CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

CHUYÊN ĐỀ :

TỌA ĐỘ

PHẲNG

GV:Phan Nhật Nam

PHƢƠNG PHÁP VECTƠ

http://www.toanhocdanang.com/

PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ

1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ :

( ; )B A B AAB x x y y 1 1 2 2( , )a b a b a b ; 1 2( , )ka ka ka Rk

2. Hai vectơ cùng phƣơng : a cùng phương b 1 21 2

1 2

( , 0)a a

b bb b hoặc 1 2

1 2

0a a

b b

Chú ý : A, B, C thẳng hàng ACAB, cùng phương

3. Tích vô hƣớng của hai vectơ :

Định nghĩa: . . .cos( . )a b a b a b

Các tính chất :

2 2

1 2a a a 2 2( ) ( )B A B AAB AB x x y y a b 0. 2211 bababa

1 2

1 2 2 1

1 2

1 1

2 2ABC

a aS a b a b

bb 1 2 2 1

2 2 2 2

1 2 1 2

sin( , ).

a b a ba b

a a b b

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos( , )a b a b

a ba a b b

B. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

I. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH

1) d qua );( 000 yxM và có VTCP );( 21 uuu d: 0 1

0 2

x x u t

y y u t ( )t hoặc d: 0 0

1 2

x x y y

u u

2) Pt tổng quát (d) 0 CByAx ( 022 BA ) d có VTPT ( ; )n A B

3) Pt đường thẳng (d) qua );( 000 yxM và có VTPT ( ; )n A B : 0)()( 00 yyBxxA ( 022 BA )

4) Pt đường thẳng d cắt Ox tại )0;(aA và cắt Oy tại );0( bB : 1x y

a b ( ; 0)a b

5) Đường thẳng d đi qua 11; yxA và 22 ; yxB d: 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

( với 21 xx và 21 yy )

II. Các công thức liên quan đến đƣờng thẳng :

1) Khoảng cách từ M0 (x0 ; y0 ) đến : 0 CByAx là 0 0

02 2

( , )Ax By C

d MA B

Hệ quả: Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 0:)( 1111 CyBxAd và

0:)( 2222 CyBxAd là : 2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

BA

CyBxA

BA

CyBxA

2) Góc giữa 2 đƣờng thẳng (d1) và (d2) : Cos(d1,d2)=1 2 1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 1 2 2

.

. .

n n A A B B

n n A B A B

(0 )2



SƠ ĐỒ TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

SƠ ĐỒ LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

Tìm

tọa

độ

điểm

M

Tìm thêm một đƣờng thẳng d’ qua M.

Tính độ dài

(với A có trước tọa độ)

Tính khoảng cách

(với biết trước phươgn trình)

Lập đẳng thức vec tơ chứa điểm M cần

tìm

M

(thuôc đt cho trước)

. . . A

(thuộc đt cho trước)

B

(cho trước tọa độ)

M

(chư có thông tin)

. . . A


B


M

(thuôc đt cho trước)

. . . A

(thuộc đtròn cho trước)

B


Viết

Phƣơng

trình

Đƣờng

Thẳng

d

Tìm

Tìm thêm

tìm vuông góc d

tìm song song d

Tìm góc

Tìm khoảng cách

Tìm được trực tiếp VTPT của d

Gọi là VTPT của d

Công thức góc (hoặc khoảng cách )

Chon 1 biến biến còn lại



PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG

A. MỤC ĐÍCH & PHƢƠNG HƢỚNG:

1. Sử dụng 2 vectơ bằng nhau hoặc cùng phương để tìm tọa độ điểm :

(thường xét cho bài toán chứa tỷ số độ dài)

..

N canhABAN k NB

AN k NB

hệ gồm hai phương trình theo biến là tọa độ của điểm cần tìm

A, B, C thẳng hàng 1 1 2 2( ; ), ( ; )AB a b AC a b cùng phương 1 1

2 2

a b

a b

(nếu 2 0a thì 1 0a hoặc nếu 2 0b thì 1 0b )

2. Sử dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau:

Chọn cặp vecto cơ sơ a , b (thông thường là các vecto nằm trên cạnh và vuông góc nhau)

Nếu dự đoán AB MN thì ta phân tích : 1 1

2 2

AB a b

MN a b

với 1 1 2 2, , , là các số cụ thể

1 1 2 2. 0AB MN a b a b AB MN

3. Sử dụng vectơ để tìm độ dài đoạn hoặc xác định góc:

Chọn cặp vecto cơ sơ a , b (thông thường là các vecto nằm trên cạnh va vuông góc nhau)

Nếu dự đoán AB MN thì ta phân tích : 1 1

2 2

AB a b

MN a b

2 2 22

2

1 1 1 1 1 12 ...AB AB a b a a ab

.

cos cos ,.

AB ACBAC AB AC

AB AC

B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có 3AC = 2AB, N là trung điểm của CD. M(-1; 2) thuộc

đoạn AC sao cho AC = 4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh ABCD

biết BN: 13x – 10y +13 = 0 và H thuộc đường thẳng d: 2x – 3y = 0.

Bình luận: Bài toán này có dấu hiệu tương đối rỏ ràng với tỷ số độ dài AC = 4AM, và 3 giả thuyết

điểm M, đường thẳng BN và điểm H thuộc đường thẳng cho trước, điều này khiến ta nghĩ đến tìm

điểm H bằng đẳng thức vectơ.

Hƣớng dẫn giải:

Đặt: 0AD a 3 ; 2H d H a a

13 13

;10

bK BN K b

Theo talet cho ACD ta có:

3 3

4 4

MI aMI

AD

Theo talet cho BCN ta có: 1 5

2 2 2 4

IF NI BC a aIF MF MI IF

BC NC

A

B

D

C

.

.

.

.

M(-1;2)

N .

H E

F

K

I



Theo talet cho NEH ta cos: 2 2 2EH NH

EH BC aBC NC

Theo talet cho KEH ta có:

195 3 8 18 57 387

5 8 ;13 13 13 13335 7 75 2 8 2

10 1013

a b b aKH EH

KH KM Hb bKM FM a

b

Ta có: 3AC = 2AB 4

3 2 23

CM CN CM CN CH MNH

nội tiếp trong đtròn tâm C

MN MH đường thẳng MN đi qua M có VTPT 50 62

; : 25 31 37 07 7

MH MN x y

N BN MN N

C là trung điểm HN C

N là trung điểm CD D

4

3CA CM A CB DA B

Ví dụ 2: (A – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm

của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD,

biết rằng M(1; 2) và N(2; - 1).


Gọi E MN DC . ( ; )D a b . 1; 3MN , (2 ; 1 )DN a b

Theo talet ta có: 1

3

NE EC NC

NM MA NA

2 1 3( 2) 73 ; 2

1 2 3( 1) 3

E

E

xMN NE E

y

3 3 1

4 4 4DN AN AD AD AB AD AB AD

3 1 1 3

4 2 4 4MN AN AM AD AB AB AB AD

Khi đó ta có:

2 23 1 1 3 3 3. 0

4 4 4 4 16 16DN MN AB AD AB AD AB AD

(vì ABCD là hình vuông)

22

2 2 23 1 8 1 9

4 4 16 16 16DN AB AD AB AD AB

(vì AB = AD)

22

2 2 21 3 8 1 9

4 4 16 16 16MN AB AD AB AD AB

Suy ra : . 0DN MN

DN MN

2 2 2

5 3 5 3 5

03 3 1 10 1 1

a b a b a

bb b b

hoặc 1

2

a

b

A

D

B

C

. M(1; 2)

N(2; -1)

E



TH1: 5

0

a

b

(5; 0)D

Đường thẳng DC đi qua hai điểm D(5; 0) và 7

; 23

E

:3 4 15 0DC x y

TH1: 1

2

a

b

( 1; 2)D

Đường thẳng DC đi qua hai điểm ( 1; 2)D và 7

; 23

E

: 2 0DC y

Ví dụ 3: Cho ABC có góc A nhọn. Gọi I(4; 2) là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0

Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A.

Biết DE: 3 18 0x y ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5.

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.


Ta có : 0, 90 ,AE AB EAB EAC CAB CAB DAC AD AC

cos , cos ,AD AC AE AB và . 0

. 0

AE AC AE AC

AD AB AD AB

DE AE AD và 1

2AI AB AC

Ta có: 1 1 1 1

. . . . .2 2 2 2

DE AI AE AB AE AC AD AB AD AC

1 1

. cos , . cos , 02 2

AE AB AE AB AD AC AD AC

DE AI (vì AB = AD và AC = AE)

Suy ra đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường thẳng DE :3 14 0AI x y

3; 5A d AI A . : 3 18 0 3 18;D DE x y D m m

Áp dụng Pitago cho tam giác ABD ta có:

2 2 22 2 6 ( )2 5

10 3 15 5 104 6; 42 2

m loaiAD AB BD BDAB AD m m

m DAD AB

Đường thẳng AB đi qua A và có VTPT là 9;1DA :9 32 0AB x y . ; 32 9B AB B m m

2 2 5 5

10 3 27 9 10 3 341 41

AB m m m m

Với 5 5 5

3 3 ; 5 941 41 41

m B

(loại vì A,B nằm khác phía so với DE)

Với 5 5 5

3 3 ; 5 941 41 41

m B

A d:2x–y–1=

0

B C

D

E

I(4; 2)



Vì I là trung điểm của BC 5 5

5 ; 1 941 41

C

Vậy các điểm cần tìm là : 3; 5A , 5 5

3 ; 5 941 41

B

và

5 55 ; 1 9

41 41C

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2; -2) là trung điểm đoạn AC.Gọi

N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN, 4 8

;5 5

H

là giao điểm của 2 đường thẳng ANvà BM.

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc d: x + 2y – 6 = 0.


M là trung điểm AC 1

2BM BC BA . Lại có : BC = 4BN

1

4AN BN BA BC BA

22 2 2 01 1 1 1

. 2 0 908 2 8 2

BM AN BC BA BA BA BM AN MHN

Gọi

1 1

1 1 1 4 1

m mAH mHN AH mHN BH BA BN BA BC

m m m m

Vì B, H, M thẳng hàng

14 11 4 4

1 1

2 2

m

mm m AH HN .

Ta cũng có thể tìm tỷ số AN và NH theo hệ thức lượng trong NBA , cụ thể là:

2 2 2

2

2 2 2 2 2

1. 5.

(2 ) 5

NH BN BN BNNH NA BN NA NH

NA NA BN BA BN BN

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: (A – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm

của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD,

biết rằng M(1; 2) và N(2; - 1).

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo

AC: 5x + y + 4 = 0. Gọi 23 15

;7 7

H

là trực tâm của tam giác ABC và 2

;43

G

là trọng tâm

tam giác ACD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành A, B, C, D.

Bài 3: (B – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(-3; 0) là

trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; - 1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm

4; 3

3G

là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm A và B



Bài 4: (A – 2012) Cho hình vuông ABCD. Gọi 11 1

;2 2

M

là trung điểm BC, N thuộc cạnh CD sao cho

CN = 2ND. Biết AN: 2x – y – 3 = 0, tìm tọa độ điểm A.

Bài 5: (B – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc

nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình 2 6 0x y và tam giác ABD có trực tâm

là H(-3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Bài 6: (A – 2013) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 0x y . Đường tròn (C) có bán

kính 10R cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt

nhau tại điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C)

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm I . Gọi G là trọng tâm của ABI và điểm E(7; -2) thuộc

đoạn BD sao cho GA = GE. Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D biết đường thẳng

GA: 3x – y – 13 = 0 và 4Ax

Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại B, C) có AB = BC = 2CD. Gọi M là trung điểm BC và

4 8;

5 5H

là giao điểm BD và AM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD

biết AB: x – y + 4 = 0 và 0Ax

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD. E, F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH.

Biết A(1; 1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm.

Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.

Bài 10: Cho ABC có góc A nhọn. Gọi I(4; 2) là trung điểm BC . Điểm A thuộc d: 2x – y – 1 = 0

Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại A.

Biết DE : 3 18 0x y ,độ dài đoạn BD bằng 2 5 và điểm D có tung độ nhỏ hơn 5.

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2; -2) là trung điểm đoạn AC.Gọi

N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN,4 8

;5 5

H

là giao điểm của hai đường thẳng ANvà BM.

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N thuộc đường thẳng d: x + 2y – 6 = 0.

Bài 12: Trong không gian với hệ trục Oxy, Cho hình vuông ABCD có A(-1; 2). Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình

đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x + y – 8 = 0 và điểm B có hoành



độ lớn hơn 2.

Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD và 3AD AB . Giã

sử hai điểm O và A đối xứng nhau qua điểm B. Gọi N thuộc cạnh BC sao cho BC = 3BN.

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết đường thẳng AN có phương trình

3 2 0x y và điểm B có tung độ dương .

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I là giao điểm hai

đường chéo, G là trọng tâm của tam giác ABI và điểm E(7; -2) thuộc đường chéo BD sao cho

GA = GE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông A, B, C, D biết đường thẳng GA có phương trình

3x – y -13 = 0 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 4.

CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

Education

Transcript of CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ