Cilindros de Paredes Grossas (Solução de...
Transcript of Cilindros de Paredes Grossas (Solução de...
![Page 1: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/1.jpg)
Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)
Prof. Arthur Braga
![Page 2: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/2.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar • Esforços internos (tensões) • Deformações • Deslocamentos
![Page 3: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/3.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyxxzxyxx σσσ
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyxyzyyxy σσσ
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyxzzyzxz σσσ
![Page 4: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/4.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações entre deslocamentos e deformações
zuyuxu
zzz
yyy
xxx
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
ε
ε
ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂==
yu
zu
xu
zu
xu
yu
zyyzyz
zxxzxz
yxxyxy
21
21
21
21
21
21
γε
γε
γε
![Page 5: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/5.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
TEEE
TEEE
TEEE
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασσ
νσ
νε
ασ
νσσ
νε
ασ
νσ
νσ
ε
G
G
G
yzyz
xzxz
xyxy
2
2
2
σε
σε
σε
=
=
=
( )ν+=12EG
![Page 6: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/6.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• 15 Equações – Equilíbrio (3) – Deformação vs. Deslocamentos (6) – Tensão vs. Deformação (6)
• 15 Variáveis:
• Condições de contorno
yzxzxyzzyyxx
yzxzxyzzyyxx
zyx uuu
εεεεεε
σσσσσσ
,,,,,
,,,,,
,,
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
![Page 7: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/7.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
x
y
z 3D
Teoria de Vigas
n(x)
q(x)
Teoria de Vigas (aproximação)
q(x)
x
n(x)
1D
![Page 8: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/8.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
b
a pi
po
σ0
σ0
![Page 9: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/9.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
Coordenadas Cilíndricas
![Page 10: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/10.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
Tensões em Coordenadas Cilíndricas
rrσ
θσ rrzσθθσ
zzσ
rzσzθσ
zθσ
θσ r
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzrz
zr
rzrrr
σσσ
σσσ
σσσ
σ
θ
θθθθ
θ
![Page 11: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/11.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Equilíbrio
Coordenadas Cilíndricas
01=
−+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
rzrrrrrzrrr θθθ σσσ
θσσ
021=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
rzrrrzr θθθθθ σσ
θσσ
01=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
rzrrrzzzzrz σσ
θ
σσ θ
![Page 12: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/12.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Relações Deslocamentos vs. Deformações
Coordenadas Cilindricas
zu
ruu
r
ru
zzz
r
rrr
∂
∂=
+∂
∂=
∂
∂=
ε
θε
ε
θθθ
1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∂
∂+
∂
∂==
zuu
r
ru
zu
ruu
rru
zzz
zrrzrz
rrr
θθθ
θθθθ
θγε
γε
θγε
121
21
21
21
121
21
![Page 13: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/13.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Relações Tensões vs. Deformações (Eq. Constitutivas)
Coordenadas Cilíndricas
TEEE
TEEE
TEEE
zzrrzz
zzrr
zzrrrr
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασσ
νσ
νε
ασ
νσσ
νε
ασ
νσ
νσ
ε
θθ
θθθθ
θθ
G
G
G
rzrz
zz
rr
2
2
2
σε
σε
σε
θθ
θθ
=
=
=
( )ν+=12EG
![Page 14: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/14.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
b
a pi
po
σ0
σ0
![Page 15: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/15.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
Simetria Axial (Problema Axissimétrico) • Coordenadas cilíndricas • Deslocamento circunferencial é nulo (uθ = 0) • Tensões e deslocamentos não variam com θ • Como o carregamento axial é uniforme (σ0 = cte), tensões e o
deslocamento radial não variam com a coordenada z (hipótese que pode ser posteriormente verificada). Além disso, adota-se a hipótese de que, devido ao carregamento uniforme axial, o deslocamneto uz varia apenas com a coordenada z.
• Estado plano de deformação: tensões e deformações axiais estão desacopladas das tensões e deformações no plano produzidas pela pressão interna ou externa
![Page 16: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/16.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
0=−+
rdrd rrrr θθσσσ
rudrdu
r
rrr
=
=
θθε
ε
( )00 =σ
orr
irr
pbpa
−=
−=
)()(
σ
σ
rBArru
ru
drdurdr
udr
rrr +=⇒=−+ )(0122
2
( )
( )rr
rrrr
E
E
νεεν
σ
νεεν
σ
θθθθ
θθ
+−
=
+−
=
)1(
)1(
2
2
![Page 17: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/17.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
oirr p
ab
rb
ab
p
ab
rb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
σ
oi p
ab
rb
ab
p
abrb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
θθσ
( )( )
( )( ) 022
22
22
22 11σ
νννEr
rabppba
Er
abbpap
Eu oioir −
−
−++
−
−−=
b
a pi
po
σ0
σ0 0σσ =zz
![Page 18: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/18.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
• Pressão Interna (po = 0 e pi = P)
P
abrb
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
1
1
2
2
2
2
σ P
abrb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
1
1
2
2
2
2
θθσ
( ) ( ) 022
22
22
2 11σ
νννErP
rabba
Er
aba
Eur −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
++
−
−=
![Page 19: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/19.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé (pressão interna)
Definindo temos: logo:
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
−=
X
XXtPD
rr
211
121
21
2
2
2
2
ξξσ
Dr
br
tDX 2e2
=== ξ
1e1,1
=⇒=−
=⇒=−
= ξξ brXXar
XX
ab
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
=
X
XXtPD
211
121
21
2
2
2
2
ξξσθθ
![Page 20: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/20.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 1.05
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
{ }
X
XXtPD
2112111
2max 2
−
+−=θθσ
![Page 21: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/21.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 1.5
![Page 22: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/22.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 3
![Page 23: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/23.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 20
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
![Page 24: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/24.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 35.5
GASBOL D = 32”, t = 0.451”
![Page 25: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/25.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 80
![Page 26: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/26.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.800
0.825
0.850
0.875
0.900
0.925
0.950
0.975
1.000{ }tPD 2
max θθσ
tD 2
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
Dutos de Transporte
Dutos Industriais
GASBOL D/2t = 35.5
{ } 986.02
max=
tPDθθσ
![Page 27: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/27.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1
aT
bT
aJ
bJ
Na figura ao lado aT = 40 mm bT = 60 mm bJ = 100 mm Determine o valor de aJ para que a tensão compressiva de contato entre o tubo e a jaqueta seja de – 50 MPa. Tanto o tubo quanto a jaqueta são fabricados do mesmo material com: E = 200 GPa ν = 0.3
![Page 28: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/28.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.) 50 MPa
50 MPa
bT
aJ
δT δJ δT = - ur(bT)
δJ = ur(aJ)
aJ + δJ = bT - δT
Tubo Jaqueta
![Page 29: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/29.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
50 MPa
Tubo
pi = 0 po = P = 50 MPa
( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11 TTTT
TTr ab
abEPbbu νν ++−−
−=
( ) ( ) ( )( )2222 11 TTTT
TT ab
abEPb
ννδ ++−−
=
![Page 30: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/30.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
50 MPa
Jaqueta
pi = P = 50 MPa po = 0
( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11 JJ
JJ
baabE
Paau JJr νν ++−
−=
( ) ( ) ( )( )2222 11 JJ
JJ
baabE
PaJJ ννδ ++−
−=
![Page 31: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/31.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )2222
2222
11
11
T
TT
JJ
JJ
ababE
Pbb
baabE
Paa
TT
T
JJ
νν
νν
++−−
−=
++−−
+
O valor de aJ é obtido a partir da equação:
![Page 32: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/32.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
TbaJ=0
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
−
++−−
−=+
22
22
2222
1
11
11
JJ
JJ
J
T
TTJ
baabE
Pa
ababE
Pbba
n
n
n
TT
Tn
νν
νν
Repetir enquanto tolerância1 >−+ nnJJaa
Após a segunda interação: mm93.59=Ja
![Page 33: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/33.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2
aT
bT
aJ
bJ
Na figura ao lado aT = 40.00 mm bT = 60.00 mm aJ = 59.93 ,mm bJ = 100.00 mm Tanto o tubo quanto a jaqueta são do mesmo material com: E = 200 GPa ν = 0.3 Determine a máxima tensão circunferencial
250 MPa
![Page 34: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/34.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
P
bT
aJ
δT δJ δT = - ur(bT)
δJ = ur(aJ)
aJ + δJ = bT - δT
250 MPa P
![Page 35: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/35.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
( ) ( )( ) ( )( )
( ) PabE
babpabEbabu
TT
TTTi
TT
TTTrT 22
22
22
2 112−
++−+
−−=−=
ννδ
P
250 MPa Ppp
o
i
=
= MPa250
![Page 36: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/36.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
0==
o
i
pPp
P
( ) ( ) ( )( )2222 11)( JJ
JJ
baabE
Paau JJrJ ννδ ++−
−==
![Page 37: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/37.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )222222
2
2222
112
11
TTTT
T
TT
iTTT
JJ
ababE
PbabEpbab
baabE
Paa JJ
JJ
νν
νν
++−−
−−
+=
++−−
+
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )MPa24.134
1111
2
22
22
22
22
22
2
=
−
++−+
−
++−
−−
+
=
TT
TTTJ
JTT
iTTT
abEabb
abEbaa
aabEpbab
P
JJ
JJ νννν
Resolvendo para P
![Page 38: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/38.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
{ } MPa75.166max =θθσ
250 MPa Tensão circunferencial máxima no tubo jaquetado
{ } ( )( ) ( )Pab
abpababa
TT
TTi
TT
TTT 1
211)(max 22
22
22
22
−−
−
+== θθθθ σσ
![Page 39: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/39.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
250 MPa
MPa250MPa75.166
−=
=
rrσ
σθθ
σθθ = 285.3MPaσ rr = −134.24 MPa
0MPa47.150
=
=
rrσ
σθθ
![Page 40: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/40.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
{ } MPa24.345max =θθσ
( )( ) i
TJ
TJT p
ababa
11)(}max{ 22
22
−
+== θθθθ σσ
Problema 2 (Sol.)
Tubo Homogêneo Tensão circunferencial máxima num tubo sem a jaqueta (raio interno aT e raio externo bJ)
250 MPa
MPa250MPa24.345
−=
=
rrσ
σθθ
0MPa24.95
=
=
rrσ
σθθ
![Page 41: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/41.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
Tubo Homogêneo
σrr σθθ
Tubo com Interferência
σrr σθθ
![Page 42: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/42.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
τmax Tubo com Interferência
![Page 43: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/43.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 1: P1 2008
b
a
Problema 2. O vaso de pressão cilíndrico esquematicamente mostrado na figura ao lado, cujo material tem limite de escoamento de 350 MPa, foi dimensionado para operar a uma pressão interna máxima de 5.000 psi (34,5 MPa). Seu raio externo, b, mede 90,5 mm e seu raio interno, a, mede 41,3 mm. Calcule as tensões normais radial, circunferencial e axial máximas quando o vaso está sob a pressão máxima de operação. Considerando os critérios de escoamento de von Mises e Tresca, determine os respectivos fatores de segurança de operação (3,0 pontos).
![Page 44: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/44.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 1 (cont.)
![Page 45: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/45.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 2: P1 2012
![Page 46: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/46.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
![Page 47: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/47.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 2 (cont.)
![Page 48: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/48.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 3: P1 2011
Tubo: E1 = 200 GPa, ν = 0,3
Revestimento: E2 = 10 GPa
![Page 49: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/49.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 3 (cont.)
![Page 50: Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)abraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol2/cilindros.pdf · produzidas pela pressão interna ou externa . Mecânica dos Sólidos II Cilindros](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052920/5be99b3d09d3f24f1b8cb36a/html5/thumbnails/50.jpg)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 3 (cont.)