chuyªn ®Ò :sogddt.vinhphuc.gov.vn/SiteAssets/Lists/NewsList/NewForm... · Web viewchuyªn ®Ò...

Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương=================================================

chuyªn ®Ò

vËn dông bÊt ®¼ng thøcc« si ®Ó t×m cùc trÞ

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI1.Cơ sở lí luận.

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự... trong cuộc sống .

Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.

Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán.

Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa , đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ . Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải

===============================================Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”

1


các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để tự tìm ra đáp số của chúng

Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải , mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp

Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bất đẳng thức, Tìm cực trị …

“ Tìm cực trị” là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải chung. Hơn nữa “ Tìm cực trị” có rất nhiều trong các đề thi như: Thi vào THPH, trong các đề thi học sinh giỏi huyện , học sinh giỏi tỉnh,…

Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực trị, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết.2. Cơ sở thực tiễnQua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9 tôi thấy không chỉ học sinh gặp khó khăn trong giải toán mà bản thân tôi khi dạy phần “ Tìm cực trị” cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần này.Chính vì vậy tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của mình. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc , lúng túng về cách xác định dạng toánTừ những thận lợi , khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy . Tôi chọn đề tài

“vËn dông bÊt ®¼ng thøc c«si ®Ó t×m cùc trÞ”

B.PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

1. Phạm vi của đề tài:- Áp dụng với đối tượng học sinh khá – giỏi lớp 92. Mục đích của đề tài:


2


-Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao .Giúp cho học sinh có hứng thú học và yêu thích môn Toán- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề linh hoạt hơn.- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9

PHẦN II: NỘI DUNG

I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm a+b (1) Chứng minh: Do a, b nên và xác định Ta có : Dấu “=” xảy ra

II. Bất đẳng thức này còn được mở rộng

1. Với 3 số a, b, c không âm a+b+c Dấu “=” xảy ra 2. Với 4 số a, b, c ,d không âm a+b+c+d Dấu “=” xảy ra 3. Đối với n số không âm: a , Ta có: Dấu “=” xảy ra III. HỆ QUẢ1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra: Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2 (khi và chỉ khi a=b) Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) = (khi và chỉ khi a=b)


3


2. Kết quả trên được mở rộng với: Ba số a, b, c không âm:

+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3 (khi và chỉ khi a=b=c)

+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)= (khi và chỉ khi a=b=c)

*Bốn số a, b, c, d không âm: + Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =4 (khi và chỉ khi a=b=c=d ) + Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) =

( khi và chỉ khi a=b=c=d )

*Với n số không âm : + Nếu (không đổi ) thì Min ( (khi và chỉ khi ) + Nếu (không đổi ) thì

Max(

(khi và chỉ khi )

IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

A. Phương pháp 1 :Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN

Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = a+

Giải: Vì a > 0 nên ,


4


Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và

Ta có : a+ =2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= (vì a > 0) Vậy Min ANhận xét : Hai số dương a và có tích là một hằng sốBài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức:

A =

Giải: Ta có a nên:

A

=

Vì với mọi a nên

Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương và ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi =

Vậy Min A Nhận xét: Phân tích để có tích hai số dương

với là một hằng số

Bài toán 3: Với x không âm , tìm GTNN của biểu thức

A

Gi¶i: Ta cã : A =

=


5


V× x nªn ®îc x¸c ®Þnh vµ , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng vµ

ta cã : A =2.3 – 2=4

DÊu “=” x¶y ra VËy Min A Bµi to¸n 4: Cho x>0 T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i : Ta cã A V× x>0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 3 sè d¬ng x, x, ta cã: x+x+

DÊu “=” x¶y ra VËy Min A

NhËn xÐt : Hai sè d¬ng 2x vµ cã tÝch kh«ng ph¶i lµ mét h»ng sè.

Muèn khö ®îc x th× tö ph¶i cã x do ®ã ph¶i biÓu diÔn 2x=x +x råi dïng bÊt ®¼ng thøc c«si víi 3 sè d¬ng

Bµi to¸n 5 : Cho x > 0 T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i: A V× x>0 nªn x ;


6


¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 3 sè d¬ng x ta cã: A DÊu “=” x¶y ra VËy Min A

Bµi to¸n 6: Víi x > 0 T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i: ta cã A = V× x > 0 nªn ¸p dông bÊt®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng x vµ ta cã: A


Bµi to¸n 7 : Cho x T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i: Ta cã: A =

V× x nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng vµ ta cã: A


7



Bµi to¸n 8 : Cho T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i: Ta cã A

= V× nªn ®îc x¸c ®Þnh vµ ; >0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng vµ ta cã: A


Bµi to¸n 9: Cho x>1 . T×m GTNN cña biÓu thøc A Gi¶i: Ta cã A V× x>1 nªn x-1 >0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng 4 vµ ta cã: A DÊu “=” x¶y ra VËy Min A


8


Bµi to¸n 10 : Cho x>y vµ x.y = 5 . T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i: Ta cã : A = ( v× x.y = 5 ) V× x>y nªn x-y>0 ; ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si víi 2 sè d¬ng x-y vµ ta cã: A DÊu “=” x¶y ra kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x.y=5 ta ®îc x=5,y=1 vµ x=-1,y=-5 VËy Min A hoÆc x=-1,y=-5

Bµi to¸n 11 : T×m GTLN cña biÓu thøc : ( víi ) Gi¶i : V× nªn ¸p dông B§T c«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã :

DÊu ‘=’ x¶y ra VËy Max

Bµi to¸n12 : T×m GTLN cña biÓu thøc : ( víi )Gi¶i: V× nªn ¸p dông B§T c«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã:

DÊu “=” x¶y ra VËy Max


9


Bµi to¸n 13: T×m GTLN cña biÓu thøc : Víi Gi¶i: V× nªn 1-x¸p dông B§T c«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã:

DÊu “=” x¶y ra VËy MaxBµi to¸n 14: Cho 0<x<2 . T×m GTNN cña biÓu thøc A Gi¶i: Ta cã: A = V× 0<x<2 nªn 2-x>0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng vµ ta cã: A DÊu “=” x¶y ra VËy Min A NhËn xÐt: Trong c¸ch gi¶i trªn ta ®· t¸ch thµnh tæng

h¹ng tö nghÞch ®¶o víi nªn khi vËn dông B§T C«si ta ®îc tÝch cña chóng lµ mét h»ng sè

Bµi to¸n 15: Cho 0 < x < 1 T×m GTNN cña biÓu thøc A Gi¶i: A =


10


V× 0<x<1 nªn 1-x > 0

¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si víi 2 sè d¬ng vµ ta cã: A =

DÊu “=” x¶y ra VËy Min A Chó ý: Lµm thÕ nµo ®Ó cã thÓ biÓu diÔn ®îc : ?

Ta ®Æt Sau ®ã sö dông ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè ta t×m ®îc: a=b=1 ; c=7

Bµi to¸n 16: Cho x>0 T×m GTNN cña biÓu thøc A

Gi¶i: Ta cã A =3x +

V× x>0 nªn .

¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 4 sè d¬ng x, x, x, ta cã: A

DÊu “=” x¶y ra (v× x>0) VËy Min A

Bµi to¸n 17 :Cho a,b,x>0 . T×m GTNN cña biÓu thøc A


11


Gi¶i : Ta cã: A = V× a,b,x>0 nªn . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè d¬ng x vµ Ta cã: A = DÊu “=” x¶y ra VËy Min A

B . ph ¬ng ph¸p 2 : §Ó t×m cùc cña mét biÓu thøc ta t×m cùc trÞ cña b×nh ph¬ng biÓu thøc ®ã

Bµi to¸n 18 : T×m GTLN cña biÓu thøc : A Gi¶i: §KX§ Ta cã: A xxxx 37.53237532

18 = ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 2 sè kh«ng ©m 3x-5 vµ 7-3x tacã: A =4 DÊu “=” x¶y ra VËy Max A 2

18 =4 2218 xMaxA

NhËn xÐt : BiÓu thøc A ®îc cho díi d¹ng tæng cña hai c¨n thøc .Hai biÓu thøc lÊy c¨n cã tæng kh«ng ®æi (b»ng 2) . V× vËy nÕu ta b×nh ph¬ng hai vÕ biÓu thøc A th× sÏ xuÊt hiÖn h¹ng tö lµ hai lÇn tÝch cña hai c¨n thøc. §Õn ®©y ta cã thÓ vËn dông B§T C«si : 2

Bµi to¸n 19: T×m GTLN cña biÓu thøc AGi¶i : §KX§ : 5ta cã A =¸p dông B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m x-5 vµ 23-x ta cã:


12


ADÊu “=” x¶y ra VËy Max A

Bµi to¸n 20: T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc AGi¶i: §KX§: 1Ta cã A vµ A =4+2mµ A nªn A¸p dông B§T C«si cho hai sè kh«ng ©m 5-x vµ x-1 , ta cã2Do ®ã A mµ A nªn A 2220

VËy Min A hoÆc x=1 Max A

C. Ph ¬ng ph¸p 3 : Nh©n vµ chia mét biÓu thøc víi cïng mét sè kh¸c 0 Bµi to¸n 21: T×m GTLN cña biÓu thøc : A Gi¶i: §KX§ : x

A

DÊu “=” x¶y ra VËy MaxA NhËn xÐt: Trong c¸ch gi¶i trªn, x-9 ®îc biÓu diÔn thµnh

vµ ta ®· gÆp ë chç khi vËn dông B§T C«si , tÝch

®îc lµm tréi thµnh nöa tæng cã d¹ng kx cã thÓ rót gän cho x ë díi mÉu, kÕt qu¶ lµ mét h»ng sè . Cßn sè 3 ë trªn t×m ®îc b»ng c¸ch lÊy c¨n bËc hai cña 9 , sè 9 nµy cã trong ®Ò bµi

Bµi to¸n 22: T×m GTLN cña biÓu thøc : A===============================================

Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”13


D. ph ¬ng ph¸p 4 : Thªm mét h¹ng tö vµo biÓu thøc ®· cho

Bµi to¸n 23 : Cho ba sè x, y , z >0 tháa m·n x+y+z=2 T×m GTNN cña biÓu thøc : A

Gi¶i: ¸p dông B§T C«si víi 2 sè d¬ng vµ ta ®îc: (1)

T¬ng tù ta cã : (2)

(3) Céng vÕ víi vÕ B§T (1), (2), (3) ta ®îc: A ( v× x+y+z=2) DÊu “=” x¶y ra VËy Min A NhËn xÐt : Ta ®· thªm vµo h¹ng tö thø nhÊt cã trong ®Ò bµi , ®Ó khi vËn dông B§T C«si cã thÓ khö ®îc (y+z) còng nh vËy ®èi víi h¹ng tö thø hai vµ thø ba

Bµi to¸n 24: Cho a, b, c >1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =

Gi¶i: V× a,b,c>1 nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C¤SI víi 2 sè d¬ng ta cã


14


Céng vÕ víi vÕ çc B§T trªn råi thu gän ta cã A 4VËy Min A =12Bµi to¸n 25: Cho a,b>1 . T×m GTNN cña biÓu thøc : A

V. Çc bµi to¸n vËn dôngBµi to¸n 26: Víi x>-1 .T×m GTNN cña biÓu thøc : A

Bµi to¸n 27: Víi x>0.T×m GTNN cña biÓu thøc : A

Bµi to¸n 28: Víi x,y,z >0 T×m GTNN cña biÓu thøc : A

Bµi to¸n 29: Víi x,y,z lµ çc sè kh«ng ©m vµ tháa m·n: x+y+z =1 T×m GTLN cña biÓu thøc : A =xyz(x+y)(y+z)(z+x) Gîi ý: ¸p dông B§T c«si víi 3 sè kh«ng ©m ta ®îc 1=x+y+z (1) 2=(x+y)+(y+z)+(z+x) (2) Nh©n tõng vÕ (1) vµ (2) (do hai vÕ ®Òu kh«ng ©m ) ®îc: 2Bµi to¸n 30: Víi 0<x<1 > T×m GTNN cña biÓu thøc: A

Bµi to¸n 31: Cho x.y=1 vµ x >y > T×m GTNN cña biÓu thøc ABµi to¸n 32: Cho a,b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c . T×m GTLN cña biÓu thøc : A Gîi ý: a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c >0


15


Ta cã a+b >c , b+c>a, c+a>b Do ®ã a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0 ¸p dông B§T C«si víi hai sè d¬ng , ta cã: (1) T¬ng tù (3) Tõ (1), (2), (3) ta cã: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

Bµi to¸n 33: Víi x,y,z >0 . T×m GTNN cña biÓu thøc : ABµi to¸n 34: Cho x,y >0 vµ x+y .T×m GTNN cña biÓu thøc: A

Gîi ý: A =

Bµi to¸n 35 : Cho x , y >0 vµ tháa m·n x+y=1. T×m GTLN cña biÓu thøc A Gîi ý: ta cã 1=x+y= Bµi to¸n 36:Cho x,y,z >0 tháa m·n x+y+z T×m GTNN cña biÓu thøc: A

Gîi ý: A ¸p dông B§T C«si cho bèn sè d¬ng ta ®îc:

Do ®ã A


16


A Bµi to¸n 37: Cho a,b,c,d >0 vµ tháa m·n a+b+c+d=1 T×m GTNN cña biÓu thøc A Bµi to¸n 38: T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc:A

Gîi ý: XÐt A Ta cã A A Bµi to¸n 39: T×m GTLN cña biÓu thøc: Bµi to¸n 40: T×m GTLN cña biÓu thøc: A ( víi )

Bài toán 41 :Cho x, y, z, t > 0

T×m GTNN cña A41 =

G ợi ý :§Æt P = 2A41 ta cã :P =

P=

P=

P 2 + 2 + 2 + .6 (theo c«si)P 15 MinP= 15 x = y = t > 0

MinA41 = x = y = t

Vậy Min A41 = x = y = t

Bài toán 42: Cho x, y > 0 vµ 7x + 9y = 63 T×m GTLN cña A42 = x.yGợi ý :

§Æt : P = 63.A42 ta cã :


17


P = 63xy = 7x.9y (theo c«si)

P = Max P =

DÊu "=" x¶y ra 7x = 9y =

Max A 42 = : 63 =

Bài toán 43: Tìm GTNN của A43 = 3a + 4 với -1

Gợi ý:

A43 = 3a + 4

Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta

=> A43

=> Do đó A43 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.

<=> a =

Vậy GTNN của A43 = 5 <=> a =

Bài toán 44:

Tìm GTNN của biểu thức:

A44 =

Gợi ý:


18


Biểu diễn A44 = 4 (áp dụng BĐT Côsi)

=> Min A44 = 64 khi x = 1 hoặc x = -3

* KÕt qu¶ thùc hiÖn. - KÕt qu¶ chung

Sau khi ¸p dông chuyên ®Ò vµo gi¶ng d¹y ®a sè häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m v÷ng c¸ch gi¶i bài toán tìm cực trị của biểu thức nhờ vận dụng bất đẳng thức Côsi mà còn vận dụng linh hoạt trong các dạng toán khác như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình

- kÕt qu¶ cô thÓKiÓm tra 25 häc sinh líp 9A1 thu được kết quả như sau:

Dưới Điểm 5 §iÓm 5 - 7 §iÓm 8 - 10 §iÓm 5 - 10

SL % SL % SL % SL %


19


1 4 14 56 10 40 24 96

C. KÕt luËn.

Khai th¸c kÕt qu¶ bµi to¸n lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt trong viÖc d¹y häc to¸n nãi chung, d¹y häc vµ båi dìng häc sinh giái nãi riªng. Nã gióp cho çc em tù tin h¬n khi lµm çc d¹ng bµi tËp trong mét chñ ®Ò nµo ®ã, ®Æc biÖt lµ khi tham gia çc k× thi chän häc sinh giái. Trªn ®©y lµ suy nghÜ cña b¶n th©n vÒ híng khai th¸c kÕt qu¶ mét bµi to¸n, kinh nghiÖm b¶n th©n cßn nhiÒu h¹n chÕ xin ®îc m¹nh d¹n trao ®æi cïng çc b¹n ®ång nghiÖp. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña çc b¹n ®ång nghiÖp .

§ång C¬ng , ngµy 8 th¸ng 9 n¨m 2013

Ngêi viết

NguyÔn ThÞ Thanh Hßa

Tµi liÖu tham kh¶o

************ 1- BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

-nxb gi¸o dôc T¸c gi¶ : Bùi Văn Tuyên


20


2- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 9

-nxb gi¸o dôc T¸c gi¶ : Vũ Hữu Bình 3 – CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9VÀ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN

-nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc T¸c gi¶ : Nguyễn Đức Tấn

4 – ÔN LUYỆN KIẾN THỨC TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ ( DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN, CHỌN)

-nxb gi¸o dôc T¸c gi¶ : Phạm Minh Phương- Trần Văn Tấn

----------------&&&-----------------


21

chuyªn ®Ò :sogddt.vinhphuc.gov.vn/SiteAssets/Lists/NewsList/NewForm... · Web viewchuyªn ®Ò...

Documents

Transcript of chuyªn ®Ò :sogddt.vinhphuc.gov.vn/SiteAssets/Lists/NewsList/NewForm... · Web viewchuyªn ®Ò...