 × 160)

= (11 × 4096) + (2 × 256) +(F x 16)+(8 x 1) = 45056 + 512 + 240 + 8 = 4581610

8. Conversión decimal-hexadecimal La división sucesiva por 16 de un número decimal generará el número hexadecimal equivalente formado por los restos de las divisiones. El primer resto que se genera es el dígito menos significativo (LSD). Cada división sucesiva por 16 dará un resto que será un dígito del número hexadecimal equivalente.

EJEMPLO: Convertir el número decimal 650 en hexadecimal mediante el método del división sucesiva por 16.

Solución

31

65016 = 40,625 → 0,625 × 16 = 10

4016

=2,5 → 0,5 × 16 =8

216

=0,125 → 0,125 × 16 =2

A

8

2

A 8 2

9.NÚMEROS OCTALES El sistema de numeración octal está formado por ocho dígitos, que son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Para contar por encima de 7, añadimos otra columna y continuamos así:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21

Contar en octal es parecido a contar en decimal, excepto que los dígitos 8 y 9 no se usan. Para distinguir los números octales de los números decimales y hexadecimales, utilizaremos el subíndice 8 para indicar un número octal.

Por ejemplo, 158 es equivalente a 1310 en decimal y a D en hexadecimal.

𝟏𝟓𝟖 = 𝟏𝟑𝟏𝟎 = D

32

10. Conversión octal-decimal Puesto que el sistema de numeración octal es un sistema en base ocho, cada posición sucesiva de dígito es una potencia superior de ocho, empezando por el dígito situado más a la derecha con 80. La evaluación de un número octal en términos de su equivalente decimal se consigue multiplicando cada dígito por su peso y sumando los productos, como se muestra a continuación para 23748:

Peso : 83 82 81 80

Número octal : 2 3 7 4

23748 = (2 × 83) + (3 × 82) + (7 × 81) + (4 × 83)

= (2 × 512) + (3 × 64) + (7 × 8) + (4 × 1)

= 1024 + 192 + 56 + 4

= 127610

33

11. Conversión decimal-octal Un método para convertir un número decimal en un número octal es el método de la división sucesiva por 8, que es parecido al método utilizado en la conversión a binario o a hexadecimal de los números decimales. Para mostrar cómo se hace, convertimos a octal el número decimal 359. Cada división sucesiva por 8 da un resto que será un dígito del número octal equivalente. El primer resto que se genera es el dígito menos significativo (LSD).

34

3598 = 44,875 → 0,875 ×8 =7

448

=5,5 → 0,5 ×8 =4

58

=0,625 → 0,625 ×8 =5

7

4

5

7 4 5 Número octal

12. Conversión octal-binario El sistema octal es una forma conveniente de representar los números binarios, aunque no es tan comúnmente utilizado como el hexadecimal. Puesto que cada dígito octal se puede representar mediante un número binario de 3 dígitos, es fácil convertir a binario un número octal. Cada dígito octal se representa mediante tres bits, como se muestra en la Tabla. Para convertir a binario un número octal basta con reemplazar cada dígito octal con los tres bits apropiados.

TABLA Conversión octal/binario

35

EJEMPLO 1 Convertir a binario cada uno de los siguientes números octales:

(a) 138 (b) 258 (c) 1408 (d) 75268

• Solución

36

13. Conversión binario-octal La conversión de un número binario a un número octal es el inverso de la conversión de octal a binario. El procedimiento es el siguiente: se comienza por el grupo de tres bits más a la derecha y, moviéndose de derecha a izquierda, se convierte cada grupo de 3 bits en el dígito octal equivalente. Si para el grupo más a la izquierda no hay disponibles tres bits, se añaden uno o dos ceros para completar el grupo. Estos ceros no afectan al valor del número binario.

37

EJEMPLO Convertir a octal cada uno de los siguientes números binarios:

(a) 110101

(b) 101111001

(c) 100110011010

(d) 11010000100

• Solución

38

Ejercicios:

1. Convertir a decimal los siguientes números octales:

(a) 𝟕𝟑𝟖 (b) 𝟏𝟐𝟓𝟖

2. Convertir a octal los siguientes números decimales:

(a) 𝟗𝟖𝟏𝟎 (b) 𝟏𝟔𝟑𝟏𝟎

3. Convertir a binario los siguientes números octales:

(a) 𝟒𝟔𝟖 (b) 𝟕𝟐𝟑𝟖 (c) 𝟓𝟔𝟐𝟒𝟖

4. Convertir a octal los siguientes números binarios:

(a) 110101111

(b) 1001100010

(c) 10111111001

39

TABLA DE RESUMEN

40

Los primeros 256 números en las bases más

importantes (I)


importantes (II)


importantes (III)


importantes (IV)

Ing. Christian Lezama Cuellar Ingeniero Electrónico

Tema 02:

Aritmética Binaria.

1. Introducción Los computadores operan con los datos de forma diferente dependiendo del sistema de representación utilizado.

• Coma fija: binario puro, signo-magnitud, complemento a 2, complemento a 1, exceso a M, BCD.

• Coma flotante.

En los computadores el tamaño de los operandos está limitado.

• Coma fija: n = p+q bits (p: parte entera; q: parte fraccionaria).

• Coma flotante: n = p+q bits (p: mantisa; q: exponente).

Estudiaremos:

• La aritmética binaria básica.

• Los distintos tipos de operaciones lógicas y desplazamientos.

• La suma, la resta, la extensión de signo y el cambio de signo en algunos sistemas de coma fija.

• La aritmética en coma flotante la veremos en un tema posterior.

3

SUMA BINARIA Las reglas básicas para la suma binaria son:

0 + 0 = 0 Suma = 0, acarreo = 0

0 + 1 = 1 Suma = 1, acarreo = 0

1 + 0 = 1 Suma = 1, acarreo = 0

1 + 1 = 10 Suma = 0, acarreo = 1

Cuando hay un acarreo de entrada = 1 debido a un resultado previo, las reglas son:

1 + 0 + 0 = 01 Suma = 1, acarreo = 0

1 + 0 + 1 = 10 Suma = 0, acarreo = 1

1 + 1 + 0 = 10 Suma = 0, acarreo = 1

1 + 1 + 1 = 11 Suma = 1, acarreo = 1

4

Ejemplo: 1. Sumar los números binarios 00111 y 10101 y mostrar la

suma decimal equivalente.

2. Sumar los números binarios 011 y 001 y mostrar la suma decimal equivalente.

5

1 1 1 0

0 0 1 1 1

00111

10101 7

21

28

1 1

0 0 1

011

001

3

1

4

Ejemplo: Sumar los siguientes números binarios:

(a) 11 + 11 (b) 100 + 10 (c) 111 + 11 (d) 110 + 100

Solución.

La suma decimal equivalente se muestra también como referencia.

6

Ejemplo:

Calcular la suma binaria 1001001010,11+1101010111,1

Rpta. 586,75+855,5=1442,25

7

RESTA BINARIA Las reglas básicas para la resta binaria son:

Ejemplo: Restar el número binario 00111 a 10101 y mostrar la resta decimal equivalente.

8

Ejemplo: Realizar las siguientes sustracciones binarias:

(a) 11 01 (b) 11 10

Solución.

En este ejemplo no se han generado acarreos negativos. El número binario 01 es el mismo que 1.

9

Ejemplo:

Restar 011 de 101.

En este ejemplo es necesario un acarreo negativo. Comenzando por la columna de la derecha, se tiene:

10

MULTIPLICACIÓN BINARIA

Las reglas básicas para la multiplicación binaria son:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

La multiplicación con números binarios se realiza de la misma forma que con números decimales. Se realizan los productos parciales, desplazando cada producto parcial sucesivo una posición a la izquierda, y sumando luego todos los productos parciales.

11

Ejemplo: Multiplicar el número binario 110100010101 con 1101.

12

Ejemplo: a) Calcular 11 x 10 b) calcular 11010 x 101

13

DIVISIÓN BINARIA La división binaria sigue el procedimiento tradicional de multiplicación y resta al que estamos acostumbrados.

Ejemplo: 110/11

14

Ejemplo: • Dividir 100011/110

15

Ejemplo:

Realizar las siguientes divisiones binarias:

(a) 110 ÷ 11 (b) 110 ÷ 10

16

COMPLEMENTO A 1 Y 2 DE NÚMEROS

BINARIOS • El complemento a 1 y el complemento a 2 de un número

binario son importantes porque permiten la representación de números negativos.

• La aritmética en complemento a 2 se usa comúnmente en las computadoras para manipular números negativos.

17

COMPLEMENTO A 1 El complemento a 1 de un número binario es solo la inversión de los dígitos. Para formar el complemento a 1, cambiar todos los 0’s a 1’s y todos los 1’s a 0’s.

Por ejemplo, el complemento a 1 de 11001010

es 00110101

En circuitos digitales, el complemento a 1 se forma utilizando inversores:

18

COMPLEMENTO A 2 El complemento a 2 de un número binario se obtiene sumando 1 al LSB del complemento a 1.

Recordamos que el complemento a 1 de

11001010 es

00110101 (complemento a 1)

Para formar el complemento a 2, sumar 1: +1

11001010 es

+1

11001011 (complemento a 2)

19

COMPLEMENTO A 2 Un método alternativo para obtener el complemento a 2 de un número binario es el siguiente:

1. Se empieza por la derecha con el LSB y se escriben los bits como están hasta encontrar el primer 1, incluido éste.

2. 2. Se calcula el complemento a 1 de los bits restantes.

Ejemplo: Calcular el complemento a 2 de 10111000

20

NÚMEROS CON SIGNO

• Los sistemas digitales, tales como las computadoras, deben ser capaces de manejar números positivos y negativos.

• Un número binario con signo queda determinado por su magnitud y su signo. El signo indica si un número es positivo o negativo, y la magnitud el valor del número.

• Existen tres formatos binarios para representar los números enteros con signo: signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2.

• Los números no enteros y muy grandes o muy pequeños pueden expresarse en formato de coma flotante.

21

BIT DE SIGNO

• El bit más a la izquierda de un número binario con signo es el bit de signo, que indica si el número es positivo o negativo. “Un bit se signo 0 indica que es un número positivo y un bit de signo igual a 1 indica que es un número negativo”.

FORMATO SIGNO Y MAGNITUD

• Cuando un número binario con signo se representa en este formato, el bit más a la izquierda es el bit de signo y los restantes bits son de magnitud.

22

Por ejemplo

El número decimal positivo +25 se escribe usando 8-bits como:

00011001 (forma real).

bit de Signo bits de Magnitud

El número decimal negativo -25 se expresa como

10011001 (forma real).

bit de Signo bits de Magnitud

23

FORMATO DEL COMPLEMENTO A 1 • Los números positivos en formato de complemento a 1 se

representan igual que los números positivos del formato signo-magnitud. Sin embargo, los números negativos son el complemento a 1 del correspondiente número positivo.

• Por ejemplo, con ocho bits, el número decimal -25 se expresa como el complemento a 1 de +25 (00011001) como 11100110.

“En formato complemento a 1, un número negativo es el complemento a 1 del correspondiente número positivo”

24

FORMATO DEL COMPLEMENTO A 2 • Los números positivos en formato de complemento a 2

se representan igual que los números positivos del formato signo-magnitud y complemento a 1. Sin embargo, los números negativos son el complemento a 2 del correspondiente número positivo.

• Por ejemplo, con ocho bits, el número decimal -25 se expresa como el complemento a 2 de +25 (00011001) como 11100111.

“En formato complemento a 2, un número negativo es el complemento a 2 del correspondiente número positivo”

25

VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS

CON SIGNO • Signo y magnitud. Los valores decimales de los

números positivos y negativos en el formato signo-magnitud se determinan sumando los pesos de todas las posiciones de los bits de magnitud que tienen 1 e ignorando las posiciones donde haya ceros. El signo se determina examinando el bit de signo.

Ejemplo: Determinar el valor decimal del número binario con signo expresado como signo-magnitud 10010101:

• Pesos de columnas: 64 32 16 8 4 2 1.

0 0 1 0 1 0 1

16 + 4 + 1 = -21

26


CON SIGNO

• Complemento a 1. Los valores decimales de los números positivos se determinan sumando los pesos de todas las posiciones de los bits de magnitud que tienen 1 e ignorando las posiciones donde haya ceros. Los números negativos se determinan asignando el valor negativo al peso del bit de signo, y sumando todos los pesos donde haya 1s y sumando 1 al resultado.

Ejemplo: Determinar los valores decimales de los números binarios con signo expresados en complemento a 1:

a) 00010111 b) 11101000

27


CON SIGNO • Complemento a 2. Los valores decimales de los

números positivos se determinan sumando los pesos de todas las posiciones de los bits de magnitud que tienen 1 e ignorando las posiciones donde haya ceros. El peso del bit de signo en un número negativo viene dado por su valor negativo.

Ejemplo: Determinar los valores decimales de los números binarios con signo expresados en complemento a 2:

a) 01010110 b) 10101010

28

RANGO DE REPRESENTACIÓN DE LOS

NÚMEROS CON SIGNO • En la mayoría de los ejemplos se han utilizado números

de 8 bits, puesto que la agrupación de 8 bits es un estándar en la mayoría de los sistemas digitales y recibe el nombre de byte.

• Con 8 bits se pueden representar 256 números diferentes.

• Combinando 2 bytes (16 bits) se pueden representar 65.536 números diferentes.

• Combinando 4 bytes (32 bits) se pueden representar 4.295x109 números diferentes.

• Y así sucesivamente …….

29

RANGO DE REPRESENTACIÓN DE LOS

NÚMEROS CON SIGNO • La fórmula para calcular el número de combinaciones

diferentes es:

Número total de combinaciones = 2n

• Para los números con signo en complemento a 2, el rango de valores para números de n bits es:

-(𝟐𝒏−𝟏) a +(𝟐𝒏−𝟏 − 𝟏)

• Habiendo en cada caso un bit de signo y n-1 bits de magnitud. Por ejemplo, con cuatro bits pueden representarse números en complemento a 2 en el rango

de –(𝟐𝟑) = -8 hasta +(𝟐𝟑 - 1) = +7. Igualmente, con ocho bits, se pueden abarcar desde -128 hasta +127; con 16 bits se puede ir desde - 32.768 a 32.767, y así sucesivamente …

30

NÚMEROS EN COMA FLOTANTE • Para representar números enteros muy grandes, son

necesarios muchos bits. También se producen problemas cuando queremos representar números con parte fraccionaria, tal como 23,5618.

• El número en coma flotante (también conocido como número real) tiene dos partes más un signo. La mantisa que representa la magnitud del número. El exponente que representa el número de lugares que se va a desplazar el punto decimal (o binario).

• Por ejemplo el número decimal 241.506.800 puede ser reescrito en formato de coma flotante tomando 0,2415068 como mantisa y 9 como exponente. Queda finalmente:

0,2415068𝑥109

31

NÚMEROS EN COMA FLOTANTE • Para los números en coma flotante binarios, el formato

definido por el estándar 754/1985 ANSI/IEEE puede tomar tres formas: simple precisión (compuesto por 32 bits), doble precisión (compuesto por 64 bits) y precisión ampliada (80 bits).

• Restringiremos la explicación al formato en coma flotante de precisión simple el cual se ilustra a continuación.

32

Ejemplo Expresar la velocidad de la luz, c, en notación de punto flotante de precisión simple binario. (𝑐 = 0,2998𝑥109)

• En binario

c = 0001 0001 1101 1110 1001 0101 1100 0000

• En notación científica,

c = 1.0001 1101 1110 1001 0101 1100 0000 x 228

S = 0 porque el número es positivo.

E = 28 + 127 = 15510 = 1001 10112

F son los siguientes 23 bits descartando el primer 1.

En notación de punto flotante,

c =

33

NÚMEROS EN COMA FLOTANTE • Para evaluar un número binario que ya está en formato

de coma flotante se utiliza la siguiente fórmula.

• Por ejemplo, consideremos el siguiente número binario en coma flotante.

• El bit de signo es 1. El exponente desplazado es 10010001 = 145. Aplicando la fórmula, obtenemos

• Este número es equivalente al -407.688 en decimal.

34

OPERACIONES ARITMÉTICAS DE

NÚMEROS CON SIGNO • Hemos aprendido como se representan, en tres formatos

diferentes, los números con signo. Ahora, estudiaremos como se suman, restan, multiplican y dividen estos números.

• Dado que el complemento a 2 es el sistema de representación de números con signo más ampliamente utilizado en las computadoras y microprocesadores, en lo sucesivo veremos la aritmética de números con signo en complemento a 2.

• Los procedimientos que veremos pueden perfectamente extenderse a los demás sistemas.

35

SUMA • Los dos números en una suma se denominan

sumandos. El resultado es la suma. Cuando se suman dos números binarios con signo pueden producirse cuatro casos: 1. Ambos números son positivos. 2. El número positivo es mayor que el negativo en valor

absoluto. 3. El número negativo es mayor que el positivo en valor

absoluto. 4. Ambos números son negativos.

• Ahora veremos caso por caso, utilizando números de 8 bits como ejemplo. Se pondrán como referencia los números decimales equivalentes.

36

SUMA • Caso 1: Ambos números son positivos.

• Caso 2: El número positivo es mayor que el número negativo en valor absoluto.

37

SUMA • Caso 3: El número negativo es mayor que el número positivo

en valor absoluto.

• Caso 4: Ambos números son negativos.

• En una computadora, los números negativos se almacenan en formato complemento a 2, por lo que, como se pudo apreciar, el procedimiento de suma es muy sencillo:

“sumar los dos números y descartar cualquier bit de acarreo

final”

38

CONDICIÓN DE DESBORDAMIENTO

(OVERFLOW) • Cuando se suman dos números y el número de bits requeridos

para representar la suma excede el número de bits de los dos números, se produce un desbordamiento, que se indica mediante un bit de signo incorrecto.

• NOTA: Un desbordamiento se produce sólo cuando ambos números son positivos o negativos.

• En el ejemplo anterior, la suma 183 requiere 8 bits de

magnitud. Puesto que los números tienen sólo 7 bits de magnitud, se produce un acarreo en el bit de signo que da lugar a la indicación de desbordamiento.

39

RESTA • La resta es un caso especial de la suma. Por ejemplo:

restar +6 (el sustraendo) de +9 (el minuendo) es equivalente a sumar -6 a +9.

• Básicamente, la operación de resta consiste en cambiar el signo del sustraendo y sumarlo al minuendo. El resultado de una resta se denomina diferencia.

• El signo de un número binario positivo o negativo se cambia tomando su complemento a 2.

• Puesto que la sustracción o resta es simplemente una suma con el signo del sustraendo cambiado, el proceso se define del siguiente modo:

“Para restar dos números con signo, se calcula el complemento a 2 del sustraendo y se suman. Cualquier bit de acarreo final se descarta”.

40

RESTA

41

MULTIPLICACIÓN • Los números en una multiplicación se denominan

multiplicando, multiplicador y producto. La siguiente multiplicación decimal ilustra estos términos.

• Comúnmente, la operación de multiplicación se realiza utilizando la suma. (Recordar que la resta igual se hace como una suma).

• Existen dos métodos para realizar la multiplicación de números con signo. Ellos son:

1. El método de la suma directa.

2. El método de los productos parciales.

42

MULTIPLICACIÓN • Método 1. En el método de la suma directa, se suma el

multiplicando un número de veces igual al multiplicador. Método no eficiente ya que si el multiplicador es muy grande, la suma será muy larga.

• Método 2. El método de los productos parciales es el más común ya que es la forma de multiplicar manualmente. El signo del producto de una multiplicación depende de los signos del multiplicando y del multiplicador, de acuerdo con las dos reglas siguientes:

1. Si son del mismo signo, el producto es positivo.

2. Si son de diferente signo, el producto es negativo.

43

MULTIPLICACIÓN El procedimiento del método se resume a continuación: • Paso 1. Determinar si los signos del multiplicando y el

multiplicador son diferentes. Así determinamos el signo del producto.

• Paso 2. Poner cualquier número negativo en formato real (no complementado). Puesto que la mayoría de las computadoras almacenan los números negativos en complemento a 2, se requiere esta operación para obtener el número negativo en formato real.

• Paso 3. Empezar por el bit del multiplicador menos significativo y generar los productos parciales. Cada producto parcial debe desplazarse un bit a la izquierda.

• Paso 4. Sumar cada producto parcial a la suma de los productos parciales anteriores para obtener el producto final.

• Paso 5. Si el bit de signo que se había determinado en el paso 1 es negativo, calcular el complemento a 2 del producto. Si es positivo, dejarlo en formato real. Añadir el bit de signo al producto.

44

MULTIPLICACIÓN • Multiplicar los siguientes números con signo:

1. 01010011 (multiplicando) – 11000101 (multiplicador).

2. Verificar que la multiplicación es correcta convirtiendo los binarios a decimales y realizando la multiplicación.

45

MULTIPLICACIÓN

46

DIVISIÓN • Los números en una división se denominan dividendo,

divisor y cociente.

• En los computadores, la operación de división se lleva a cabo usando la resta. Puesto que la resta se puede realizar como una suma, la división también se puede llevar a cabo con un sumador.

• El signo del cociente depende de los signos del dividendo y del divisor, de acuerdo con las dos reglas siguientes:

1. Si son del mismo signo, el cociente es positivo.

2. Si son de diferente signo, el cociente es negativo.

47

DIVISIÓN • El procedimiento para dividir dos números se resume a

continuación: • Paso 1. Determinar si los signos del dividendo y el divisor son

diferentes. Esto determina que signo tendrá el cociente. Inicializar el cociente a cero.

• Paso 2. Restar el divisor del dividendo utilizando la suma en complemento a 2, para obtener el primer resto parcial, y sumar 1 al cociente. Si este resto parcial es positivo, ir al paso 3. Si el resto parcial es cero o negativo, la división se ha terminado.

• Paso 3. Restar el divisor del resto parcial y sumar 1 al cociente. Si el resultado es positivo, repetir el siguiente resto parcial. Si el resultado es cero o negativo, la división se ha terminado.

Continuar restando el divisor del dividendo y los restos parciales hasta que el resultado sea cero o negativo. Contar el número de veces que se ha restado el divisor y se obtendrá el

cociente.

48

DIVISIÓN • Dividir los siguientes números con signo:

1. 01100100 (dividendo) – 00011001 (divisor).

2. Verificar que la división es correcta convirtiendo los binarios a decimales y realizando la división.

49

DIVISIÓN

50

Código ASCCII • El término ASCII significa American Standard Code for

Internation lnterchange, código estándar estadounidense para intercambio de información.

• l código ASCII permite asignar a todas las combinaciones de ocho ceros y unos un carácter especifico, es decir cada carácter está compuesto por ocho bits. Con este código podemos representar 256 caracteres, ya que 2^N = 2^8 =256.

• Recuerde que los sistemas electrónicos digitales no son capaces de manejar internamente un carácter, pero si una combinación de ceros y unos.

• Si utilizamos una computadora para escribir un libro, todos los caracteres correspondientes a él serán interpretados por la computadora como combinaciones de ocho ceros y unos.

Código ASCCII Ahora bien, si quisiéramos saber el tamaño del libro en bits, llegaríamos a la conclusión que cl bits no es una unidad de medida práctica, ya que nos quedaría un tamaño representado en un número muy grande. La solución a este tipo de problemas fue crear una serie de equivalencias, ellas son: • 8 bits 1 carácter 1 B (Byte) • 1024 B = 1 KB (K Byte) • 1024 KB = 1 MB (Mega Byte) • 1024 MB = 1 GB (Giga Byte) • Tabla de Códigos de caracteres ASCII • Básicamente se dividen en tres partes: • Del 0 al 31: caracteres de control. • Del 32 al 127: caracteres del teclado. • Del 128 al 255: caracteres extendidos. • Los caracteres del 0 al 127 son los denominados

caracteres ASCII estándar A continuación se presenta una lista con los códigos ASCII, correspondiente a la tabla de códigos 437 (Internacional)

Código ASCCII

Nº Decimal

Binario ASCII Nº Decimal

Binario ASCII

65 01000001 A 78 01001110 N

66 01000010 B 79 01001111 O

67 01000011 C 80 01010000 P

68 01000100 D 81 01010001 Q

69 01000101 E 82 01010010 R

70 01000110 F 83 01010011 S

71 01000111 G 84 01010100 T

72 01001000 H 85 01010101 U

73 01001001 I 86 01010110 V

74 01001010 J 87 01010111 W

75 01001011 K 88 01011000 X

76 01001100 L 89 01011001 Y

77 01001101 M 90 01011010 Z

Ejemplo

Para escribir en ASCII la frase "Hola mundo!", escribiríamos (en decimal - siguiendo la siguiente tabla del código:

Donde:

H o l a

72 - 111 - 108 -97

Final mente 72-111-108-97-32-109- 117-110-100-111-

33

1001000 - 1101111 - 1101100 - 1100001

Clase 04:

Lógica Binaria

Ing. Christian Lezama Cuellar

1

Variables Lógicas En los sistemas digitales se manejan dígitos binarios, es decir 0’s (ceros) y 1’s (unos).

• Por ejemplo una variable lógica, solo puede tomar dos y solo dos valores de combinación:

• Por lo tanto dos variables lógicas A y B tomaran 4 posibles combinaciones

A B

0 0

0 1

1 0

1 1

A

0

1

2

Funciones Lógicas Todo circuito lógico por simple que sea tiene líneas de entrada y de salida

La variable lógica puede tomar uno de dos valores posibles:

Estado Estado Nivel de Voltaje

Voltaje Nivel Lógico

False OFF Bajo (Low) 0 V 0

Verdadero ON Alto (High) 5 V 1

3

Funciones Lógicas Los dos valores posibles deben ser tales que sean mutuamente excluyentes.

Si una variable toma un valor en un instante dado, no puede tomar otro en ese mismo instante.

• Un semáforo no puede estar en rojo y en verde al mismo tiempo

• Estar físicamente en dos sitios diferentes al mismo tiempo

4

Operaciones Lógicas Básicas

• Multiplicación (AND)

• Suma (OR)

• Complemento (NOT)

5

Operaciones Lógicas Básicas

Si solo se tiene una variable lógica:

Para F(X) = A, se le llama BUFFER y es muy utilizado para amplificar señales débiles o mantener un nivel constante.

Para F(X) = Aꞌ, negación ( ꞌ, ¯ ) o INVERSOR (NOT) donde la señal que ingresa se invierte al otro estado lógico.

A F(X) = A F(X) = Aꞌ

0 0 1

1 1 0

6

Tabla de Verdad La tabla de verdad es una representación del comportamiento de una función lógica, dependiendo del valor particular que puedan tomar cada una de sus variables.

En ella deben figurar todas las combinaciones posibles entre las variables, y para cada una aparecerá el valor de la función.

1 y 2 Variables

Se tienen n variables y las tablas de verdad se construyen respondiendo a la expresión: “El número de filas es igual a 2 elevado a la n”.

21(variable) = 2 filas

1

0

A

7

Tabla de Verdad

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1 0

1 0 0

0 0 0

C B A

0 1

1 1

1 0

0 0

B A

22(variable) = 4 filas 23(variables) = 8 filas

8

Puerta AND. El funcionamiento de la puerta lógica AND es equivalente al de un circuito con dos conmutadores en serie como el de la Figura 01. En dicho circuito es necesario que los dos conmutadores estén cerrados para que la lámpara se encienda. La relación entre las posiciones de los conmutadores y el estado de la lámpara se muestra en la tabla de verdad.

A B L

0 0

0 1

1 0

1 1

Tabla de Verdad

FIGURA 01: Circuito equivalente a una puerta AND de dos entradas.

9

Puerta AND. La relación es la siguiente: la lámpara se enciende sólo si el conmutador A Y el conmutador B están a ‘1’, es decir, L = A (AND) B.

Esta relación se conoce como AND. Las puertas AND pueden tener más de dos entradas. En la Figura 2 se representa una puerta AND de tres entradas.

La salida de una puerta AND es verdadera (‘1’) si, y sólo si, todas las entradas son verdaderas. Esta operación corresponde a una multiplicación lógica binaria que para dos entradas sería: L= A ·B .

FIGURA 02: AND de tres entradas

10

Puerta OR. El funcionamiento de esta puerta es equivalente al de dos conmutadores en paralelo como en la Figura 3. En esta configuración la lámpara se encenderá si cualquiera de los dos conmutadores se cierra.

A B L

0 0

0 1

1 0

1 1

Tabla de Verdad

FIGURA 03: Circuito equivalente a una puerta OR de dos entradas

11

Puerta OR. En este caso la relación es la siguiente:

La lámpara se encenderá si y sólo si, el conmutador A O (OR) el B están cerrados.

Esta función se describe en la tabla de verdad. La salida de una puerta OR es verdadera (‘1’) si, y sólo si, al menos una de las entradas es verdadera.

Esta relación corresponde a una suma lógica binaria: L= A + B.

12

Puerta NOT.. La salida de una puerta NOT es siempre el complementario de la entrada, de tal manera que si la entrada es ‘0’ la salida es ‘1’ y viceversa. Se conoce también como INVERSOR y posee una única entrada..

A L

0

1

Tabla de Verdad

FIGURA 04: Circuito equivalente a una puerta NOT de una entrada

13

Puerta NAND Equivale a una puerta AND seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-AND . El símbolo lógico es una puerta AND con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al de la puerta AND con el estado de salida negado. Una puerta NAND puede tener más de dos entradas.

A B L

0 0

0 1

1 0

1 1

Tabla de Verdad

FIGURA 05: Circuito equivalente a una puerta NAND de dos entradas

14

Puerta NOR. Equivale a una puerta OR seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-OR . El símbolo lógico es una puerta OR con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al de la puerta OR con el estado de salida negado. También puede tener más de dos entradas.

A B L

0 0

0 1

1 0

1 1

Tabla de Verdad

FIGURA 06: Circuito equivalente a una puerta NOR de dos entradas

15

Puerta OR exclusiva (XOR)..

La salida de una puerta OR exclusiva es verdadera (‘1’) si, y sólo si, una y sólo una de sus dos entradas es verdadera. Se asemeja a la OR (inclusiva), excepto que excluye el caso en que las dos entradas son verdaderas. La figura muestra un circuito equivalente. En una puerta OR exclusiva la salida será ‘1’ cuando el número de entradas que son ‘1’ sea impar.

El circuito equivalente de la Figura 8, se deriva de considerar el funcionamiento de al puerta XOR como combinación de dos condiciones X e Y. X representa la condición de que cualquiera de las entradas: A o (OR) B sea ‘1’, e Y la condición de que A y (AND) B no (NOT) sean ‘1’ (NAND).

16

Puerta OR exclusiva (XOR)..

A B L

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Tabla de Verdad

FIGURA 07: Circuito equivalente a una puerta XOR de dos entradas

FIGURA 10: Circuito equivalente a una puerta XOR de tres entradas.

FIGURA 08: Equivalente a una puerta XOR.

A B C L

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1 FIGURA 09: Circuito equivalente a una puerta

XOR de dos entradas.

17

Puerta NOR exclusiva Es la negación de la puerta OR exclusiva (puerta OR seguida de un INVERSOR)..

A B L

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabla de Verdad

FIGURA 06: Circuito equivalente a una puerta NOR de dos entradas

FIGURA 08: Equivalente a una puerta NOR exclusiva.

FIGURA 09: Equivalente a una puerta

NOR exclusiva de dos entradas.

18

Circuitos Integrados de tipo TTl

19

Diagrama de Pines para la Serie 74

20

Diagrama de Pines para la Serie 74

21

Resumen

22

Laboratorio Funciones Lógicas

23

Clase 05:

Algebra de Boole


1

Introducción

George Boole

2

El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.

Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

Algebra de Boole Proporciona una notación para describir funciones lógicas y define un número de operaciones que se pueden realizar con el fin de simplificarlas. El álgebra de Boole define variables, constantes y funciones para describir sistemas binarios, y una serie de teoremas que permiten manipular expresiones lógicas.

• Constantes booleanas: Se definen dos: ‘0’ (estado FALSO) y ‘1’ (VERDADERO).

• Variables booleanas: Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada o de salida y reciben nombres de caracteres alfabéticos como: A, B, X, Y. Sólo pueden tomar los valores ‘0’ o ‘1’.

• Funciones booleanas: Describen el comportamiento del sistema. Cada operación lógica (suma, multiplicación, negación, ...) posee una notación en el álgebra booleana, como se muestra en la Tabla 1.

3

EL ÁLGEBRA DE BOOBLE UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA:

4

Funciones lógicas elementales

5

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.

TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1

A·0 = 0

TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.

0’=1

1’=0

TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:

A+A=A

A·A=A

TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica:

(A’)’ = A

TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:

A+A·B=A

A·(A+B)=A

6

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:

A + A’·B = A + B

A · (A’ + B) = A · B

TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa:

A+(B+C) = (A+B)+C

A·(B·C) = (A·B)·C

LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:

(A+B)’ = A’·B’

(A·B)’ = A’ + B’

7

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS

TABLA DE VERDAD

Tabla que representa el valor de la función para cada combinación de entrada. Si la función está definida para todas las combinaciones se llama completa, si no, se denomina incompleta. Para 4 variables:

• Una Fórmulas de conmutación es la expresión de una función Lógica.

• Un LITERAL es una variable (A) o complemento de una variable (A’)

• Un TÉRMINO PRODUCTO es una operación AND de un número de

• literales.

• Una fórmula normal disyuntiva es una suma de términos productos.

• Un TÉRMINO SUMA es una operación OR de un número de literales.

• Una fórmula normal conjuntiva es un producto de términos sumas.

8

Axioma: Propiedad Conmutativa A+B = B+A

El orden en la OR no importa

AB = BA

El orden en la AND no importa

9

Axioma: Propiedad asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

Agrupar variables en la OR no importa

A.(B.C) = (A.B).C

Agrupar variables en la AND no importa

10

Axioma: Propiedad Distributiva

• A+(B.C) = (A+B)(A+C)

• A.(B + C) = (A.B) + (A.C)

11

U1 SN7432

U2 SN7432

U3 SN7408

A

B

(A+B)

(A+C)

(A+B) .(A+C)

C

U7 SN7408

U8 SN7432A

B

C (BC)

A+(BC)

=

U4 SN7408

U5 SN7408

U6 SN7432

(AB)

(AC)

(AB)+(AC)

B

C

AU9 SN7408

U10 SN7432

A

B

C (B+C)

A(B+C)

=

Axioma: Elemento identidad (0 para +)

A+0=A

Hacer una operación OR con 0 no cambia nada.

12

X=A

A

X

U11 SN7432A

X=A

Axioma: Elemento identidad (1 para ·)

A·1=A

Hacer una operación AND con 1 no cambia nada

13

A

X

X=A

U12 SN7408TP

1A

X=A

V++

Axioma: Elemento complemento

𝑨 + 𝑨 = 𝟏

O bien A o 𝑨 serán 1, luego la salida será 1

14

A

A

X X=1

Axioma: Elemento complemento

𝑨 ∗ 𝑨 = 𝟎

Bien A o A son 0 luego la salida será 0.

15

A

A

X X=0

Teorema: A+1=1 (T. Complementación)

• Hacer una operación OR con 1 da siempre 1.

16

A

X

X=1

Teorema: A•0=0 (T. Complementación)

Hacer una operación AND con 0 siempre da 0

17

A

X

X=0

Teorema: A+A = A (T. Idempotencia)

Hacer una operación OR consigo mismo da el mismo resultado

18

A

A

X

A=A

Teorema: A•A = A (T. Idempotencia)

Hacer una operación AND consigo mismo da el mismo resultado

19

A

A

X

A=A

Teorema: 𝐴 = 𝐴 (T. Involución)

Si negamos algo dos veces volvemos al principio

20

A

X X=A

Teorema: A + AB = A (T. Absorción I)

21

A

B

X

Teorema A + 𝑨 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 (T. Absorción II)

• Si A es 1 la salida es 1 Si A es 0 la salida

22

A

B

X

Y X=Y

Leyes de De Morgan (2 variables)

De Morgan ayuda a simplificar circuitos digitales usando NORs y NANDs

𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐵

23

Igual para n variables

Leyes de De Morgan (más de 2 variables)

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 ∗ 𝐷

24

Análisis Booleano de Funciones Lógicas

• El propósito de este apartado es obtener expresiones booleanas simplificadas a partir de un circuito

• Se examina puerta a puerta a partir de sus entradas

• Se simplifica usando las leyes y propiedades booleanas.

25

Cálculo de la expresión algebraica de

salida (ejemplo 1)

26

(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD

X e Y son

iguales

Cálculo de la expresión algebraica de

salida (ejemplo 2)

28

X = (A+B) C + CD + B

= (A+B) C · CD + B

= (A+B) C · (CD + B)

= A B C · (C +D +B)

= A B C C + A B C D +A B C B

= A B C D

Los

circuitos

son iguales

Ejemplo 3 • Puerta a puerta a partir de sus entradas

30

X= AB+(C+D)

X= AB + C+ D

Ejemplo 4

31

X = (AB)(CD)

X = ABCD

Ejemplo 5

32

X = ABCD +A

Simplificando:

X = A + BCD

Ejemplo 6

33

• X = (AB+𝐵 )BC

• Usando la propiedad distributiva:

• X = ABBC +𝐵 BC

• X = ABC + 𝐵 BC

• X = ABC + 0•C

• X = ABC + 0

• X = ABC

34

Ejemplo 7

35

36

X = (𝐴 +AB) +(𝐵 (C+D))

X = (A + B) + (𝐵 (C + D))

X = (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD

Ejemplo 7

Operaciones Lógicas

Ejemplos: F(A, B, C)=

• A.B.C = 1, si todas las variables son 1

= 0, si alguna es 0

• A+B+C = 1, si alguna variable es 1

= 0, si todas son 0

38

Ejemplo 8

Puerta {A}, Ascensor {B}, Bajarse {Z}

Z=A.B’

A B Z

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 0

39

Ejercicios: simplificar e diseñar las funciones

40


FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA (SOP)

MINTÉRMINO (mi): término producto en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA O DE MINTÉRMINOS: suma de mintérminos. (Suma de Productos) Dada la lista completa de mintérminos y asignando 1’s y 0’s arbitrariamente a las variables, siempre hay un, y sólo un, mintérmino que toma el valor 1. Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea de la tabla de Verdad. La fórmula compuesta por todos los mintérminos será idénticamente 1. Cada fórmula de conmutación puede expresarse como suma de mintérminos. Y esa fórmula es única. NOTACIÓN: Un mintérmino se designa por “mi” siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. Para el producto, el 0 se asocia a la variable complementada y el 1 a la variable sin complementar.

41

EJEMPLO:

42

m0

m2

m3

m7

43

S = Σ(a, b, c) = /a /b /c + /a /b c + /a b /c + a /b /c

Entradas Salida

a b c S

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

Se utilizan los

1 de las salidas para formar los términos productos

Suma de productos

Representación de funciones lógicas


FÓRMULA CANÓNICA CONJUNTIVA (POS) MAXTÉRMINO (Mi): término suma en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. Fórmula Canónica Conjuntiva o de Maxtérminos: producto de maxtérminos. (Producto de sumas) Dada la lista completa de maxtérminos y asignando 1’s y 0’s arbitrariamente a las variables, siempre hay un y sólo un maxtérmino que toma el valor 0. Un maxtérmino es un término suma que es 0 exactamente en una línea de la tabla de verdad. La fórmula compuesta por todos los maxtérminos será idénticamente 0. Cada fórmula puede expresarse como producto de maxtérminos. Y es única. NOTACIÓN: Un maxtérmino se designa por “Mi” siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. En la suma, el 1 se asocia a la variable complementada y el 0 a la variable sin complementar.

44

EJEMPLO:

45

M1

M4

M5

M6


46

Entradas Salida

a b c S

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

S = Π(a, b, c) = (a + /b + /c) (/a + b + /c) (/a + /b + c) (/a + /b + /c)

Se utilizan los

0 de las salidas para formar los términos sumas

Producto de sumas


CONVERSIÓN Y MANIPULACIÓN DE FÓRMULAS

El complemento de una fórmula de mintérminos está formado por la suma de los mintérminos que no aparecen.

El complemento de una fórmula de maxtérminos está formado por el producto de los maxtérminos que no aparecen.

mi’ = Mi

Mi’ = mi

La transformación de una fórmula de mintérminos (disyuntiva) en otra de maxtérminos (conjuntiva) se basa en la doble complementación,

(F’)’ = F

47

Para FUNCIONES INCOMPLETAS en la tabla de verdad aparecerá una X o una letra d (del inglés don’t care) refiriéndose a términos sin especificar.

Complemento de una función incompleta: otra función incompleta con los mismos términos “no importa” y el complemento de la función completa. Las fórmulas de mintérminos y de maxtérminos de las funciones incompletas no son únicas.

48

M1

M4

M6

m0

m2

m7

Φ3

Φ5


49

Notación simplificada

fila Entradas Salida

a b c S

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0


50

Para cada término de la forma

canónica se determina su

equivalente decimal:

S = f(a,b,c) = Σm (0, 1, 2, 4)

Notación simplificada:

S = f(a, b, c) = /a /b /c + /a /b c + /a b /c + a /b /c


a b c S

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 4

Ejemplo1


51

Notación simplificada:

Para cada término de la forma

canónica se determina su

equivalente decimal:


a b c S

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

3 5 6 7

S = f(a,b,c) = (a+/b+/c) (/a+b+/c) (/a+/b+c) (/a+/b+/c)

S = f(a,b,c) = Πm (3, 5, 6, 7)

Ejemplo1

Resumen

52

Resumen

POSTULADOS

SUMA PRODUCTO

A + B = B + A (Conmutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (Asociativa) A + (B · C) = (A + B) · (A + C) (Distributiva)

A + 0 = A (Elemento neutro) A + A' = 1 (Complementario)

A · B = B · A (Conmutativa) A · (B · C) = (A · B) · C (Asociativa) A · (B + C) = (A · B) + (A · C) (Distributiva)

A · 1 = A (Elemento neutro) A · A' = 0 (Complementario)

TEOREMAS

A + A = A (Idempotencia) A + 1 = 1 A + (A · B) = A (Absorción) (A + B)' = A' · B' (T. Morgan) (A')' = A A + (A' · B) = A + B (A · B) + (A · B') = A

A · A = A (Idempotencia) A · 0 = 0 A · (A + B) = A (Absorción) (A · B)' = A' + B' (T. Morgan) (A')' = A A ·(A' + B) = A · B (A + B) · (A + B') = A

53

OBJETIVO DE LA PRÁCTICA:

El alumno comprobará en el laboratorio el diseño optimizado de un circuito, utilizando el álgebra de Boole; reportando ventajas que se obtienen. Simular en el programa simulador proteus los circuitos propuestos para la practica y comprobar que sus resultados sean los correctos. DURACIÓN: Dos horas. • MATERIAL NECESARIO: • Una fuente de voltaje de 5V. • Dos DIP. • Tres LED (no importa el color). • Once resistencias de 470O. • Dos tablillas de conexiones (protoboard). • Los siguientes circuitos integrados:(TTL). Dos 74LS10, dos 74LS11, dos 74LS04, dos 74LS32, un 74LS21. • Alambre para conexiones.

56

Se tiene el siguiente circuito lógico:

57

La tabla de verdad del circuito anterior es:

58

Y su circuito topológico es el siguiente:

59

Clase 06:

Mapas de Karnaugh


1

MAURICE KARNAUGH

3

Ingeniero de telecomunicaciones estadounidense. Graduado en la universidad de Yale en el 1952, es actualmente gobernador emérito del ICCC (International Council for Computer Communication). Ha trabajado como investigador en los Laboratorios Bell desde 1952 a 1966 y en el centro de investigación de IBM de 1966 a 1993. Así mismo, ha impartido de informática en el Politécnico de Nueva York de 1980 a 1999, y desde 1975 es miembro del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos en las telecomunicaciones.Es el creador del método tabular o mapa de Karnaugh.

http://itpedia.wikispaces.com/M%C3%A9todo+gr%C3%A1fico+de+Karnaugh





Tabla o mapa de Karnaugh, Kmap

Procedimiento gráfico para la simplificación de

funciones algebraicas de un número de

variables relativamente pequeño

(en la práctica se puede utilizar para funciones de hasta seis variables).

4

Tabla o mapa de Karnaugh

5

Un diagrama o

mapa de

Karnaugh es una

tabla de verdad

dispuesta de

manera adecuada

para determinar

por inspección la

expresión mínima

de suma de

productos de una

función lógica.

Construcción con 2 variables

6

Mapa K

1

0

1 0 B A

A B Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

0 1

1 0

Construcción con 3 variables

7

A B C Z

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Mapa K

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 0 0

1 1 1 0

Construcción con 4 variables 8

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

Mapa K

00 01 11 10

00

01

11

10

1 1 0 1

1 1 0 0

0 1 1 1

0 0 1 0

CD AB

Reglas de simplificación 1. Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningún grupo puede contener ningún cero.

9

1

0

1 0 B A

0

1

INCORRECTO

1

0

1 0 B A

1 1

CORRECTO

Reglas de simplificación 2. Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Esto implica que las diagonales están prohibidas.

10

INCORRECTO

1

0

1 0 B A

0 1

1 0

CORRECTO

1

0

1 0 B A

0 1

1 1

Reglas de simplificación 3. Los grupos han de contener 2n elementos. Es decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8... número de unos.

11

CORRECTO

1

0

1 0 B A

1 1

0 0

CORRECTO

1

0

1 0 B A

1 1

1 1

Grupo

de 02 Grupo

de 04

Reglas de simplificación

4. Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal y como lo ilustramos en el ejemplo.

12

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 1 1

0 0 1 1

CORRECTO

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 1 1

0 0 1 1

INCORRECTO

No se a cumplido ninguna

regla pero el resultado no

esta optimizado


5. Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo a un grupo. Aunque pueden pertenecer a más de uno.

13

1

0

10 11 01 00 BC A

0 0 1 1

0 1 0 0

CORRECTO

El 1 se encuentra en al

menos un grupo

Grupo 1

Grupo 2


6. Pueden existir solapamiento de grupos.

14

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 1 1

0 0 1 1

CORRECTO

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 1 1

0 0 1 1

INCORRECTO

Los grupos se solopan

Los grupos no se

solopan

Reglas de simplificación 7. La formación de grupos también se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agrupar con la superior y la izquierda con la derecha tal y como se explica en el ejemplo.

15

1

0

10 11 01 00 BC A

1 0 1 0

1 0 1 0

CORRECTO

Celda Superior

Celda derecha Celda izquierda

Celda inferior


8. Tiene que resultar el menor número de grupos posibles siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores. Esto es el número de grupos ha de ser minimal.

•

16

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 1 1

1 1 1 1

CORRECTO

1

0

10 11 01 00 BC A

1 1 1 1

1 1 1 1

INCORRECTO

No se a cumplido ninguna

regla pero el resultado no

esta optimizado

A

A

B B 1

0

1 0 A B

1

0

1 0 A B

A

A

B B

B B

1

0

10 11 01 00 BA

C

1

0

10 11 01 00 BA

C

1

0

10 11 01 00 BA

C

A A A

C

C

A

11

10

01

00

10 11 01 00 BA DC

10

11

01

00

10 11 01 00 BA DC

10

11

01

00

10 11 01 00 BA DC

10

11

01

00

10 11 01 00 BA DC

A A

B B

A

A

A

A

A

¿Cómo podemos

agrupar dos unos? 1

1

1

0

1 0 A B

1 1

1 1

1

0

10 11 01 00 BA

C

1

1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

2 variables

3 variables 4 variables

¿Cómo podemos

agrupar cuatro unos?

1 1

1 1

1

0

1 0 A B

1 1 1 1

1

0

10 11 01 00 BA

C

1 1

1 1

1

0

10 11 01 00 BA

C

1 1

1 1

1

0

10 11 01 00 BA

C

1 1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

1 1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

1

1

1

1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

1 1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

2

v

a

r

i

a

b

l

e

s

3 variables

4 variables

¿Cómo podemos

agrupar ocho unos? 1 1 1 1

1

0

10 11 01 00 BA

C

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

1 1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

3 variables

4 variables

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

Dado el mapa K de una determinada función los pasos a seguir son:

1. Enlazar la mayor cantidad de unos de la tabla con la menor cantidad posible de lazos.

2. Indicar en punteado los lazos que tienen todos sus unos compartidos con otros lazos, o sea los implicantes

primos no esenciales.

3. Probar que los implicantes primos cubren todos los “unos” del diagrama con la menor cantidad posible de

lazos

4. Realizar un diagrama para cada solución mínima .

5. Hallar las coordenadas de cada mintérmino y formar el producto correspondiente, desechando las variables

que no intervendrán en el mismo. Tener presente que en general un lazo de dos permitirá eliminar “n”

variables.

¿Cómo simplificar los mintérminos?

1º Se simplifican los mintérminos que son adyacentes y se toman o agrupan de 2, 4, 8,

16...2n . Dos mintérminos son adyacentes cuando difieren en una letra.La suma de dos

mintérminos adyacentes es igual al producto de las variables que tienen en común.

1

1

1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA DC

ABCD

+

=1

DCBA

DCBA

CBA(D+D)=CBA

De sumar 2 mintérminos queda CBA

2º Los mintérminos que no son adyacentes no se pueden simplificar (A, B, C, D) 3º Si tomo dos mintérminos se elimina una variable, si tomo cuatro se eliminan dos variables

1 1

1 1

1

0

10 11 01 00 BA

C ABC + + + ABC ABC ABC =

= (A+A)BC + BC(A+A) = B(C+C) = B

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

Una misma función puede tener dos o

más soluciones

Lazos redundantes Algunas veces aunque se tenga

en cuenta todos los lazos

mayores posibles, un

subconjunto de ellos puede

cubrir todos los “unos” de esa

función, en estos casos existe un

lazo redundante que viola el

principio de que los “unos”

queden enlazados con el menor

número de lazos posibles.

1 1

1 1

1 1

1 1

CBAABDCBADBADCZ

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

Esta suma de productos no es mínima,

dado que si bien se han tenido en cuenta

los mayores lazos posibles, en este caso

con un subconjunto. El lazo dibujado en

línea punteada que corresponde al

producto CD es redundante, pues agrega

un sumando innecesario 10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

1 1

1 1

1 1

1 1

CBAABDCBADBAZ

Cuando una variable de salida no se puede definir

con un cero o con un uno en la tabla de verdad se

coloca una “x” que significa redundancia o “no

preocuparse”

Esto sucede cuando no nos interesa la función de

salida o cuando se trata de estados prohibidos que

no forman parte de algún código.

La redundancia se puede usar como un comodín, se

puede tomar como uno o cero individualmente

Ejemplo: realizar un circuito que (a la salida) encienda una

lámpara cuando en su entrada viene el código del 3 y el

código es el BCD natural

X 1 1 1 1

X 0 1 1 1

X 1 0 1 1

X 0 0 1 1

X 1 1 0 1

X 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 0 0 0 1

0 1 1 1 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 0 0 1 0

1 1 1 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 0 0 0 0 0

N° Z A B C D

Estados prohibidos

del BCD Natural

BCD

Natural

(0-15)

3

x x 0 0

x x x x

0 0 0 0

0 1 0 0

10

11

01

00

10 11 01 00 BA

DC

A

B

C

Z

Z = ABC Z = ABCD

2- Fijar los 1 de las expresiones

z= A’B’C + A’BC

z=A’B’C’D’ + A’B’C’D+A’B’CD+A’B’CD’

+AB’C’D’+AB’CD+AB’CD’

3 – Simplificación (1)

Z= AB’+AB=A Z=A’B + AB = B

Z=A’B’+A’B = A’ Z=A’B’+AB’= B’

3- Simplificación(2)

• Para tres Variables.

Z= A’B’C’ + AB’C’ + ABC + ABC’

Z= (A’+A)B’C ‘+ AB(C+C’)

Z=B’C’ + AB

3- Simplificación(3)

Z=A’B’C’+A’BC’ = A’C’ Z= AB’C’ + ABC’ = AC’

3 – Variables Casos

Cuando una variable aparece en forma complementada (X’) y no complementada (X) dentro de un agrupamiento, esa variable se

elimina de la expresión. Las variables que son iguales en todos agrupamientos deben aparecer

al final de la expresión.

Conclusión

4 Variables Caso 1

4 Variables Bloques

4 Variables Casos Varios

Alternativas ?

4 Variables Casos Varios(2)

Condición No Importa

C' C

A'B' 0 0

A'B 0 X

AB 1 1

AB' X 1

C' C

A'B' 0 0

A'B 0 0

AB 1 1

AB' 1 1

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 X

1 0 0 X

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Z=A

Resumen

1.- Dibujar la cuadrícula correspondiente al número de variables de la función

2.- Sombrear la zona correspondiente a la función (1) 3.- Recubrir dicha zona con bloques que sean lo mayores

posible 4.- Si se puede quitar algún bloque de forma que la zona

cubierta siga siendo la misma 5.- La expresión simplificada de f se corresponde a la suma

de los monomios correspondientes a los bloques que queden

Ejemplos Mapas de Karnaugh

Ejemplo 1

Diseñar un circuito lógico combinatorio que detecte, mediante UNOS, los números pares para una combinación de 3 variables de entrada.

DEC A B C Z

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

Función canónica

Ejemplo 1 Solución

C'(A + B)

A 0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1

1 1 0 0 1

BC

BC' AC'

AB'C' + A'BC' + ABC'

Ejemplo 2- Circuito Velocímetro

• Se tienen 3 Códigos del ABC • Las lámparas deben incrementarse de dos niveles en

dos. • L1 ON 001 • L1 & L2 001 y 010 etc

• Los codigo 110 y 111 no responde.

Solución: Tabla de Verdad

ABC L1 L2 L3 L4 L5

000 0 0 0 0 0

001 1 0 0 0 0

010 1 1 0 0 0

011 1 1 1 0 0

100 1 1 1 1 0

101 1 1 1 1 1

110 X X X X X

111 X X X X X

45

Solución

Solución: Diseño de Circuito

Sistemas Digital

y Arquitectura

de

Computadoras

Circuitos Aritméticos

COMPARADORES Un comparador es un circuito electrónico,

ya sea analógico o digital, capaz de

comparar dos señales de entrada y variar

la salida en función de cual es mayor.

COMPARADORES

Tabla de verdad de una compuerta XOR

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

La salida del circuito

es 1 si sus dos bits de

entrada son

diferentes y 0 si son

iguales.

La comparación de dos bits se puede realizar

mediante la compuerta XOR o una XNOR.

Para desarrollar y entender un comparador

vemos la siguiente tabla XNOR:

Normalmente se

encuentran

comparadores de 4-

8 bits. Un ejemplo es

el 74LS85, que es un

comparador de 4

bits o variables, que

posee además 3

entradas (entradas

de expansión) que

nos permite

conectar más

comparadores

Comparador

74LS85

Tabla de Verdad del 74LS85

Comparador para N-bits

o variables

ARITMÉTICA

BINARIA

Adición binaria

Decimal

Regla 01: 0 + 0 = 0

Regla 02: 0 + 1 = 1

Regla 03: 1 + 0 = 1

Regla 04: 1 + 1 = 2

Decimal Binario

Regla 01: 0 + 0 = 0 0 0

Regla 02: 0 + 1 = 1 0 1

Regla 03: 1 + 0 = 1 0 1

Regla 04: 1 + 1 = 2 1 0

Decimal Binario

Regla 01: 0 + 0 = 0 0 0

Regla 02: 0 + 1 = 1 0 1

Regla 03: 1 + 0 = 1 0 1

Regla 04: 1 + 1 = 2 1 0

ACARREO

SUMA

Semi - Sumador Suma de dos operandos de 1 bit

Entradas Salidas

A B C: Acarro S: Suma

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

A

B suma

acarreo

Circuito combinacional

Suma de dos operandos

A

B suma (Ʃ)

Acarreo (C)

Half Adder

Half

Adder

Ʃ

C

A

B

Sumador completo

¿Cómo se suman los número de 2 bits?

Ej.

1 1

+ 1 1

Sumador completo


Ej.

1

1 1

+ 1 1

0

Sumador completo


Ej.

1 1

1 1

+ 1 1

1 1 0

Sumador completo

Un sumador acepta dos bits de entrada y un acarreo

de entrada, y genera una salida de suma y un

acarreo de salida.

Sumador completo

Tiene acarreo de

entrada

A B Cin Cout S

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

Sumador completo con semi-

sumador

Sumador completo de 4 bits

A4 A3 A2 A1

+ B4 B3 B2 B1

C4 S4 S3 S2 S1

Diseñar un sumador de 4

bits usando half y/o full

adders


Sumador de 4 bits

A4 A3 A2 A1

+ B4 B3 B2 B1

C4 S4 S3 S2 S1

FA

Cin

A4

B4

Σ

C

FA

Cin

A3

B3

Σ

C

FA

Cin

A2

B2

Σ

C

HA

A1

B1

Σ

C

S1

S2

S3

S4

C4 = Cout


A4 A3 A2 A1

+ B4 B3 B2 B1

C4 S4 S3 S2 S1

SUMADORES BINARIOS EN PARALELO

Para formar un sumador binario en paralelo se

conectan dos o más sumadores completos.

un único sumador completo es capaz de sumar

dos números binarios de 1 bit y un acarreo de

entrada.

Para sumar números binarios de más de un bit, se

tienen que utilizar sumadores completos

adicionales.

Para sumar dos números binarios, se necesita un

sumador completo por cada bit que tengan los

números que se quieren sumar.

para números de dos bits se necesitan dos

sumadores, para números de cuatro bits hacen

falta cuatro sumadores, y así sucesivamente.

La salida de acarreo de cada sumador se conecta

a la entrada de acarreo del sumador de orden

inmediatamente superior.

Determinar la suma generada por el sumador paralelo de tres bits

SUMADOR EN PARALELO DE 4 BITS

TABLA DE VERDAD

Un ejemplo de un sumador paralelo de 4 bits que

está disponible como circuito integrado es el

74LS283

COMPLEMENTO A 1 Dado un número con “N” dígitos enteros y “k”

fraccionarios:

El complemento a 1 se obtiene de la siguiente forma

𝑁 = 2𝑛 − 2−𝑘 −𝑁

Ejemplo

N = 910 = 10012 𝑁 = 24 − 20 − 9 = 610 = 01102

Se demuestra que el C1 de un número binario se

obtiene simplemente cambiando los unos por ceros.

RESTA BINARIA EN COMPLEMENTO 1

Dado un número N con n dígitos enteros y k

fraccionarios, el complemento a 2 se obtiene de la

formula siguiente:

𝟐𝟎 𝑵 = 2𝑛 − 𝑁

Ejemplo:

𝑁 = 910 = 10012 𝟐𝟎 𝑵 = 24 − 9 = 710 = 01112

Complemento 2

El complemento a 2 de un número binario se

obtiene sumando 1 al complemento 1.

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 + 1

Ejemplo: Hallar el complemento 2 de 10110010

10110010 01001101 1 01001110

Número binario

Complemento 1

Sumar 1

Complemento 2

+

8 - 6 = 2

M = 8 1000

S = 6 0110 C2 1010

1000

+1010

1 0010

REGLA: Si hay acarreo el resultado es positivo

y se obtiene directamente

6 - 8 = -2

M = 6 0110

S = 8 1000 C2 1000

0110

+1000

1110

REGLA: Si no hay acarreo el resultado es

negativo y está en complemento a

2

Resta Binaria: Complemento 2

Resta Binaria: Complemento 2

Se requiere interpretar el resultado

Ejemplo: Restar 6 - 3

6 - 3 = 3

M = 6 110

S = 3 011

C2 101

Acarreo, no se toma

en cuenta

SUSTRACCIÓN BINARIA:

Para calcular la resta binaria C = A – B

Se calcula: 2°(B) = complemento a 2 de B.

Se calcula: C = A + 2°(B)

RESTA BINARIA

0 – 0 = 0

1 – 1 = 0

1 – 0 = 1

0 – 1 = 1, y acarreo 1

SUSTRACCIÓN BINARIA:

Para calcular la resta binaria C = A – B

Se calcula: 2°(B) = complemento a 2 de B.

Se calcula: C = A + 2°(B)

Ejemplo: 57 – 34:

57: 0011 1001 (A)

34: 0010 0010 (B)

not 1101 1101 not(B)

+1 1101 1110 2°(B)

10001 0111 A+2°(B)=> 0001 0111 = 23 dec

Semi-restador: A - B

R = A’.B+A.B’ = A ⊕ B D = A’.B

A B Deuda:

D

Resta:

R

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0

Restador Completo

Suma = Resta = A’.B’.Din + A’.B.Din’ + A.B’.Din’ + A.B.Din

Deuda = D = A’.B + A’.Din + B.Din

A B Din Deuda

D

Resta

R

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

Restador Completo

Suma = Resta = (A ⊕ B) ⊕ Din

Deuda = Dout = A’.B + A’.Din + B.Din

Unidad Aritmético Lógica - ALU

La unidad aritmético lógica, también conocida como ALU (Arithmetic

Logic Unit) es un circuito digital que calcula operaciones aritméticas

como una de las unidades que forman parte de la Unidad Central de

Procesos (CPU – Central Processor Unit) mediante la cual es posible

realizar una gran cantidad de operaciones aritméticas básicas (Suma,

Resta, División y Multiplicación) además de realizar algunas

operaciones Lógicas (Yes, Or, Not, And) entre dos números o dos

conjuntos de números.

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/ALU_symbol.svg

ALU para sumar/restar 2 bits

Tipos de Datos Enteros Todos los datos en los ordenadores basados en la electrónica digital se representan como bits (valores 0 y 1) en el nivel más bajo.

La más pequeña unidad direccionable de datos es un grupo de bits llamado un byte (octeto - 8 bits). La unidad procesada por las instrucciones del código máquina se le llama una palabra (32 o 64 bits).

La mayor parte de las instrucciones interpretan la palabra como un número binario, como por ejemplo una palabra de 32 bits puede representar valores enteros sin signo desde el 0 al 232 – 1

Enteros sin signo: 232 = 4294967296 (solo números positivos)

Enteros con signo: -216 hasta 216 – 1 (positivos y negativos)

desde -2147483648 hasta 2147483647

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