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CINEMATICA
BIDIMENSIONALE
Dott. Silvia Rainò
Università di Bari
Email: [email protected]
Pagine web: www.ba.infn.it/sraino
Ufficio: Dipartimento IA di Fisica, R77 - 080 544 3174
1
Fisica con elementi di matematica
CdL Farmacia – Corso (A - E)
A.A. 2015/16
INTRODUZIONE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Abbiamo introdotto, nelle precedenti lezioni, le seguenti
grandezze fisiche:
Abbiamo ricavato le equazioni per i moti 1D:
a) Uniforme
b) Uniformemente accelerato
Tempo
Spostamento Velocità
Accelerazione
Abbiamo introdotto i VETTORI e le operazioni tra essi
(somma, differenza, prodotto scalare, prodotto vettoriale)
INTRODUZIONE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Adesso dobbiamo trattare le grandezze fisiche
spostamento, velocità e accelerazione come
vettori.
…e ricavare le equazioni del moto
In questo modo potremmo studiare il moto dei
corpi in sistemi di riferimento nel piano o nello
spazio, con più di una dimensione
INTRODUZIONE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Ricordiamo che:
Grandezza scalare: definita da un solo numero
Grandezza vettoriale: definita da:
Modulo, direzione e verso;
Componenti sugli assi cartesiani.
I vettori saranno talvolta rappresentati con il grassetto:
a = grandezza scalare
a = grandezza vettoriale (oppure a)
Sui vostri appunti rappresentate le grandezze vettoriali
con la freccina sulla lettera. a
VETTORE POSIZIONE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Possiamo localizzare un punto materiale nel piano (2D) per mezzo del vettore posizione
Punto materiale P localizzato dal
vettore posizione r:
r = rxi + ryj
o, equivalentemente, utilizzando per i
versori la notazione ui:
r = rxux + ryuy
rx
ry
i
j
VETTORE POSIZIONE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Possiamo localizzare un punto materiale nello spazio (3D) per mezzo del vettore posizione
Punto materiale P localizzato dal
vettore posizione r:
r = rxi + ryj + rzk
o, equivalentemente, utilizzando per i
versori la notazione ux uy uz:
r = rxux + ryuy + rzuz
In questo caso, tutte e tre le componenti
nello spazio dei vettori entrano in gioco.
VETTORE POSIZIONE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Il punto materiale si sposta dal punto P (individuato dal vettore r) al punto Q (individuato dal vettore r’)
Scriviamo i vettori posizione
r ed r‘:
r = rxux + ryux + rzux
r' = r’xux + r’yuy + r’zuz
P
Q
VETTORE SPOSTAMENTO
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Possiamo calcolare il vettore SPOSTAMENTO:
r’ – r = Δr
P
Q
Δr' = (r’x-rx)ux + (r’y-ry)uy + (r’z-rz)uz
= Δrxux + Δryuy + Δrzuz
Necessario per descrivere il moto
del nostro punto materiale
VELOCITÀ VETTORIALE MEDIA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Possiamo definire la velocità vettoriale come:
v = Δr / Δt
P
Q
v = Δrx/Δt ux + Δry/Δt uy + Δrz/Δt uz
Il vettore velocità ha la stessa
direzione e verso di Δr
La sua intensità (lunghezza della
freccia) dipende da quanto
rapidamente il punto si sposta.
VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore
istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli
di tempo molto piccoli.
Cioè: v → vist per Δt → 0
P
Q
VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Studiamo la direzione (in un caso bidimensionale)
P
La direzione del vettore velocità istantanea è quella della
retta tangente alla traiettoria nel punto considerato.
v
ACCELERAZIONE VETTORIALE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Analogamente possiamo definire
l’accelerazione vettoriale come:
a = Δv/Δt
ATTENZIONE!
Il vettore accelerazione a NON ha, in generale, la stessa
direzione e lo stesso verso dei vettori velocità e
spostamento.
Studiamo alcuni casi particolarmente significativi…
VELOCITÀ COSTANTE – MOTO RETT. UNIF.
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Caso più semplice:
Il vettore velocità è costante
v = cost v1 = v2 a = 0
v = cost v = cost
Anche se il modulo della velocità resta costante, possono
comunque variare direzione e verso…
IMPORTANTE:
In questo caso, si ricade nel moto rettilineo uniforme
v ha la stessa direzione, traiettoria rettilinea!
v ha lo stesso modulo, moto uniforme!
MOTO RETTILINEO NON UNIFORME
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Il vettore velocità è costante in direzione e verso ma
non in modulo.
Che direzione ha il vettore accelerazione?
P
Q
v1
v2
MOTO RETTILINEO NON UNIFORME
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Ha la direzione di Δv! Questo accade in ogni caso…
In questo caso, però, l’accelerazione ha anche la stessa
direzione del vettore velocità v
Ciò accade sempre nei moti rettilinei
→ Il moto è contenuto lungo una retta, in un’unica direzione
Caso di un’auto che
accelera su un rettilineo
P
Q
v1
v2 Dv=Dv uT
a=Dv/Dt=Dv/Dt uT
CASO GENERALE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Se invece il vettore accelerazione, in qualche istante t,
non ha la stessa direzione del vettore velocità:
L’accelerazione fa cambiare direzione al vettore
velocità, oltre che il suo modulo
Di conseguenza, il moto non è più rettilineo: la
traiettoria cambia direzione
Studiamo i casi più importanti di moto curvilineo,
limitandoci a casi di moti nel piano (in due dimensioni):
Moto circolare uniforme
Moto parabolico (o del proiettile)
RICHIAMI DI MATEMATICA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Equazione della parabola
a>0: concavità rivolta verso l’alto
a<0: concavità rivolta verso il basso
c=0: la parabola passa per l’origine
c≠0: la parabola interseca l’asse y
nel punto di coordinate (0,c)
y= ax2 +bx+c
RICHIAMI DI MATEMATICA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Come trovare i punti x1 e x2 di
intersezione con l’asse delle x?
Poniamo y = 0 e risolviamo
l’equazione di secondo grado per
trovare le due soluzioni x1 e x2
Parabola con concavità
verso il basso (a<0)
La parabola passa per l’asse x
(con y = 0) nei punti x1 e x2
ax2 +bx+c= 0
ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
L’accelerazione di gravità è diretta verso il centro della
Terra ed ha il valore (modulo) di g = 9.8 m/s2
Negli esercizi di cinematica/dinamica si trascura la
curvatura terrestre e si assume che g sia semplicemente
diretta verso il basso.
SUPERFICIE TERRESTRE
a = g = 9.8 m/s2
SUPERFICIE TERRESTRE
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Un punto materiale parte dall’origine del sistema di riferimento con
velocità iniziale v0 inclinata di un angolo θ sull’orizzontale.
Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale.
Osserviamo che l’accelerazione è presente solo nella direzione y.
Scriviamo separatamente le equazioni orarie del moto del punto
materiale su asse x ed asse y.
a = g = 9.8 m/s2
SUPERFICIE TERRESTRE
a = g = 9.8 m/s2
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Che tipo di equazioni orarie governano il moto del punto materiale?
asse X: non c’è accelerazione: equazione del moto rettilineo
uniforme
asse Y: c’è accelerazione g: equazione del moto rettilineo
uniformemente accelerato
a = g = 9.8 m/s2
SUPERFICIE TERRESTRE
a = g = 9.8 m/s2
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Osserviamo che, dopo la scomposizione dei moti sui due assi:
Otteniamo due moti unidimensionali (e rettilinei), molto più
semplici da trattare
I due moti avvengono INDIPENDENTEMENTE (ognuno non
influenza l’altro) e possiamo studiarli separatamente
a = g = 9.8 m/s2
SUPERFICIE TERRESTRE
a = g = 9.8 m/s2
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Dalle due equazioni orarie e
dall’equazione della traiettoria
si possono ricavare numerose
caratteristiche salienti sul moto.
Ad esempio:
Quanto tempo il proiettile resta in aria?
Qual è la massima altezza raggiunta?
A che distanza tocca Terra?
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Scomponiamo il vettore
v0 nelle due componenti
lungo gli assi x ed y:
a = -g = -9.8
m/s2
ATTENZIONE!
Il vettore g è opposto al
verso positivo dell’asse y!
v0x =v0 cosq
v0y=v0senq
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Scriviamo ora le
equazioni del moto
per i tipi di moto
sugli gli assi x ed y:
a = g = 9.8 m/s2
→ Moto rettilineo uniforme
(v costante)
→ Moto rettilineo unif. accelerato
(a costante)
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Per il nostro caso particolare:
Il proiettile parte dall’origine: x0 = 0, y0 = 0
L’accelerazione è quella di gravità: a = -g
Le equazioni del moto, allora, diventano:
→ Moto rettilineo uniforme
(v costante = v0x)
→ Moto rettilineo unif. accelerato
(a costante = -g)
x = v0xt
y = v0 yt -1
2gt2
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
In sintesi, il moto del proiettile è descritto dalle
equazioni orarie:
e per le velocità da :
v0x =v0 cosq
v0y=v0senq
ove le velocità iniziali si scompongono in:
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Equazione della traiettoria:
Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava y
in funzione di x, determinando così l’equazione della
traiettoria
x = v0xt
y = v0 yt -1
2gt2
t =x
v0 x
y = v0 y
x
v0 x
-1
2g
x2
v2
0x
y = -g
2v2
0x
x2 +v0y
v0x
x
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Abbiamo trovato un’equazione di 2° grado del tipo:
y = ax2 + bx + c
cioè l’EQUAZIONE DI UNA PARABOLA!
La parabola passa per l’origine (c = 0) ed ha la
concavità rivolta verso il basso (a < 0)
y = -g
2v2
0x
x2 +v0y
v0x
x
ALTEZZA MASSIMA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Quanto vale l’altezza massima raggiunta dal corpo?
Quando il corpo raggiunge il punto di massima altezza la sua
velocità lungo l’asse verticale si annulla!
vy = v0y – gt = 0
Da questa relazione possiamo ricavare il tempo impiegato a
raggiungere l’altezza massima: t=tmax
tmax = v0y/g
E infine, dall’equazione del moto lungo l’asse y possiamo
determinare l’altezza massima:
ymax = v0ytmax -1
2gt2
max = v0y
v0y
g-
1
2g
v2
0y
g2 ymax =1
2
v2
0y
g
TRAIETTORIA DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Scomposizione della velocità sui due assi
vx resta costante = vx0,
vy decresce costantemente nel tempo
Nel punto più alto della traiettoria, vy= 0
Nel punto di atterraggio (per y = 0) si ha vy = –vy0
TRAIETTORIA DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
La stessa situazione, in una animazione:
GITTATA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
La gittata è la distanza lungo l’asse x fra il
punto in cui il corpo si stacca dal suolo e il
punto in cui il corpo tocca nuovamente il suolo.
Nel disegno:
x = gittata
Essa dipende dal valore
della velocità iniziale v0 e
dall’angolo di inclinazione θ
GITTATA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Dalla definizione, per trovare la formula della
gittata basta calcolare, dall’equazione della
parabola, il valore di x per y=0:
Ovvero, mettere a
sistema l’equazione
della parabola con
l’ equazione dell’asse x
(cioè y=0)
y = -g
2v2
0x
x2 +v0y
v0x
x
y = 0
GITTATA
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Equazione di 2° grado del
tipo: ax2 + bx = 0,
le cui soluzioni sono:
x1 = 0
x2 = –b/a
Le soluzioni dell’equazione sono, nel nostro caso:
-g
2v2
0x
x2 +v0y
v0 x
x = 0
x1 = 0
x2 =v0y
v0x
2v2
0x
g=
2v0xv0y
g=
2v2
0 cosqsenq
g=
v2
0sen(2q )
g
GITTATA E TEMPO DI VOLO
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Abbiamo trovato l’espressione della gittata:
Dx = x2 - x1 =v2
0sen(2q )
g
x = v0xt Dx = v0xtvolo
tvolo =Dx
v0x
GITTATA E TEMPO DI VOLO
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
La gittata massima si ha per un angolo di 45°
La gittata è la stessa per angoli simmetrici rispetto a 45°
Il massimo tempo di volo si ottiene per un angolo di 90° (lungo y)
Ciò vale anche per l’altezza massima (vY è tutta lungo y)
MOTO DEL PROIETTILE
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
ATTENZIONE!
Le formule trovate finora si riferiscono a casi in cui
l’altezza di partenza del proiettile è 0 (y0 = 0)!
Non possono essere usate per situazioni diverse!
La distanza R non può
essere calcolata con la
formula della gittata!
R
Angolo di lancio: direzione della velocità iniziale rispetto
all’orizzontale. In questo caso la componente y della
velocità iniziale è nulla (v0y=0).
MOTO DEL PROIETTILE
ESERCIZIO 1
42
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Da una fontana da irrigazione l’acqua fuoriesce con
una velocità di modulo v0 = 17 m/s e formante un
angolo di θ = 58° sopra l’orizzontale.
Trascurando la resistenza dell’aria, determinare:
a. Il tempo impiegato a
raggiungere la
massima altezza
b. La massima altezza
c. Il tempo di volo
d. La distanza del punto
di impatto dall’origine
a) 1.47 s
b) 10.6 m
c) 2.94 s
d) 26.5 m
Moto lungo x moto rettilineo uniforme
Moto lungo y: agisce l’accelerazione di gravità moto
rettilineo uniformemente accelerato
Dati iniziali: x0=0, y0=0, a=-g, v0=17m/s, q=58°
y
x
-g
x = x0 + v0xt
y = y0 + v0yt +1
2at2
ϑ
x = v0 cosqt
y = v0senqt -1
2gt2
e velocità:
vx = v0x
vy = v0y + at
vx = v0 cosq
vy = v0senq - gt
Equazioni utili alla soluzione del problema.
Leggi orarie:
a) Sia t* è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Nel
punto di massima altezza :
vy(t*) = v0y-gt* =0 t* = v0y/g = v0sen q /g = 1.47 s
b) Il punto di massima altezza può essere determinato dalla legge
oraria del moto lungo y (uniformemente accelerato) al tempo t*:
y max = y(t*) = v0yt*-1/2gt*2=v0senqt*-1/2gt*2 =
=17m/ssen(58°)1.47s-1/2 9.8m/s2 (1.47s)2= 10.6 m
c) Il tempo di volo corrisponde al tempo impiegato dal proiettile
(nel nostro caso il getto d’acqua) a ritornare al suolo, perciò
coincide con il tempo impiegato a percorrere un tratto pari
alla gittata.
y=0 => v0yt** -1/2 gt**2 =0 =>t**= 2 v0y/g
t**=2(14.4m/s)/(9.8m/s2)=2.95s
d) Noto il tempo impiegato a ritornare al suolo, si può calcolare
lo spazio percorso lungo x:
x = v0xt**= 17m/scos(58) 2.95s=14.4m/s 2.9s ≈ 26 m
Oppure, dalla formula della gittata, calcolare direttamente
Dx = v02 sin(2q)/g=(17m/s) 2 sen(2 58°)/9.8m/s2 ≈ 26 m
2. MOTO PARABOLICO
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Un aereo da soccorso
vola ad una velocità
v = 360 km/h alla
quota costante di
h = 490 m.
Quale distanza x, in
orizzontale, percorre
un pacco lasciato
cadere dall’aereo?
x = 1000 m = 1 Km
La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che
rimane costante (v0y=0).
x= v0xt con v0x = 360 km/h =100 m/s
v0=v0x
h
y
x
Condizioni iniziali:
- x0=0
- y0=h
- voy=0
- v0x=100m/s
SOLUZIONE ESERCIZIO 6
E’ necessario determinare t* = tempo
impiegato dal pacco a raggiungere il suolo
yfin(t*)=0
y(t)=h-gt2/2
Dunque, all’istante t*:
0=h-g t* 2/2 t*2=2h/g t* = (2h/g)1/2=10 s
x(t*) = v0x t*= v0x (2h/g)1/2 =
=100m/s*10s=1000m
ESERCIZIO 3
49
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Un cannone con un angolo di tiro di 45° si trova a
500 m dalla base di un muro alto 100 m.
A che velocità deve essere sparato il proiettile per
colpire l’oggetto posto sulla sommità del muro?
Se l’oggetto si sposta e viene mancato, a che
distanza ricade il proiettile al suolo e a che velocità?
a) v = 78.3 m/s
b) x = 625 m
c) v = 78.3 m/s
ESERCIZIO 4
50
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Un giocatore di baseball lancia la palla con una
inclinazione di un angolo α = 60° sull’ orizzontale.
Dopo t* = 2 s dal lancio la palla sta ancora salendo
e la sua velocità ha un’inclinazione di θ = 30°
sull’orizzontale. Trascurando la resistenza dell’aria,
determinare :
a. Il modulo della velocità
con cui il giocatore ha
lanciato la palla
b. La quota della palla,
rispetto al punto di
lancio dopo t* = 2 s a) |v0| = 34.0 m/s
b) h = 39.3 m
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Moto in cui un punto materiale si muove lungo una
circonferenza con intensità della velocità costante
→ Uniforme = Il modulo della velocità è costante
T = periodo
n = 1/T = frequenza (num. di giri
nell’unità di tempo)
Dove:
v =Ds
Dt=
2pR
T=wR
w =2p
T
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
53
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Sistema di riferimento dedicato:
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
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Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
La traiettoria è una circonferenza.
Il vettore velocità è costante in modulo ma non in direzione e
verso, dato che la traiettoria non è rettilinea
Il vettore Δv punta verso l’interno della
traiettoria, in particolare verso il centro
del cerchio (senza dimostrazione)
Conseguentemente, anche il vettore
accelerazione punta verso il centro
della circonferenza (e NON è nullo) a =
Dv
DtuN
Δs
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
55
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Se il vettore velocità è costante in modulo ma non in
direzione e verso, possiamo scrivere per il modulo della
velocità:
v1 = v2 = v
Inoltre, se θ è piccolo, si può approssimare la lunghezza
del vettore Δv a quella di un arco di circonferenza Δs (di
raggio v), e quindi:
Δv ≈ Δs = v ∙ θ, dunque θ = Δv/v
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Ciò ci aiuta a calcolare il modulo dell’accelerazione:
Se infatti scriviamo:
θ = arco(AB)/R= vΔt/R
(dalla relazione s = vt per moti unifomi)
Dalle relazioni
per θ:
θ = Δv/v
θ = vΔt/R vΔt/R = Δv/v
a = Δv/Δt = v2/R
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
57
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
detta accelerazione centripeta
Quella centripeta è l’unica
componente dell’accelerazione in
un moto circolare uniforme, ed è
legata alla variazione della
direzione della velocità istantanea
Nessuna componente in direzione
tangenziale uT
NNN uuua RR
v
t
v 22
D
D
MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME
58
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Nel caso di moto circolare non uniforme
anche il modulo della velocità varia.
Esiste dunque un’altra componente della
accelerazione, chiamata accelerazione
tangenziale:
aT = Δ|v|/Δt uT
Legata alla variazione del solo modulo
della velocità
MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME
59
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Si può quindi scrivere, complessivamente,
l’accelerazione vettoriali come la somma delle due
componenti
Con:
Acc. Tangenziale = descrive la variazione del modulo di v
Acc. Centripeta = descrive la variazione della direzione di v
a =D v
DtuT +
v2
RuN
MOTO CURVILINEO
60
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
In caso di una traiettoria non circolare:
L’accelerazione vettoriale istantanea può essere calcolata
punto per punto approssimando localmente la traiettoria
ad una circonferenza con un certo raggio di curvatura R
a =D v
DtuT +
v2
RuN
MOTO CURVILINEO
61
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
L’accelerazione vettoriale è dunque la somma
vettoriale delle sue due componenti tangenziale
e centripeta:
OSSERVAZIONE FINALE:
a = aT + aN =D v
DtuT +
v2
RuN
a = aT
2 + aN
2 =D v
DtuT +
v2
RuN
ESERCIZIO 1
62
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
La Luna ruota attorno alla Terra su un’orbita
quasi circolare di raggio pari a 60 raggi terrestri
(RT = 6400 km) impiegando 27,3 giorni per
compiere un giro.
a. Qual è la velocità v con cui
la Luna percorre la sua
orbita
b. Qual è l’accelerazione
centripeta della Luna?
c. Quante rivoluzioni compie
in un anno? a) 1,02∗103 m/s
b) 2.7∗10-3 m/s2
c) 13,37
ESERCIZIO 2
63
Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica
Si consideri la ISS e si supponga che essa sia in orbita
circolare intorno alla terra ad una altitudine di circa R =
400 km ad una velocità di circa v = 27750 km/h.
Sapendo che RT = 6400 km, calcolare:
Periodo dell’orbita
Accelerazione centripeta
a) T = 1.54 h
b) ac = 8.7 m/s2
T = 2πRorb/v = 2π(R+RT)/v = 1.6 h
ac = v2/R = (2πRorb)/T)2/Rorb
= 4π2*(R+RT)/T2 = 8 m/s2