Universidad Simom BolvarPrincipios Fisicoqumicos en Geofsica II GC - 2213

Clase 1: IntroduccionSobre el Origen de las Ideas Cuanticas

Prof. Ilich GarcaDepartamento de Ciencias de la Tierra

Valle de Sartenejas, 29 de Octubre de 2013

A nes del siglo XIX, el universo se describa en terminos de tres teoras que eran la maxima ex-

presion del conocimiento: La Mecanica Newtoniana, El Electromagnetismo unicado por Maxwell y

La Termodinamica de Bolzman. La luz y la radiacion eran entendidos como fenomenos ondulatorios.

Por otra parte, se saba de la existencia de ciertas particulas constituyentes de la materia ordinaria:

atomos y electrones.

La primera indicacion de que algo andaba mal en la concepcion clasica, surge en 1900 a partir del

trabajo de Max Planck, intentando explicar la forma del espectro de radiacion termica de objetos

incandescentes. Para ello, PLanck se vio forzado a suponer que la energa era radiada o absorbida

en pequeos paquetes discretos que llamo cuantos de energa.

El siguiente paso, lo da Albert Einstein en 1905, al usar los cuantos de PLanck para explicar

el efecto fotoelectrico. Einstein le dio cuerpo a la idea de que la radiacion poda estar compuesta

por poartculas (fotones) con una energa asociada que dependa de su frecuencia f de acuerdo a la

hipotesis original de Planck, E=hf. La constante h es la constante de PLanck y, en terminos moder-

nos, determina la escala de accion en la cual los efectos cuanticos son relevantes.

La nocion de foton recibe un impulso denitivo de Niels Bohr, quien la usa en 1993 para ex-

plicar la estructura de los atomos hidrogenoides y las regularidades en sus espectros de emision y

absorcion. Comienza a establecerse gradualmente la idea de que la luz tiene una naturaleza dual y

Tomado de Gonzalo Ricardo, Introduccion al procesamiento cuantico de la informacion, Universidad de laRepublica, 2005

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se maniesta como una onda bajo ciertas circunstancias y como una partcula bajo otras. El campo

electromagnetico describe el aspecto ondulatorio de un foton y este representa el aspecto corpuscular

del campo.

El modelo de Bohr "`explico" la naturaleza del espectrop de emision de los con un electron en

terminos de reglas arbitrarias. Por ejemplo, postulando que los electrones no radiaban cuando esta-

ban en orbitas estacionarias, en las cuales su cantidad de movimiento angular es un multiplo entero

de la constante de Planck reducida, h = h2. La teora electromagnetica predice que una carga acel-

erada irradia, por lo tanto los electrones orbitando irradiaran su energa y los atomos y toda la

materia sera inestable. Bohr no poda explicar por que esto no tena lugar en sus orbitas estacionar-

ias. Ademas, su modelo no poda describir los aspectos de emision de atomos con mas de un electron.

Louis de Broglie, en 1924 arma que as como los fotones tienen una onda asociada, el campo

electromagnetico ~E(~r; t), existe una onda "de materia" (~r; t) asociada a cada electron. La cantidad

de movimiento del electron es inversamente proporcional a la longitud de esta onda, = hp. Apli-

cando esta condicion al atomo de Bohr, de Broglie muestra que las orbitas estacionarias del electron

son, aquellas en las cuales la longitud de onda cabe un numero entero de veces en la circunferencia

orbital, al igual que los modos normales de una cuerda con extremos jos.

En 1926, el fsico austraco Erwin Schrodinger propone un tratamiento ondulatorio para describir

el comportamiento de los electrones en los atomos, cuya piedra angular es una ecuacion de evolucipara

los ondas de materia,

ih@

@t=

h2mr2 + V (~r)

,

hoy conocida como la ecuacion de Schrodinger. Esta ecuacion tiene una particularidad que dejo

inquieta a mucha gente: las ondas de materia son descritas por una funcion compleja y no real.

En 1926, el fsico aleman Werner Heisenberg, que luego formulara el principio de incertidumbre,

buscando una descripcion adecuada para los atomos con mas de un electron, desarrollo una formu-

lacion basada en matrices complejas, conocida hoy da como mecanica matricial. En poco tiempo

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resulto evidente que la teora de Heisenberg y la de Schrodinger daban los mismos resultados y eran

dos formulaciones equivalentes de una sola teora: La Mecanica Cuantica. En 1927, Bohr sinte-

tiza la situacion con su Principio de Complementaridad : as como la luz, la materia tambien tiene

dos aspectos complementarios ondulatorio y corpuscular. Eisntein haba identicado la densidad de

energa del campo electromagnetico, proporcional a ~E(~r; t)2, con el numero de fotones por unidad

de volumen. La identicacion del modulo al cuadrado de la funcion de onda de materia, j(~r; t)j2,como una densidad de masa, o mas bien como la probabilidad por unidad de volumen (densidad de

probabilidad), de encontrar a la partcula en torno a la posicon ~r surge como algo natural. Esta es

la interpretacion propuesta por Max Born en Gottingen (Alemania) luego del aporte de Scrondinger,

conocidad como la interpretacion de Copenahge, debido a la fuerte inuencia de Niels Bohr.

Solo faltaba una pieza en el rompecabeza cuantico: alguien que observara directamente la natu-

raleza ondulatoria de la materia. En 1926 y 1927 se observo la difraccion de un haz de electrones que

impacta eb un blanco metalico. Los planos de la estructura cristalina del metal actuan como una

red de difraccion para las ondas de materia asociadas al haz de electrones, produciendo un patron

de difraccion descrito por la Ley de Bragg. Los experimentos fueron llevados a cabo en EEUU

por Davisson y Germer, y en Escocia por G. P. Es paradojico observar que Thomson padre, J. J.

Thomson, recibio un premio nobel por su descubrimiento y su medida del cociente carga/masa

del electron en 1897. Thonson hijo recibio un nobel en 1937 (compartido con Davisson) por su

comprobacion experimental de la naturaleza ondulatoria de los electrones. Es decir, que el padre

recibe un nobel por comprobar la naturaleza corpuscular del electron y el hijo, por comprobar su

naturaleza ondulatoria. En 1930 la opinion predominante es que estan establecidas las bases de la

Teora Cuantica de la radiacion y la materia.

Hoy observamos atomos individuales en la supercie de un solido cristalino, aislamos y manip-

ulamos un ion en una cavidad, enfriamos pequeas nubes de atomos a temperaturas de Kelvin,

observamos la superuidez del Helio, usamos el tunelamiento cuantico para construir dispositivos

electronicos, etc. La Mecanica Cuantica es la teora mas comprobada de la Fsica, aunque diste de

ser intuitiva para nuestra mente clasica.

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1 Radiacion Termica y el Postulado de Planck

La radiacion emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura, se denomina: radiacion

termica. Los cuerpos no slo emiten tal radiacion sino que tambien la absorben de su entorno. Si un

cuerpo esta mas caliente que su entorno, se enfriara, ya que la rapidez con que emite energa excedera

la rapidez con que la absorbe. Cuando alcanza el equilibrio termico con su entorno, sus velociddades

de absorcion y emision son iguales.

El espectro de la radiacion termica de un cuerpo solido caliente es continuo, dependiendo mucho

sus detalles de la temperatura. La radiacion emitida por un cuerpo caliente depende no solo de la

temperatura sino tambien del material del que esta hecho, su forma y la naturaleza de su super-

cie. Sin embargo, experimentalmente se encuentra que slo hay una clase de cuerposs que emiten

espectros termicos de caractersticas universales. Estos son los llamados Cuerpos Negros, cuerpos

cuyas supercies absorben toda la radiacion termica que incide sobre ellos.

Consideremos un objeto que contiene una cavidad y que se comunica con el exterior por medio

de un pequeo agujero tal como se muestra en la Figura 1. La radiacion incidente se reeja hacia

todos los sentidos en las paredes de la cavidad, de modo que la misma es absorbida completamente

despues de las reexiones sucesivas. El agujero absorbe radiacion como un cuerpo negro. En el

proceso inverso, el agujero emite radiacion como un cuerpo negro.

Figura 1: Cavidad en un cuerpo comunicado con el exterior por medio de un pequeo agujero.

La radiacion termica emitida por una cavidad radiante, tiene un espectro muy sencillo cuya nat-

uraleza se determina solamente mediante la temperatura de las paredes y de ninguna manera por

el material de la cavidad, su forma o su tamao. La radiacion de la cavidad nos ayuda a entender

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la naturaleza de la radiacion termica del mismo modo que el gas ideal nos ayudo a entender a la

materia en su forma gaseosa. Son tres lasa propiedades interrelacionadas de la radiacion de la cavidad,

1) La Ley de Stefan - Boltzmann.

La potencia total irradiada por unidad de area de la abertura de la cavidad, sumada para todas

las longitudes de onda, se llama intensidad radiante I(t) y se relaciona con la temperatura por,

I(T ) = T 4;

donde = 5; 670x108 Wm2K4

es la constante de Stefan Bolztmann.

Los objetos calientes ordinarios irradian siempre menos ecientemente de lo que lo hace la cavidad

radiante, luego,

I(T ) = T 4;

! cantidad adimensional llamada emisividad de la supercie del material. = 1! para la cavidad radiante (cuerpo negro). < 1! en las supercies de los objetos ordinarios y casi siempre en terminos de T.

2) La Radiancia Espectral.

La distribucion espectral de la radiacion de un cuerpo negro se especica por la cantidad RT (),

llamada radiancia espectral, denida tal que RT ()d es igual a la energa emitida en forma de

radiacion con frecuencias en el intervalo entre y + d de un area unitaria de la supercie a

temperatura absoluta T y por unidad de tiempo.

La radiancia espectral RT () o RT () nos dice como vara la intensidad de la radiacion de la cavi-

dad con la longitud de onda para una temperatura determinada. Se dene de modo que el producto

RT ()d da la potencia irradiada por unidad de area que se encuentra en la banda de longitudes de

onda que se extiende desde hasta + d. RT () es una funcion de distribucion estadstica.

I(T ) =

Z 01RT ()d; Tfijo

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Algunos autores llaman a RT =R 01RT ()d; RT radiancia, as, RT aumenta a medida que

aumenta la temperatura, tal como lo establece la ley de Stefan - Boltzmann, RT = T4.

Figura 2: Distribucion espectral de la radiacion del cuerpo negro para diferentes temperaturas.

3) Ley de Desplazamiento de Wien.

De la gura anterior (g2), vemos que de las curvas de la radiancia espectral, max, la longitud

de onda para la cual la radiancia espectral es maxima, disminuye conforme aumenta la temperatura.

Wilhem Wien, (fsico aleman, 1864-1928), dedujo que max vara segun1Ty que el producto maxT

es una constante universal. Su valor medido es,

maxT = 2898(mK)

relacion que recibe el nombre de Ley de Desplazamiento de Wien .

En la gura 3, la curva solida representa la radiancia espectral de la radiacion de una cavidad

a 2000oK. Las predicciones de la ley clasica de Rayleigh y Jeans y de la ley de Wien se muestran

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como lneas entrecortadas. As, la discrepacia entre los resultados experimentales y las predicciones

de Rayleigh-Jeans, para la densidad de energa en una cavidad radiante, es llamada catastrofe

ultravioleta.

Figura 3: Catastrofe Ultravioleta.

8

R() =a

51

ebT 1

Esta ultima es la formula de la radiacion de Planck original, donde a y b son constantes empricas.

R() =2c2h

51

ehc

KT 1

T ()d =82

c3h

ehKT 1

d

y este es el espectro del cuerpo negro de Planck.

La formula que planck obtuvo para , fue, = hehKT 1

, donde =R 01 P ()dR 01 P ()d

, donde P ()d es la

probabilidad de encontrar un ente dado de un sistema, con energa en el intervalo entre y + d

Para la funcion de distribucion de Boltzman,

P () =e

KT

KT

) = KT

! Principio de equipartcion de la energa.Derivemos la expresion de Planck para la energa promedio y su espectro de cuerpo negro.

=

Pn=1n=0 P ()Pn=1n=0 P ()

;

del postulado de Planck, la energa se convierte en una variable discreta que toma valores, =

0; h; 2h; 3h; :::

= nh; n = 0; 1; 2; 3; ::::;

evaluando la distribucion de Boltzmann,

P () =e

KT

KT

=

Pn=1n=0

nhKT

e

KTPn=1n=0

1KT

= KT

Pn=1n=0 ne

nPn=1n=0 e

n ; donde n =h

KT

8

la ultima expresion puede evaluarse mas facilmente si observamos que,

dd

Lnn=1Xn=0

en = d

d

Pn=1n=0 e

nPn=1n=0 e

n =

Pn=1n=0 ddenPn=1

n=0 en =

Pn=1n=0 ne

nPn=1n=0 e

n ;

de manera que,

= KT

d

dLn

n=1Xn=0

en!= h d

dLn

n=1Xn=0

en;

n=1Xn=0

en = 1 + e + e2 + e3 + ::: = 1 + x+ x2 + x3 + :::; donde x = e

pero (1 x)1 = 1 + x+ x2 + x3 + :::; as,

= h dd

Ln(1 e)1 = h(1 e)(1)(1 e

)2e

=he

1 e =h

e 1 =

h

ehKT 1

lo cual corresponde a la energa promedio de una onda electromagnetica estacionaria de frecuencia

.

El Postulado de Plank

La contribucion de Planck se puede enunciar de la siguiente forma,

Cualquier ente fsico con un grado de libertad, cuya "coordenada" es una funcion senoidal del tiempo,

es decir, realiza oscilaciones armonico-simple, solo puede poseer energas totales , que sastifacen la

relacion,

= nh; n = 0; 1; 2; 3; :::

donde es la frecuencia de la oscilacion y h es una constante universal.

En la Figura 5(a) se muestra las energas permitidas en un sistema clasico, oscilando senoidal-

mente con frecuencia , distribuidas en forma continua. En la Figura 5(b) se muestran las energas

permitidas distribuidas en forma discreta de acuerdo con el postulado de Planck, ya que solo pueden

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tener valores nh.Se dice que la energa esta cuantizada, siendo n el numero cuantico del estado de

energa permitido.

() =8h3

c31

ehKT 1

Figura 4: Energas permitidas en un (a) sistema clasico, (b) sistema cuantico.

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