Clase 06 - Variables Aleatorias Multidimensionales
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Variables Aleatorias Multidimensionales
Mallen Arenas
Departamento de EstadısticaFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
Universidad de Concepcion
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 1 / 30
1 Introduccion
2 Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
3 Distribuciones condicionales
4 V. a. multidimensional discreta
5 Distribucion multinomial
6 Variables Aleatorias bidimensionales continuas
7 Variables aleatorias independientes
8 Covarianza y coeficiente de correlacion lineal
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 2 / 30
Introduccion
Introduccion
Hasta el momento hemos considerado conceptos probabilisticos tomandoen cuenta una variable aleatoria a la vez. Es decir el resultado de unexperimento se podıa registrar como un solo numero xEn muchos casos, sin embargo, nos interesa medir simultaneamente dos omas caracteristicas numericas.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 3 / 30
Introduccion
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar dos dados. Podrıamos definir lassiguientes variables aleatorias en el espacio muestral correspondiente:
X = el numero de puntos que aparece en el dado 1Y = el numero de puntos que aparece en le dado 2.
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Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
Definicion
Sean X e Y dos variables aleatorias discretas. La distribucion deprobabilidad conjunta ( o bivariada) para X e Y esta dada por:
p(x, y) = P (X = x, Y = y)
definida para todos los numeros reales x, y. La funcion p(x, y) sedenomina funcion de probabilidad conjunta (f.p.c).
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Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
Definicion
La funcion de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas Xe Y denotada por p(x, y), satisface las condiciones siguientes:
1 p(x, y) ≥ 02∑
RX
∑RY
p(x, y) = 1La funcion de probabilidad conjunta de X e Y es cero para todos losvalores en los que no se especifica probabilidad alguna.
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Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
Definicion
La funcion de distribucion acumulada conjunta F (a, b), para cualquier parde variables aleatorias X e Y , esta dada por
F (a, b) = P (X ≤ a, Y ≤ b)
es decir,
F (a, b) =∑xi≤a
∑yj≤b
p(xi, yj) =∑xi≤a
∑yj≤b
P (X = xi, Y = yj)
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Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
Definicion
Si X e Y son variables aleatorias discretas con una funcion de probabilidadconjunta p(x, y), entonces las funcione de probabilidad marginal de X y Yson:
p(xi) = P (X = xi) =∑RY
p(xi, yj) =∞∑
j=1
p(xi, yj)
y
p(yj) = P (Y = yj) =∑RX
p(xi, yj) =∞∑i=1
p(xi, yj)
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Variables Aleatorias bidimensionales Discretas
Ejemplo
La funcion de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X,Y ) estadefinida por,
p(x, y) =xy
30x = 1, 2; y = 1, 2, 3, 4
a) Hallar la distribucion de probabilidades marginales de X y de Y ;
b) Hallar la media y la desviacion estandar de Y .
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Distribuciones condicionales
Distribuciones condicionales
Definicion
Dadas las variables aleatorias discretas X e Y con funcion de probabilidadconjunta p(x, y), la funcion de probabilidad de Y dado X = x es:
pY |X=x(y) =p(x, y)p(x)
para p(x) > 0.
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Distribuciones condicionales
Ejemplo
Dos lıneas de produccion fabrican cierto tipo de artıculo. Suponga que lacapacidad (en cualquier dıa dado) es de 5 artıculos para la lınea I de 3artıculos para la lınea II, y que el numero verdadero de artıculos producidospor cada una de las lıneas es una variable aleatoria. Sea (X,Y ) larepresentacion de la variable bidimensional que da el numero de artıculosproducidos por la linea I y por la lınea II, respectivamente.
Y \X 0 1 2 3 4 5 Suma
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.251 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.262 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.253 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24
Suma 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1
¿Cual es la probabilidad de que la lınea I produzca 2 artıculos dado que lalınea II produjo 2 artıculos?
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Distribuciones condicionales
Definicion
La media o esperanza condicional de Y dado X = x, denotada comoE(Y |x) = E(Y |X = x) o µY |X=x = µY |x, es:
E(Y |X = x) =∞∑
j=1
yjpY |X=x(yj)
y la varianza condicional de Y dado X = x, denotada porV (Y |x) = V (Y |X = x) o σ2
Y |x = σ2Y |X=x es
V (Y |X = x) =∞∑
j=1
(yj − µY |x)2pY |X=x(yj)
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 12 / 30
Distribuciones condicionales
Ejemplo
Para el ejemplo anterior tenıamos la siguiente distribucion deprobabilidades.
Y \X 0 1 2 3 4 5 Suma
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.251 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.262 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.253 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24
Suma 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1
¿Cual es el numero esperado de artıculos producidos por la lınea II dadoque la lınea I no produjo artıculos? Calcule tambien σY |X=2.
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Distribuciones condicionales
Definicion
Sea (X,Y ) una variable aleatoria bidimensional discreta con funcion deprobabilidad marginal pX(x) y pY (y). Se dice que X e Y sonindependientes si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades:
pX,Y (x, y) = pX(x)pY (y) para todo x, y;pY |x(y) = pY (y) para todo x, y con pX(x) > 0;pX|y(x) = pX(x) para todo x, y con pY (y) > 0;
P (X = x, Y = y) = pX(x)pY (y) para todo x, y.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 14 / 30
V. a. multidimensional discreta
V. A. multidimensional discreta
Definicion
La funcion de probabilidad conjunta de X1, X2, . . . , Xn es:
pX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn)
Para todos los puntos (x1, . . . , xn) en el recorrido de X1, . . . , Xn.
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V. a. multidimensional discreta
Definicion
Si son variables aleatorias discretas con funcion de probabilidad conjuntapX1,...,Xn(x1, . . . , xn) , entonces la funcion de probabilidad marginal decualquier Xi es:
pXi(xi) = P (Xi = xi) =∑RX1
· · ·∑
RXi−1
∑RXi+1
· · ·∑RXn
pX1,...,Xn(x1, . . . , xn),
donde RXj denota el recorrido de la variable Xj .
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 16 / 30
Distribucion multinomial
Distribucion multinomial
Suponga que:
Un experimento aleatorio consiste en una serie de n ensayos.
El resultado de cada ensayo se clasifica en una de las k clases;
La probabilidad de que un ensayo genere un resultado en la clase 1, laclase 2 ,. . . , la clase k, es constante en todos los ensayos e igual ap1, p2, . . . , pk, respectivamente;
Los ensayos son independientes;
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 17 / 30
Distribucion multinomial
Las variables aleatorias X1, X2, . . . , Xk que denotan el numero de ensayosque caen en la clase 1, en la clase 2,. . . ,en la clase k, respectivamentetiene distribucion multinomial con una funcion de probabilidad conjunta
P (X1 = x1, . . . , Xk = xk) =n!
x1!x2! . . . xk!px11 p
x22 . . . pxk
k ,
para x1 + x2 + · · ·+ xk = n y p1 + p2 + · · ·+ pk = 1.La distribucion multinomial se considera como una extension multivariadade la distribucion binomial.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 18 / 30
Distribucion multinomial
Ejemplo
Se fabrica una barra de un largo especıfico. Suponga que el largoverdadero X (en centımetros) es una variable aleatoria distribuidauniformemente en el intervalo [10,12]. Suponga que solo nos interesasaber si ha ocurrido alguno de los tres eventos siguientes:
A1 = {X < 10.5}, A2 = {10.5 ≤ X ≤ 11.8} A3 = {X > 11.8}
Si se fabrican 10 de tales barras, calcule la probabilidad de obtenerexactamente 5 barras de longitud menor que 10.5 cm y exactamente 2 delongitud mayor que 11.8 cm.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 19 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Definicion
Diremos que (X,Y ) es una variable aleatoria bidimensional continua siambas variables son continuas. En tal caso la funcion de densidadconjunta denotada por f(x,y), satisface las siguientes propiedades.
1 f(x, y) ≥ 0;
2∫RX
∫RY
f(x, y)dxdy =∫∞−∞
∫∞−∞ fX,Y (x, y)dxdy = 1;
3 Si E es un subconjunto del recorrido de (X,Y ), entonces
P (E) =∫ ∫
Ef(x, y)dxdy.
Obs: en particular si E = (a, b)× (c, d), entonces:
P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dxdy.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 20 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Ejemplo
Supongase que una partıcula radiactiva se localiza aleatoriamente en uncuadrado con los lados de longitud unitaria. Es decir, si consideran dosregiones de la misma area, la partıcula tendra igual probabilidad de entraren cualquiera de ellas. Sean X y Y las coordenadas que localizan lapartıcula. Un modelo adecuado serıa el analogo bivariado de ladistribucion uniforme univariada.
Encuentre la fdp conjunta de X e Y ;
Encuentre P (X ≤ 0.2, Y ≤ 0.4);
Encuentre P (0.1 ≤ X ≤ 0.3, 0 ≤ Y ≤ 0.5).
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 21 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Definicion
Si la funcion de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuasX e Y es f(x, y), entonces las funciones de densidad de probabilidadmarginales de X e Y son
fX(x) =∫ ∞−∞
f(x, y)dy
y
fY (x) =∫ ∞−∞
f(x, y)dx,
respectivamente.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 22 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Ejemplo
a) Determine las funciones marginales del ejemplo anterior
b) Determine el promedio o esperanza de X.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 23 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Definicion
Dadas las variables aleatorias continuas X e Y con funcion de densidad deprobabilidad conjunta f(x, y), la funcion de densidad de probabilidadcondicional de Y dado X = x es:
fY |x(y) = fY |X=x(y) =f(x, y)fX(x)
,
para fX(x) > 0.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 24 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Definicion
La media condicional de Y dado X = x, denotada por E(Y |x) o µY |xes
E(Y |x) =∫
RY
yfY |xdy.
y la varianza de Y dado X = x denotada por V (Y |x) o σ2Y |x es:
V (Y |x) =∫
RY
(y − µY |x)2fY |xdy.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 25 / 30
Variables Aleatorias bidimensionales continuas
Ejemplo
Sea
f(x, y) ={
3x, si 0 < y < x < 10, E.O.C.
Determine P (0 ≤ X ≤ 0.5, Y > 0.2);
Calcule P (0.1 < Y < 0.7/X = 0.2).
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 26 / 30
Variables aleatorias independientes
Variables aleatorias independientes
Definicion
Sean X e Y variables aleatorias continuas con fdp conjunta f(x, y). Sedice X es independiente de Y si:
fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y), para todo (x, y)
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 27 / 30
Variables aleatorias independientes
Definicion
Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias. Se dice que las n variablesaleatorias son mutuamente independientes (o solo independientes ) si:
P (X=x1, . . . , Xn = xn) =
∏ni=1 P (Xi = xi), para todo (x1, . . . , xn)(caso discreto)
fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) =∏n
i=1 fXi(xi), para todo (x1, . . . , xn)(caso continuo)
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 28 / 30
Covarianza y coeficiente de correlacion lineal
Covarianza y coeficiente de correlacion lineal
La covarianza entre las variables X e Y se define por:
Cov(X,Y ) = E ([X − E(X)][Y − E(Y )]) = E(XY )− E(X)E(Y ).
El coeficiente de correlacion lineal entre X e Y se define por:
ρX,Y =Cov(X,Y )σXσY
.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 29 / 30
Covarianza y coeficiente de correlacion lineal
Propiedades del coeficiente de correlacion:
1 −1 ≤ ρX,Y ≤ 1 o ρ2X,Y ≤ 1;
2 ρX,Y = 1 si Y = aX + b con a y b constantes y a > 0;
3 ρX,Y = −1 si Y = aX + b con a y b constantes y a < 0;
4 Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces:
Cov(X,Y ) = 0,
y en consecuencia:ρX,Y = 0.
Mallen Arenas (Dpto. Estadıstica) Variables Aleatorias Multidimensionales 30 / 30