Circuitos com Excitação Senoidal

Uma tensão senoidal (v) pode ser descrita por:

( ) ( )φϖ +⋅⋅= tsenVtv 0 ou ( ) ( )°−⋅⋅= 90cos0 tVtv ϖ , (1)

com ω = 2πf a freqüência angular (rad/s), f a freqüência linear (Hz) e o ângulo de fase. A relação entre a

freqüência e o período T é f=1/T.

Note, conforme a figura ao lado, que a

cossenóide cruza o eixo das abscissas antes da

senóide. Por isso, se diz que o cosseno está

adiantado em 90° com relação ao seno. Deste

modo, podemos escrever:

( ) ( )°−⋅⋅= 90cos0 tVtv ϖ (2)

Convencionou-se expressar a amplitude de um sinal através de um número positivo, isso com vistas a

relacioná-la diretamente com o módulo da grandeza. Portanto, uma tensão ( ) ( )φϖ +⋅⋅−= tsentv 4 deve ser

escrita como ( ) ( )°++⋅⋅= 1804 φϖ tsentv ou ( ) ( )°++⋅⋅= 90cos4 φϖ ttv .

Resposta à Excitação Senoidal

Indutor: Caso uma indutância seja percorrida por uma corrente ( ) ( )φϖ +⋅= tIti cos0 , a tensão entre seus

terminais será:

( ) ( )φϖϖ +⋅⋅⋅⋅−== tsenILdt

diLtvL 0

( ) ( )°++⋅⋅⋅⋅= 90cos0 φϖϖ tILtvL . (3)

Ou seja, a corrente estará atrasada em 90° com relação à tensão.

Capacitor: Para um capacitor, se a corrente for ( )φϖ +⋅⋅= tIi cos0 , teremos:

( ) ( )φϖϖ +⋅⋅⋅

=⋅⋅= ∫ tsenC

Idti

Ctv 01

( ) ( )°−+⋅⋅⋅

= 90cos0 φϖϖ tC

Itv , (4)

com a tensão atrasada em 90° com relação à corrente.

RL Série: A equação representativa para o circuito abaixo é

:

( ) ( ) ( )tvtvtv LR += (5)

( ) ( ) ( )tILtsenIRtv ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ϖϖϖ cos00 (6)

Uma vez que todos os elementos dos

circuitos são lineares, as respostas dos elementos terão a mesma freqüência da excitação e a tensão apresentará

uma defasagem θ com relação à corrente. Portanto, podemos escrever que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]θϖθϖθϖ senttsenVtsenVtv ⋅⋅+⋅⋅⋅=+⋅⋅= coscos00 (7)

e as equações (6) e (7) tem de ser iguais. Portanto, igualando-as, encontramos que:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tILtsenIRsenttsenV ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ϖϖϖθϖθϖ coscoscos 000 (8)

Analisando a equação (8), conclui-se que ( ) 00 cos IRV ⋅=⋅ θ e ( ) 00 sin ILV ⋅⋅=⋅ ϖθ , o que pode ser

interpretado geometricamente:

22200 LRIV ⋅+= ϖ

(9)

⋅=R

Larctg

ϖθ (10)

R.I0

ω.L.I0

V0

|vR|

|vL|

θ

Assim, a defasagem entre

v e i é expressa por θ, o que é

ilustrado na figura abaixo.

Caso a tensão aplicada fosse ( ) ( )tsenVtv ⋅⋅= ϖ0 , a corrente através do circuito seria:

( ) ( )θϖϖ

−⋅⋅⋅+

= tsenLR

Vti

222

0 . (11)

RC Série:

Para um RC série submetido a uma entrada de corrente ( ) ( )tsenIti ⋅⋅= ϖ0 teremos:

( ) ( )θϖϖ

−⋅⋅

⋅+⋅= tsenC

RItv2

20

1, (12)

enquanto para uma entrada de tensão ( ) ( )tsenVtv ⋅⋅= ϖ0 , a corrente através do circuito seria:

( ) ( )θω

ϖ

+⋅⋅

⋅+

= tsen

CR

Vti

22

0

1. (13)

Ambos os resultados podem ser obtidos por um procedimento análogo ao aplicado

no caso do RL série.