CIRCUNFERÊNCIAS E ÂNGULOS
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22
Ângulo ao centroÂngulo ao centro
Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da
circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência.
AOB é um ângulo ao centro
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• Amplitude do ângulo ao centroAmplitude do ângulo ao centro
Amplitude do arco correspondente
Amplitude do ângulo ao centro
A cada ângulo ao centro corresponde um arco,
que é a sua intersecção com a circunferência.
Reciprocamente, a cada arco corresponde um
ângulo ao centro
A amplitude do ângulo ao centro é igual a amplitude do
arco correspondente.
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Exercício:
Determine a amplitude do ângulo x e do seu arco correspondente.
1.
2.
º90ˆ x
º60ˆ x
A amplitude do arco correspondente é também 90º.
A amplitude do arco correspondente é também 60º.
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Ângulo inscritoÂngulo inscrito
Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice na circunferência e
os lados contém cordas dessa circunferência.
AVB é um ângulo inscrito
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• Amplitude do ângulo inscritoAmplitude do ângulo inscrito
O
C
BA 120°
60°
Na figura, [ABC] é um triângulo equilátero.
Logo, º60ˆ BCA
O arco AB tem de amplitude 120º.
Então,
º120ˆ BOA e º60ˆ BCAPortanto,
BCABCA ˆ2
1ˆ
A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude
do ângulo ao centro correspondente.
OUA amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude
do arco que ele contém.
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Alguns Exemplos:
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88
Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.
1.
2.
2
º86ˆ x º43
2
º40ˆ x º20
º86ˆ y
º40ˆ y
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Propriedades1. Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco
BEABDABCA ˆˆˆ porque os três ângulos contêm o mesmo
arco AB.
,
Então,
Os ângulos inscritos que
contêm o mesmo arco são
geometricamente iguais.
50º
50º
50º
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1010
2. Ângulos inscritos numa semi-circunferência
º90ˆˆˆ BEABDABCA
Então,
Um ângulo inscrito
numa semi-circunferência
é um ângulo reto.
90º
90º
90º
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3. Ângulo ao centro, arcos e cordasNa figura estão representados
dois ângulos ao centro iguais, as cordas e
os arcos correspondentes.
º40ABCD
ABCD Então,
Numa circunferência, as
cordas correspondentes a dois ângulos
ao centro iguais são geometricamente
iguais, e reciprocamente.
Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao
centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.
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4. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência
CBAa ˆ2ˆ
CDAb ˆ2ˆ
)ˆˆ(2ˆˆ CDACBAba
Mas,º360ˆˆ ba
Portanto,
º360)ˆˆ(2 CDACBALogo,
º180ˆˆ CDACBA
Então, A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa
circunferência é 180º.
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Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.
1.
2.
Pela propriedade 1 vêm: º62ˆ x
º622ˆ y º124
A amplitude do arco correspondente ao ângulo
(inscrito) de 130º é de 260º.
Logo, º260º360ˆ x º100
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1414
3.
4.
Usando a propriedade 2 vêm:
)º30º90(º180x̂
º120º180º60
OBABAO ˆˆ Então, º96º84º180ˆ AOB
Logo,
º482
º96ˆ x
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Ângulo de vértice internoÂngulo de vértice interno: a medida de um ângulo de : a medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.arcos determinados pelos seus lados.
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1616
Ângulo de vértice externoÂngulo de vértice externo:: A medida de um ângulo de A medida de um ângulo de vértice externo é igual à semi-diferença dos arcos de vértice externo é igual à semi-diferença dos arcos de terminados pelos seus lados. terminados pelos seus lados.
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Ângulos de segmentoÂngulos de segmento:: é todo ângulo cujo vértice é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à circunferência. A medida secante e o outro, tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por
ele determinadoele determinado. .
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1818
EXEMPLOS DE ÂNGULOS QUE NÃO EXEMPLOS DE ÂNGULOS QUE NÃO PERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIAPERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIA
![Page 19: CIRCUNFERÊNCIAS E ÂNGULOS](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062422/56812c41550346895d90c6cd/html5/thumbnails/19.jpg)
1919
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2020