UNI\lE'RSIDAD DEL VAL.LE. ~ ~

INSTITUTO DE Ei)uCAc\ON '1 PEDA.GOGIAI !lo ,; , •

AREA DE" EDUCACION MATEMATICA

CU(So: ELEM E I0TOS DE: TO?OL.DG/4 y 6~O~ET1?/4 DIFGRt=.)Jc/AL

'Profesot", E '-1 e. \í o fCecÍo:JD.. fV'l .

. , .¡N T'R O 'DU e e ION A LOS E S 'PA el o So M E T R I e o s ';.

-a.o{. O_E"Fi"-l~ CIOJN E INTERPR-ETACiÓN

[\}eo..se apunte.s ~ie c-/~$e~ J .[M:31 (Des;8 Vla.lcJ~d--fn'a.n3t.t.{~Y ')

d(Cl)C.) ~ d(a., b + c{(b¡ e)

Un es p ,<A¿IO r<"'~t(l eo C~() ~fo.. de dos o ~ efv$: \..t n COf"lJ u..n+ono "\l~CIC "1 'j tÁno.. 'N"\etflc.a. d sobi""e lvL: CM")d)

-t Los e-(ernen}os 'X. de u..n €Sf'ctc..~9Y'f'e'¡(\co is: se cJeno-_Y'<l \ 't) CA.(\ f_l.A.ntos. '1) d (-x J y) se de nc MI (\a IsJo..o~a ~'X. el. y.

$: sobre U(\ c-o(\JlAt'\1o (\0 'JCLC-\O N\. se c\epnet"l ~e+Ylc.Cls

dlS+l n+Gl5 di ,~ d, } se obt"?nen eSpaCiOS t"{)e~rlC05 d¡g-L\f\t-OS (N'f-;d,) ~ (M,d2.) --E)(I'$1e{) ~lJ.c..hO-.s clo..'s e s de es j'a.. (0$ i"I"'~f(·,cos ')o....(sunosde @s+os Jv..e~o..t'\ Uf\ p~.pef N)()..j \mpo(~a.nte en la. 3eO rY\e-t(\~_ ~ e.\ o.n_o.ks,'s_ f'<')CAtem~h cg. I

E J E tJ\ 'PLOS

31J. IR (\C\ recto. real) cC)~ lo.."y'oeffl·co.. tA.Sua.f" def' n; da. por

d(x: , ~) = 1 ~ - ~ I . ~- ~~~

. La.. d~N'\D5~ra.¿lónde CjLlE? efec·~¡"o,.r(\enteesta es una.--,---,--.' ! ! ! (j)

e

3,4.2. Anó..loga.me~te se def"Ou€6ka. '1Lle 00- rn~d(Jco.. e~c\íd\c:tl'\tl.)

d ) / 2 '2.. 'f CA)J3 ::: V (d,-b,) t-(az.-b'2)donde A( Cl, ,Q.z.) ~ 8(b,) boz.) fE IR'Z.) d'ef n e una M~lf.n'ca..

Sob'C€ el p\a.no e\Ac..L'd\a..no \R2..

'"3,f,'"3. GeoetoJ,-z.o.:, al eSf::>a.cio (f()~~r\c.o) €l.lcl.'d,ann 1R3•

'3.1.4--- L",- ~~~r\ca. d,sc'te.ta. o +t,o\J\a..1 definida. soby@ lAr"! c0r\jurdoc.tAcJ<=Jv1€ro... X pey:. {O s; x=y

d(:L,'1)=- ~ s; x-:;.y

j¿\ Pruebe ~"e en "fl?c+O, """k es una ro,;tr;=.

rEste €Je,mpio nos pe'('('();te c,CJ(\C.(~;( C¡Lle cua.(crLlie( conJlM'\to- no ''-fCkCIO pL.lede ser consldera.do como un espa.c'¡o metneq

3 "S .. ¿ El pfano c<Dmpfejo d: puede Ser c.oos,derado Cl!>f('\O <..LO

espocio me'~rtco1 ¿cv..d,( podn~ 5eC tM\o... M~+r\C(k no.:ktra.1 ?E..',t.plt <=¡u.e StÁS reSpcA€sta.S.

métn'cCL se s/'8t-te de las p'fopíeda.ie5 s¡',sv1enf-es de.1 "a(o\'O-bsolu. to :( i:) 'x.l ~O ~ \ :x:\ ~ O 4=-> ~: O

(ti) )-x\ - [cc]

CiH) I oc, +~ \ L ,::X: \ + I~,

az. Entf~ \05 e.spClCI·O..s 'ff)~t-n~osY'r\~S ,"mpo("t-o.Y'ttes estdn losQ. s pacl'os II t\.ea.les ~on·r~4.cfos eón l~ \"'I't~tr~co, \~duci da. p:"r\o, no{ M o, , La.. nOfma.. n:x: \\ d e un efernen.fo x es -lÁfl n~rY\e-

r-e rea.\ 9lA.e ~f\ c.t(?({-.o sen-h'do I'Y'lde fa. tOlI(a de.f efero~",-b:o Sea ) 'N"\ I el e {~ d, s ~ar)e ¡(~.de ( p~1')fo e.o(res pcon el, e r)fe al o(I'r¡e,¡

de' =t=» f,ne.J e.f\ cueshoo.

®

'3.'2..1. Se p(..(.ede dernostrCA.(' c.¡ut¿ (a. M~h-I~a.. Induc.ida.. por lo.. noov'lo.)

de [1ñ i ela. pex : d (.:x: ) '1) = n::t:. - ~ 1\ ') e~ en e fec. +o ().n o: r<'\efrt'-eo; o, pCJ.:(t\'("" d~ 10..<; f>r-op,~dCA..Jes de fo..norroo, ¡lÁe See n u..n C-~o.n a. e.o O{I' () 1A<X.C.l'O'O', (¿) (\.>:.Il ~ O , ~ \\X- \t =- O

~'> 'X- -= O ') (li) \\ - X- \\ -= ~ X " .) ~ Oti) !Ix. +y 11~ \lxl +n~11 '

3.2.'2.. '5ea. f una. fu..nc.¡ón real , c(lnf.-ot..la.. J a.c.ota...cla.. e.n e.l\ Y'\ te.Y\J c,JO (o ) '\l. De f' nCl-N'\ OS la. n or f'(\Q d.e f me,{,a(\ ~e

\\ f \\ = 5\ \! ex) \ d :s:o

~ (o.. Y'f'~tr;ca. )oJl.A.c¡da. por

3,3,

~.'3,2.

Lo.., Il(lte3(al u..t;\\~a.do.. es lo.. de 'R\eN\a.nt) del cd(ctA(oeA e M@n-ta\ , tPru.--ebe 9tÁ.E' d(f)9) defñe u..nCLrn~fr,eo.. sobt'e e(c.onJ\Anto (espac-¡-o) de 1a.5 fu.nc.tonec; V'E?oJe.s)conf,.,,'uas

"j a. e o-t-o..do" S de{,'n~J o.s So bye el fY1fervd(o lo J \1.

~ea..n P(x, )X2.) ~ q lX'l.1 Y2.J dos ptAt1t-os €.'lI e.J pfoU''1o \~~O't"\Si de-V'e fo..s ~nc,'o'{)es t

L d1 tP) Q) :-~ M o x t \=.- 3[2' \ ) \ Y¡ - ~2. \ 1l=- - dz (P, Q) : = I~,-x,l + \:l,-~..r.í?'f"u..e.~9Ú.e. definen V"'~tn c.a.s pCl'C'o-, eJ FI~noCOMp~v-e Ia.s con la. N)~f('\ ea. U5~a.{ ~tÁc-(;Jlat()a)

De f"r') o, "'j re pv-esente 3 (;fl ea..menFe holos o..b Ie.,./-a..sce n cenfro en el Or'lB e 1') ~ 'a..d~c>1 pa.y-o, cada... UY\q

de es.f=a..s ty-e~ rt)~~(\¿a.~ .[Una bolO-ob,'ey-ta. conee ntr-o e l"\ <..l n p c.A.n to O- ~ ra. J. lO r se de'l'ne coMo e(

_ C-O(\JtJ-.t')~o d~ ptA.n-bs~ B(<L)f~'::.t-x.\d(~}~)Zf}.

e