1.Đặt vấn đề (Lý do chọn đề tài)Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải

những phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề không chỉ của Toán học mà còn nhiều vấn đề khác liên quan đến khoa học và kỹ thuật. Đối với học sinh THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ bước đầu tiếp cận với những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán về Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực toán học nhất định.

Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa vào đó một số bài tập liên quan đến việc ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với lý do trên, tôi chọn đề tài “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng” để làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm mình,

1

2. Giải quyết vấn đề       2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề

Theo định nghĩa về dạng biểu diễn hình học của số phức, thì với mỗi số phức , trên mặt phẳng toạ độ xác định điểm thì gọi là dạng (biểu diễn) hình học của số phức Hơn nữa, khi thì và ngược lại nên ta cũng có thể nói là dạng (biểu diễn) hình học của số phức z. Như vậy, có sự tương ứng 1 – 1 giữa các điểm (véc tơ) trên mặt phẳng toạ độ Oxy với một số phức trong tập hợp các số phức. Do đó, bằng cách đồng nhất một điểm (vec tơ, hình) trong mặt phẳng với một (hoặc một tập hợp nào đó) các số phức trên mặt phẳng phức cùng với các phép toán của nó, ta có thể giải quyết các bài toán hình học phẳng thông qua việc giải các bài toán liên quan đến số phức.      2.2. Thực trạng của vấn đề

Như đã đặt vấn đề ở trên, đối với học sinh THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ bước đầu tiếp cận với những kiến thức rất cơ bản của số phức, mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa vào đó một số bài tập liên quan đến việc ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng nhưng còn rất ít. Hơn nữa, đòi hỏi học sinh phải có năng lực toán học nhất định.Vì vậy, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán về Hình học phẳng là một vấn đề chưa được học sinh cũng như giáo viên vận dụng một cách suôn sẻ.

2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đềA. Nhắc lại một số định nghĩa

Với mà Ta có:1) Dạng đại số của số phức: 2) Dạng hình học của số phức:Với số phức , trên mặt phẳng toạ độ xác định điểm

thì gọi là dạng (biểu diễn) hình học của số phức Chú ý: Khi thì và ngược lại nên ta cũng có thể nói

là dạng (biểu diễn) hình học của số phức z.3) Dạng lượng giác của số phức:

2

Với số phức , và là biểu diễn hình học của số

phức Ký hiệu: (gọi là mô đun) và (gọi là ac gu

men) của z . Khi đó gọi là dạng lượng giác của số phức z.Chú ý: - ac gu men của z ký hiệu là: - Mỗi số phức z có vô số ac gu men và các ac gu men của một số phức z thì

sai khác nhau một bội nguyên Trị số của gọi là ac gu men chính của z. Ký hiệu:

4) Dạng số mũ của số phức:Với số phức . Ta ký hiệu: thì

: Gọi là dạng số mũ của số phức z.5) Tích vô hướng của hai số phức:Trong mặt phẳng phức, cho Khi đó,

Thật vậy, giả sử, và thì

Do đó, . Từ đó suy ra: và do đó

Tích vô hướng của hai số phức cũng có tính chất như tích vô hướng của hai véc tơ. Ngoài ra, và

6) Tích ngoài của hai số phức:Trong mặt phẳng phức, cho Khi đó,

.

Giả sử, và thì

.

Do đó, Từ đó, do suy ra

Tích ngoài của hai số phức cũng có các tính chất như tích ngoài của hai véc tơ trong mặt phẳng, ngoài ra: và .B. Một số kết quả ban đầu

3

Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta thường đồng nhất số phức với điểm trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ và gọi là

toạ vị của M đối với hệ trục đó. Kí hiệu Lưu ý rằng đồng nghĩa với . Như vậy, nếu nói có toạ vị là z cũng đồng nghĩa với có toạ

vị z. Qua đó, ta có một số kết quả mở đầu như sau:+ Nếu thì có toạ vị là và hay

.+ Đường tròn

Đường tròn tâm bán kính là tập hợp các điểm sao cho

hay tức hay với .

+ +

Đặc biệt: Nếu thì thì

+ Đường thẳng đi qua hai điểm là hay

Đặc biệt: với : Đường thẳng song song với với : Đường thẳng song song với với : Đường thẳng tạo với tia một góc

+ Góc định hướng giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Thật vậy, trong mặt phẳng phức cho hai điểm , và . Khi đó,

nên hay góc định hướng tạo bởi

hai tia và là

+ Hai tam giác ABC, A’B’C’

- đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi:

4

- đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi:

+ Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm Khi đó, bằng phương tích của O với đường tròn, đường kính

- Nếu là 4 điểm của mặt phẳng phức, thì

+ Công thức tính diện tích tam giácDiện tích của tam giác định hướng ABC, với các đỉnh được tính

theo công thức: . Do đó, A, B, C thẳng hàng

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là

+ Một số phép biến hình mô tả bằng “ngôn ngữ” số phức- Phép tính tiến theo véc tơ biến điểm thành sao cho

. Do đó, biểu thức của phép tịnh tiến là: - Phép quay tâm góc quay là phép biến hình biến điểm

thành sao cho . Từ đó, biểu thức của

phép quay là: - Phép đối xứng trục d là phép biến hình biến điểm thành sao

cho d là trung trực của . Từ đó:o Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua trục thực: o Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua trục ảo: o Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua đường thẳng đi qua gốc toạ độ

O và điểm có biểu thức Từ đó, nếu với

thì phép đối xứng qua có biểu thức

5

x

y

d

x

y

d

M" (z")

M'(z')

M(z)

O

z'

O

z

- Phép vị tự tâm tỷ số là phép biến hình biến mỗi điểm thành sao cho . Do đó, biểu thức toạ độ là

+ Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn:

Định lý: Ba điểm thẳng hàng hay

Định lý: Bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng

Định lý: Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ

khi nhưng .

MỘT SỐ VÍ DỤVí dụ 1.

Cho tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm E và F sao cho .

1) Tính theo 2) Chứng minh các tam giác có cùng trọng tâm.3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho Chứng minh:

6

Giải1) Ta viết: Từ giả thiết

Từ đó,

Hay

Tương tự, ta được:

.

2) suy ra

Vậy, hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm.

3) Từ giả thiết ta tính được .

Từ đó ta có:

Điều phải chứng minh.Ví dụ 2.

Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của EF. Chứng minh AMK là tam giác đều.

GiảiGiả sử mặt phẳng toạ độ Oxy sao cho A trung với gốc toạ độ O, trục hoành

qua A, D. Gọi I là tâm của lục giác đều. Ta nhận thấy, tứ giác BCDI là hình thoi nên K là trung điểm của CI. Ta có

+

+

7M

K

ID

EF

C

A

B

+

+

Vì M là trung điểm của EF, K là trung điểm của CI, nên

Từ đó suy ra, do đó tam giác KAM đều.Ví dụ 3. (Bất đẳng thức Ptolemy).

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ta luôn có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo

thứ tự là đỉnh của một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.Giải

Xét mặt phẳng phức và giả sử trong mặt phẳng phức đó.Ta có:

.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , hay

tức . Vậy tứ giác

ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.Ví dụ 4.

Cho tam giác ABC với trọng tâm G. M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng.

Chứng minh rằng:

GiảiChọn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn đơn vị và giả sử Vì

là trọng tâm tam giác nên

Khi đó,

8

G

A

B

C

M

Do đều nằm trên đường tròn đơn vị nên , ta có:+ =

+

Thay vào vế trái, ta được:

Ta được điều phải chứng minh.Ví dụ 5. (Bài toán Napoleon).

Lấy các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với tâm tương ứng Chứng minh rằng là ba đỉnh của một tam giác đều.

GiảiTrường hợp 1: Giả sử tam giác ABC định hướng dương và là một điểm nào đó trong mặt phẳng.Ta có:

9

A0

C0

B0

A

BC

X

Do theo thứ tự là các trọng tâm của các tam giác nên

Từ đó ta có:

Suy ra, điều phải chứng minh.Trường hợp 2: Giả sử tam giác ABC định hướng âm và là một điểm nào đó trong mặt phẳng.

Ta có:

Suy ra,

Từ đó suy ra, tức tam giác đều.

Ví dụ 6. (Đề thi vô địch Anh 1983) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC. D là trung điểm của AB và J là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng:

GiảiChọn đường tròn tâm I làm đường tròn đơn vị. Giả sử Vì cùng thuộc đường tròn nên ta có: và D là trung điểm của AB nên

Suy ra

Mặt khác, J là trọng tâm tam giác ACD nên

Suy ra, (Do I là gốc toạ độ).

10

Xét,

Mặt khác, nên

hay Điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. (IMO 1977). Cho hình vuông ABCD. Dựng về phía trong hình vuông ABCD các tam giác

đều Chứng minh rằng, các trung điểm của các đoạn thẳng là đỉnh của một đa giác đều.

GiảiGiả sử hình vuông ABCD định hướng dương. Chọn tâm O của hình vuông làm gốc toạ độ và là một điểm trong mặt phẳng.

Khi đó, Đặt , ta có:

Để ý rằng, đa giác nhận O làm tâm đối xứng, do đó với

là phép quay tâm O, góc quay thì chỉ cần chứng minh

(với là đủ.

Ta có:

;

11

Khi đó, với thì

;

Tương tự, ta cũng được:

12

S3

S1

Q2

S4

Q1

Q4

S2

Q3

P4

P3P2

P1

M

LN

K

D C

A B

Ví dụ 8. (IMO 17, 1975).Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam

giác ABR, BCP, CQA sao cho Chứng minh rằng:

vuông cân tại R.Giải

Xét bài toán trong mặt phẳng phức. Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng BC. Vì

và nên và

.

Do đó,

Tương tự,

Điểm B nhận được từ điểm A bằng phép quay tâm R, góc quay

Do đó, . Từ đó, bằng phép biến đổi đại số, ta được:

. Suy ra và hay tam giác vuông cân tại R.

2.4. Hiệu quả của SKKN

13

M

RQ

P

A

B C

3. Kết luậnCó thể nói số, số phức tuy không phải là nội dung mới của Toán học song nó

là một vấn đề mới mẽ và tương đối phức tạp với các em học sinh, đặc biệt là ứng dụng số phức vào giả toán Hình học phẳng. Hơn nữa đây lại là một vấn đề mà trong thực tế giảng dạy hiện nay chưa được quan tâm, chưa dduwwocj chú trọng bồi dưỡng cho các em học sinh khá giỏi. Tuy nhiên, việc sử dụng số phức như một công cụ giải toán không những mang lại cho học sinh một phương pháp giải toán mới mà góp phần đáng kể vào việc rèn luyện lĩ năng bồi dưỡng năng lwucj giải toán của học sinh, đặc biệt là giải toán Hình học phẳng.

Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa nhiều nên số lượng ví dụ tôi đưa ra còn ít. Hơn nữa, một số vấn đề cũng như kết quả nêu ra chưa được chứng minh một cách chi tiết. Ngoài ra, trong quá trình trình bày, chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý vị góp ý.

Xin chân thành cảm ơn.

14

Tài liệu tham khảo[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm số biến số phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.[2] Đoàn Quỳnh (chủ biên), 2008, Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục[3] http://sachsangtao.com/bvct/sach-tham-khao/283/ung-dung-so-phuc-vao-giai-toan-hinh-hoc-phang-nguyen-huu-dien.html.[4] http://doc.edu.vn/tai-lieu/luan-an-so-phuc-va-ung-dung-trong-chien-luoc-giai-toan-bac-trung-hoc-pho-thong-41100/

15