GUIA No. 14: CRCULO UNITARIO, IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS, NGULOS DE REFERENCIA y ECUACIONES TRIGONOMTRICAS Competencia: Identificar y utilizar adecuadamente las expresiones trigonomtricas, sus operaciones y propiedades bsicas, como modelos para resolver situacionesproblema en distintos contextos. Resuelve expresiones trigonomtricas, utilizando las propiedades y operaciones trigonomtricas. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Circunferencia unitaria Lacircunferenciagoniomtrica,trigonomtrica,unitariaounidadesunacircunferenciade radioigualalaunidad.Dichacircunferenciaseutilizaconelfindepoderestudiartantolas razones trigonomtricas, como las identidades fundamentales, mediante el uso de tringulos rectngulos. El Seno de un ngulo es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa: En la figura anterior: Cat.eto Opuesto AC ACSen = = = = ACHipotenusa. OA 1 Cat.eto adyacente OC OCCos = = = =OCHipotenusa OA 1 2 2 2Por teorema de Pitgoras :Hipotenusa. = Cat.Op. + Cat.Ady. = 1 Por lo tanto:+ =2 21 AC OCReemplazando obtenemos: o o + =2 21 Sen Cos (1)IDENTIDAD FUNDAMENTAL Dividiendo todos los trminos de la ecuacin (1) por 2cos o , tenemos: 2 2Sen Cos 1+ =2 2 2Cos Cos Cos O sea:o o + =2 2tan 1 sec(2)IDENTIDAD FUNDAMENTAL Ahora dividiendo todos los trminos de la ecuacin (1) por 2sen o , tenemos: 2 2Sen Cos 1+ =2 2 2Sen Sen Sen O sea: o o + =2 21 csc ctg(3)IDENTIDAD FUNDAMENTAL CUADRO SINPTICO DE LAS IDENTIDADES BSICAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Lasidentidades trigonomtricas son igualdades que contienen funciones trigonomtricas. Las identidades deben ser verificables para cualquier valor vlido de la variable o variables que se tengan (valores que pueden tomar los ngulos sobre los que se usan las funciones). Son ventajosas siempre que se deban simplificar expresiones que incluyan funciones trigonomtricas. Igualmente son tiles en el clculo diferencial eintegral. Veamos las ms bsicas: =sintancosxxx= =1 coscottan sinxxx x =1seccosxx=1cossinxx Entonces puede expresarse la funcin seno segn alguna otra conocida: () () = 2sin 1 cos x x ()()=+21sin1 tanxx

()()=+21sin1 cotxx() () = 21sin sec 1secx xx y anlogamente con las restantes funciones . Para ngulos opuestos: ( ) () = sin sin x x = cos( ) cos( ) x x = tan ( ) tan( ) x x = csc( ) csc( ) x x = sec( ) sec ( ) x x = cot ( ) cot ( ) x x Ejemplos resueltos Verificar las siguientes identidades: a)o o o = tan cos 0 senSolucin o o o o = ( / cos ) cos 0 sen seno o =0 sen senb)o o o = 2 2 2sec (csc 1) csc Solucin oo o (| | | | =( || ( \ . \ . 2 221 11 csccos sen oo o| | = |\ .22 21 11 csccos sen ooo o| | = |\ .222 21 1csccossensen ooo o = 222 21 coscsccos sen oo =221cscsen c)o | o | o | | o o | + = + tan tan (cot cot ) ( cos cos )/ cos cos sen sen Solucin o | o | o | | |o | o o o || | ++ = |\ . cos cos cos coscos cos cos cossen sen sen sensen sen o | | o o | o | | oo | o | o || | + += |\ . cos cos cos coscos cos cos cossen sen sen sen sen sensen sen | o o | o | | oo | o |+ += cos cos cos coscos cos cos cossen sen sen sen d)o o | | o = 2 2 2 2 2cos cos sen sen sen Solucin ( )o o | | | o = 2 2 2 2 2 21 cos sen sen sen sen seno o o | | | o + = 2 2 2 2 2 2 2cos sen sen sen sen sen seno | | | o = 2 2 2 2 2cos sen sen sen sen( )o | | | o = 2 2 2 2 21 cos sen sen sen sen | o | | | o = 2 2 2 2 2 2cos sen sen sen sen sen e) ( ) ( ) o o o + = 21 tan 1 tan 2 sec Solucin o o = 2 21 tan 2 sec

ooo = 2221 2 seccossen ooo = 2221 cos1 2 seccos o ooo += 2 222cos 1 cos2 seccos ooo = 2222 cos 12 seccos ooo o = 222 22 cos 12 seccos cos o o = 2 22 sec 2 sec Ejercicios propuestos de identidades: 1.La expresin |uuusensen++1coscos es. Equivalente a : a csc b sec c sen d cos2.( )2cos x senx +es igual a: a 1 b 2 1 senxcosx c 1 2senx cosx d 1 2sen2x NGULOS DE REFERENCIAPara calcular los valores de las funciones trigonomtricas de cualquier ngulo, es suficiente conocer las relacionadas con las del intervalo| | o, /2 o sea las de los ngulos agudos.Para realizar este proceso se utiliza el concepto de ngulo de referencia.Un ngulo de referencia Res el ngulo agudo que forman el lado terminal de y el eje X. Para calcular los valores de las funciones de cualquierngulo positivo o negativo, se hallan las que corresponden al ngulo de referencia y se hace la relacin teniendo en cuenta el signo de la misma segn el cuadrante al cual pertenece el ngulo dado.Ejemplo1:Si o= 135 u = 180 135r u=45r = =2135 452sen sen = =2cos135 cos452 = = tan135 tan45 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo 2. Si 7 =6

tu t = 7,6r

tu =6r t t= =7 16 6 2sen sen , t t= =7 3cos cos6 6 2, t t= =7 3tan tan6 6 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo 3: Si t=53t,

tu t = 2 53r

tu =3r

t= =3sec3 2sen , t= =1csc cos3 2,t= = tan tan 33

Ejercicios propuestos: Calcular,usando los ngulos de referencia apropiados: t =71)cos4

t =22)3sen= 3)tan 210 = 4)sec 240 ECUACIONESTRIGONOMTRICAS Def. Una ecuacin trigonomtrica es aquella ecuacin en la que existen trminos con una o ms funciones trigonomtricas, por lo tanto la incgnita en ellas es el ngulo, el cual es comn. Unaformaefectivaparasolucionarlamayorpartedestasconsisteentransformar,mediantelasidentidadesbsicaso fundamentales trigonomtricas, todas las funciones que aparecen all en una sola funcin. Una vez expresada la ecuacin en trminos de una sola funcin trigonomtrica, se aplican los pasos usuales en la solucin de ecuaciones algebraicas para despejar la funcin; por ltimo, se resuelve la parte trigonomtrica, es decir, conociendo el valor de la funcin trigonomtrica de un ngulo hay que pasar a determinar cul(es) es(son) el(los) ngulos que cumplen en un intervalo dado. Es posible que resultenvalores inconsistentes, por ejemplo, puede resultar un Sen x =2, el cual debemos eliminar, de las respuestas, pueselelSenoestentre1y1.Porestarazn,debemosconfirmartodaslasrespuestasobtenidasy aceptar slo aquellas que satisfacen la ecuacin original. Ejemplos de ecuaciones trigonomtricas: Ejemplo 1:=0 senx El seno es nulo en el eje de abscisas y tiene de perodo 360.Por lo tanto =1(0) (0) arcsen sen Lase ngulo(s) cuyo seno es cero ( ) = + = = `= + = )1 1 12 20 360 0 ,360 ,720 ,...0180 360 180 ,540 ,900 ,...X k xx senX k x = + 0 180 x kEjemplo 2: Resuelve la ecuacin:= 2 21cos2sen x x- Como tengo una ecuacin debo tener una incgnita, sustituimos el seno.

( ) = = 2 2 21 cos cos 1 2 2cos 1 2 1 x x x= = =2cos 1 4 cos 1 4 cos 1 2 x x x- Buscamos las soluciones segn sea el signo del coseno.

= = = +1 1cos 1 2cos 1 2 60 180cos1 2seescribearc dex x x kCalculadoraSHIFT = = = +2 2cos 1 2 cos 1 2 120 180 x x arc de x kEjemplo 3: Calcular el3 sen xen funcin delsen x- Angulo suma del seno + = + 3 ( 2 ) 2 cos cos2 sen x sen x x sen x x xsen x - Desarrollo del seno y del coseno del ngulo doble que nos has dado + 2 2( 2 cos ) cos ( cos ) sen x x x x sen x sen x - Quitar parntesis + 2 2 3 2 32 cos cos 3 cos sen x x x sen x sen x sen x x sen x

- Sustituimos el 2cos xpor21 sen x ( ) = 2 3 33 1 3 3 4 sen x sen x sen x sen x sen x sen x Otros ejercicios propuestos: 1.Delcomportamientodelafuncinu sen ,enelintervalo: s s 0 2 ,hallarlassolucionesdela ecuacin trigonomtrica u =1 sen . 2.Hallar lassoluciones de la ecuacin: 0 1 cos 42= x ,en el intervalo| ) t 2 , 03.Resolver paraxla ecuacin0 3 cos 7 cos 22= + x x en| ) t 2 , 04.Si53= u seny uest en el segundo cuadrante entoncesu coses igual a: ( ) 43a ( )34b ( ) 45c ()45d 5.El valor de x en la siguiente figura es: ( ) 3 a ( ) 2 3 2 b +( ) 2 3 2 c () 2 3 d + 6.Se haceu sen x = en la expresin: 21 xx, se obtiene( ) cos a u ( ) tan b u( ) cot c u () sec d u 7.Demostrar la identidad: + = tan( ) cot ( ) sec( )csc( ) a a a a 8.Demostrar la identidad: = sec( ) cos( ) ( )tan( ) a a sen a a 9.Demostrar la identidad: + =2 2 2 2sec ( ) csc ( ) sec ( )csc ( ) a a a a Bibliografa STEWART, James, REDLIN, Lothar y WATSON, Saleem.Preclculo. Quinta edicin. Bogot: Thompson editores, 2006. SWOKOWSKI, Earl W.lgebra y trigonometra con geometra analtica. Undcima edicin. Bogot: Thompson, 2001. URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemticas bsicas y operativas. Medelln: Susaeta, 1986.Direcciones Electrnicas: http://www.mathceva.blogspot.com www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_4.html http://www.sectormatematica.cl/proyectos/ecuaciones.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml Nota: Todas las guas de Matemticas han sido elaboradas por el DTC Carlos Villa para uso interno en la Institucin y hacen parte de su produccin acadmica escrita para una de sus publicaciones.