Clase 6

Inferencia estadística

Universidad de la Sierra SurLicenciatura en Enfermería

1

Intervalos de confianza

tamaño de la muestra y métodos de muestreo

Pruebas de hipótesis

Distribución t

Distribución Ji-cuadrada


2

La inferencia estadística es el procedimiento por medio

del cual se llega a conclusiones acerca de una población

con base en la información que se obtiene a partir de una

muestra seleccionada de esa población


3

El administrador de un gran hospital Ie interesa saber la edad

promedio de los pacientes internados en el transcurso de un

año

Decide examinar una muestra de los registros a partir de la

cual sea posible calcular una estimación de la edad promedio

de los pacientes internados en ese año


4

La inferencia estadística consta de dos elementos

Estimación puntual y por intervalo

Prueba de hipótesis

Estimación puntual es un solo valor numérico utilizado para

estimar el parámetro correspondiente de la población

Una estimación por intervalo consta de dos valores numéricos

que definen un intervalo que, con un grado especifico de

confianza, se considera que incluye al parámetro por

estimar

Estimadores puntuales

Estimación puntual

Característica Parámetro Estimador

Media

Proporción

Total

n

i

ixn

x1

1

N

i

ixN 1

1

n

i

ixn

p1

1ˆ

N

i

ixN

p1

1

n

i

ixT1

ˆ

N

i

ixT1

Estimadores puntuales

Estimación puntual

Característica Parámetro Estimador

Varianza

Desviación

estándar

N

xN

i i

1

2

2)(

1

)(1

1

2

2

n

xxs

n

i i

N

xN

i i

1

2)(

1

)(1

1

2

n

xxs

n

i i


7

Una estimación por intervalo consta de dos valores

numéricos que definen un intervalo que, con un grado

especifico de confianza, se considera que incluye al

parámetro por estimar

Para realizar estimación por intervalo debemos suponer que

se cumple una condición

LA VARIABLE DE INTERÉS TIENE SE COMPORTA

COMO UNA VARIABLE ALEATORIA QUE TIENE UNA

DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD


8

Es decir, que el comportamiento de distribucional de

probabilidad de X es parecido a la distribución normal

X


9

Teorema:

Si Y~N(µ, σ), entonces Ῡ~N(µ, σ/√n)

Entonces el intervalo de confianza está formado por

estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)

donde

El coeficiente de confiabilidad se define como el valor a la

izquierda de z donde está 1-α/2 y a la derecha en que se

encuentra α/2 del área bajo la curva

Comúnmente valores para α son: .01, .05 y .10


El error estándar de un estimador del parámetro es la desviación

estándar del estimador

Parámetro Estimador Error estándar Estimador del error

estándar

µ

P

T


11

Ejemplo: (Daniel W.)

Un fisioterapeuta desea estimar por intervalo, media de

fuerza máxima de un musculo particular en cierto grupo de

individuos. Se supone que los valores de dicha fuerza

muestran una distribución aproximadamente normal

Una muestra de 15 individuos que participaron en el

experimento presento una media de 84.3 y una varianza de

144

Calcular el intervalo de confianza con α=0.05 para la media

poblacional


12


Solución:

Recordar que


n = 15 individuos

Media muestral = 84.3

Varianza muestral =144


13


Solución:

Recordar que


n = 15 individuos

Media muestral = 84.3

Varianza muestral =144

84.3 ±1.96(3.0984)

84.3 ± 6.072

(78.23, 90.37)

INFERENCIA ESTADÍSTICA


El propósito de la prueba de hipótesis es ayudar al

investigador a tomar una decisión acerca de una población

mediante el examen de una muestra de ella

“La hipótesis de investigación es la conjetura o suposición

que motiva la investigación”

“Las hipótesis estadísticas se establecen de tal forma que

pueden ser evaluadas por medio de técnicas estadísticas

adecuadas”


Es importante aclarar que cuando la hipótesis nula no es rechazada,

tampoco se puede decir que se acepta

Se debe decir que la hipótesis nula "no se rechaza“

Error en la toma de decisión

Condiciones en las que es posible cometer un error de tipo I o un error de

tipo II.

Condición de la hipótesis nula

Verdadera Falsa

Acción

posible

No rechazar H0 Acción correcta Error tipo II

Rechazar H0 Error tipo IAcción

correcta



Pasos para la prueba de hipótesis

Datos

Supuestos (restricciones)

Hipótesis

Estadística de prueba

Distribución de la estadística de prueba

RegIa de decisión

Cálculo de la estadística de prueba

Decisión estadística

Conclusión



Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución

normal

Juegos de hipótesis

La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la

hipótesis nula H0: µ = µ0

Prueba de hipótesis para la media de una

población

1. H0 : µ = 0, Ha : µ ≠ 0

2. H0 : µ ≥ 0, Ha : µ < 0

3. H0 : µ ≤ 0, Ha : µ > 0

1. H0 : µ = µ0 , Ha : µ ≠ µ0

2. H0 : µ ≥ µ0 , Ha : µ < µ0

3. H0 : µ ≤ µ0 , Ha : µ > µ0


Estadística de prueba bajo Ho

cuando n es grande (>30)

Cuando H0 es verdadera, tiene

una distribución t de Student

con n -1 grados de libertad Cuando H0 es verdadera, sigue una

distribución normal estándar

Prueba de hipótesis para la media de una población

ns

xz

/

0

ns

xt

/

0


Un grupo de investigadores está interesado en conocer la edad media de

cierta población

Los datos disponibles son las edades de una muestra aleatoria de 10

individuos, extraída de la población de interés

A partir de esta muestra se encontró que la media es igual a 27 y cuya

varianza es igual a 20

Los investigadores preguntan lo siguiente: ¿Se puede concluir que la

edad media de la población es diferente de 30 años?

Solución:

Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30

Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media


Solución:


Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra


n

xz

/

0


Solución:




10/20

3027

/

0

n

xz


Solución:




12.24142.1

3

10/20

3027

/

0

n

xz


Solución:

Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, se puede

rechazar la hipótesis nula porque -2.12 está en la región de rechazo. Se

puede decir que el valor calculado de la prueba estadística tiene un

nivel de significación de 0.05



Solución:

Conclusión. Se concluye que µ no es igual que 30 y que las

acciones del investigador deberán estar de acuerdo con esta

conclusión

Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ <

30?

Solución:

Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30

Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que -

2.12 < -1.645.



Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ < 30?

Solución:

Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30

Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que -

2.12 < -1.645.



Un hospital privado desea ofrecer tarjetas de crédito a sus

pacientes. El gerente del hospital asume que el gasto mensual de

los pacientes en dicho hospital es mayor a $1000. Para confirmar

su hipótesis selecciona a 15 pacientes y encuentra que el gasto

promedio es de $1030 con una desviación estándar de $50. ¿la

información obtenida en la muestra apoya la suposición del

gerente?

Ejemplo: prueba de hipótesis para la media


Solución:

Hipótesis: H0: µ ≤ 1000 vs Ha: µ > 1000



32.290.12

30

15/50

10001030

/

0

nS

xt


Solución:

Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la distribución

t con 14 grados de liberta y un nivel de significancia de 0.05, la regIa

de decisión, es, rechazar la hipótesis nula porque 2.32 está en la

región de rechazo



Solución:

Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la

distribución t con 14 grados de liberta y un nivel de

significancia de 0.05, la regIa de decisión, es, rechazar la

hipótesis nula porque 2.32 está en la región de rechazo

Conclusión:



Ejercicio: tomado de DanielW.

Un estudio tiene como propósito averiguar los factores

asociados con las discrepancias entre los niveles de

carboxihemoglobina y el estado de tabaquismo autodeclarado

Una muestra de 3918 no fumadores autodeclarados presentó

un nivel medio de carboxihemoglobina de 0.9 con una

desviación estándar de 0.96

Se pretende saber si es posible concluir que la media de la

población es menor que 1. Sea α =.01.

Ejercicio: prueba de hipótesis para la media


Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución

normal

Cuando se dispone de una muestra lo suficientemente grande se

aplica el teorema del límite central

La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la hipótesis

nula H0: ρ = ρ0

La estadística de prueba es:

Cuando H0 es verdadera, sigue aproximadamente una distribución normal

estándar

Prueba de hipótesis para la proporción de una población

n

z)1(

ˆ

00

0


Como director de las operaciones de mercadeo para una cadenaminorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma sehan graduado de la universidad. Usted intenta establecer una políticarespecto a la estructura de precios sobre esta proporción. Unamuestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen gradouniversitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre laproporción de todos los clientes son graduados de la universidad?

Solución:

Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60


Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción

n

z)1(

ˆ

00

0


Como director de las operaciones de mercadeo para una cadenaminorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma sehan graduado de la universidad. Usted intenta establecer unapolítica respecto a la estructura de precios sobre esta proporción.Una muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen gradouniversitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre laproporción de todos los clientes son graduados de la universidad?

Solución:

Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60



88.0

800

)60.01(*60.0

60.0615.0

)1(

ˆ

00

0

n

z


Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, no se

puede rechazar la hipótesis nula porque 0.88 está en la región de

NO rechazo.

Conclusión: Se puede decir que no hay suficiente evidencia

para decir que el 60% de los clientes son graduados

universitarios



La prueba de hipótesis involucra la diferencia entre las medias de

dos poblaciones

Se utiliza con más frecuencia para determinar si es razonable o no

concluir que las dos medias son distintas entre sí

En tales casos, se puede formular una u otra de las siguientes,

hipótesis:

Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones

1. H0 : µ1 = µ2 , Ha : µ1 ≠ µ2

2. H0 : µ1 ≥ µ2 , Ha : µ1 < µ2

3. H0 : µ1 ≤ µ2 , Ha : µ1 > µ2

1. H0 : µ1 - µ2 = 0, Ha : µ1 - µ2 ≠ 0

2. H0 : µ1 - µ2 ≥ 0, Ha : µ1 - µ2 < 0

3. H0 : µ1 - µ2 ≤ 0, Ha : µ1 - µ2 > 0


Varianzas poblacionales Varianzas poblacionalesconocidas desconocidas pero iguales

Si H0 es verdadera, la estadística

de prueba sigue una distribución

normal estándar Cuando H0 es verdadera, sigue

una distribución t de Student con . n 1 +n2 -2 grados de libertad

Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos

poblaciones

2

2

2

1

2

1

02121 )()(

nn

xxz

2

2

1

2

02121 )()(

n

s

n

s

xxt

pp

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

snsnsp


Varianzas poblacionales Varianzas poblacionales conocidas

desconocidas pero diferentes

Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos

poblaciones

2

2

2

1

2

1

02121 )()('

n

s

n

s

xxt


Una compañía de golf desea ver si el tiempo promedio que

requieren los hombres para jugar los 18 hoyos es diferente al de las

mujeres. Se mide el tiempo de 50 partidos dobles de hombres y 45

de mujeres obteniendo:

En base a los resultados de la muestra, ¿que se puede concluir?

Ejemplo 1: prueba de hipótesis para comparar dos

medias

Hombres Mujeres

Ῡ = 3.5 horas Ῡ = 4.9 horas

S = 0.9 horas S = 1.5 horas


Solución:

Hipótesis: H0: µH = µM vs Ha: µH ≠ µM

Supuestos: se desconocen las varianzas pero se asumen diferentes


Se rechaza Ho con una confianza del 5%, dado que -5.45<-1.96 y se concluye que los tiempos promedios son diferentes entre hombres y mujeres

Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos medias

45.5

45

)5.1(

50

)9.0(

0)9.45.3()()('

22

2

2

2

1

2

1

02121

n

s

n

s

xxt


La prueba que se utiliza con más frecuencia con relación a la

diferencia entre las proporciones de dos poblaciones es aquella

en la que su diferencia es cero

Es posible efectuar pruebas tanto unilaterales como bilaterales

La estadística de prueba es:

donde

Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos

poblaciones

21 ˆˆ

02121

ˆ

)()ˆˆ(

z

21

ˆˆ

)1()1(ˆ

21 nn

21

21

nn

xx


donde x1 y x2 son, respectivamente, el número de la primera y

segunda muestra que poseen la característica de interés

Por lo tanto, Z sigue una distribución aproximadamente

normal estándar si la hipótesis nula es verdadera

Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos

poblaciones


Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos

proporciones

Un minorista desea probar la hipótesis de que la proporción de sus

clientes masculinos, quienes compran a crédito, es igual a la

proporción de mujeres que utilizan el crédito. Él selecciona 100

clientes hombres y encuentra que 57 compraron a crédito mientras

que 52 de las 110 mujeres lo hicieron.

Solución:

La hipótesis es:


H0 : ρH = ρM , Ha : ρH ≠ ρ

M

21

ˆˆ

)1()1(ˆ

21 nn

21

21

nn

xx

INFERENCIA ESTADÍSTICAEjemplo: prueba de hipótesis para comparar dos

proporciones


41.1069.0

473.057.0

ˆ

)()ˆˆ(

21 ˆˆ

02121

z

069.0110

)48.0(52.0

100

)48.0(52.0)1()1(ˆ

21

ˆˆ 21

nn

52.0210

5257

21

21

nn

xx


Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos

proporciones

Decisión : No se rechaza la hipótesis nula, ya que la

estadística calculada es menor al valor crítico de la tabla Z

Conclusión no existe evidencia para afirmar que la

proporción de hombres y mujeres que compran a crédito

sean diferentes


Prueba de hipótesis para comparar VARIANZAS

Cuando los datos disponibles para el análisis de una

muestra aleatoria simple extraída de una población que

siguen una distribución normal, la estadística de prueba

para la hipótesis acerca de la varianza de una población es

la cual cuándo Ho es verdadera, sigue una distribución χ2

con n -1 grados de libertad

222 /)1( sn



Ejemplo tomado de Daniel W

El propósito de un estudio de fue examinar la liberación de

mediadores generados nuevos y preformados en respuesta a la

inhalación de un alérgeno en primates alérgicos. Los individuos

estudiados eran 12 monos macacos adultos machos. Entre los

datos reportados por los investigadores estaba un error estándar

de la media muestral es .4 para uno de los mediadores. Se

pretende saber si es posible concluir a partir de estos datos que

la variancia de la población es diferente de 4. alfa = 0.05




Hipótesis:

Estadística de prueba:




Hipótesis:


4:

4:

2

1

2

0

H

H




Hipótesis:


4:

4:

2

1

2

0

H

H

222 /)1( sn




Hipótesis:


4:

4:

2

1

2

0

H

H

28.54/92.1)112(/)1( 222 sn




Regla de decisión:

No se rechaza Ho porque 3.816 < 5.28 < 21.920

• Conclusión:

Con base en estos datos, no es posible concluir que la

variancia de la población es diferente de 4


Prueba de hipótesis para comparar DOS VARIANZAS

Las decisiones referentes a la comparación de variancias de

dos poblaciones se basan por lo general en la prueba del cociente

de dos varianzas

La hipótesis nula que indica que las varianzas de dos

poblaciones son iguales

Cuando son satisfechas ciertas suposiciones, la cantidad

sigue una distribución F con los grados de libertad n1-1 en el

numerador y n2-1 en el denominador

2

2

2

2

2

1

2

1

/

/

s

s

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Education

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