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Cinematica grafica

Come gi evidenziato in precedenza, in alternativa alla formulazione analitica e limitatamente ai

problemi piani, possibile dare del problema cinematico una formulazione grafica, che in qualche

caso risulta pi agevole e sintetica. Poich ogni spostamento rigido piano una rotazione intorno al

centro di rotazione, la conoscenza del centro istantaneo di rotazione di fondamentale importanza.Infatti, la generica configurazione di un sistema di corpi rigidi nota non appena si conoscono le

posizioni dei centri e le ampiezze degli angoli di rotazione di ogni corpo.

Dato un corpo rigido piano se si considerano due generici punti P1e P2di cui sono note le direzioni

dei rispettivi spostamenti (rette a1e a2), per lipotesi di spostamenti infinitesimi tracciando per P1la

normale n1 alla retta a1 e per P2 la normale n2 alla retta a2 si ottiene il Centro di rotazione C.R.

nellincontro delle due normali. Tale centro pu appartenere al corpo, essere esterno al corpo,

oppure coincidere con il punto improprio delle due normali.

Nellultimo caso le rette a1e a2sono parallele, cos come n1e n2.

Nellambito degli spostamenti infinitesimi risulta quindi evidente che il C.R. pu essere interpretato

come il punto attorno al quale una rotazione genera gli spostamenti dei punti P1 e P2 nelle

direzioni delle rette ortogonali alle congiungenti i punti stessi con il centro di rotazione.

Nel caso in cui il C.R. coincide con il punto improprio, lo spostamento che si ottiene una

traslazione.

Qualsiasi spostamento rigido quindi riconducibile ad ununica rotazione attorno al centro

istantaneo di rotazione C.R.

Nel caso di spostamento rototraslatorio, il centro C del moto rotatorio non coincide con il centro

istantaneo di rotazione C.R., mentre nel caso di rotazione pura tali punti sono coincidenti.

P1

P2

a1

a2

n1

n2C.R

P1

P2

a1

a2

n1

n2C.R

P1

P2

a1

a2

n1

n2

C.R

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Conoscendo le componenti sPxe sPydello spostamento sPdi un generico punto P(xP; yP) e il centro

istantaneo di rotazione C.R.(xCR; yCR), si possono derivare le componenti dello spostamento di un

punto qualsiasi del corpo. Proiettando infatti il C.R. nelle direzioni orizzontale e verticale si

determinano i punti CRx e CRy. Essendo le componenti dello spostamento proporzionali a , i

diagrammi delle componenti dello spostamento di tutti i punti del corpo sono individuate dalle rette

inclinate dellangolo rispetto agli assi x e y.

CR il centro istantaneo di rotazione del corpo; A, B, C, D sono i punti estremi del contorno del

corpo.

sPx= (yCR yP)

sPy= (xCR xP)

Le rette risultano determinate dal punto di nullo definito dai punti CRxe CRye dai valore sPxe sPy

corrispondenti alle componenti dello spostamento del punto P secondo gli assi x e y.

Dai diagrammi si evince che:

1. Gli spostamenti verticali sono uguali per tutti i punti che hanno la stessa ascissa.

2. Gli spostamenti orizzontali sono gli stessi per tutti i punti che hanno uguale ordinata.

Circa la determinazione dei centri di rotazione di sistemi articolati di corpi rigidi di grande utilit

la nozione di centro di rotazione relativa Cijtra due corpi. Per il centro relativo tra due corpi vale la

seguente propriet: il centro relativoCijed i due centri assoluti di rotazione, Cie Cj, di due corpi

rigidi sono allineati. Il centro relativo determinato unicamente dai vincoli che collegano i due

corpi in esame e non da quelli che collegano i due corpi ad altri corpi o al suolo. Cos il centro

relativo univocamente determinato se i due corpi sono collegati da una cerniera o da un glifo e

deve appartenere ad una retta se i due corpi sono collegati da una biella.

P*

P

y

x

CR

CRx

CRy

sPsPx

sPx

sPy

sPy

sP*x

sP*x

sP*y

sP*y

sP*

+

+

D

C

B

A

sBx

sCy

sDx

sAy

Diagramma spostamenti

orizzontali

(secondo asse x)

Diagramma spostamenti verticali (secondo asse y)

Cij CijCijr

r

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Riguardo le informazioni che i vincoli esterni danno sul centro di rotazione assoluto del corpo (o dei

corpi) cui sono applicati vale quanto osservato in precedenza per i vincoli interni ove uno dei due

corpi venga riguardato come il suolo. Cos il centro assoluto determinato se il corpo collegato al

suolo da una cerniera (coincide con la cerniera) o da un glifo (si trova sul punto improprio dellasse

del glifo), mentre deve appartenere ad una retta (asse del carrello o della biella) se collegato al

suolo da un carrello (o biella).

Se il cinematismo possiede un solo grado di libert, la classe di configurazioni cinematicamente

ammissibili una sola e tale cinematismo prende comunemente il nome di catena cinematica. La

configurazione variata pu essere trovata sfruttando le propriet dei centri di rotazione.

Esempio:

Si consideri il seguente sistema articolato di corpi rigidi soggetto ad un cedimento vincolare nel

punto A pari a . I centri di rotazione sono tre, uno del corpo ABDC (corpo 1), uno del corpo DEF

(corpo 2) ed un centro relativo tra i due corpi. Il centro relativo corrisponde alla cerniera interna

(punto D). Il centro di rotazione assoluto del corpo DEF si trova in F, essendo questo una cerniera

fissa. Per determinare il centro di rotazione del corpo ABDC (corpo 1) si far ricorso alle propriet

cinematiche del carrello in C e alla relazione esistente tra centri di rotazione assoluta e centro di

rotazione relativa tra due corpi. Il carrello in A, avendo subito un cedimento non fronsice nessuna

informazione sulla posizione del centro di rotazione assoluta del corpo 1. Innanzitutto si pu

affermare che il centro di rotazione assoluta del corpo 1 si trover sullasse del carrello in C, ovvero

sulla retta perpendicolare alla direzione di spostamento consentito dal carrello stesso, in accordo

allipotesi di spostamenti infinitesimi.

C

r

Cr

C

ED

CBA

FC1C2

2

2

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Inoltre i centri di rotazione assoluta dei due corpi ed il centro di rotazione relativo dovranno essere

allineati. Per cui il centro di rotazione del corpo 1 dovr trovarsi sulla retta passante per C 2F e D

(centro relativo). Dovendo inoltre trovarsi sullasse del carrello in C, il centro di rotazione del corpo

1 (C1) si collocher nel punto F.

Le componenti dello spostamento di un generico punto Pidi coordinate (xi, yi) nel riferimento Axy

sono fornite dalle seguenti espressioni:six= - yi siy= xi

dalle quali possibile individuare langolo in funzione degli spostamenti noti del sistema. In

questo caso noto lo spostamento orizzontale in A, per cui so ottiene dalla prima delle due

relazioni:

212

==

=L

Noto langolo 1=2 possibile determinare gli spostamenti di tutti i punti del sistema.

Valori assoluti degli spostamenti

sAx=

sAy=

sA= 2

sBx= sBy=/2 sB=2

5

sCx= sCy=0 sC=

sDx=/2 sDy=/2 sD=2

2

sEx=/2 sEy=0 sE=/2

Si noti che lo spostamento orizzontale del punto A, del punto B e del punto C sono uguali in quanto

hanno la stessa ordinata, analogamente tutti i punti con uguale ascissa subiscono lo stesso

spostamento verticale. Noti le componenti orizzontali e verticali degli spostamenti dei punti A e C,e la posizione dei centri di rotazione possibile tracciare il diagramma delle componenti di

spostamento di tutti i punti ricordando che gli spostamenti verticali devono variare linearmente con

lascissa x e che gli spostamenti orizzontali devono variare linearmente con lordinata y (s ix= - yi

e siy= xi). Proiettando il centro di rotazione e lo spostamento orizzontale del punto A su una retta

verticale si ottengono le componenti orizzontali di spostamento indicati in figura. Si pu cos

ricavare immediatamente langolo di rotazione. Analogamente proiettando il centro di rotazione e lo

spostamento verticale del punto A su una retta orizzontale si ottiene il diagramma degli spostamenti

verticali indicato in figura.

Una volta noti gli spostamenti dei corpi si pu determinare la configurazione variata del sistema

articolato di corpi rigidi. Si noti che gli angoli formati dallasta ABC e lasta BD, e dallasta DE e

lasta DF devono rimanere retti.

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ESERCIZIO 1

Con riferimento alla Fig. 1, assegnata la rotazione antioraria :

a) determinare la posizione dei centri istantanei di rotazione;b) determinare i diagrammi delle componenti orizzontali e verticali degli spostamenti;c) calcolare la rotazione di ciascun corpo;d) determinare gli spostamenti dei punti A, B, C, D, Ee) disegnare la nuova configurazione del sistema.

Fig. 1

Soluzione

A

B C D

E

p

LL

p

L

p

A

B C D

EC1C2

LL

L

L

LL2