Cinco lecciones elementales sobre trasformaciones geométricas
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Cinco lecciones elementales sobre trasformaciones geom´ etricas Jes´ us M. Ruiz 2003 Para el estudio del plano y del espacio hay que considerar las trasformaciones que se pue- den hacer en ambos, es decir, de qu´ e manera se pueden mover sus puntos, y consecuentemente trasformar las figuras que forman, como rectas, planos y c´ onicas. Las m´as generales son las deno- minadas trasformaciones afines. De entre ellas son m´as importantes las biyectivas, denominadas afinidades, y de entre estas interesan especialmente las que conservan distancias, llamadas movi- mientos y las que conservan ´ angulos, que son las afinidades conformes. Las trasformaciones m´as sencillas son las traslaciones, y las homotecias. Tambi´ en describiremos las simetr´ ıas, los giros y las simetr´ ıas sesgadas del plano. Hacemos todo esto en cinco lecciones muy, muy elementales.
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Cinco lecciones elementales sobretrasformaciones geometricas
Jesus M. Ruiz 2003
Para el estudio del plano y del espacio hay que considerar las trasformaciones que se pue-den hacer en ambos, es decir, de que manera se pueden mover sus puntos, y consecuentementetrasformar las figuras que forman, como rectas, planos y conicas. Las mas generales son las deno-minadas trasformaciones afines. De entre ellas son mas importantes las biyectivas, denominadasafinidades, y de entre estas interesan especialmente las que conservan distancias, llamadas movi-mientos y las que conservan angulos, que son las afinidades conformes. Las trasformaciones massencillas son las traslaciones, y las homotecias. Tambien describiremos las simetrıas, los giros ylas simetrıas sesgadas del plano. Hacemos todo esto en cinco lecciones muy, muy elementales.
Leccion 1. Trasformaciones afines
En lo que sigue denotamos E al plano o al espacio indistintamente. Se llaman trasformacioneslas aplicaciones de E en sı mismo, para las que utilizaremos la siguiente notacion
T : E → E : P �→ P ′ = T (P ).
Ahora describiremos las trasformaciones relevantes para la geometrıa afın, y su representacionen coordenadas.
1.1 Definicion. Una trasformacion afın es una trasformacion T de E que conserva las propor-ciones, es decir, conserva las interpolaciones lineales:
si Q = (1 − λ)P1 + λP2, entonces Q′ = (1 − λ)P ′1 + λP ′
2,
para cualesquiera tres puntos Q,P1, P2 ∈ E.
Claramente, una trasformacion afın tambien conserva interpolaciones lineales iteradas:
� Doble: si Q = (1 − λ− µ)P1 + λP2 + µP3,
entonces Q′ = (1 − λ− µ)P ′1 + λP ′
2 + µP ′3.
� Triple: si Q = (1 − λ− µ− γ)P1 + λP2 + µP3 + γP4,
entonces Q′ = (1 − λ− µ− γ)P ′1 + λP ′
2 + µP ′3 + γP ′
4.
En particular, resulta que:
� T trasforma rectas en rectas, y planos en planos.
Demostracion. Basta recordar que un punto esta en la recta generada por otros dos si y solo sise obtiene por interpolacion lineal de esos otros dos, y que un punto esta en el plano generadopor otros tres si se obtiene por interpolacion lineal doble de esos otros tres.
−→T
−→T
P1
P2
P ′1
P ′2
r r′
rr′
P1
P2
P3
P ′2
P ′3
P ′1
π′
π
La figura ilustra el hecho anterior, y muestra como se pueden calcular geometricamente lasimagenes de rectas y planos. Esta afirmacion debe entenderse en sentido laxo, debido a que T
no es necesariamente inyectiva. Por ejemplo, si dos puntos distintos se trasforman en el mismo,entonces toda la recta que generan se trasforma en ese mismo punto. Igualmente hay que tenercuidado con las imagenes de intersecciones, pues pueden no ser las intersecciones de las imagenes.
Para manipular comodamente las trasformaciones afines debemos obtener una expresion encoordenadas, para lo que se fija una referencia ortonormal de E. Sea T : P �→ P ′ = T (P ) unatrasformacion afın de E.
1
1.2 Expresiones de T con coordenadas en el plano. Supongamos que E es el plano, y{O;
−−→OA1,
−−→OA2} es la referencia fijada. Como es habitual, las coordenadas de un punto P respecto
de esa referencia se denotan (x, y). Tenemos:
P = O +−−→OP = O + x
−−→OA1 + y
−−→OA2 = O + x(A1 −O) + y(A2 −O) =
= (1 − x− y)O + xA1 + yA2,
y podemos calcular P ′ = T (P ) utilizando que T conserva las interpolaciones lineales dobles:
P ′ = (1 − x− y)O′ + xA′1 + yA′
2.
Para presentar esta igualdad mas sinteticamente, denotamos:
(x′, y′) las coordenadas de P ′ = T (P ),(a0, b0) las coordenadas de O′ = T (O),(c1, d1) las coordenadas de A′
1 = T (A1), y(c2, d2) las coordenadas de A′
2 = T (A2),
con lo que la igualdad en cuestion resulta ser:(x′
y′
)= (1 − x− y)
(a0
b0
)+ x
(c1d1
)+ y
(c2d2
)=
=
(a0
b0
)+
(c1 − a0 c2 − a0
d1 − b0 d2 − b0
) (x
y
)
En resumen, hemos mostrado que las coordenadas (x′, y′) de la imagen P ′ del punto P decoordenadas (x, y) se calculan mediante la expresion:
�(x′
y′
)=
(a0
b0
)+
(a1 a2
b1 b2
) (x
y
)
donde:
(a1
b1
)=
(c1−a0
d1−b0
)son las coordenadas de
−−−→O′A′
1 =A′1 −O′
(a2
b2
)=
(c2−a0
d2−b0
)son las coordenadas de
−−−→O′A′
2 =A′2 −O′
Reescribimos la expresion anterior como sistema de ecuaciones, y queda:
�{
x′ = a0 + a1x + a2y
y′ = b0 + b1x + b2y(�)
Ahora, anadiendo la ecuacion trivial 1 = 1, obtenemos la expresion matricial siguiente:
�
1x′
y′
=
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
1x
y
(��)
La matriz M =
(1 0 0a0 a1 a2b0 b1 b2
)se llama matriz de T (respecto de la referencia fijada).
2
La expresion matricial (��) se abrevia
P ′ = MP , M =
(1 0 0O′ A′
1 −O′ A′2 −O′
)
1.3 Expresiones con coordenadas en el espacio. Si E es el espacio se razona analogamentecon la referencia {O;
−−→OA1,
−−→OA2,
−−→OA3} fijada. El resultado son expresiones como las del plano,
pero con tres coordenadas:
� Ecuaciones:
x′ = a0 + a1x + a2y + a3z
y′ = b0 + b1x + b2y + b3z
z′ = c0 + c1x + c2y + c3z
(�)
� Expresion matricial:
1x′
y′
z′
=
1 0 0 0a0 a1 a2 a3
b0 b1 b2 b3c0 c1 c2 c3
1x
y
z
(��)
abreviada
P ′ = MP, M =
(1 0 0 0O′ A′
1 −O′ A′2 −O′ A′
3 −O′
)
1.4 Observaciones. (1) En los parrafos anteriores hemos descrito como se representa encoordenadas una trasformacion afın. En realidad, la mejor manera de comprobar que una tras-formacion es afın es representarla mediante unas ecuaciones como (�) o una expresion matricialcomo (��).
Demostracion. Hay que comprobar que una trasformacion definida mediante una expresion ma-tricial P ′ = MP conserva interpolaciones lineales. Pero esas interpolaciones son combinacioneslineales (especiales), y estas se conservan por las propiedades del producto de matrices.
(2) Tal y como se escribe la matriz de una trasformacion afın mediante las imagenes de lospuntos de una referencia, es evidente que:
� Una trasformacion afın del plano queda determinada por las imagenes de tres puntos noalineados.� Una trasformacion afın del espacio queda determinada por las imagenes de cuatro puntos nocoplanarios.
Por ejemplo, la identidad T = Id : E → E, que es evidentemente una trasformacion afın,se reconoce en cuanto sepamos que T trasforma en ellos mismos tres puntos no alineados en elplano, o cuatro puntos no coplanarios en el espacio.
Si los puntos cuyas imagenes por T conocemos son los de la referencia, la matriz de latrasformacion se escribe inmediatamente segun sabemos. En otro caso, habra que buscar lasimagenes de los puntos de la referencia utilizando las que se conocen. Veamos algun ejemplo.
3
1.5 Ejemplos. (1) Determinar la matriz de la trasformacion afın T que trasforma los puntos(1, 0), (0, 1) y (1, 1) en los puntos (1, 1), (−1, 2) y (0,−3) respectivamente.
Solucion. Para determinar T : P �→ P ′ hay que calcular la matriz
M =
(1 0 0O′ A′
1 −O′ A′2 −O′
)
tal que P ′ = MP . Para ello necesitamos conocer las imagenes O′, A′1 y A′
2 de los tres puntosO = (0, 0), A1 = (1, 0) y A2 = (0, 1). El enunciado proporciona A′
1 y A′2, pero O′ debemos
obtenerlo mediante ellas y la imagen Q′ = (0,−3) de Q = (1, 1). Para ello expresamos primeroO como interpolacion de Q,A1 y A2:
O = (1 − λ− µ)Q + λA1 + µA2.
Reemplazando los puntos por sus coordenadas obtenemos:(00
)= (1 − λ− µ)
(11
)+ λ
(10
)+ µ
(01
),
de donde: {0 = 1 − µ
0 = 1 − λ
Por tanto λ = µ = 1, y la interpolacion buscada es:
O = −Q + A1 + A2.
Como T conserva las interpolaciones lineales, es
O′ = −Q′ + A′1 + A′
2 = −(
0−3
)+
(11
)+
(−12
)=
(06
)
Esto nos proporciona la primera columna de la matriz M , y para las otras dos tenemos:
(a1
b1
)= A′
1 −O′ =
(11
)−
(06
)=
(1−5
)(a2
b2
)= A′
2 −O′ =
(−12
)−
(06
)=
(−1−4
)
En conclusion, la matriz buscada es
M =
1 0 0
0 1 −16 −5 −4
(2) Determinar la trasformacion afın T que trasforma los puntos (1, 1), (0, 2) y (−1, 2) en lospuntos (−1, 0), (1, 1) y (0,−1) respectivamente.
4
Solucion. En este caso no conocemos ninguna de las tres imagenes O′, A′1 y A′
2, pero las podemoscalcular como en el ejemplo anterior. Empezamos por escribir:
O = 2(1, 1) − 3(0, 2) + 2(−1, 2)A1 = 2(1, 1) − 2(0, 2) + (−1, 2)A2 = (1, 1) − (0, 2) + (−1, 2)
y por tanto
O′ = 2(−1, 0) − 3(1, 1) + 2(0,−1) = (−5,−5)A′
1 = 2(−1, 0) − 2(1, 1) + (0,−1) = (−4,−3)A′
2 = (−1, 0) − (1, 1) + (0,−1) = (−2,−2)
Se deduce:
(a0
b0
)=
(−5−5
)y
(a1
b1
)=
(−4−3
)−
(−5−5
)=
(12
),
(a2
b2
)=
(−2−2
)−
(−5−5
)=
(33
)
La matriz buscada es:
M =
1 0 0−5 1 3−5 2 3
(3) Encontrar la matriz de la trasformacion afın T del espacio tal que:
(0, 0, 0) �→ (1, 1,−1), (1, 1, 0) �→ (−2,−2,−1),
(1, 0, 1) �→ (0, 1, 0), (0, 0, 1) �→ (2, 2,−1).
Solucion. Se hace como los anteriores, con tres coordenadas en lugar de dos. Primero expresamoslos puntos de la referencia como interpolaciones de los dados en el enunciado:
O = (0, 0, 0)A1 = (1, 0, 0) = (0, 0, 0) + (1, 0, 1) − (0, 0, 1)A2 = (0, 1, 0) = (1, 1, 0) − (1, 0, 1) + (0, 0, 1)A3 = (0, 0, 1)
Observese que en la interpolacion que define A1 la presencia de (0, 0, 0) sirve para que los trescoeficientes sumen 1. Por tanto las imagenes son:
O′ = (1, 1,−1)A′
1 = (1, 1,−1) + (0, 1, 0) − (2, 2,−1) = (−1, 0, 0)A′
2 = (−2,−2,−1) − (0, 1, 0) + (2, 2,−1) = (0,−1,−2)A′
3 = (2, 2,−1)
5
En consecuencia:
a0
b0c0
=
1
1−1
a1
b1c1
=
−1
00
−
1
1−1
=
−2−11
a2
b2c2
=
0−1−2
−
1
1−1
=
−1−2−1
a3
b3c3
=
2
2−1
−
1
1−1
=
1
10
De este modo, la matriz de la trasformacion afın es:
1 0 0 01 −2 −1 11 −1 −2 1−1 1 −1 0
1.6 Composicion de trasformaciones afines. Sean T y T ′ dos trasformaciones afines y M ,M ′ sus matrices respectivas. Entonces la composicion T ′′ = T ′ ◦T : E → E es una trasformacionafın, cuya matriz es el producto M ′′ = M ′M .
Demostracion. Sea P un punto cualquiera y P ′ = T (P ), con lo que
P ′′ = T ′′(P ) = T ′(T (P )) = T ′(P ′).
Pero P ′ = MP y por tanto P ′′ = M ′P ′ = M ′(MP ) = (M ′M)P = M ′′P , donde M ′′ = M ′M .Segun 4.1.4(1), de esta expresion matricial resulta lo que se quiere.
1.7 Ejemplo. Calcular la composicion de las trasformaciones afines de los ejemplos 1.5 (1),(2).¿Da lo mismo el orden en que se haga la composicion?
Solucion. Las trasformaciones de los ejemplos citados tenıan por matrices
M1 =
1 0 0
0 1 −16 −5 −4
, M2 =
1 0 0−5 1 3−5 2 3
Por tanto las dos composiciones posibles son
M1M2 =
1 0 0
0 1 −16 −5 −4
1 0 0−5 1 3−5 2 3
=
1 0 0
0 −1 051 −13 −27
6
y
M2M1 =
1 0 0−5 1 3−5 2 3
1 0 0
0 1 −16 −5 −4
=
1 0 0
13 −14 −1313 −13 −14
Ya se ve que las matrices son diferentes, luego la composicion depende del orden en que se hace.
Ejercicios
1.1. Calcular la matriz de la trasformacion afın del plano tal que:
(1, 1) �→ (4, 1) (−1, 0) �→ (−2, 1) (2,−1) �→ (0, 0).
1.2. Sea {O;−−→OA1,
−−→OA2,
−−→OA3} una referencia del espacio. Encontrar las ecuaciones de la trasformacion afın T
que trasforma los puntos A1 y A3 en el punto A2, este ultimo en el origen O, y el origen O en el baricentro del
triangulo de vertices A1, A2, A3.
1.3. Sea k una constante no nula. Determinar la trasformacion afın del plano que coincide con la identidad en
la recta x− y = k, y trasforma el origen (0, 0) en el punto (k, 0). ¿Cual es la imagen de esta trasformacion?
1.4. Calcular las ecuaciones de la trasformacion afın del plano que trasforma: (i) los puntos (−1,−1) y (0, 1)
en los puntos (−1,−2) y (2,−1), y (ii) las rectas y = 1 y x− y = 0 en x + y = 1 y x− y = 1, respectivamente.
1.5. Encontrar la matriz de la trasformacion afın del espacio que trasforma todo el plano x + y + z = 1 en el
punto (1, 1, 1), y el origen (0, 0, 0) en el punto (−1,−1,−1). ¿Cual es la imagen de esta trasformacion?
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Leccion 2. Afinidades
De entre todas las trasformaciones afines se distinguen algunas especiales:
2.1 Definicion. Una afinidad es una trasformacion afın biyectiva.
Es muy facil determinar si una trasformacion afın es biyectiva utilizando sus ecuaciones:
� Una trasformacion afın T de matriz M es biyectiva si y solo sidet(M) �=0.
Demostracion. Supongamos que T es un trasformacion afın del plano. Entonces la expresionmatricial P ′ = MP corresponde a unas ecuaciones
{x′ = a0 + a1x + a2y
y′ = b0 + b1x + b2ysiendo M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
Claramente T es biyectiva si y solo si para cada (x′, y′) ese sistema tiene una unica solucion(x, y). Pero esto pasa si y solo si el determinante del sistema es no nulo:
0 �=∣∣∣∣∣ a1 a2
b1 b2
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
∣∣∣∣∣∣∣ = det(M),
y hemos obtenido la condicion del enunciado. Para el espacio se razona analogamente
Ademas, se deduce facilmente que:
� Si T : P �→ P ′ es una afinidad, la aplicacion T ′ : P ′ �→ P inversa de T es tambien unaafinidad.
Demostracion. Sea M la matriz de T . Como det(M) �= 0, M tiene matriz inversa, que denotamospor M−1. Entonces de la expresion P ′ = MP deducimos P = M−1P ′, y esta expresion matricialdescribe T−1, que por tanto es una trasformacion afın.
2.2 Traslaciones. (1) Las afinidades mas sencillas son las traslaciones.
P ′ = P + u = (x′, y′)
P = (x, y)
u
Una traslacion es una trasformacion T : P �→ P ′ = T (P )definida por P ′ = P + u, donde u es un vector fijo, que sellama vector de traslacion. Es claro que T es biyectiva, ysu inversa es T−1 : P ′ �→ P = P ′−u, es decir, la traslacionde vector opuesto −u.
(2) Fijemos una referencia y busquemos las ecuacionesde una traslacion T : P �→ P ′ = P + u. Si estamos en el plano tendremos coordenadas P =(x, y), P ′ = (x′, y′) y u = (a0, b0). Entonces:(
x′
y′
)=
(x
y
)+
(a0
b0
)
8
esto es: {x′ = a0 + x
y′ = b0 + y
y la matriz de T es
M =
1 0 0a0 1 0b0 0 1
Repitiendo el argumento en el espacio resulta la matriz
M =
1 0 0 0a0 1 0 0b0 0 1 0c0 0 0 1
Esto muestra que T es una trasformacion afın, y como es biyectiva, es una afinidad.
2.3 Homotecias. (1) Una homotecia es una trasformacion T : P �→ P ′ = T (P ) del tipo
P ′ = C + λ−−→CP = (1 − λ)C + λP,
siendo C un punto fijado, llamado centro, y λ un escalar no nulo, llamado razon. Como lainterpolacion lineal anterior se puede escribir:
P = (1 − 1λ)C + 1
λP′,
resulta que T es biyectiva, y su inversa T−1 : P ′ �→ P es tambien una homotecia, de centro C yrazon 1
λ .
P ′ = (1 − λ)C + λP = (x′, y′)
P = (x, y)
λ
1
CQ
Q′
(2) Calculemos las ecuaciones de la homotecia
T : P �→ P ′ = (1 − λ)C + λP,
respecto de una referencia dada. Si estamos en el plano tendremos coordenadas P = (x, y), P ′ =(x′, y′) y C = (α, β). Entonces: (
x′
y′
)= (1 − λ)
(α
β
)+ λ
(x
y
)
esto es: {x′ = (1 − λ)α + λx
y′ = (1 − λ)β + λy
y la matriz de T es
M =
1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
,
{a0 = (1 − λ)αb0 = (1 − λ)β
9
Repitiendo el argumento en el espacio con C = (α, β, γ), resulta la matriz
M =
1 0 0 0a0 λ 0 0b0 0 λ 0c0 0 0 λ
,
a0 = (1 − λ)αb0 = (1 − λ)βc0 = (1 − λ)γ
Esto muestra que T es una trasformacion afın, y como es biyectiva, es una afinidad.
2.4 Ejemplos. (1) Demostrar que la composicion de una homotecia y una traslacion es unahomotecia.
Solucion. Las matrices de una homotecia y una traslacion son: 1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
,
1 0 0a′0 1 0b′0 0 1
La matriz de su composicion sera segun el orden de composicion: 1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
1 0 0a′0 1 0b′0 0 1
=
1 0 0a′′0 λ 0b′′0 0 λ
o bien: 1 0 0a′0 1 0b′0 0 1
1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
=
1 0 0a′′0 λ 0b′′0 0 λ
Vemos pues que la composicion (en cualquier orden) es una homotecia de igual razon que lahomotecia de partida.
(2) Encontrar dos homotecias cuya composicion sea una traslacion.
Solucion. Consideremos las matrices de dos homotecias: 1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
,
1 0 0a′0 µ 0b′0 0 µ
La de su composicion sera: 1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
1 0 0a′0 µ 0b′0 0 µ
=
1 0 0a′′0 λµ 0b′′0 0 λµ
Esta es la matriz de una traslacion si y solo si λµ = 1, luego debemos componer homotecias derazones inversas.
2.5 Invariantes de una afinidad. Sea T : P �→ P ′ = T (P ) una afinidad.
(1) Ya sabemos que T , por ser afın, conserva la alineacion y la coplanaridad, pero como esuna afinidad lo hace en sentido estricto:
10
� Tres puntos P1, P2, P3 estan alineados si y solo si lo estan sus imagenes P ′1, P
′2, P
′3.
� Cuatro puntos P1, P2, P3, P3 son coplanarios si y solo si lo son sus imagenes P ′1, P
′2, P
′3, P
′4.
Demostracion. Por ser T una trasformacion afın, si P1, P2, P3 estan alineados, tambien lo estansus imagenes P ′
1, P′2, P
′3. Recıprocamente, puesto que T−1 : P ′ �→ P es una trasformacion afın, si
P ′1, P
′2, P
′3 estan alineados, lo estan P1, P2, P3. Para cuatro puntos se razona de la misma manera.
(2) Uno de los aspectos importantes del estudio de una afinidad es como trasforma puntos,rectas y planos. Por la observacion anterior, T trasforma rectas en rectas, y planos en planos.No pueden darse situaciones como las siguientes:
(i) Una recta que se trasforma en un unico punto, porque en tal caso dos puntos que lageneran se trasforman en el mismo punto
(ii) Un plano que se trasforma en una recta porque entonces tres puntos que lo generan setrasforman en tres puntos alineados.
(3) Asımismo, las imagenes de las figuras por una afinidad se pueden calcular geometri-camente, sin las precauciones especiales propias de las trasformaciones afines arbitrarias nonecesariamente biyectivas. Por ejemplo, para una afinidad se cumple:
� El punto de interseccion de dos rectas se trasforma en el punto de interseccion de las imagenesde esas rectas.� La recta interseccion de dos planos se trasforma en la recta interseccion de las imagenes delos dos planos.� El punto de interseccion de una recta y un plano se trasforma en el punto de interseccion delas imagenes de la recta y del plano.
P ′ r′2
r2
r1
P r′1 r
r′
π1
π′1
π2
π′2
T−→ T−→
(4) Entre los puntos, rectas y planos de E se distinguen especialmente los que son invariantespor T , es decir, se trasforman en sı mismos:
• Un punto fijo de T es un punto P que se trasforma en sı mismo: P = T (P ).
• Una recta invariante de T es una recta r que se trasforma en sı misma: r = T (r).
Para que pase esto basta que existan dos puntos distintos P1, P2 ∈ r cuyas imagenes estentambien en r. Esto no significa que r contenga puntos fijos, y no deben confundirse lasrectas invariantes con las rectas de puntos fijos. Estas ultimas son aquellas cuyos puntosson todos fijos, y son invariantes por supuesto, pero una recta invariante puede no tenerningun punto fijo.
• Un plano invariante de T es un plano π que se trasforma en sı mismo: π = T (π).
11
Para que π sea invariante basta que contenga tres puntos P1, P2, P3 no alineados, cuyasimagenes esten tambien en π. Como en el caso de las rectas, un plano invariante no esnecesariamente un plano de puntos fijos, aunque es claro que tales planos son invariantes.
(5) Las relaciones de incidencia entre puntos fijos, rectas invariantes y planos invariantes son,aunque inmediatas, muy utiles. Se deducen del calculo geometrico de las imagenes de rectas yde planos:
� Dos puntos fijos generan una recta invariante.� Un punto fijo y una recta invariante generan un plano invariante.� Dos rectas invariantes que se cortan, se cortan en un punto fijo y generan un plano inva-riante.� Dos rectas invariantes paralelas generan un plano invariante.� Una recta invariante y un plano invariante que se cortan, se cortan en un punto fijo.� Dos planos invariantes que se cortan, se cortan en una recta invariante.
2.6 Ejemplos. (1) Determinar los puntos fijos de traslaciones y homotecias.
Solucion. Sea T : P �→ P + u una traslacion. Si P es un punto fijo, entonces P = P + u, lo quesolo es posible si u = 0, en cuyo caso T serıa la identidad. Luego excepto en ese caso, resulta:
� Una traslacion (distinta de la identidad) no tiene puntos fijos.
Sea ahora T : P �→ (1− λ)C + λP una homotecia de centro C y razon λ. Un punto P es fijosi se cumple P = (1 − λ)C + λP . Si P �= C, por la definicion de interpolacion lineal, tiene queser λ = 1, pero en ese caso T es la identidad. Por tanto, P = C.
� El unico punto fijo de una homotecia (distinta de la identidad) es su centro.
(2) Determinar las rectas invariantes de traslaciones y homotecias.
Solucion. Sea T : P �→ P + u una traslacion, r una recta y P un punto de r. Si r es invariante,P ′ = P+u ∈ r, luego u =
−−→PP ′ es paralelo a r. Recıprocamente, si u es paralelo a r, P ′ = P+u ∈ r
para cada P ∈ r, y r es invariante.
P ′′=P ′+ u
P ′=P+ uP
r recta invarianteu
Luego:
� Las rectas invariantes de una traslacion son las paralelas al vector de traslacion.
Consideremos ahora una homotecia T : P �→ (1 − λ)C + λP . Sea r una recta y P �= C
un punto suyo. Si r es invariante, P ′ = (1 − λ)C + λP ∈ r. Ahora bien, P ′ esta en la rectagenerada por C y P , luego esa recta esta tambien generada por P y P ′. Concluimos que C ∈ r.
12
Supongamos ahora que C ∈ r. Entonces para cada P ∈ r, se tiene P ′ = (1 − λ)C + λP ∈ r, y r
es invariante.
Q
Q′
P
C 11
P ′
r recta invariante
λ
λ
Hemos probado ası:
� Las rectas invariantes de una homotecia son las que pasan por su centro.
(3) Encontrar el centro de la composicion de dos homotecias, cuando esa composicion no esuna traslacion.
Solucion. Sean T, T ′ dos homotecias de centros C,C ′ y razones λ, µ, respectivamente. Segun 2.3(2), las matrices de estas homotecias son:
T : M =
1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
, C =
(a0
1 − λ,
b01 − λ
)
y
T ′ : M ′ =
1 0 0a′0 µ 0b′0 0 µ
, C ′ =
(a′0
1 − µ,
b′01 − µ
)
La composicion T ′′ = TT ′ tendra por matriz
M ′′=MM ′=
1 0 0a′′0 λµ 0b′′0 0 λµ
,
{a′′0 = a0 + λa′0b′′0 = b0 + λb′0
Ademas, λµ �= 1 para que T ′ no sea una traslacion. El centro de T ′′ es el siguiente:
C ′′ =(
a′′01 − λµ
,b′′0
1 − λµ
)=
(a0 + λa′01 − λµ
,b0 + λb′01 − λµ
)=
=(
a0
1 − λµ,
b01 − λµ
)+
(λa′0
1 − λµ,
λb′01 − λµ
)=
=1 − λ
1 − λµ
(a0
1 − λ,
b01 − λ
)+
λ(1 − µ)1 − λµ
(a′0
1 − µ,
b′01 − µ
)=
=1 − λ
1 − λµC +
λ(1 − µ)1 − λµ
C ′.
C
C ′
C ′′1
λ(1−µ)1−λµEsta es una interpolacion lineal de los centros de las
homotecias de partida, pues
1 − λ
1 − λµ+
λ(1 − µ)1 − λµ
= 1.
13
Vemos ası que el centro de T ′′ esta alineado con los de T y T ′.
2.7 Calculo de puntos fijos. Sea T : P �→ P ′ = T (P ) una afinidad y M su matriz, es decir,se tiene P ′ = MP . Por definicion, los puntos fijos son los puntos P tales que P = MP , luego sonlas soluciones de este sistema de ecuaciones lineales. Basta resolver ese sistema para obtenerlostodos. Puede que el sistema no tenga solucion, y no habra puntos fijos, o que tenga una sola, yhabra un unico punto fijo, pero puede tambien que haya mas de una. En este caso, las solucionesformaran una recta de puntos fijos, o un plano de puntos fijos, pues sabemos que los sistemasde ecuaciones definen eso: rectas y planos de E. Esta es una informacion interesante sobre lospuntos fijos:
� El conjunto de puntos fijos de una afinidad es: (i) vacıo, o (ii) un punto, o (iii) una recta,o (iv) un plano.
Ejemplos. (1) Calcular los puntos fijos de la afinidad del plano cuyas ecuaciones son:{x′ = 3 − x + y
y′ = 6 − 4x + 3y
Solucion. Como acabamos de decir, P = (x, y) es fijo si y solo si P = P ′, es decir, si y solo si(x′, y′) = (x, y). Por tanto hay que resolver el sistema:{
x = 3 − x + y
y = 6 − 4x + 3y
Operando estas dos ecuaciones se convierten en{0 = 3 − 2x + y
0 = 6 − 4x + 2y
Como la segunda es el doble de la primera, ambas tienen las mismas soluciones. Por tanto, lospuntos fijos de T son las soluciones de la ecuacion 0 = 3 − 2x + y. Esta es la ecuacion de unarecta, luego nuestra afinidad tiene una recta de puntos fijos.
(2) Calcular los puntos fijos de la afinidad del espacio de ecuaciones
x′ = 1 − 5x + 2y − 7zy′ = −1 + 2x− y + 3zz′ = 4x + 5z
Solucion. Hay que resolver el sistema:
x = 1 − 5x + 2y − 7zy = −1 + 2x− y + 3zz = 4x + 5z
≡
0 = 1 − 6x + 2y − 7z0 = −1 + 2x− 2y + 3z0 = 4x + 4z
Despejando en la ultima ecuacion obtenemos z = −x, y sustituyendo este valor de z en las dosprimeras queda: {
0 = 1 − 6x + 2y − 7z = 1 + x + 2y0 = −1 + 2x− 2y + 3z = −1 − x− 2y
14
que son ecuaciones proporcionales. Por tanto, el sistema inicial se reduce a{x + z = 01 + x + 2y = 0
La afinidad tiene una recta de puntos fijos, cuyas ecuaciones son las anteriores.
2.8 Calculo de rectas invariantes. Una vez obtenidos todos los puntos fijos de una afinidadT : P �→ P ′ = T (P ), debemos calcular las rectas invariantes. En primer lugar, puede quetengamos una recta de puntos fijos, que por supuesto sera invariante, o un plano de puntos fijos,de manera que todas las rectas de ese plano son a su vez de puntos fijos, luego invariantes.Distinguido esto, se observa lo siguiente.
� Una recta r (que no sea de puntos fijos) es invariante si y solo si esta generada por un puntoP no fijo y sus sucesivas imagenes P ′ = T (P ), P ′′ = T (P ′), etc..
Demostracion. Supongamos primero r invariante. Elegimos cualquier punto P ∈ r que no seafijo, y por la invarianza de r, tambien P ′ = T (P ) ∈ r. Como P �= P ′, los dos puntos generan r.Recıprocamente, consideremos un punto P que no es fijo, y cuyas imagenes sucesivas P ′ = T (P )y P ′′ = T (P ′) estan alineadas con P . Entonces la recta r que generan es invariante, pues tienedos puntos distintos P y P ′ cuyas imagenes P ′ y P ′′ tambien estan en r.
El resultado anterior sugiere el siguiente procedimiento: buscar los puntos P (no fijos), talesque P, P ′ = T (P ) y P ′′ = T (P ′) esten alineados. Si expresamos esto mediante la matriz de T ,tendremos: P ′ = MP y P ′′ = MP ′ = MMP = M2P . Que los tres puntos esten alineados seexpresa mediante ciertas ecuaciones, que se resuelven para obtener P . De esta manera, paracada solucion obtenemos una recta invariante, y ası obtenemos todas. En todo caso debe tenersepresente que podemos obtener la misma recta de varias maneras.
Ejemplos. (1) Calcular las rectas invariantes de la afinidad del ejemplo 2.7 (1):{x′ = 3 − x + y
y′ = 6 − 4x + 3y
Solucion. Buscaremos los puntos P = (x, y) que esten alineados con sus imagenes sucesivasP ′ = (x′, y′) y P ′′ = (x′′, y′′). Si denotamos M la matriz de la afinidad, es P ′ = MP y P ′′ = M2P .Por tanto:
1x′′
y′′
=
1 0 0
3 −1 16 −4 3
2 1x
y
=
1
6 − 3x + 2y12 − 8x + 5y
Ahora debemos escribir la condicion para que P, P ′ y P ′′ esten alineados, es decir, para que losvectores
−−→PP ′ = P ′ − P y
−−→PP ′′ = P ′′ − P sean proporcionales. Esa condicion es que se anule el
siguiente determinante:
0 =
∣∣∣∣∣ x′ − x x′′ − x
y′ − y y′′ − y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 3 − 2x + y 6 − 4x + 2y6 − 4x + 2y 12 − 8x + 4y
∣∣∣∣∣ .Aquı vemos que la segunda columna es el doble de la primera, luego el determinante es siemprenulo. La conclusion es que todo punto (x, y) esta alineado con sus imagenes sucesivas, luego por
15
el pasa una recta paralela al vector
−−→PP ′ = (3 − 2x + y, 6 − 4x + 2y) = h(1, 2),
siendo h(x, y) = 3−2x+y. La ecuacion h(x, y) = 0 es precisamente la de la recta de puntos fijosde la afinidad, segun calculamos en el ejemplo 2.7 (1). Ası vemos como nuestra busqueda de rectasinvariantes solo descuida los puntos fijos, y habrıa que anadir a las rectas invariantes anterioresla de puntos fijos. Pero ocurre que esa recta es tambien paralela al vector (1, 2) (observense loscoeficientes de su ecuacion).
rectas invariantes
(1, 2)recta de puntos fijos
Podemos concluir:
� Las rectas invariantes de la afinidad son las rectas paralelas al vector (1, 2).
(2) Calcular las rectas invariantes de la afinidad del ejemplo 2.7 (2):
x′ = 1 − 5x + 2y − 7zy′ = −1 + 2x− y + 3zz′ = 4x + 5z
Solucion. Buscaremos como antes los puntos P = (x, y, z) que esten alineados con sus imagenessucesivas P ′ = (x′, y′, z′) = MP y P ′′ = (x′′, y′′, z′′) = M2P , donde M es la matriz de la afinidad.Explıcitamente:
1x′′
y′′
z′′
=
1 0 0 01 −5 2 −7−1 2 −1 30 4 0 5
2
1x
y
z
=
1−6 + x− 12y + 6z
2 + 5y − 2z4 + 8y − 3z
La condicion para que P, P ′ y P ′′ esten alineados, es decir, para que sean proporcionales losvectores
−−→PP ′ = P ′ − P y
−−→PP ′′ = P ′′ − P es que tenga rango 1 la matriz de las coordenadas de
los dos ultimos: 1 − 6x + 2y − 7z −6 − 12y + 6z−1 + 2x− 2y + 3z 2 + 4y − 2z
4x + 4z 4 + 8y − 4z
Para ello han de ser nulos los menores de orden 2. El primero es:
∆12 =
∣∣∣∣∣ 1 − 6x + 2y − 7z −6 − 12y + 6z−1 + 2x− 2y + 3z 2 + 4y − 2z
∣∣∣∣∣ ,
16
que se calcula, por ejemplo, sumando a la primera fila el triple de la segunda:
∆12 =
∣∣∣∣∣ −2 − 4y + 2z 0−1 + 2x− 2y + 3z 2 + 4y − 2z
∣∣∣∣∣ = −4(1 + 2y − z)2.
De manera parecida para los otros dos menores obtenemos:
∆13 =
∣∣∣∣∣ 1 − 6x + 2y − 7z −6 − 12y + 6z4x + 4z 4 + 8y − 4z
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣ 1 + 2y − z 04x + 4z 4 + 8y − 4z
∣∣∣∣∣ = 4(1 + 2y − z)2,
∆23 =
∣∣∣∣∣ −1 + 2x− 2y + 3z 2 + 4y − 2z4x + 4z 4 + 8y − 4z
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣ −1 − 2y + z 04x + 4z 4 + 8y − 4z
∣∣∣∣∣ = −4(1 + 2y − z)2,
En conclusion, los tres menores se anulan si y solo si 1 + 2y− z = 0. Esto significa que por cadapunto (x, y, z) de ese plano pasa una recta invariante paralela al vector
−−→PP ′ = (1 − 6x + 2y − 7z,−1 + 2x− 2y + 3z, 4x + 4z) =
= (1−6x+2y−7(1+2y),−1+2x−2y+3(1+2y), 4x+4(1+2y)) =
= (−6 − 6x− 12y, 2 + 2x + 4y, 4 + 4x + 8y) =
= h(−3, 1, 2), siendo h(x, y) = 2(1 + x + 2y).
Deducimos:
� Por cada punto del plano 1+2y−z = 0 pasa una recta invariante paralela al vector (−3, 1, 2).
Esta afirmacion vale si h(x, y) �= 0. Analicemos ahora el caso h(x, y) = 0. Los puntos delplano 1 + 2y − z = 0 que cumplen la condicion 0 = h(x, y) = 2(1 + x + 2y) son los de la recta:
(�)
{1 + 2y − z = 01 + x + 2y = 0
Sabemos que nuestra discusion de las rectas invariantes descuida los puntos fijos, ası que com-paremos esta recta de puntos anomalos con la recta de puntos fijos de que calculamos en 2.7(2):
(��)
{x + z = 01 + x + 2y = 0
Resulta que si restamos la primera ecuacion de la segunda el sistema (��) se convierte en (�),luego la condicion h(x, y) = 0 corresponde a los puntos fijos. ¡Ya debıamos haber advertido esto,pues
−−→PP ′ = h(−3, 1, 2)!
rectas invariantes(−3, 1, 2)
recta de puntos fijos
1 + 2y − z = 0
17
Por supuesto, la recta de puntos fijos es invariante, y hay que anadirla a las anteriores (pues noes una de ellas: (1,−1,−1) y (3,−2,−3) son puntos fijos, y el vector (1,−1,−1)− (3,−2,−3) =(−2, 1, 2) no es paralelo a (−3, 1, 2)).
2.9 Calculo de planos invariantes. En este caso T sera una afinidad del espacio. La estrategiaes la misma que para rectas. Se toma un punto P y se calculan sus imagenes sucesivas: P ′, P ′′, P ′′′.Si P, P ′ y P ′′ estan alineados, entonces generan una recta invariante, que ya habrıamos detectadoantes. Si P, P ′ y P ′′ no estan alineados, entonces generan un plano, y si este plano contiene aP ′′′, es un plano invariante. Ademas, cada plano invariante esta generado de esta manera. Enlugar de discutir teoricamente la casuıstica, veamos varios ejemplos.
Ejemplos. (1) Calcular los planos invariantes de la afinidad de los ejemplos 2.7 (2) y 2.8 (2):
Solucion. Buscaremos puntos P que sean coplanarios con sus imagenes sucesivas. Para ello nossirven muchos de los calculos de 2.7 (2) y 2.8 (2). Allı obtuvimos para un punto P = (x, y, z)las imagenes P ′ = (x′, y′, z′) y P ′′ = (x′′, y′′, z′′). Obtenemos la tercera imagen sucesiva P ′′′ =(x′′′, y′′′, z′′′) utilizando la matriz M de la afinidad:
1x′′′
y′′′
z′′′
=
1 0 0 01 −5 2 −7−1 2 −1 30 4 0 5
3
1x
y
z
=
17 − 5x + 14y − 13z−3 + 2x− 5y + 5z−4 + 4x− 8y + 9z
Para que los cuatro puntos P, P ′, P ′′ y P ′′′ sean coplanarios, los tres vectores−−→PP ′ = P ′−P ,−−→
PP ′′ = P ′′−P y−−−→PP ′′′ = P ′′′−P deben ser dependientes, es decir, debe anularse el siguiente
determinante:
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣1 − 6x + 2y − 7z −6 − 12y + 6z 7 − 6x + 14y − 13z−1 + 2x− 2y + 3z 2 + 4y − 2z −3 + 2x− 6y + 5z
4x + 4z 4 + 8y − 4z −4 + 4x− 8y + 8z
∣∣∣∣∣∣∣Desarrollamos este determinante por la ultima columna y obtenemos:
∆=∆23(7 − 6x + 14y − 13z) − ∆13(−3 + 2x− 6y + 5z) + ∆12(−4 + 4x− 8y + 8z)
donde los menores son los que se calcularon en el ejemplo 2.8 (2):
∆23 = −∆13 = ∆12 = −4(1 + 2y − z)2.
En consecuencia, resulta:
∆ = − 4(1 + 2y − z)2·
·((7−6x+14y−13z)+(−3+2x−6y+5z)+(−4+4x−8y+8z)
)=
= − 4(1 + 2y − z)2 · 0 = 0
Esto significa que para cualquier punto del espacio se cumple la condicion, es decir, por cadapunto del espacio pasa un plano invariante, generado por el punto y sus imagenes sucesivas.Para determinarlo, basta encontrar un vector perpendicular. Lo mas facil es tomar el producto
18
vectorial de los dos vectores−−→PP ′ = P ′ − P y
−−→PP ′′ = P ′′ − P , que son paralelos al plano. Esto
nos permite aprovecharnos otra vez de los calculos anteriores, pues:
−−→PP ′ ×
−−→PP ′′ = (∆23,−∆13,∆12) = h(1, 1, 1),
siendo h(x, y, z) = −4(1 + 2y − z)2. El caso h(x, y, z) = 0 corresponde a los puntos del plano1 + 2y − z = 0, que es invariante, pues invariantes son todas las rectas de ese plano paralelas alvector (−3, 1, 2). Para el resto de los puntos, h(x, y, z) �= 0, y concluimos que todos los planosperpendiculares al vector (1, 1, 1) son invariantes. En resumen:
� Los planos invariantes de la afinidad son el plano 1+2y−z = 0 y todos los planos x+y+z = λ.
planos invariantesx + y + z = λ
1 + 2y − z = 0
Es interesante observar como encajan todos los invariantes. Por ejemplo, la interseccion dedos planos invariantes debe ser una recta invariante, y en nuestro caso obtenemos las rectas
r :
{x + y + z = λ
2y − z = −1
Como de hecho ya conocemos todas las rectas invariantes, esta debe ser una de ellas, luegoparalela al vector (−3, 1, 2). Lo confirmamos calculando un vector u paralelo a r:
u = (1, 1, 1) × (0, 2,−1) = (−3, 1, 2)
(2) Calcular los planos invariantes de la afinidad de ecuaciones:
x′ = 1 − 2x− y − z
y′ = 1 − x− 2y − z
z′ = −1 + x + y
Solucion. Buscaremos puntos P = (x, y, z) que sean coplanarios con sus imagenes sucesivasP ′ = (x′, y′, z′), P ′′ = (x′′, y′′, z′′) y P ′′′ = (x′′′, y′′′, z′′′). Resulta:
1x′′
y′′
z′′
=
1 0 0 01 −2 −1 −11 −1 −2 −1−1 1 1 0
2
1x
y
z
=
1−1 + 4x + 3y + 3z−1 + 3x + 4y + 3z1 − 3x− 3y − 2z
19
1x′′′
y′′′
z′′′
=
1 0 0 01 −2 −1 −11 −1 −2 −1−1 1 1 0
3
1x
y
z
=
13 − 8x− 7y − 7z3 − 7x− 8y − 7z−3 + 7x + 7y + 6z
Para que P, P ′, P ′′ y P ′′′ sean coplanarios, los tres vectores−−→PP ′ = P ′ − P ,
−−→PP ′′ = P ′′ − P y
−−−→PP ′′′ = P ′′′ − P
deben ser dependientes, es decir, debe anularse el determinante
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣1 − 3x− y − z −1 + 3x + 3y + 3z 3 − 9x− 7y − 7z1 − x− 3y − z −1 + 3x + 3y + 3z 3 − 7x− 9y − 7z−1 + x + y − z 1 − 3x− 3y − 3z −3 + 7x + 7y + 5z
∣∣∣∣∣∣∣Pero si se suma la tercera fila a cada una de las otras resulta:
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣−2x− 2z 0 −2x− 2z−2y − 2z 0 −2y − 2z
−1 + x + y − z 1 − 3x− 3y − 3z −3 + 7x + 7y + 5z
∣∣∣∣∣∣∣y este determinante es nulo por ser las dos primeras filas proporcionales a (1, 0, 1). Esto significaque por cada punto del espacio pasa algun plano invariante, y los podemos calcular con susimagenes sucesivas. Antes de continuar la discusion observamos:
� P, P ′ y P ′′ estan alineados si y solo si los vectores−−→PP ′ y
−−→PP ′′ son dependientes, si y solo si
es nulo su producto vectorial:
uP =−−→PP ′ ×
−−→PP ′′ = h(y + z,−x− z,−x + y)
donde h(x, y, z) = 2(−1 + 3x + 3y + 3z).
Este producto vectorial es nulo si h(x, y, z) = 0 o y + z = −x − z = −x + y = 0, es decirpara puntos del plano
π : −1 + 3x + 3y + 3z = 0
o de la recta
r :
{y + z = 0x + z = 0
Ahora supongamos que P, P ′ y P ′′ no estan alineados. Entonces generan el unico planoinvariante que pasa por P . Este plano es paralelo a los vectores
−−→PP ′ y
−−→PP ′′, luego perpendicular
a su producto vectorial uP . Esto define completamente el plano. El lector puede comprobar quehemos obtenido los planos que contienen a la recta r anterior.
planos invariantesque contienen a r
π : −1 + 3x + 3y + 3z = 0
r
20
Segun esto ademas, si un plano invariante no es π, como desde luego no esta contenido en r,tiene algun punto P que no esta alineado con sus imagenes sucesivas, luego tiene que ser uno delos que acabamos de describir. Por tanto, el unico posible plano invariante adicional es el propioπ. Pero es muy facil decidir que sı es invariante: los tres puntos no alineados (1
3 , 0, 0),(0, 13 , 0),
(0, 0, 13) estan en π, y sus imagenes (1
3 ,23 ,−2
3),(23 ,
13 ,−2
3), (23 ,
23 ,−1) tambien.
Ejercicios
2.1. Encontrar la afinidad del plano que trasforma el origen (0, 0) en el punto (−1,−1) y deja invariantes la
recta x = 1 y la recta y = 1.
2.2. Demostrar que si una afinidad intercambia dos puntos, entonces deja fijo su punto medio. ¿Que resultado
similar se cumple para los tres vertices de un triangulo y su baricentro?
2.3. Encontrar las ecuaciones de una afinidad del plano que trasforma las rectas x − y + 1 = 0, x = 0 e y = 0
en las rectas x + y = 1, y = 0 y x = −1, respectivamente.
2.4. Determinar los puntos fijos y las rectas invariantes de la afinidad del plano de ecuaciones:{x′ = 1 + 2x
y′ = −x− y
2.5. Calcular los puntos fijos y las rectas invariantes de la afinidad del ejemplo 4.2.9(2).
21
Leccion 3. Movimientos
Las afinidades, aunque biyectivas, no son muy respectuosas con la forma de los objetos. Enrealidad, solo conservan las propiedades de incidencia, como la alineacion y el paralelismo. Estoes significativo para rectas en el espacio, pues en este caso hay que distinguir rectas paralelas yrectas que se cruzan:
� Si T : E → E es una afinidad del espacio, y r, s son dos rectas paralelas, entonces T (r) yT (s) son paralelas.
Demostracion. Como r y s son paralelas, estan contenidas en un plano π, y deducimos que T (r)y T (s) estan contenidas en el plano T (π). Si T (r) y T (s) no fueran paralelas se cortarıan, ycomo T es biyectiva, tambien se cortarıan r y s, lo que no ocurre. Por tanto, T (r) y T (s) sonparalelas.
Sin embargo, las afinidades pueden producir deformaciones como las siguientes:
� Cualquier elipse se puede trasformar mediante una afinidad adecuada en una circunferenciade radio 1.
Demostracion. Consideremos una elipse cualquiera, y elijamos el sistema de referencia para quesu ecuacion sea x2
a2 + y2
b2= 1. Entonces la afinidad T de ecuaciones x′ = 1
ax, y′ = 1
by, trasformala elipse en una circunferencia x2 + y2 = 1. En efecto, si un punto P = (x, y) esta en la elipsetenemos:
1 =x2
a2+
y2
b2=
(xa
)2+
(yb
)2= x′2 + y′2,
lo que significa que P ′ = (x′, y′) esta en la circunferencia de centro el origen y radio 1.
Estas anomalıas motivan la consideracion de afinidades especiales:
3.1 Definicion. Un movimiento es una afinidad T : P �→ P ′ que conserva las distancias: dadosdos puntos P1 y P2 con imagenes P ′
1 y P ′2, se cumple dist(P1, P2) = dist(P ′
1, P′2).
Claramente la composicion de dos movimientos es tambien un movimiento.
3.2 Ejemplos. (1) Las traslaciones son movimientos.
P1
P ′1
P2
P ′2d
d
uDemostracion. Consideremos una traslacion T : P �→ P ′ = P +u. Veamos que T conserva las distancias. Dados dos puntos P1
y P2 cualesquiera resulta:
dist(P ′1, P
′2) =
∣∣P ′2 − P ′
1
∣∣ =
=∣∣(P2 + u) − (P1 + u)
∣∣ =
=∣∣P2 − P1
∣∣ = dist(P1, P2).
(2) Una homotecia de razon λ multiplica las distancias por |λ|. En particular, las unicashomotecias distintas de la identidad que conservan las distancias son las de razon λ = −1.
22
En realidad, esto es el teorema de Thales, segun se ve en la figura:
P1
P ′1
P2 P ′2
d
λd
λ
λ
1
1
Demostracion. Sea T : P �→ P ′ = (1−λ)C +λP la homotecia de centro C y razon λ. Dados dospuntos P1 y P2 tenemos:
dist(P ′1, P
′2) =
∣∣P ′2 − P ′
1
∣∣ =
=∣∣((1 − λ)C + λP2) − ((1 − λ)C + λP1)
∣∣ =
=∣∣λP2 − λP1
∣∣ = |λ|∣∣P2 − P1
∣∣ = |λ|dist(P1, P2).
Esto prueba la primera afirmacion del enunciado. Ası, la unica manera de que se conserve ladistancia es que |λ| = 1, es decir λ = ±1. Pero si λ = 1, la homotecia es simplemente la identidad,ası que queda la posibilidad λ = −1.
Para reconocer que afinidades son movimientos utilizaremos sus ecuaciones. Esas ecuacionesse obtendran respecto de una referencia fijada, pero puesto que calcularemos distancias, esareferencia debe ser ortonormal. Ası sera siempre a partir de este momento.
3.3 Determinacion de los movimientos. Sea T : P �→ P ′ = T (P ) una afinidad de E, yfijemos una referencia ortonormal.
(1) Si T es una afinidad del plano, sus ecuaciones seran del tipo:{x′ = a0 + a1x + a2y
y′ = b0 + b1x + b2y
Dados dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), tenemos
dist(P1, P2) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
y para las imagenes
dist(P ′1, P
′2) =
√(x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2.
Ahora bien, segun las ecuaciones de T se cumple:{x′1 = a0 + a1x1 + a2y1
y′1 = b0 + b1x1 + b2y1
{x′2 = a0 + a1x2 + a2y2
y′2 = b0 + b1x2 + b2y2
Estos valores se sustituyen en la expresion anterior de dist(P ′1, P
′2) y despues de simplificar resulta
la formula siguiente:
dist(P ′1, P
′2)=
√(a1(x2−x1)+a2(y2−y1))
2 + (b1(x2−x1)+b2(y2−y1))2 =
=√
(a21+b21)(x2−x1)2+2(a1a2+b1b2)(x2−x1)(y2−y1)+(a2
2+b22)(y2−y1)2
23
Por tanto, T es un movimiento si y solo si para cualesquiera valores x1, x2, y1, y2 se tiene√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 =
=√
(a21+b21)(x2−x1)2+2(a1a2+b1b2)(x2−x1)(y2−y1)+(a2
2+b22)(y2−y1)2
Es claro que esto se cumple si a21 + b21 = a2
2 + b22 = 1 y a1a2 + b1b2 = 0. Recıprocamente, si laigualdad ultima se cumple para cualesquiera P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), tomando
(i) P1 = (1, 0), P2 = (0, 0), obtenemos a21 + b21 = 1,
(ii) P1 = (0, 1), P2 = (0, 0), obtenemos a22 + b22 = 1, y
(iii) P1 = (1, 1), P2 = (0, 0), obtenemos a1a2 + b1b2 = 0.
En conclusion, hemos demostrado lo siguiente:
� Una afinidad T del plano es un movimiento si y solo si{a2
1 + b21 = a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
(2) Si T es una afinidad del espacio se razona de manera completamente analoga, con unacoordenada mas, y se obtiene:
� Una afinidad T del espacio de ecuaciones
x′ = a0 + a1x + a2y + a3z
y′ = b0 + b1x + b2y + b3z
z′ = c0 + c1x + c2y + c3z
es un movimiento si y solo si{a2
1 + b21 + c21 = a22 + b22 + c22 = a2
3 + b23 + c23 = 1a1a2 + b1b2 + c1c2 = a1a3 + b1b3 + c1c3 = a2a3 + b2b3 + c2c3 = 0
3.4 Ejemplos. (1) La matriz de un movimiento del plano es
M =
1 0 0
1 a1 a2
1 12 b2
Determinar las constantes a1, a2 y b2 sabiendo que trasforma el punto (1, 1) en un punto de larecta x− y =
√3.
Solucion. Por ser un movimiento, se debe cumplir:{a2
1 + b21 = a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
con b1 = 12 . Por tanto a2
1 + 14 = 1, luego a1 = ε
√3
2 con ε = ±1. Por otra parte, de la igualdad
0 = a1a2 + b1b2 = ε√
32 a2 + 1
2b2
24
deducimos b2 = −ε√
3a2, que sustituido en la otra ecuacion da:
1 = a22 + b22 = a2
2 +(− ε
√3a2
)2 = a22 + ε23a2
2 = 4a22
(pues ε2 = 1), de modo que a2 = ±12 , y en consecuencia
b2 = −ε√
3a2 = ∓ε√
32 .
Todo esto da las siguientes posibles matrices:
ε = +1 : M+1 =
1 0 01
√3
2 −12
1 12
√3
2
, M+
2 =
1 0 01
√3
212
1 12
−√
32
ε = −1 : M−1 =
1 0 01 −
√3
212
1 12
√3
2
, M−
2 =
1 0 01 −
√3
2 −12
1 12 −
√3
2
Para saber cual corresponde a nuestra afinidad calculamos la imagen del punto (1, 1) en loscuatro casos:
M+1
1
11
=
112 +
√3
232 +
√3
2
, M+
2
1
11
=
132 +
√3
232 −
√3
2
M−1
1
11
=
132 −
√3
232 +
√3
2
, M−
2
1
11
=
112 −
√3
232 −
√3
2
De todos estos puntos solo el de M+2 esta en la recta x − y =
√3, luego M−
1 es la matriz denuestro movimiento.
(2) Obtener todos los movimientos del plano que dejan fijo el punto (1, 1) y trasforman (2, 1)en (1, 2).
Solucion. Para calcular la matriz de uno de esos movimientos procedemos como con una tras-formacion afın cualquiera. Tenemos:
O=(0, 0) �→ O′=(a0, b0)P =(1, 1) �→ P ′=(1, 1)Q=(2, 1) �→ Q′=(1, 2)
de modo que las imagenes de: {A1 = (1, 0) = O − P + Q
A2 = (0, 1) = O + P −A1
son {A′
1 = O′ − P ′ + Q′ = (a0, b0) − (1, 1) + (1, 2) = (a0, b0 + 1)A′
2 = O′ + P ′ −A′1 = (a0, b0) + (1, 1) − (a0, b0 + 1) = (1, 0)
Ası pues, {A′
1 −O′ = (0, 1)A′
2 −O′ = (1 − a0,−b0)
25
y la matriz es:
M =
(1 0 0O′ A′
1 −O′ A′2 −O′
)=
1 0 0a0 0 1 − a0
b0 1 −b0
Ahora utilizamos las condiciones que caracterizan los movimientos:{a2
1 + b21 = a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
que en nuestro caso se reducen a:{1 = (1 − a0)2 + (−b0)2 = 1−b0 = 0
y tenemos dos posibles soluciones a0 = 0, 2 y uno solucion b0 = 0. De esta manera obtenemosdos matrices:
1 0 00 0 10 1 0
y
1 0 0
2 0 −10 1 0
que corresponden a los dos movimientos con las condiciones requeridas.
3.5 Matrices ortogonales. Segun hemos visto en el parrafo anterior, para distinguir si unaafinidad de matriz
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
o M =
1 0 0 0a0 a1 a2 a3
b0 b1 b2 b3c0 c1 c2 c3
es a un movimiento, del plano o del espacio, solo es relevante la submatriz
M0 =
(a1 a2
b1 b2
)o M0 =
a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
De hecho, las condiciones obtenidas en el parrafo anterior se escriben muy sencillamente comosigue: (
a1 b1a2 b2
) (a1 a2
b1 b2
)=
(1 00 1
)
en el plano, y a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
=
1 0 0
0 1 00 0 1
Denotando como es usual por N t la matriz traspuesta de una matriz N , y por I la matrizidentidad, las condiciones anteriores se abrevian M t
0M0 = I; se dice que M0 es una matrizortogonal. Por tanto
� La afinidad T es un movimiento si y solo M0 es una matriz ortogonal.
26
Ejercicios
3.1. Encontrar todas las afinidades del plano que trasforman las rectas x = −1, y = 1 y x = 1 en las rectas
y = 1, x = 0 e y = −1, respectivamente. ¿Cuantas son movimientos?
3.2. ¿Existe algun movimiento del plano que trasforme el conjunto x2+y2 = 1 en el conjunto (x−2)2+(y−2)2 =14?
3.3. Encontrar todos los movimientos del plano que trasforman la recta y = 0 en la recta x = 0, y el punto
(1, 1) en el punto (−1,−1).
3.4. Determinar todos los movimientos del plano que trasforman la recta x = 1 en la recta y = 1, y viceversa.
3.5. Calcular las ecuaciones del movimiento del espacio que coincide con la identidad en el plano x − y = 1
(pero no es la identidad).
27
Leccion 4. Semejanzas
En algunos casos la conservacion de las distancias que hemos descrito en la leccion anteriores demasiado restrictiva, y es suficiente con lo siguiente:
4.1 Definicion. Una semejanza es una afinidad T : P �→ P ′ = T (P ) que conserva los angulos:dados tres puntos P, P1 y P2, con imagenes P ′, P ′
1 y P ′2, el angulo que forman los vectores
−−→PP1
y−−→PP2 es el mismo que forman los vectores
−−−→P ′P ′
1 y−−−→P ′P ′
2.
Claramente la composicion de dos semejanzas es tambien una semejanza. Como antes, utili-zaremos ecuaciones para determinar las semejanzas. Los calculos son muy parecidos, puesto quelos angulos se determinan mediante productos escalares.
4.2 Determinacion de las semejanzas. Sea T : P �→ P ′ = T (P ) una afinidad de E, ysupongamos fijada una referencia ortonormal.
(1) Si T es una afinidad del plano, sus ecuaciones seran del tipo:{x′ = a0 + a1x + a2y
y′ = b0 + b1x + b2y
Dados tres puntos P = (x, y), P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), tenemos:
cos(−−→PP1,
−−→PP2) =
〈−−→PP1,−−→PP2〉
|−−→PP1| |−−→PP2|
=q√
m1√m2
,
donde
q = (x1 − x)(x2 − x) + (y1 − y)(y2 − y)
m1 = (x1 − x)2 + (y1 − y)2
m2 = (x2 − x)2 + (y2 − y)2
Por otra parte consideramos las imagenes P ′ = (x′, y′), P ′1 = (x′1, y
′1) y P ′
2 = (x′2, y′2) de los tres
puntos P, P1 y P2, y y obtenemos una formula
cos(−−−→P ′P ′
1,−−−→P ′P ′
2) =q′√
m′1
√m′
2
como la de antes, con x′, . . . , y′2 en lugar de x, . . . , y2. En esa formula se sustituyen x′, . . . , y′2 porsus expresiones en funcion de x, . . . , y2, dadas por las ecuaciones de T , y resulta:
q′ = (a21+b21)(x1−x)(x2−x)+
+2(a1a2+b1b2) ((x1−x)(y2−y) + (x2−x)(y1−y)) +
+(a22+b22)(y1−y)(y2−y)
m′1 = (a2
1+b21)(x1−x)2+2(a1a2+b1b2)(x1−x)(y1−y)+(a22+b22)(y1−y)2
m′2 = (a2
1+b21)(x2−x)2+2(a1a2+b1b2)(x2−x)(y2−y)+(a22+b22)(y2−y)2
Se trata de saber cuando los dos cosenos son iguales.
28
Una manera sencilla de que los cosenos sean iguales es que exista una constante ρ > 0 talque
(�) q = ρq′, m1 = ρm′1, y m2 = ρm′
2,
pues entonces:
q′√m′
1
√m′
2
=ρq√
ρm1√ρm2
=ρq√
ρ2√m1√m2
=q√
m1√m2
.
Vemos que una forma facil de garantizar la condicion (�) es que se cumpla:
(��)
{a2
1 + b21 = a22 + b22 = ρ
a1a2 + b1b2 = 0
Pero es que estas ecuaciones (��) se cumplen siempre que los cosenos son iguales. Para verlosupongamos los cosenos son iguales para cualesquiera tres puntos P, P1 y P2, y elijamos algunosen particular:
(i) Para P = (0, 0), P1 = (1, 0) y P2 = (0, 1):
0 = cos(−−→PP1,
−−→PP2) = cos(
−−−→P ′P ′
1,−−−→P ′P ′
2) =
=q′√
m′1
√m′
2
=2(a1a2+b1b2)√a2
1+b21√a2
2+b22,
luego 0 = a1a2+b1b2, que es la segunda de las igualdades (��).(ii) Para P = (0, 0), P1 = (1, 1) y P2 = (0, 1):
1√2
= cos(−−→PP1,
−−→PP2) = cos(
−−−→P ′P ′
1,−−−→P ′P ′
2) =q′√
m′1
√m′
2
=
=a2
2+b22√(a2
1+b21) + (a22+b22)
√a2
2+b22=
√a2
2+b22√(a2
1+b21) + (a22+b22)
,
que elevando al cuadrado y operando proporciona
2(a22+b22) = (a2
1+b21) + (a22+b22),
de modo que a21+b21 = a2
2+b22, primera de las igualdades (��).
En resumen, hemos demostrado lo siguiente:
� Una afinidad T del plano es una semejanza si y solo si{a2
1 + b21 = a22 + b22
a1a2 + b1b2 = 0
(2) Si T es una afinidad del espacio se razona de manera completamente analoga, con unacoordenada mas, y se obtiene:
� Una afinidad T del espacio de ecuaciones
x′ = a0 + a1x + a2y + a3z
y′ = b0 + b1x + b2y + b3z
z′ = c0 + c1x + c2y + c3z
29
es una semejanza si y solo si{a2
1 + b21 + c21 = a22 + b22 + c22 = a2
3 + b23 + c23a1a2 + b1b2 + c1c2 = a1a3 + b1b3 + c1c3 = a2a3 + b2b3 + c2c3 = 0
4.3 Ejemplos. (1) Determinar todas las semejanzas del plano que cumplen las condicionessiguientes: (i) dejan invariante la recta x = 0, y (ii) trasforman el punto (1, 0) en un punto dela recta x = y. ¿Cuantas de esas semejanzas son movimientos?
Solucion. Las semejanzas que buscamos tendran unas ecuaciones:{x′ = a0 + a1x + a2y
y′ = b0 + b1x + b2ycon
{a2
1 + b21 = a22 + b22
a1a2 + b1b2 = 0
La condicion primera del enunciado es que la imagen de todo punto P = (0, y) es un puntoP ′ = (0, y′), es decir, si x = 0, entonces x′ = 0. En consecuencia, x′ = a0 + a2y = 0 para todoy, lo que pasa si y solo si a0 = a2 = 0. Sustituyendo esto en las condiciones para que la matrizsea la de una semejanza obtenemos. {
a21 + b21 = b22
b1b2 = 0
Pero b2 no puede ser cero, pues entonces el determinante de la matriz de la semejanza serıa nulo:∣∣∣∣∣∣∣1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣1 0 0a0 a1 0b0 b1 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
y no se tratarıa de una afinidad; ası pues, b1 = 0. En fin, de a21 = b22 deducimos b2 = ±a1. Con
todo esto nuestra semejanza tiene las ecuaciones siguientes:{x′ = λx
y′ = µ± λy
Ahora utilizamos la condicion (ii) del enunciado. La imagen del punto (1, 0) es el punto (λ, µ),que esta en la recta x = y si y solo si λ = µ. En conclusion, las semejanzas pedidas son las quetienen unas ecuaciones del tipo:
{x′ = λx
y′ = λ± λycon matriz Mλ =
1 0 0
0 λ 0λ 0 ±λ
Esta es la matriz de un movimiento si y solo si λ = 1, de modo que hay exactamente dos deestas semejanzas que son movimientos.
(2) Determinar la semejanza que trasforma: (i) el origen (0, 0) en el punto (1, 0), (ii) la rectax+ y = 0 en una recta paralela, y (iii) la recta x = 1 en la recta x = −1. ¿Que tipo de afinidades?
30
x = −1
T−→
P2
x = 1
x + y = k
x + y = 0
(1, 0)(0, 0)
Solucion. Como la semejanza trasforma la recta x+ y = 0, que pasa por el origen (0, 0), en unarecta paralela x+ y = k, esta debe pasar por la imagen (1, 0) del origen; por tanto k = 1. Ahorapodemos calcular la imagen del punto P = (1,−1) interseccion de las dos rectas x + y = 0 yx = 1: sera la interseccion P ′ de las imagenes x + y = 1 y x = −1 de esas rectas, es decir,P ′ = (−1, 2). Ademas, sabemos que el punto Q = (1, 1) de la recta x = 1 se trasforma en unpunto Q′ de la recta x = −1, es decir, Q′ = (−1, c) para cierta constante c. Reuniendo todos losdatos:
(0, 0) �→ (1, 0), (1,−1) �→ (−1, 2), (1, 1) �→ (−1, c).
y podemos calcular la matriz M de la semejanza. Las imagenes de:{A1 = (1, 0) = 1
2(1,−1) + 12(1, 1)
A2 = (0, 1) = (0, 0) − 12(1,−1) + 1
2(1, 1)son {
A′1 = 1
2(−1, 2) + 12(−1, c) = (−1, 1 + 1
2c)A′
2 = (1, 0) − 12(−1, 2) + 1
2(−1, c) = (1,−1 + 12c).
Ası pues, {A′
1 −O′ = (−2, 1 + 12c)
A′2 −O′ = (0,−1 + 1
2c)
y la matriz es:
M =
(1 0 0O′ A′
1 −O′ A′2 −O′
)=
1 0 0
1 −2 00 1 + 1
2c −1 + 12c
Para terminar aplicamos la condicion de semejanza a1a2 + b1b2 = 0, que en nuestro caso sereduce a:
0 = (1 + 12c)(−1 + 1
2c) = 14c
2 − 1
luego c = ±2, y tenemos las dos matrices:1 0 0
1 −2 00 2 0
,
1 0 0
1 −2 00 0 −2
Como la primera matriz tiene determinante nulo, no es la de una afinidad, y concluimos que lamatriz buscada es la segunda. Es una homotecia de razon 2.
4.4 Matrices conformes. Como los movimientos, las semejanzas se distinguen facilmente porsu matriz. Para determinar si una afinidad T que tiene por matriz
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
o M =
1 0 0 0a0 a1 a2 a3
b0 b1 b2 b3c0 c1 c2 c3
31
es una semejanza, se considera la submatriz
M0 =
(a1 a2
b1 b2
)o M0 =
a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
y las condiciones obtenidas en el parrafo anterior se escriben muy sencillamente como sigue:(a1 b1a2 b2
) (a1 a2
b1 b2
)=
(ρ 00 ρ
), ρ > 0
en el plano, y a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
=
ρ 0 0
0 ρ 00 0 ρ
, ρ > 0
en el espacio. Abreviadamente M t0M0 = ρI, ρ > 0, y se dice que la matriz M0 es conforme. En
consecuencia:
� La afinidad T es una semejanza si y solo si la matriz M0 es conforme.
En realidad, una matriz conforme es casi una matriz ortogonal:
� Las matrices conformes son las matrices proporcionales a las ortogonales.
Demostracion. Supongamos que M0 es una matriz conforme: M t0M0 = ρI para cierta constante
positiva ρ. Entonces podemos escribir:
M0 =√ρN0, con N0 =
1√ρM0,
y se comprueba inmediatamente que la matriz N0 es ortogonal. Recıprocamente, si M0 = λN0,con λ �= 0 y N0 ortogonal, resulta:
M t0M0 = (λN0)t(λN0) = λ2N t
0N0 = λ2I,
y ρ = λ2 > 0, de manera que M0 es conforme.
Las consideraciones anteriores sobre matrices tienen consecuencias importantes como la si-guiente:
4.5 Proposicion. Una afinidad es una semejanza si y solo si es composicion de un movimientoy una homotecia. En consecuencia, una semejanza multiplica las distancias por una constantepositiva.
Demostracion. Con la caracterizacion matricial de las semejanzas, es claro que los movimientosy las homotecias son semejanzas, luego sus composiciones tambien. Recıprocamente, sea T unasemejanza del plano. Por todo lo anterior, la matriz M de T tiene el aspecto siguiente:
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
, con
(a1 b1a2 b2
)= λ
(a∗1 a∗2b∗1 b∗2
), λ �= 0
32
y siendo
(a∗1 a∗2b∗1 b∗2
)una matriz ortogonal. Por tanto M = NM∗, donde:
N =
1 0 0a0 λ 0b0 0 λ
, M∗ =
1 0 0
0 a∗1 a∗20 b∗1 b∗2
Evidentemente N es la matriz de una homotecia Tλ de razon λ y M∗ la de un movimiento T ∗,de manera que la igualdad anterior significa que T = Tλ ◦ T ∗. Esto es lo que se pretendıa. Encuanto a la afirmacion sobre las distancias, resulta que T ∗ las conserva, y Tλ las multiplica por|λ| (3.2 (2)), luego T las multiplica por |λ|.
4.6 Ejemplos. (1) Escribir las semejanzas del ejemplo 4.3 (1) como composicion de un movi-miento y una homotecia.
Solucion. Las matrices de esas semejanzas eran:
Mλ =
1 0 0
0 λ 0λ 0 ±λ
que podemos escribir ası:
Mλ =
1 0 0
0 λ 0λ 0 λ
1 0 0
0 1 00 0 ±1
La primera de estas matrices define una homotecia y la segunda un movimiento, de lo que sesigue el enunciado.
(2) Demostrar que una semejanza del plano que multiplica por ρ > 0 las distancias entrepuntos, tambien multiplica por ρ las distancias de puntos a rectas, y multiplica por ρ2 las areasde paralelogramos y triangulos.
Solucion. Como las semejanzas conservan los angulos, trasforman perpendiculares en perpendi-culares, lo que significa que los pies de perpendiculares que se usan para calcular distancias arecta y planos se trasforman en pies de perpendiculares.
r′
r
d
T−→ d′
P
Q′P ′
Q
Por tanto las distancias de puntos a rectas y planos se comportan como las distancias entrepuntos, y por tanto se multiplican por ρ.
Para las areas, basta analizar las de los paralelogramos, pues las de los triangulos son lamitad de aquellas. Ahora bien, una semejanza es una afinidad, luego conserva el paralelismo,
33
ası que trasforma paralelogramos en paralelogramos, y como es semejanza y conserva la perpen-dicularidad, trasforma alturas en alturas.
P ′2
h
P2b
T−→h′
P3
P4
P ′1
b′
P ′3
P1
P ′4
En consecuencia, si un paralelogramo tiene base b y altura h, su imagen tiene base b′ = ρb yaltura h′ = ρh, pues estas magnitudes son: la distancia entre dos puntos la primera y la distanciade un punto a una recta la segunda. Concluimos que el area del paralelogramo de partida esA = b · h, y la de su imagen es
A′ = b′ · h′ = (ρb) · (ρh) = ρ2(b · h) = ρ2A
Ejercicios
4.1. Demostrar sin usar matrices que las traslaciones y las homotecias conservan angulos, es decir, son seme-
janzas.
4.2. Se considera al trasformacion afın de ecuaciones{x′ = −2 +
√3x + y
y′ = 3 + x−√
3y
Comprobar que es una semejanza. ¿Por cuanto multiplica las distancias?¿Con que homotecias hay que componerla
para obtener un movimiento?
4.3. Encontrar todas las semejanzas del plano que dejan invariantes las rectas y = 1 y x− y = 0.
4.4. Determinar todas las semejanzas del espacio que dejan invariante la recta x = y = z y en el plano
x + y + z = 1 coinciden con una homotecia de centro el punto ( 13, 1
3, 1
3) y razon 2.
4.5. Demostrar que si una semejanza del espacio multiplica las distancias por una constante ρ > 0, entonces
multiplica por ρ3 los volumenes de paralelepıpedos y tetraedros.
34
Leccion 5. Movimientos en el plano
En esta leccion estudiaremos de manera muy explıcita los movimientos del plano E. Comoes habitual, sea {O;
−−→OA1,
−−→OA2} una referencia ortonormal de E, que define coordenadas (x, y).
Segun hemos visto en las secciones anteriores, cada movimiento T de E se determina medianteuna matriz
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
de manera que la submatriz
M0 =
(a1 b1a2 b2
)
es ortogonal. El tipo mas sencillo de movimiento es la traslacion, cuya matriz es
M =
1 0 0a0 1 0b0 0 1
Veremos a continuacion los otros dos tipos basicos de movimientos del plano.
5.1 Simetrıas respecto de una recta. (1) Sean r una recta, y u un vector unitario yperpendicular a r. Entonces para cada punto P existe un unico punto Q = P + λu ∈ r, que esel pie de la perpendicular a r que pasa por P . Definimos:
T : P �→ P ′ = Q−−−→QP = 2Q− P.
P
Q
P ′r
Esta trasformacion T se llama simetrıa, y la recta r esel eje de simetrıa de T . Resulta que T es idempotente, esdecir, es su propia inversa:
T (T (P )) = T (2Q− P ) = 2Q− (2Q− P ) = P.
Se trata pues de una trasformacion biyectiva.
(2) Calculemos unas ecuaciones de T . Para simplificar los calculos, podemos elegir la refe-rencia ortonormal de manera que la recta r sea el eje x = 0.
P = (x, y)Q
P ′ = (−x, y)
r : x = 0
Entonces dado un punto P = (x, y), el pie de la perpendicular es Q = (0, y) y la imagenP ′ = (x′, y′) es: (
x′
y′
)= 2
(0y
)−
(x
y
)=
(−x
y
).
35
Obtenemos las ecuaciones {x′ = −x
y′ = yM =
1 0 0
0 −1 00 0 1
Vemos pues que T es una trasformacion afın, y su matriz M0 es ortogonal, luego se trata de unmovimiento.
(3) Busquemos los puntos fijos y las rectas invariantes de T . Con las ecuaciones anteriores,los puntos fijos se obtienen resolviendo el sistema{
x = −x
y = y
lo que da la recta de puntos fijos x = 0. Observamos que esta recta es el eje de simetrıa, yconcluimos:
� Los puntos fijos de una simetrıa respecto de una recta son los puntos de su eje de simetrıa.
Para encontrar las rectas invariantes de T , buscamos los puntos P que esten alineados consus imagenes sucesivas P ′, P ′′. Pero esto pasa siempre, pues P ′′ = P (por la idempotencia de T ).Si P ∈ r, entonces P es fijo y no obtenemos nada, pero si P /∈ r, obtenemos la recta invarianteque pasa por P = (a, b) y P ′ = (−a, b). Esta recta es y = b, es decir la perpendicular al eje desimetrıa que pasa por P . En consecuencia:
� Las rectas invariantes de una simetria respecto de una recta son el eje de simetrıa y todassus perpendiculares.
rectas invariantesperpendiculares al eje de simetrıa
recta de puntos fijos
(4) Recıprocamente, los puntos fijos caracterizan las simetrıas:
� Un movimiento del plano (distinto de la identidad) que tiene una recta de puntos fijos es lasimetrıa respecto de esa recta.
Demostracion. Eligiendo las coordenadas podemos suponer que la recta de puntos fijos r es larecta x = 0 como antes. Entonces O = (0, 0) y A2 = (0, 1) son puntos fijos, y la matriz delmovimiento sera del tipo:
M =
1 0 0
0 a1 00 b1 1
Las condiciones que cumple la matriz de un movimiento se reducen en este caso a:
a21 + b21 = 1, b1 = 0.
36
Y como M no es la identidad a1 = −1, y obtenemos la matriz:
M =
1 0 0
0 −1 00 0 1
que, segun 5.1 (2), corresponde a la simetrıa respecto de la recta de puntos fijos x = 0.
(5) La observacion anterior nos dice como reconocer las matrices de las simetrıas. En efecto,consideremos una matriz M que defina un movimiento (distinto de la identidad):
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
,
{a2
1 + b21 = a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
y veamos cuando es una simetrıa, es decir, cuando tiene una recta de puntos fijos, que estara de-finida por el sistema:{
x = a0 + a1x + a2y
y = b0 + b1x + b2y≡
{−a0 = (a1 − 1)x + a2y
−b0 = b1x + (b2 − 1)y
(i) Si la primera ecuacion es identicamente nula, es decir a0 = a1−1 = a2 = 0, las condicionespara que sea un movimiento se reescriben como sigue:{
1 + b21 = b22 = 1b1b2 = 0
Resulta que b1 = 0 y b2 = ±1. Pero si b2 = 1, entonces
M =
1 0 0
0 1 0b0 0 1
que corresponde a una traslacion, y no a una simetrıa. Solo queda pues la matriz:
M =
1 0 0
0 1 0b0 0 −1
(ii) Si la primera ecuacion no es identicamente nula, ha de definir la recta de puntos fijos, yla segunda ha de ser proporcional a ella. Por tanto existe λ tal que:
(�) b0 = λa0, b1 = λ(a1 − 1), b2 − 1 = λa2.
No iremos mas alla en este caso, pues es preferible analizar cada ejemplo en particular.
5.2 Ejemplos. (1) Mostrar que ninguna simetrıa compuesta con la simetrıa respecto del ejex = 0 produce otra simetrıa.
37
Solucion. La matriz de la simetrıa del enunciado es:1 0 0
0 −1 00 0 1
y consideramos la de otra arbitraria:
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
,
{a2
1 + b21 = a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
cuyos puntos fijos seran una recta, definida por el sistema:{x = a0 + a1x + a2y
y = b0 + b1x + b2y≡
{−a0 = (a1 − 1)x + a2y
−b0 = b1x + (b2 − 1)y
Segun acabamos de ver en 5.1 (5), para que este sistema defina una recta, o bien:
M =
1 0 0
0 1 0b0 0 −1
o bien la segunda ecuacion es proporcional a la primera, esto es, existe λ tal que:
(�) b0 = λa0, b1 = λ(a1 − 1), b2 − 1 = λa2.
En el primer caso, al componer con la simetrıa dada obtenemos: 1 0 0
0 1 0b0 0 −1
1 0 0
0 −1 00 0 1
=
1 0 0
0 −1 0b0 0 −1
y esta es la matriz de una homotecia, no de una simetrıa. Por tanto, se deberan verificar lascondiciones (�).
Para continuar, componemos las dos simetrıas y obtenemos: 1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
1 0 0
0 −1 00 0 1
=
1 0 0a0 −a1 a2
b0 −b1 b2
Como antes, para que esta matriz sea la de una simetrıa, tiene que tener una recta de puntosfijos, definida por el sistema:{
x = a0 − a1x + a2y
y = b0 − b1x + b2y≡
{−a0 = −(a1 + 1)x + a2y
−b0 = −b1x + (b2 − 1)y
De nuevo, o bien: 1 0 0a0 −a1 a2
b0 −b1 b2
=
1 0 0
0 1 0b0 0 −1
38
o bien la segunda ecuacion es proporcional a la primera, y existe µ tal que:
(��) − b0 = −µa0, −b1 = −µ(a1 + 1), b2 − 1 = µa2.
En el primer caso, a0 = 0, a1 = −1, a2 = 0, b1 = 0 y b2 = −1, y resulta:
M =
1 0 0
0 −1 0b0 0 −1
que no corresponde a una simetrıa, sino a una homotecia. Concluimos que se cumplen las con-diciones (��), ademas de las anteriores (�):
(�)
b0 = λa0
b1 = λ(a1 − 1)
b2 − 1 = λa2
(��)
−b0 = −µa0
−b1 = −µ(a1 + 1)
b2 − 1 = µa2
(i) Supongamos primero λ �= µ.
Entonces, a0 = b0 = 0 y a2 = b2 − 1 = 0, lo que junto con la condicion a1a2 + b1b2 = 0 nosda b1 = 0. Mas aun, tenemos:
1 = a21 + b21 = a2
1,
luego a1 = ±1. En resumen resulta:
M =
1 0 0
0 ±1 00 0 1
que corresponde a la identidad o a la misma simetrıa de eje x = 0. Ninguno de estos movimientoscumple la condicion deseada.
(ii) Supongamos ahora λ = µ �= 0.
En este caso deducimos: {b1 = λ(a1 − 1)−b1 = −λ(a1 + 1)
Por tanto, a1 + 1 = a1 − 1, lo que es imposible.
(iii) Supongamos por ultimo λ = µ = 0.
Resulta b0 = b1 = b2 − 1 = 0. Por tanto, la condicion a21 + b21 = a2
2 + b22 = 1 se escribea2
1 = a22 + 1 = 1, con lo que a1 = ±1 y a2 = 0. Obtenemos las matrices:
1 0 0a0 1 00 0 1
,
1 0 0a0 −1 00 0 1
39
La primera matriz define una traslacion, no una simetrıa, luego hay que excluirla. La segundası define una simetrıa, pero compuesta con la simetrıa de eje x = 0 da:
1 0 0a0 −1 00 0 1
1 0 0
0 −1 00 0 1
=
1 0 0a0 1 00 0 1
y obtenemos una traslacion, no una simetrıa.
Esto completa la discusion.
De hecho, como para cualquier simetrıa podemos elegir la referencia ortonormal de modoque x = 0 sea su eje, hemos demostrado que:
� La composicion de dos simetrıas distintas no es nunca una simetrıa.
(2) Encontrar la simetrıa del plano que deja fijo el punto (0, 1) y compuesta con la traslacionde ecuaciones x′ = x + 1, y′ = y − 1, da otra simetrıa.
Solucion. Como en el ejemplo anterior, la simetrıa buscada tendra una matriz de la forma:
M =
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
,
{a2
1 + b21 = a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
y, o bien:
M =
1 0 0
0 1 0b0 0 −1
o bien existe λ tal que:
(�) b0 = λa0, b1 = λ(a1 − 1), b2 − 1 = λa2.
Ademas, el punto (0, 1) debe ser fijo. En el primero de los casos anteriores esto significa que:1
01
=
1 0 0
0 1 0b0 0 −1
1
01
=
1
0b0 − 1
y resulta que b0 = 2. Ası, tenemos la matriz:
M =
1 0 0
0 1 02 0 −1
Si ahora multiplicamos la matriz de la traslacion del enunciado por esta ultima queda: 1 0 0
1 1 0−1 0 1
1 0 0
0 1 02 0 −1
=
1 0 0
1 1 01 0 −1
40
que corresponde a un movimiento sin puntos fijos, luego no se trata de una simetrıa. Por tanto,la matriz M anterior no es solucion, y debemos seguir buscando.
Para ello, sabemos que al multiplicar la matriz de la traslacion por M : 1 0 0
1 1 0−1 0 1
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
=
1 0 0
1 + a0 a1 a2
−1 + b0 b1 b2
tenemos que obtener la matriz de una simetrıa, y para ello el sistema de los puntos fijos:{−1 − a0 = (a1 − 1)x + a2y
1 − b0 = b1x + (b2 − 1)y
tiene que definir una recta. De nuevo hay dos posibilidades, o bien: 1 0 0
1 + a0 a1 a2
−1 + b0 b1 b2
=
1 0 0
0 1 0−1 + b0 0 −1
o bien existe µ tal que:
(��) 1 − b0 = µ(−1 − a0), b1 = µ(a1 − 1), b2 − 1 = µa2.
Si fuera lo primero, entonces a0 = −1, a1 = 1, a2 = 0, b1 = 0, b2 = −1 y resultarıa la matriz:
M =
1 0 0−1 1 0b0 0 −1
pero esta es la matriz de un movimiento sin puntos fijos, luego hay que descartarla. Vemos puesque deben cumplirse las condiciones (��), que escribimos junto a las (�) anteriores:
(�)
b0 = λa0
b1 = λ(a1 − 1)
b2 − 1 = λa2
(��)
1 − b0 = µ(−1 − a0)
b1 = µ(a1 − 1)
b2 − 1 = µa2
Supongamos que µ �= λ. Entonces, a1 − 1 = b1 = 0 y a2 = b2 − 1 = 0, lo que da la matriz
M =
1 0 0a0 1 0b0 0 1
que representa una traslacion, no una simetrıa. Por tanto, µ = λ. Esto supuesto, como (0, 1)debe ser fijo:
101
=
1 0 0a0 a1 a2
b0 b1 b2
1
01
=
1a0 + a2
b0 + b2
luego a2 = −a0, b2 = 1 − b0. La igualdad 1 − b0 = µ(−1 − a0) se convierte en:
b2 = λ(a2 − 1),
41
y esta a su vez en b2 + λ = λa2, que comparamos con b2 − 1 = λa2 para concluir que λ = −1.Sustituyendo este valor de λ en (�) tenemos:
b0 = −a0, b1 = 1 − a1, b2 = 1 − a2.
Con todos los valores obtenidos, podemos expresar a0, b0, a1, a2, b1 y b2 en funcion solamente dea1 y a2, y la matriz que resulta es:
M =
1 0 0−a2 a1 a2
a2 1 − a1 1 − a2
Ahora las condiciones para que sea movimiento nos dan:
1 = a21 + b21 = a2
1 + (1 − a1)2 = 1 − 2a1 + 2a21
1 = a22 + b22 = a2
2 + (1 − a2)2 = 1 − 2a2 + 2a22
0 = a1a2 + b1b2 = a1a2 + (1 − a1)(1 − a2) = 2a1a2 + 1 − a1 − a2
o sea,
a1(1 − a1) = 0a2(1 − a2) = 0a1 + a2 − 2a1a2 = 1
Las dos primeras ecuaciones tienen las cuatro soluciones:
(a1 = 0, a2 = 0), (a1 = 1, a2 = 1) (a1 = 1, a2 = 0), (a1 = 0, a2 = 1).
De ellas, las dos primeras no cumplen la tercera ecuacion, y la tercera da lugar a la matrizidentidad, de manera que solo queda la cuarta solucion. Esta corresponde a la matriz:
M2 =
1 0 0−1 0 11 1 0
que define la otra simetrıa buscada.
5.3 Giros. (1) Sea C un punto del plano, y sea α un angulo dado.
P = (x, y)
C = (a, b)
α
P ′ = (x′, y′)
θ
Se define una trasformacion T : P �→ P ′ denominada girode centro C y angulo α como se describe en la figura (Cqueda fijo). Es claro que T es biyectiva, con inversa el girodel mismo centro y angulo −α.
(2) Para calcular unas ecuaciones de T procedemoscomo se describe en la figura. Sea C = (a, b). El punto P =(x, y) y su imagen P ′ = (x′, y′) estan en la circunferenciade radio r. Segun 3.1.10, sera{
x = a + r cos θy = b + r sen θ
y
{x′ = a + r cos(θ + α)y′ = b + r sen(θ + α)
42
Ahora operamos utilizando las expresiones de senos y cosenos para sumas de angulos:
x′ = a + r cos(θ + α) = a + r(cos θ cosα− sen θ senα) =
= a + (r cos θ) cosα− (r sen θ) senα =
= a + (x− a) cosα− (y − b) senα =
=(a(1 − cosα) + b senα
)+ x cosα− y senα,
y′ = b + r sen(θ + α) = b + r(sen θ cosα + cos θ senα) =
= b + (r sen θ) cosα + (r cos θ) senα =
= b + (y − b) cosα + (x− a) senα =
=(b(1 − cosα) − a senα
)+ x senα + y cosα.
Estas son las ecuaciones de nuestro giro, que corresponden a la matriz siguiente:
M =
1 0 0a0 cosα − senα
b0 senα cosα
,
{a0 = a(1 − cosα) + b senα
b0 = b(1 − cosα) − a senα
Ası pues, se trata de una trasformacion afın, y un movimiento de hecho, pues la condicion deortogonalidad se reduce para esta matriz a la igualdad trigonometrica cosα2 + senα2 = 1.
(3) Por definicion, ya sabemos que el centro del giro es un punto fijo de T . Para calcularlostodos hay que resolver el sistema{
x = a0 + x cosα− y senα
y = b0 + x senα + y cosα≡
{(1 − cosα)x + (senα) y = a0
−(senα)x + (1 − cosα) y = b0
El determinante del sistema es∣∣∣∣∣ 1 − cosα senα
− senα 1 − cosα
∣∣∣∣∣ = 1 − 2 cosα + cos2 α + sen2 α = 2(1 − cosα).
Si este determinante es cero, entonces cosα = 1 y α = 0, con lo que T serıa la identidad. Portanto no es el caso, y el sistema tiene solucion unica, esto es, T tiene un unico punto fijo, quesera su centro:
� El unico punto fijo de un giro es su centro.
(4) A continuacion, buscamos las rectas invariantes de T . Como sabemos, hay que encontrarlos puntos P que no son fijos y estan alineados con sus imagenes sucesivas P ′, P ′′. Ahora bien,esas imagenes estan todas en una circunferencia de centro C, y como una recta no puede cortara una circunferencia en tres puntos distintos (3.5.1), P, P ′ y P ′′ no pueden serlo. Pero P �= P ′
por no ser P fijo, y P ′ �= P ′′ por ser T inyectiva, luego P = P ′′.
PC
QP ′
Q′
Esto solo es posible si el angulo de giro es α = π. Pero eneste caso cosα = −1, senα = 0 y la matriz de T es
M =
1 0 0a0 −1 0b0 0 −1
43
Vemos que este giro es en realidad la homotecia de centroC y razon −1, tambien llamada simetrıa respecto de C, y sus rectas invariantes son las quepasan por C. Ası hemos demostrado:
� Un giro (de angulo distinto de π) no tiene rectas invariantes.� Las rectas invariantes de un giro de angulo π son las que pasan por su centro.
5.4 Ejemplos. (1) Determinar todos los giros del plano que compuestos con la simetrıa de ejex = 0 dan simetrıas.
Solucion. Consideramos la matriz de un giro arbitrario y la de la simetrıa de eje x = 0:
M =
1 0 0a0 cosα − senα
b0 senα cosα
, N =
1 0 0
0 −1 00 0 1
La composicion de los dos tiene por matriz:
MN =
1 0 0a0 − cosα − senα
b0 − senα cosα
y esta sera la matriz de una simetrıa si tiene una recta de puntos fijos, que estara definida porel sistema: {
x=a0+(−cosα)x+(−senα)yy=b0+(−senα)x+(cosα)y
≡{−a0 =(−cosα− 1)x+(−senα)y−b0 =(−senα)x+(cosα−1)y
Como ya hemos visto repetidamente, para esto hay dos posibilidades. O bien: 1 0 0a0 − cosα − senα
b0 − senα cosα
=
1 0 0
0 1 0b0 0 −1
o bien la segunda ecuacion del sistema es proporcional a la primera, es decir, existe λ tal que:
(�) b0 = λa0, − senα = λ(− cosα− 1), cosα− 1 = −λ senα.
Si pasa lo primero, α = π y a0 = 0. Por tanto, se trata de un giro de angulo π y centro (0, b)(compruebelo el lector), que esta en el eje de la simetrıa. Supondremos en lo que sigue α �= π yque se verifican las condiciones (�).
Despejando en las dos ultimas igualdades de (�), se obtiene:
λ =senα
cosα + 1=
1 − cosαsenα
y los denominadores no se anulan por ser α �= π (observese que la segunda igualdad se cumplepor ser sen2 α+cos2 α = 1). Utilizando las razones trigonometricas del angulo doble deducimos:
λ =senα
cosα + 1=
2 sen(α/2) cos(α/2)cos2(α/2) − sen2(α/2) + 1
=
=2 sen(α/2) cos(α/2)
2 cos2(α/2)=
sen(α/2)cos(α/2)
44
Sustituyendo esto en la primera ecuacion de (�) resulta:
b0 =sen(α/2)cos(α/2)
a0,
o mejor:a0
cos(α/2)=
b0sen(α/2)
= µ,
para cierto escalar µ. En conclusion, obtenemos los giros cuya matriz es del tipo: 1 0 0
µ cos(α/2) cosα − senα
µ sen(α/2) senα cosα
(2) Calcular el centro y el angulo de un giro que trasforma el punto (1, 1) en el punto (√
32 ,
√3
2 ),sabiendo que el centro esta en la recta x− y = 1
2 .
C
x− y = 12
α
(1, 1)mediatriz
(√
32 ,
√3
2 )
Solucion. Como el centro equidista de cada punto P y su imagen P ′, esta en la mediatriz deesos dos puntos. En nuestro caso P = (1, 1) y P ′ = (
√3
2 ,√
32 ), de manera que la mediatriz es
perpendicular al vector−−→PP ′ = P ′ − P = (
√3
2 − 1,√
32 − 1) = −2+
√3
2 (1, 1),
luego perpendicular al vector (1, 1). Ası la recta es x + y = k y como debe pasar por el puntomedio
12P + 1
2P′ = 1
2(1 +√
32 , 1 +
√3
2 ),
resultak = x + y = 1 +
√3
2 = 2+√
32 .
Tenemos pues la recta x+ y = 2+√
32 , que pasa por el centro del giro, y el enunciado nos da otra:
x− y = 12 . Resolviendo el sistema que forman ambas encontramos las coordenadas del centro, a
saber:
C =
(3 +
√3
4,1 +
√3
4
).
Ahora hay que calcular el angulo α, pero ese angulo es el que forman los vectores−−→CP y
−−→CP ′.
Lo determinamos mediante su coseno, que se obtiene mediante el producto escalar:
cosα =〈−−→CP,
−−→CP ′〉∣∣−−→CP
∣∣ ∣∣−−→CP ′∣∣ .45
Hacemos los calculos separadamente. Primero los vectores:
−−→CP = P − C =
(1 − 3+
√3
4 , 1 − 1+√
34
)=
(1−
√3
4 , 3−√
34
)−−→CP ′ = P ′ − C =
(√3
2 − 3+√
34 ,
√3
2 − 1+√
34
)=
(−3+
√3
4 , −1+√
34
)Ahora, su producto escalar:
〈−−→CP,−−→CP ′〉 = 1−
√3
4 · −3+√
34 + 3−
√3
4 · −1+√
34 = −3+2
√3
4 ,
y sus modulos, que coinciden:
∣∣−−→CP∣∣ =
∣∣−−→CP ′∣∣ =
√(1−
√3
4
)2+
(3−
√3
4
)2=
√4−2
√3
2
En conclusion:
cosα =−3+2
√3
4(√4−2
√3
2
)2=
√3
2
Por tanto, el angulo esα =
π
6.
Nuestro objetivo final es clasificar todos los movimientos del plano, y mostrar que se reducenesencialmente a los tres anteriores: traslaciones, simetrıas y giros. Para ello necesitamos describirun poco mejor las matrices ortogonales.
5.5 Parametrizacion de matrices ortogonales. Para describir eficazmente las matricesortogonales 2 × 2 se hace lo siguiente. Consideremos una matriz ortogonal
M0 =
(a1 a2
b1 b2
),
a21 + b21 = 1
a22 + b22 = 1
a1a2 + b1b2 = 0
Las primera de las igualdades anteriores significa que (a1, b1) esta en la circunferencia unidadde centro (0, 0), luego existe un angulo α de manera que a1 = cosα, b1 = senα. Por otra parte,la tercera ecuacion dice que el vector (a2, b2) es perpendicular al vector (a1, b1); como (−b1, a1)tambien lo es, necesariamente: (a2, b2) = λ(−b1, a1). Deducimos:
1 = a22 + b22 = (−λb1)2 + (λa1)2 = λ2(a2
1 + b21) = λ2,
con lo que λ = ±1. Por tanto, hay dos posibilidades:
(a2, b2) =
{(−b1, a1) = (− senα, cosα), si λ = 1(b1,−a1) = (senα,− cosα), si λ = −1
tenemos ası dos tipos de matrices ortogonales:
M+0 =
(cosα − senα
senα cosα
), M−
0 =
(cosα senα
senα − cosα
)
46
5.6 Clasificacion de los movimientos del plano. Sea T un movimiento del plano. Por loanterior, su matriz sera de una de las dos formas siguientes:
M =
1 0 0a0 cosα − senα
b0 senα cosα
, M =
1 0 0a0 cosα senα
b0 senα − cosα
Ambos tipos de matrices se distinguen por su determinante:
det(M) =
{cos2 α + sen2 α = +1,
− cos2 α− sen2 α = −1.
En el primer caso, det = +1, se trata de un giro, segun 4.5.3(2). Para entender que tipo demovimiento corresponde al otro caso, det = −1, estudiaremos sus puntos fijos.
(1) Los puntos fijos de un movimiento T de determinante negativo, se obtienen resolviendoel sistema {
x = a0 + x cosα + y senα
y = b0 + x senα− y cosα≡
{(1 − cosα)x− (senα) y = a0
−(senα)x + (1 + cosα) y = b0(�)
El determinante del sistema es∣∣∣∣∣ 1 − cosα − senα
− senα 1 + cosα
∣∣∣∣∣ = 1 − cos2 α− sen2 α = 0,
luego hay por tanto dos posibilidades:
(i) Las ecuaciones (�) son proporcionales, y el sistema se reduce a una ecuacion, que es lade una recta de puntos fijos de T . Por 4.5.1(5), T es la simetrıa respecto de esa recta.
(ii) Las ecuaciones (�) no son proporcionales, y el sistema no tiene solucion, con lo que T notiene puntos fijos. En este caso consideramos la traslacion TO que trasforma O′ = T (O) en O, yel movimiento T ′ = TO ◦ T . Como O′ = (a0, b0) la matriz de TO es:
1 0 0−a0 1 0−b0 0 1
y la de T ′: 1 0 0−a0 1 0−b0 0 1
1 0 0a0 cosα senα
b0 senα − cosα
=
1 0 0
0 cosα senα
0 senα − cosα
Ası, T ′ es un movimiento con determinante negativo, que tiene al menos un punto fijo, O, luegotiene que ser del tipo (i), y en consecuencia una simetrıa. Como de T ′ = TO ◦ T se deduceT = T−1
O ◦ T ′, y T−1O es otra traslacion, vemos que:
� T es composicion de una simetrıa y una traslacion.
Denominaremos a este tipo de movimiento simetrıa sesgada; su eje es el de la traslacion, ysu vector es el de la traslacion.
47
(2) Para terminar solo falta conocer las rectas invariantes de este movimiento T que hemosllamado simetrıa sesgada; para simplificar podemos suponer que la simetrıa que interviene en T
tiene por eje la recta r : x = 0. Entonces las ecuaciones de T son muy sencillas:{x′ = a0 − x
y′ = b0 + y
(que corresponden a la matriz ortogonal del tipo M−0 de 4.5.5, con α = π). Con estas ecuaciones,
u = (a0, b0) es el vector de la traslacion que interviene en T . Como T no tiene puntos fijos, elsistema {
x = a0 − x
y = b0 + y
no tiene solucion, con lo que b0 �= 0. Pasemos ya a buscar las rectas invariantes, mediante elmetodo habitual: buscar los puntos P que estan alineados con sus imagenes sucesivas P ′, P ′′. SiP = (x, y), entonces
P ′ = (x′, y′) = (a0 − x, b0 + y), P ′′ = (a0 − x′, b0 + y′) = (x, 2b0 + y).
Los tres puntos estan alineados si y solo si los vectores
−−→PP ′ = P ′ − P = (a0 − 2x, b0) y
−−→PP ′′ = P ′′ − P = (0, 2b0)
son proporcionales. Esto es equivalente a la anulacion de un determinante:∣∣∣∣∣ a0 − 2x 0b0 2b0
∣∣∣∣∣ = 2b0(a0 − 2x).
Como b0 �= 0, es x = 12a0, y concluimos
P = (12a0, y), P ′ = (1
2a0, b0 + y),
puntos que generan la recta invariante s : x = 12a0. Esta representacion de la recta invariante
s depende de la manera en que estan elegidas las coordenadas, pero podemos dar otra que nodependa: s es la recta paralela a r obtenida trasladandola mediante el vector 1
2(a0, b0) = 12u. En
consecuencia:
� Una simetrıa sesgada, composicion de la simetrıa de eje r y la traslacion de vector u, tieneuna unica recta invariante, que es la trasladada de r mediante 1
2u.
5.7 Ejemplos. (1) ¿Que movimiento del plano trasforma el punto (1, 1) en el punto (−1,−1), ydeja invariante la recta x+ y = 0? Solucion. Empezamos buscando la imagen O′ del origen O =(0, 0). Como O dista
√2 del punto P = (1, 1), entonces O′ dista tambien
√2 de P ′ = (−1,−1).
Por tanto, O′ esta en la circunferencia
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 2.
48
(1, 1)x + y = 0
(−1,−1)
Por otra parte, O esta en la recta invariante x+y = 0,luego O′ tambien debe estar en esa recta. Ası, buscamosO′ resolviendo el sistema{
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 2x + y = 0
Haciendo y = −x en la primera ecuacion obtenemos
2 = (x+1)2+(−x+1)2 = (x2+2x+1)+(x2−2x+1) = 2x2+2
luego x2 = 0 y la unica solucion es x = 0. Por tanto y = 0 y el punto es O′ = (0, 0) = O.En consecuencia, nuestro movimiento tiene al menos un punto fijo, luego no puede ser ni unatraslacion ni una simetrıa sesgada. Pero un giro tampoco, pues tiene una recta invariante. Ensuma debe ser una simetrıa, y su eje la recta invariante. Ası vemos que se trata de la simetrıade eje la recta x = y.
(2) La matriz de una simetrıa sesgada T es
1 0 0
1 τ τ
1 τ −τ
, con τ = 1√
2. Determinar todas las
traslaciones que compuestas con T dan una simetrıa. ¿Que relacion hay entre esas traslacionesy la recta invariante de T?
Solucion. Consideremos una traslacion arbitraria, de matriz
1 0 0a0 1 0b0 0 1
. Al componer con T
obtenemos el movimiento de matriz: 1 0 0a0 1 0b0 0 1
1 0 0
1 τ τ
1 τ −τ
=
1 0 0a0 + 1 τ τ
b0 + 1 τ −τ
Se pretende que esta composicion sea una simetrıa, y no una simetrıa sesgada, luego esta com-posicion debe tener una recta de puntos fijos. Buscamos pues los puntos fijos, resolviendo elsistema: {
x = a0 + 1 + τx + τy
y = b0 + 1 + τx− τy≡
{−a0 − 1 = (τ − 1)x + τy
−b0 − 1 = τx− (τ + 1)y
Hay que elegir los terminos independendientes para que las ecuaciones sean proporcionales, esdecir: −a0 − 1
−b0 − 1=
τ − 1τ
=τ
−(τ − 1).
Utilizando que τ = 1√2, resulta:
τ − 1τ
=1√2− 11√2
=√
2(1 −√
2)√2
= 1 −√
2
τ
−(τ − 1)=
1√2
1√2
+ 1=
√2
−√
2(1 +√
2)= 1 −
√2
En consecuencia, debe ser−a0 − 1−b0 − 1
= 1 −√
2.
49
y operando:a0 − (1 −
√2)b0 +
√2 = 0.
Esta condicion describe las traslaciones buscadas. En particular nos dice que la direccion detraslacion (a0, b0) es perpendicular a (1,−1 +
√2), luego paralela a (1 −
√2, 1).
Ahora busquemos la recta invariante de T . Las ecuaciones de T son:{x′ = 1 + τx + τy
y′ = 1 + τx− τy
Un punto P = (x, y) se trasforma en P ′ = (x′, y′), y este en P ′′ = (x′′, y′′), donde
1x′′
y′′
=
1 0 0
1 τ τ
1 τ −τ
2 1x
y
=
1
1 + 2τ + x
1 + y
Obtenemos la recta invariante imponiendo que P, P ′ y P ′′ esten alineados, esto es, que−−→PP ′ y−−→
PP ′′ sean proporcionales:
0 =
∣∣∣∣∣ x′ − x x′′ − x
y′ − y y′′ − y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1 + (τ − 1)x + τy 1 + 2τ1 + τx− (τ + 1)y 1
∣∣∣∣∣Sabemos que esto ocurre para un unico punto P , pero sin necesidad de calcularlo ya vemos quela recta invariante es paralela al vector
−−→PP ′′ = (1 + 2τ, 1) = (1 +
√2, 1).
Finalmente, para obtener el angulo que forman la direccion de traslacion y la recta invariantecalculamos el producto escalar de los vectores paralelos a ellas que hemos obtenido anteriormente:
〈(1 −√
2, 1), (1 +√
2, 1)〉 = (1 −√
2)(1 +√
2) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0.
Resulta que el producto escalar es 0, lo que quiere decir que las direcciones son perpendiculares.
En esta utima leccion hemos completado la clasificacion de movimientos del plano, queresumimos en la siguiente tabla:
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Movimiento
traslacion
simetrıa
giro
simetrıa sesgada
det
+1
-1
+1
-1
Puntos fijos
ninguno
puntos del ejede simetrıa
el centro delgiro
ninguno
Rectas invariantes
rectas paralelas al vector detraslacion
el eje de simetrıa y susperpendiculares
una recta invariante,paralela al eje
{• angulo �= π: ninguna
• angulo = π: las rectas quepasan por el centro
Ejercicios
5.1. Determinar el movimiento del plano que deja fijos los puntos (1,−1) y (−1, 1).
5.2. ¿Que movimiento se obtiene al componer la simetrıa de eje x = 1 con la simetrıa de eje −x + 2y = 2?
¿Como afecta el orden de composicion?
5.3. Encontrar todos los movimientos idempotentes del plano.
5.4. Encontrar los dos movimientos del plano que coinciden en la recta x = 0 con la traslacion x′ = x, y′ = y+1.
5.5. Rehacer el ejemplo 4.5.4(1) componiendo el giro y la traslacion en orden inverso.
51
