Lời mở đầu

Trong những năm gần đây, đề thi THPT - QG luôn xuất hiện câu hình học Oxy với ý tưởng chủ đạo để giải như sau: Đầu tiên, cần phỏng đoán một tính chất hình học nào đó chẳng hạn như vuông góc, bằng nhau, thẳng hàng, nội tiếp, ngoại tiếp…Tiếp theo cần chứng minh chặt chẽ tính chất đó. Cuối cùng, sử dụng nó để thành lập điều kiện rồi giải bài toán.

Dưới đây là một số bài tập thuộc dạng đó, được tôi sưu tầm, lựa chọn, điều chỉnh và giới thiệu để đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I). Cho M(5;4) là một điểm thuộc đường tròn (I). Qua M kẻ các đường vuông góc MD,ME,MF tới AB,BC,CA. Biết tọa độ các điểm D(1; 6), E(1;2) và điểm F thuộc đường thằng 2x +y=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.

Giải:

Ta nhận thấy, tứ giác BEMD, CFEM nội tiếp nên: , =180 -

Tứ giác ABMC nội tiếp do đó: .

Vậy: =180 - , do đó: D,E,F thẳng hàng.

Ta có DE có phương trình và F thuộc đường thẳng

nên suy ra

Phương trình đường thẳng (AB): , (AC): , (BC):

. Do đó ta tìm được tọa độ các điểm : A(-2; 0), B(0; 4), C(4;-4).

Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I). Điểm M thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B và C. Gọi H(1;4) và

K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Phương trình đường thẳng

(BC) : và khoảng cách từ M đến BC bằng 2 . Tìm tọa độ đỉnh A biết

rằng M có hoành độ dương.

Giải:

Gọi E là hình chiếu của M trên BC nên ME . Do tứ giác HMEB nội tiếp nên

= .

Tứ giác ABMC nội tiếp nên = suy ra = (1).

Mà tứ giác EMCK nội tiếp nên + = 180 (2). Từ (1) và (2) suy ra +

= 180 do đó 3 điểm H,E và K thẳng hàng.

Ta có phương trình đường thẳng (HK): . Tọa độ điểm E là nghiệm

của hệ phương trình:

Đường thẳng ME đi qua E và vuông góc với BC nên phương trình đường thẳng (ME):

.

Do M thuộc đường thẳng ME nên M(a;a+1), ( . Do ME= nên

Đường thẳng AB đi qua H và vuông góc với HM nên: (AB): . Đường

thẳng AC đi qua K và vuông góc KM nên (AC): . Tọa độ điểm A là

nghiệm của hệ:

Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D và E là các hình chiếu vuông góc của B và C trên AC và AB. Gọi N và P là hình chiếu của E trên

BC và AC. Gọi M là giao điểm của NP và BD. Biết rằng tọa độ các điểm E , M

và C(4;1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Giải:

Tứ giác EPCN nội tiếp do đó = . Tứ giác EBCD nội tiếp do đó = .

Vậy = nên tứ giác EBNM nội tiếp. Do đó = -90 hay ME BD.

Đường thẳng BD qua M vuông góc EM là: (BD): x

Đường thẳng AC qua C vuông góc BD là: (AC): .

Đường thẳng AB qua E vuông góc CE là: (AB):

.

Tọa độ của A là nghiệm của hệ

Tương tự ta tìm được tọa độ đỉnh B(1;1).

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh C(3;1) và đường cao AH. Gọi I và K là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. Đường

thẳng IK cắt đường thẳng AB tại điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng và đường thằng chứa

cạnh AC đi qua M(4 ;-1).

Giải   :

Do AE là trung trực của IH do đó = và AI=AH.

Vì AC là trung trục của HK do đó AH=AK, = =90 .

Vậy: AI=AK do đó cân tại A. Do vậy = .

Như vậy, = như vậy tứ giác AEHK nội tiếp đường tròn đường kính AC. Khi

đó 5 điểm A,E,H,K,C cùng thuộc đường tròn đường kính AC. Do vậy = =90

. Vậy CE⏊AB. Khi đó ta viết được phương trình đường thẳng EB qua E vuông góc

CE là (EB): . Từ đó tìm được điểm B(1;1). Phương trình đường thằng

AC qua C và M là (AC): . Từ đó tìm được tọa độ điểm A(2;3).

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình

các đường thẳng các cạnh lần lượt là: (AB): .

Trên đường thẳng AC lấy một điểm E. Gọi CF là tiếp tuyến với đường tròn tâm E bán kính EA trong đó F là tiếp điểm thỏa mãn đường thẳng AF cắt đoạn thẳng BC tại

điểm D Biết rằng ED⏊BC, tìm tọa độ điểm F.

Giải:

Các tứ giác AEDB và EFDC nội tiếp do đó: = = .

Do đó kết hợp với EA= FE ta có Tam giác EBC cân

tại E có đường cao ED do đó D là trung điểm của BC. Gọi B(b;3-2b), C(2c-1;c).

Vì D là trung điểm của BC do đó ta có hệ : .

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình đường thẳng (ED): 2x-5=0, do đó tọa độ của E là nghiệm hệ:

Đường thẳng (AD): :

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi P(5;4) là một điểm nằm trên cung nhỏ AC của đường tròn tâm B bán kính AB. Đoạn thẳng BP

cắt đường kính AB tại điểm K . Biết rằng hình chiếu F của P trên đường thẳng

AB nằm trên đường thẳng và có hoành độ nhỏ hơn 6. Tìm tọa độ

các đỉnh của hình vuông ABCD.

Giải:

Kéo dài AK cắt đường tròn (B;AB) tại điểm E. Ta dễ dàng chứng minh được là trung

điểm của AE vì BK⏊AK. Khi đó cân tại P do đó = = do đó AP

là phân giác trong của cho nên ta có Do đó

ta tìm được F(5;6). Do đó ta có: (AD): y=6, (AK):

Vậy (AB):

Ta có:

Vì ABCD là hình vuông nên

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có AB<AC

nội tiếp đường tròn ( có tâm I. Gọi D và E lần lượt là

hình chiếu của A và B lên BC và AI. Biết phương trình đường thẳng (DE):

và đường thẳng AC đi qua điểm P(9;2). Tìm tọa độ các đỉnh B và C

biết rằng các điểm A và D có hoành độ âm.

Giải:

Kẻ đường cao BK của tam giác ABC. Ta có tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp nên

= . Mặt khác tứ giác ABEK nội tiếp nên = =90

. Vậy DE AC. Do đó (AC): ⏊.Tọa độ của A và C là nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình đường tròn đường kính AC là:

(

Tọa độ D:

Phương trình đường thẳng (CD): x+1=0 do đó tọa độ B:

Bài 8: Cho tam giác cân tại A, gọi D là trung điểm của AB, . I là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là trọng tâm tam giác ADC. Tìm tọa độ

A,B,C biết M nằm trên đường thẳng DC, N nằm trên đường thẳng

AB.

Giải:

CE cắt AB tại F, DE cắt AC tại P suy ra P là trung điểm AC.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: G và E đều là trọng tâm suy ra do đó GE song song với AB.

Mặt khác DI vuông góc với AB nên DI vuông góc với EG (1)

Theo giả thiết ta có: AI vuông góc với BC, mặt khác DP song song BC nên AI vuông góc DP(2)

Từ (1) & (2) suy ra I là trực tâm tam giác DEG nên EI vuông góc với DG.

G

EI

F

A

B C

D P

Ta có: 0.Gọi khi đó ,

Ta có: Vậy

Từ đó tìm được AB: ; AI:

D là trung điểm của AB ⇨ B

Gọi .

Ta có

Suy ra P(5;1), P là trung điểm của AC nên C(3;-3).

Vậy A(7;5) , B(-1;1),C(3;-3).

Bài 9:Cho tam giác ABC với phương trình của AB là: , AC:

. Đường tròn (C) đi qua trung điểm của HA, HB, HC có phương

trình (với H là trực tâm của tam giác ABC). Tìm H biết

.

Giải:

Gọi trung điểm của AH,HC,HB lần lượt là M,N,P.

Lấy Q là trung điểm của AC.

Ta có: MP,MQ,NQ,PN lần lượt là đường trung bình của các tam giác AHB,AHC,AHC,HBC.

G

EI

F

A

B C

D P

Nên Suy ra MQNP nội tiếp, do đó Q là giao của AC và (C). Ta có A(-1;-8) Nên AC:2x+y+10=0 do đó Q(-2;-6) hoặc Q(-4;-2)Vì Q là trung điểm của AC và nên C(-3;-4) vậy CH: 3x+4y+25=0Gọi H(a; , M là trung điểm của AH nên M( ;M thuộc (C) nên thế M vào phương trình của (C) tìm ra a=-3.Vậy H(-3;-4).-------------------------------------------------------------------------------------------------------