Circonferenza e cerchio Eccovi un midley di presentazioni….. Analizzate in modo critico (come al...
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Transcript of Circonferenza e cerchio Eccovi un midley di presentazioni….. Analizzate in modo critico (come al...
Circonferenza e Circonferenza e cerchiocerchio
Eccovi un midley di presentazioni….. Analizzate in
modo critico (come al solito!) le informazioni contenute.Buon lavoro dalla iprof
IL COMPASSO
Per tracciare una circonferenza si usa il compassoche ha una punta metallica da puntare
dove vogliamo che ci sia il centro della circonferenza, e una punta scrivente che traccerà la circonferenza.
La distanza fra le due punte (apertura del compasso)sarà il raggio della circonferenza.
Definizione di circonferenzaDefinizione di circonferenza
Si definisce Si definisce circonferenza il circonferenza il luogo geometrico luogo geometrico dei punti del dei punti del piano piano equidistanti da equidistanti da un punto detto un punto detto centro della centro della circonferenzacirconferenza
RaggioRaggio Si definisce Si definisce
raggio di una raggio di una circonferenza il circonferenza il segmento che segmento che unisce il centro unisce il centro con un qualsiasi con un qualsiasi punto della punto della circonferenzacirconferenza
Utilizzando un compasso tracciamo una linea curva chiusa che viene
detta circonferenza.
La circonferenza è una linea chiusa costituita dall’insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. Si chiama raggio la distanza fra un punto qualsiasi della circonferenza e il centro.
indica la circonferenza r indica la misura del raggio.
Il punto O si chiama centro della circonferenza.
• Un punto è esterno alla circonferenza se la sua distanza
dal centro è maggiore del raggio:
A è esterno
• Un punto appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro coincide con il raggio:
B appartiene
• Un punto è interno alla circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio:
D è interno
A
DB
Definizione di cerchioDefinizione di cerchio
Si definisce Si definisce cerchio la cerchio la porzione di porzione di piano piano racchiusa da racchiusa da una una circonferenzacirconferenza
Una circonferenza divide il piano in due parti:
Il cerchio è la parte di piano limitata da una circonferenza e costituita dai punti interni o
appartenenti alla circonferenza stessa.
• l’altra costituita dai punti appartenenti o interni alla
circonferenza, che si chiama cerchio.
• una costituita dai punti esterni alla circonferenza;
PUNTI ESTERNI
PUNTI INTERNI
PUNTI APPARTENENTI
CERCHIO
La circonferenza di centro O e raggio con misura r delimita un cerchio.
•A•
•O BE
P
r
•
I punti O, A, E e P
Disegna un cerchio di centro O e raggio con misura r e i punti A, B, E, P tali che:
Quali punti appartengono al cerchio?
• : il punto B non appartiene alla circonferenza ma appartiene al cerchio.
• : il punto A appartiene alla circonferenza e appartiene al cerchio;
• : il punto P non appartiene alla circonferenza e non appartiene al cerchio;
\\ Si definisce corda Si definisce corda
qualsiasi segmento qualsiasi segmento che unisce due punti che unisce due punti della circonferenzadella circonferenza
Si definisce diametro Si definisce diametro una corda che passa una corda che passa per il centro della per il centro della circonferenzacirconferenza
È facile vedere che : È facile vedere che :
dd = = 2r2r
Rapporto fra circonferenza e Rapporto fra circonferenza e diametrodiametro
Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematicanumeri che più ricorrono e non solo in matematica
Si tratta di un numero che non può essere espresso Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionalicategoria dei numeri irrazionali
Abbiamo già trovato un numero di questo tipo Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2= √2
Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che:
Cd
3,14…
(pi greco)
Per essere più precisi,eseguendo la divisione circonferenza ( C ) : diametro ( d ),
il risultato è sempre 3,1415926535…
La lunghezza del diametro nella lunghezza della circonferenza
ci sta tre volte e un po’.
Per semplificare i calcoli, si considerano soltanto le prime due cifre decimali: 3,14
Il rapporto 3,14 viene indicato con
una lettera dell’alfabeto greco: pi greco
FormuleFormuleC = x
dMa d = 2 x r
allora
Circonferenza uguale a p greco per il diametro
C = x 2r
Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio
Formule
inverse
Cd C
r
• Il diametro è la corda massima.
• Gli estremi di un diametro dividono la circonferenza in due archi congruenti, chiamati semicirconferenze.
• I diametri di una circonferenza sono infiniti e tutti congruenti tra loro.
• Ogni diametro (con misura d) è congruente al doppio del raggio:
d = 2 × r
Area del cerchioArea del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati La formula per calcolare l’area di questi La formula per calcolare l’area di questi
poligoni è sempre la stessa:poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)dove a è l’apotema (celeste) 2P = n x l 2P = n x l ((n n = numero dei lati = numero dei lati ll lato) lato) Ogni poligono è inscritto in un circonferenza Ogni poligono è inscritto in un circonferenza
ed in rosso è mostrato il raggioed in rosso è mostrato il raggio Asserviamo cosa succede al poligono Asserviamo cosa succede al poligono
all’aumentare del numero dei lati fissando all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscrittafra poligono e circonferenza circoscritta
Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli
Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema
Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile
Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio
ConclusioniConclusioniNella formula
diventa
Formula della lunghezza di una circonferenza
diventa
segue A = (2r x r) : 2
infine
L’area del
cerchio è data
dal prodotto di p
greco per il
raggio al
quadrato
(pi greco)
Per essere più precisi,eseguendo la divisione Area ( A ) : quadrato del raggio ( r2 ),
il risultato è sempre 3,1415926535…
il quadrato del raggio (r2) nell’area del cerchio
ci sta tre volte e un po’.
Per semplificare i calcoli, si considerano soltanto le prime due cifre decimali: 3,14
Il rapporto 3,14 viene indicato con
una lettera dell’alfabeto greco: pi greco
Formula inversaFormula inversa
Arco di circonferenza Prendiamo una
circonferenza e mettiamo su di essa due punti
Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti
I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d
Arco e angolo al centro Se dagli estremi di un arco di
circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro
Tale angolo prende il nome di angolo al centro
Si dice che l’arco AB sottende un angolo e l’angolo a è sotteso da un arco AB
Cosa succede se in una circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco?
Cosa succede all’angolo ? Vediamo che esso aumenta e
questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco
Calcolo della lunghezza dell’arco
Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza
Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro
Da cui ottengo il modo di calcolarmi l
Sapendo che c = x 2r
C360°
l
=
l =C360°
x
l =x 2r x
360°
Formule Inverse
=c 360°
x
x
l
d=
360°l x
x
r =360°l
x
=c360° xl
d =360°l x
x
xr
=360°l
x
Settore circolare Prendiamo un cerchio e un
suo arco BC Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco con il centro
Otteniamo cosi una porzione di cerchio
Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento ?
Calcolo dell’area settore circolare L’area del settore circolare è
proporzionale al valore dell’angolo al centro
Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio
Questo rapporto e quello precedente saranno uguali
Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare
La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare
As
=Ac
As=
Ac x
As = r2
x
Formule Inverse
=Ac
360°x
x
As
r =360°
x
=360°
x
xr2
=360°
x
As A
c
As
As
Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed
una sua corda a La corda divide il cerchio in
due parti Si definisce segmento
circolare ciascuna delle due
parti Si definisce
segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda
Caso 1 il segmento non contiene il centro
In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO
L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo
Asc = As - At
Caso 2 il segmento contiene il centro
In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO
L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo
Asc = As + At
Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all’angolo convesso
Corona circolare
Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2
fra le due circonferenze si trova una porzione di piano
Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare
Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze
Area della corona circolare
L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minore
Acc = r22 – r1
2
Acc = (r22 – r1
2)
F I N E