CLASE N° 1

HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS

PROF. ALEX VIDAL JIMÉNEZENFE

RMER

ÍA –

UN

IVER

SIDA

D BO

LIVA

RIAN

A 20

14

Presentación ProfesorHE

RRAM

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Alex Isaac Vidal Jiménez.

Ing. Civil Industrial.

Licenciado en Ciencias de la Ingeniería.

[email protected] /

[email protected]

mailto:[email protected]

Presentación ProgramaHE

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ICAS 1. Introducción a Los Números y al Razonamiento Lógico

2. Conjuntos.3. Rectas.4. Funciones afín y afín definidas por intervalo.5. Funciones cuadráticas.6. Sucesiones.7. Introducción general al concepto de función.

1.- Introducción a los Números

HERR

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ÁTIC

AS 1. El conjunto IN de los enteros naturales.

2. El conjunto Z de los enteros relativos.

3. El conjunto Q de los racionales.

4. El conjunto IR de los números reales.

5. Los números pares e impares.

6. “Reductio ad absurdum”: la demostración por el absurdo.

7. Demostración de 2 es un irracional.

8. Ejercicios en clase y trabajos.

• Un Conjunto es una "colección de objetos“.

• Así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.

• Un conjunto está bien definido cuando se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.

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AS


Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas

problemáticas de la vida diaria.

Estos conjuntos numéricos reciben un nombre de acuerdo a los números que

contienen.

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Conjuntos Numéricos

1. Números Naturales (IN)

1.1 Consecutividad numérica

Conjunto de la forma:IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.

Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:

• Sucesor

Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.HERR

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IN: Números Naturales

n - 1 n + 1n

Naturales Consecutivos

• Antecesor:Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1

antecesor sucesor

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1.2 Paridad e imparidad• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}

Son de la forma 2n, con n en los naturales.

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su

sucesor es 2n+2.

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.

2n - 2 2n + 22nAntecesor par Sucesor par

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Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.

• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.

Sucesor impar:

Antecesor impar:

2n - 3 2n + 12n -1Antecesor impar Sucesor impar

Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.

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1.3 Números PrimosSon aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos:

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}

Nota: El 1 no es primo.

1.4 Múltiplos y Divisores• Múltiplos

Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera.

Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

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• Divisores Se llama “divisor” de un número, aquel valor que lo divide exactamente. (Está contenido en él, una cantidad exacta de veces)

Por ejemplo:Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

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• Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.

Ejemplo:-Algunos múltiplos de 3 son:{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}

-Algunos múltiplos de 6 son:{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}

-Algunos múltiplos de 15 son:{15, 30, 45, 60, 75,…}

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m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor).

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método:

3 6 15 34 2 5 2 1 5 5 1

Se divide por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m.

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• Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.

Ejemplo:-Los divisores de 36 son:{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

-Los divisores de 18 son:{1, 2, 3, 6, 9, 18}

-Los divisores de 24 son:{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}HE

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El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor).

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:

36 18 24 218 9 12 3 6 3 4

Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea.

M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

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• Representación Gráfica de números naturales. A los números naturales los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número.

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• Operación o Ley de ComposiciónEn matemática una operación es la acción de un operador sobre una selección de elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iníciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como Ley de Composición.

Un operador es un "artefacto" que actúa sobre otro "objeto" (número, función, vector, etc.) que se escribe a su derecha dando como resultado otro "objeto" de igual o distinta naturaleza; esta acción se denomina operación. HE

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• Adición, sustracción, multiplicación y división

Propiedades de la Adición:

a) Clausura:

b) Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:

La suma de dos números naturales es siempre un natural.

Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12a + b = b + a

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c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:a + (b+c) = (a+b) + c

Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) + 9 13 + (14) =(18) + 9 27 = 27

Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.

Propiedades de la Multiplicación:a)Clausura: El producto de dos números naturales

es siempre un natural.HERR

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4 ∙ (15) = (20) ∙ 3

Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:

Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3

Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34

a (b∙c) = (a∙b) c

b)Conmutativa:

c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:

Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

a∙b = b∙a

170 = 170

60 = 60

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• El Cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

• Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

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ASIN: Números Naturales


2. Números Cardinales (N0)Conjunto de la forma:IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.

2.1 Operaciones en IN0

• Adición, sustracción, multiplicación y división

Si a es un número cardinal, entonces:

En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”.

a + 0 = 0 + a = a

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IN: Números Cardinales

Matemáticas NM 1 Números 3

Es posible establecer una correspondencia entre los números cardinales y los puntos de una recta

numérica de la siguiente manera.

0 1 2 3 4 5 …

Se selecciona un punto arbitrario de la recta para representar el cero (0).

Ubicamos otro punto a la derecha del cero para representar el uno

(1).

Al segmento formado le llamamos segmento

unidad.

Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad.


IN: Números NaturalesHE

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3. Números Enteros (Z)

Conjunto de la forma:Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.

Se puede representar como: Z = Z- U IN0

Z = Z- U {0} U Z+

Recta numérica:

Z- Z+

0-3 -2 -1 1 2 3

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Z : Números Enteros

Valor absoluto:El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5

-5 505 unidades 5 unidades

Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…HE

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3.1 Operaciones en ZAl realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos:

Si a y b son números enteros entonces, se cumple que:

a) a + -b = a – b Ejemplo: 5 + - 9 = 5 – 9 = -4

Ejemplo:

b) a – (-b) = a + b 12 – (-8) = 12 + 8 = 20

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c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo:

25 + 8 = +33

d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor.

Ejemplo:

-10 + 7 = -3

75 + -9 = +66

-5 + - 9 = -14

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-42 ∙ -8 = + 336

e) Si a y b son dos números enteros de igual signo (positivos o negativos), entonces:

- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.

f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces:

- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.

Ejemplo:

Ejemplo:

28 : 7 = + 4

125 : -5 = -25 37 ∙ -5 = -185 HE

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3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa. Ejemplo:

(-3) + 2 = 2 + (-3) -1 = -1

La suma en los números enteros tiene “elemento neutro”: el cero.

Ejemplo: (-8)+ 0 = -8

3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como:

-5 + 15 : 3 - 3 = ?

¿Qué se resuelve primero?

El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es:

1° Paréntesis2° Potencias

4° Adiciones y sustracciones3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)HE

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Resolver : -5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 5 – 3= 0 – 3= – 3

4.Números Racionales (Q)Es el conjunto de todos aquellos números que

se pueden escribir como fracción, es decir:

ab

/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:2; 17; 0; -6; -45; -2;

70,489; 2,18; -0,647-1;

814; 3

15, 0 NO es racional

a: numerador y b: denominador

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Q: Números Racionales

Por ejemplo:3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 3

1

IN IN0 Z Q

Todo número entero es racional.

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Diagrama representativo:

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4.1 Propiedades de los racionales • Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número.

66

Al amplificar la fracción por 6 resulta:23

= 1218

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Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número.

33

= 915

Al simplificar la fracción por 3 resulta:2745

27 :45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 29

es: 92

Ejemplo:

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4.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)• Suma y resta

Ejemplos:1. Si los denominadores son iguales:

415

+ 715

= 1115

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

215

+ 745

= 2∙3 + 7∙145

= 6 + 745

= 1345

415

- 715

= -315

y

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3. Si los denominadores son primos entre sí:

5 12

+ 718

= 5∙3 + 7∙236

15 + 1436

= = 2936

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4 5

+ 7 8

= 4∙8 + 5∙740

32 + 3540

= = 6740

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-4 5

∙ 8 7

= -32 35

=

• Multiplicación:Ejemplo:

-4 5

7 8

= ∙ -28 40

= 2840

-

• División:Ejemplo:

-4 5

: 7 8

= 3235

-

• Número Mixto:Ejemplo:

8 3 5 = 8∙5 + 3

5= 43

5HERR

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4.3 Transformación de números racionales

• De fracción a decimal:

Ejemplo:Se divide numerador por denominador.

7 4 = 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

100175 =1,75 = 7

425∙7 25∙4

=

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• De un número decimal periódico a fracción:1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el

número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99

Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376999 999HE

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3,21 = 321-32 = 289 9090

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma, y el período.

Ejemplo:

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4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)

• Multiplicación cruzada:Ejemplo:Al comparar

(Multiplicando cruzado)1315

910

y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 1315

910

<

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• Igualar denominadores:Ejemplo:

1315

712

Al comparar

y (Igualando denominadores)

13∙415∙4

7∙512∙5

y

5260

3560

y

Como 52 > 35, entonces 1315

712

>

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• Transformar a decimal:Ejemplo:

1315

712

Al comparar

(Transformando a decimal)y

1315

= 0,86666666…

712

= 0,58333333…

1315

712

>Como 0,86 > 0,583 , entonces

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Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

5. Números Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

Q

U

Q*=

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Q*: Números Racionales

6. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:


3, -89, -2; 7

2,18; ;2 23,491002

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IR: Números Reales

7. Números imaginarios (II)Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

IR

U

II = O

Ejemplo:Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,26 ,4 4 16,25

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i: Números Imaginarios

8. Números complejos (C)Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios.

Ejemplos: ,26 5, -68, -1; 8

-0,647


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C: Números Complejos

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