Chuong I - Tap hop va Logic - tranlam.yolasite.comtranlam.yolasite.com/resources/Chuong I - Tap hop...

Giáo trình: Nhập môn Toán Cao cấp

of 27

Chương I. TẬP HỢP VÀ LÔGÍC

§1. TẬP HỢP

1.1. Khái niệm tập hợp Những vật, những đối tượng Toán học,... được tụ tập do một tính chất chung nào đó thành lập những tập hợp. Đây không phải là một định nghĩa mà là một hình ảnh trực quan của khái niệm tập hợp. Lý thuyết tập hợp trình bày ở đây là một lý thuyết sơ cấp theo quan điểm ngây thơ. Người ta nói: Tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các lớp trong một trường, tập hợp � các số tự nhiên, tập hợp � các số nguyên, tập hợp � các số hữu tỉ, tập hợp � các số thực,... Các vật trong tập hợp X gọi là các phần tử của X. Kí hiệu x X∈ đọc là “x là một phần tử của X” hoặc “x thuộc X”. Phủ định của x X∈ kí hiệu là x X.∉ Ta bảo hai tập hợp A và B là bằng nhau và viết là A = B khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc A thì thuộc B và đảo lại. Như vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử hệt như nhau. 1.2. Bộ phận của một tập hợp Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A và B là hai tập hợp. Ta kí hiệu A B⊂ quan hệ sau đây:

với mọi x, x A∈ kéo theo x B.∈ Nói một cách khác, quan hệ A B⊂ có nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B. Quan hệ A B⊂ là quan hệ bao hàm, đọc là “A chứa trong B”, hoặc “B chứa A”, hoặc “A là một bộ phận của B”, hoặc “A là một tập hợp con của B” và người ta cũng viết B A.⊃ Phủ định của A B⊂

viết là A B⊄ hay B⊃A. Định lí 1.2.2. Quan hệ bao hàm có các tính chất sau: (i) Các quan hệ A B⊂ và B C⊂ kéo theo quan hệ A C.⊂ (ii) Muốn có A = B cần và đủ có A B⊂ và B A.⊂ Chứng minh. (i) Ta hãy lấy một phần tử tuỳ ý x A.∈ Vì A B⊂ nên x B.∈ Nhưng B C⊂ nên x C.∈ Vậy với mọi x, x A∈ kéo theo x C,∈ tức là A C.⊂ (ii). Hiển nhiên. � Thường một bộ phận A của một tập hợp B được xác định bởi một tính chất TTTT nào đó, mà mọi phần tử của tập hợp B thoả mãn tính chất TTTT sẽ là phần tử của tập A. Ta kí hiệu như sau:

A = { x B∈ / x có tính chất TTTT }, và đọc là: “A là tập hợp tất cả các phần tử x B∈ mà x có tính chất: TTTT ”. Ví dụ 1.2.3. Xét tập hợp � các số nguyên và bộ phân A các số nguyên chẵn, ta viết:

{ }A x / x chia h . Õt cho 2= ∈�

Bài tập 1. Giả sử X và Y là hai tập hợp sau:

X = {a, b, c, d}, Y = {a, 1, b, c, d}. Hãy cho biết các câu sau đây là đúng hay sai: (i) X = Y; (ii) X Y;⊂ (iii) x X x Y;∈ ⇒ ∈ (iv) x Y x X.∈ ⇒ ∈ 2. Các tập hợp , , ,� � � � có bằng nhau không? 3. Giả sử X = {a, b, c}. Hãy viết ra các bộ phận của X có 1 phần tử, 2 phần tử, 3 phần tử.

§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

2.1. Hiệu của hai tập hợp Định nghĩa 2.1.1. Cho hai tập hợp A và B tuỳ ý, tập hợp

{ }A B x A / x B− = ∈ ∉

gọi là hiệu của tập hợp A và tập hợp B. Nếu B A⊂ thì hiệu A – B gọi là phần bù của tập hợp B trong tập hợp A và còn kí hiệu là AC B.

Đôi khi ta viết CB, bỏ chữ A đi để khỏi gây nặng nề cho cách viết, nếu hiểu ngầm là lấy phần bù trong tập hợp A.


of 27

C A B A - B

B A B A

Định lí 2.1.2. Giả sử A và B là những bộ phận của một tập hợp X, thế thì (i) ( )X X A A.− − =

(ii) Các quan hệ A B⊂ và X B X A− ⊂ − là tương đương. Chứng minh. (i) Tập hợp X – (X – A) gồm các phần tử x X∈ sao cho x X A,∉ − tức là gồm các phần tử x X∈ sao cho x A.∈ (ii) Giả sử A B⊂ vì quan hệ x A∈ kéo theo quan hệ x B,∈ nên quan hệ x B∉ kéo theo x A,∉ tức là quan hệ x X B∈ − kéo theo x X A.∈ − Đảo lại, giả sử X B X A.− ⊂ − Thế thì bằng lí luận tương tự như trên ta có X – (X – A) ⊂ X – (X – B), tức là theo (i), A B.⊂ � 2.2. Tập hợp rỗng Giả sử X là một tập hợp, X cũng là một bộ phận của X, điều đó cho phép ta xét tập hợp X X∅ = − là bộ phận rỗng của X; x∈∅ có nghĩa là x X∈ và x X.∉ Rõ ràng không có phần tử x nào của X lại có tính chất đó. Tập hợp X X− = ∅ không phụ thuộc vào tập hợp X. Nói cách khác, ta có

X – X = Y – Y với mọi X, Y. Thực vậy, ta có thể coi X – X và Y – Y chứa các phần tử hệt như nhau vì chúng chẳng có phần tử nào cả (xin đừng coi đây là một chứng minh). Tập hợp X X− = ∅ không phụ thuộc vào tập hợp X, vì lí do đó, ta gọi nó là tập hợp rỗng. Tập hợp này không có một phần tử nào cả. Rõ ràng ta có X∅ ⊂ với mọi tập hợp X và tính chất này đặc trưng cho tập hợp rỗng. 2.3. Tập hợp một, hai phần tử Giả sử x là một vật. Thế thì có một tập hợp kí hiệu {x} chỉ gồm có một phần tử là x. Một tập hợp thuộc loại đó gọi là tập hợp một phần tử. Bây giờ giả sử x và y là hai vật phân biệt. Thế thì có một tập hợp kí hiệu {x, y} chỉ gồm có hai phần tử là x và y. Một tập hợp thuộc loại đó gọi là tập hợp hai phần tử. Người ta cũng có như vậy tập hợp ba, bốn,... phần tử. Các tập hợp đó cùng với tập hợp rỗng gọi là các tập hợp hữu hạn, còn các tập hợp khác gọi là các tập hợp vô hạn. 2.4. Tập hợp các bộ phận của một tập hợp

Giả sử X là một tập hợp, các bộ phận của X lập thành một tập hợp kí hiệu P(X) và gọi là tập hợp các bộ phận của X. Tập hợp này bao giờ cũng có ít nhất một phần tử, đó là X.

Ta có thể chứng minh được rằng, nếu X là một tập hữu hạn gồm n phần tử thì P(X) là một tập hợp

hữu hạn gồm n2 phần tử. Như vậy các tập hợp ,∅ P(∅ ), P(P(∅ )), P(P(P(∅ ))), P(P(P(P(∅ )))),

P(P(P(P(P(∅ )))))... theo thứ tự có 0, 1, 2, 22, 24 = 16, 216 = 65536,... phần tử. Từ tập hợp ∅ chúng ta đã thành lập những tập hợp có nhiều phần tử đến mức trong thực tế ta không đếm được. 2.5. Tích Đề-các (Descartes) của hai tập hợp Giả sử x và y là hai vật, từ hai vật này ta thành lập một vật thứ ba kí hiệu (x, y) và gọi là cặp (x, y). Hai cặp (x, y) và (u, v) là bằng nhau khi và chỉ khi x = u và y = v. Đặc biệt ta có (x, y) = (y, x) khi và chỉ khi x = y, điều này nói lên thứ tự mà ta viết hai vật của một cặp là cần thiết. Ta có thể mở rộng khái niệm cặp như sau: Giả sử cho ba vật x, y, z, ta đặt

(x, y, z) = ((x, y), z) và gọi (x, y, z) là một bộ ba. Muốn có

(x’, y’, z’) = (x”, y”, z”) cần và đủ là

x’ = x”, y’ = y”, z’ = z”. Thực vậy ((x’, y’), z’) = ((x”, y”), z”) t ương đường với (x’, y’) = (x”, y”) và z’ = z”, vậy tương đương với x’ = x”, y’ = y”, z’ = z”. Cũng vậy, cho bốn vật x, y, z, t, ta đặt

(x, y, z, t) = ((x, y, z), t) và ta gọi (x, y, z, t) là một bộ bốn.


of 27

Định nghĩa 2.5.1. Cho hai tập hợp X và Y, tập hợp các cặp (x, y) với x X∈ và y Y∈ gọi là tích Đề-các của X và Y và kí hiệu bằng X Y.× Khái niệm tích Đề-các có thể mở rộng cho trường hợp nhiều tập hợp. Nếu X, Y, Z, T là những tập hợp, người ta định nghĩa

( )( )

X Y Z X Y Z

X Y Z T X Y Z T,...

× × = × ×

× × × = × × ×

Các phần tử của X Y Z× × là các bộ ba (x, y, z) với x X, y Y,z Z.∈ ∈ ∈ Cũng như vậy, các phần tử của X Y Z T× × × là các bộ bốn (x, y, z, t) với x X, y Y,z Z, t T.∈ ∈ ∈ ∈ Cuối cùng nếu X là một tập hợp, ta đặt

2 3 4X X X, X X X X, X X X X X,... = × = × × = × × ×

(b, a)

B x A

B

A

O b

a (a, b)

A x B

A

B

O

b

a

A x B

A

B

O

2.6. Hợp và giao của hai tập hợp Định nghĩa 2.6.1. Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ta gọi là hợp của X và Y tập hợp, kí hiệu X Y,∪ gồm các phần tử hoặc thuộc X hoặc thuộc Y, nghĩa là

z X Y∈ ∪ tương đương với z X∈ hoặc z Y.∈ Ta còn có thể nói X Y∪ gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp X và Y. Định nghĩa 2.6.2. Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ta gọi là giao của X và Y tập hợp, kí hiệu X Y,∩ gồm các phần tử vừa thuộc X vừa thuộc Y, nghĩa là

z X Y∈ ∩ tương đương với z X∈ và z Y.∈ Người ta bảo hai tập hợp X và Y là không giao nhau hay rời nhau khi X Y ,∩ =∅ nghĩa là khi X và Y không có phần tử chung nào. Rõ ràng ta có các quan hệ

X Y X∩ ⊂ và X Y Y,∩ ⊂ X Y X∪ ⊃ và X Y Y.∪ ⊃ Ngoài ra, giả sử Z là một tập hợp tuỳ ý, muốn cho Z X⊂ và Z Y,⊂ cần và đủ có z X∈ và z Y∈ với mọi z Z,∈ nghĩa là z X Y∈ ∩ với mọi z Z,∈ hay Z X Y.⊂ ∩ Như vậy X Y∩ là tập hợp lớn nhất trong tất cả các tập hợp Z vừa chứa trong X vừa chứa trong Y. Cũng vậy, muốn Z chứa cả X và Y, cần và đủ là Z chứa X Y;∪ Như thế X Y∪ là tập hợp bé nhất chứa cả X lẫn Y. Định lí 2.6.3. Với các tập hợp A, B, C và X tuỳ ý, ta có (i) Tính chất giao hoán

A B B A

A B B A

∩ = ∩

∪ = ∪


of 27

(ii) Tính chất kết hợp

( ) ( )( ) ( )

A B C A B C

A B C A B C

∩ ∩ = ∩ ∩

∪ ∪ = ∪ ∪

(iii) Tính chất phân phối

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

A B C A B A C

A B C A B A C

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

(iv) Công thức Đờ Moóc-găng (De Morgan)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

X A B X A X B

X A B X A X B

− ∪ = − ∩ −

− ∩ = − ∪ −

Chứng minh. (i) và (ii) hiển nhiên. Ta hãy chứng minh công thức thứ nhất của (iii). Giả sử

( )x A B C ,∈ ∩ ∪ điều đó có nghĩa là a A∈ và x thuộc ít nhất một trong hai tập hợp B, C, chẳng hạn

x B.∈ Vậy x A B,∈ ∩ tức là ( ) ( )x A B A C .∈ ∩ ∪ ∩ Đảo lại giả sử ( ) ( )x A B A C ,∈ ∩ ∪ ∩ điều đó

có nghĩa là x thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A B,A C,∩ ∩ chẳng hạn x A B,∈ ∩ tức là x A∈ và

x B,∈ vậy x A∈ và x B C∈ ∪ do đó ( )x A B C .∈ ∩ ∪

Ta chứng minh công thức thứ hai của (iii). Giả sử

( )x A B C ,∈ ∪ ∩

điều đó có nghĩa là x thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A,B C,∩ chẳng hạn x A.∈ Vậy x A B∈ ∪

và x A C,∈ ∪ tức là ( ) ( )x A B A C .∈ ∪ ∩ ∪ Nếu x B C∈ ∩ thì ta có x B∈ và x C,∈ tức là

x A B∈ ∪ và x A C,∈ ∪ vậy ( ) ( )x A B A C .∈ ∪ ∩ ∪ Đảo lại, giả sử ( ) ( )x A B A C ,∈ ∪ ∩ ∪ điều đó

có nghĩa là x A B∈ ∪ và x A C.∈ ∪ x A B∈ ∪ có nghĩa là x thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A, B. Nếu x A∈ thì ( )x A B C .∈ ∪ ∩ Nếu x A∉ thì x B,∈ và vì x A C,∈ ∪ nên x C.∈ Vậy x B C∈ ∩ và

do đó

( )x A B C .∈ ∪ ∩

(iv) Giả sử ( )x X A B .∈ − ∪ Điều đó có nghĩa x X∈ và x A B,∉ ∪ tức là x X∈ và x A∉ và

x B.∉ Vậy x X A∈ − và x X B,∈ − tức là ( ) ( )x X A X B .∈ − ∩ − Đảo lại, giả sử

( ) ( )x X A X B ,∈ − ∩ − điều đó có nghĩa là x X A∈ − và x X B,∈ − tức là x X∈ và x A∉ và x B.∉

Vậy x X∈ và x A B,∉ ∪ tức là ( )x X A B .∈ − ∪ Đối với công thức thứ hai của (iv) ta có thể chứng

minh tương tự, hoặc áp dụng công thức thứ nhất của (iv) và định lí 2.1.2 (i) nếu A,B X.⊂ Ta xét, với A,B X⊂

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )A B X X A X X B X X A X B .∩ = − − ∩ − − = − − ∪ −

Vậy ( ) ( ) ( )X A B X A X B .− ∩ = − ∪ − �

C

B

A

C

B

A

B A

B A


of 27

2.7. Sự chia lớp trên một tập hợp (hay còn gọi sự phân hoạch của một tập hợp) Ta bảo ta thực hiện một sự chia lớp (hay phân hoạch) trên một tập hợp X khi ta chia nó thành những bộ phận A, B, C,... khác ,∅ ròi nhau từng đôi một, sao cho mọi phần tử của X đều thuộc một trong các bộ phận đó.

X

C

B

A

Chẳng hạn A ( )A X,A v A X µ ⊂ ≠∅ ≠ và XC A lập thành một sự phân hoạch của X; hay các

dòng họ Ngô, Đinh, Lê, Lý, Trần, Nguyễn,... lập thành một sự chia lớp trên tập hợp dân Việt Nam.

Bài tập 1. Hãy viết các phần tử của các hiệu , .− −� � � �

2. Đặt { }A 2x / x .= ∈� Hãy viết các phần tử của phần bù của A trong .�

3. Chứng minh ta có A – (A – B) = B khi và chỉ khi B A.⊂

4. Giả sử X = {a, b, c, d}. Hãy viết ra các phần tử của P(X). Số phần tử của P(X) là bao nhiêu? 5. Giả sử X là một tập hợp có n phần tử và r là một số tự nhiên, 0 r n.≤ ≤ Tính: a) Số các bộ phận của X có r phần tử.

b) Số các phần tử của P(X).

6. Giả sử X = {a, b, c}, Y = {1, 2}. Hãy viết các phần tử của các tích Đề-các 2 2X Y,Y X,X ,Y .× × 7. Giả sử tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử. Chứng minh tích Đề-các X Y× có mn

phần tử. Tích Y X× có bao nhiêu phần tử? 8. Biểu diễn hình học các tập A B× với a) { }A x /1 x 3 , B , = ∈ ≤ ≤ =� � tập hợp các số thực.

b) A B ,= = � tập hợp các số nguyên. 9. Biểu diễn hình học tập hợp X gồm các điểm (x, y) của mặt phẳng Đề-các có dạng (x, x) với

0 x 1≤ ≤ hoặc có dạng (x, x + 1) với x 0.≥ 10. Chứng minh a) A B A∪ = khi và chỉ khi B A;⊂ b) A B A∩ = khi và chỉ khi A B;⊂ c) A A;∪∅ = d) A .∩∅ =∅ 11. Cho ví dụ một phân hoạch của một tập hợp.

§3. TẬP HỢP SỐ

Ta hãy nhắc lại ở đây một số tập hợp số cùng kí hiệu của chúng mà ta sẽ sử dụng nhiều trong các bộ môn Toán. 3.1. Tập hợp � các số tự nhiên: {0, 1, 2, 3,..., n,... } � cùng với thứ tự thông thường của số tự nhiên có ba tính chất đặc trưng sau đây: (i) Tập hợp � có một phần tử bé nhất là 0, và tổng quát hơn, mọi bộ phận khác ∅ của � có một phần tử bé nhất. (ii) Mỗi số tự nhiên n có số liền sau n + 1 và, trừ 0, có số liền trước n – 1. (iii) Chỉ có một số hữu hạn số tự nhiên nằm giữa hai số tự nhiên. 3.2. Tập hợp � các số nguyên: { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } � có tính chất sau đây (nó là nguyên nhân để ta xây dựng sau này từ � ra � trong Đại số đại cương và Số học): Mọi số tự nhiên n∈� đều có số đối –n trong .�

3.3. Tập hợp � các số hữu tỉ: a

/ a,b ,b 0b

∈ ≠

�


of 27

Tính chất để làm cơ sở cho việc xây dựng từ � ra � là: mọi số nguyên a 0≠ đều có nghịch đảo 1

a trong .�

Các số hữu tỉ không cho phép ta đo mọi đại lượng, cho nên ta bổ sung � để có tập hợp các số thực .�

3.4. Tập hợp � các số thực: Có một cấu trúc phong phú mà nó sẽ được các môn Đại số, Số học và Giải tích trình bày. Hiện tại, ta hãy sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên � mà ta biết từ Phổ thông, cùng thứ tự của nó, mà trực giác cho tương ứng với thứ tự các điểm trên một đường thẳng định hướng. Tập hợp � có tính chất sau đây: Với mỗi điểm của trục số (đường thẳng định hướng, có một điểm gốc O và một đơn vị độ dài), tương ứng một số thực, và đảo lại mỗi số thực cho vị trí của một điểm trên trục số.

1 0 x

Ta có các bao hàm sau đây với các tập hợp số kể trên:

.⊂ ⊂ ⊂� � � � 3.5. Kí hiệu. Một số bộ phận của các tập hợp số kể trên sẽ được kí hiệu như sau: - :+� bộ phận các số thực dương hoặc bằng 0.

- * :� bộ phận các số tự nhiên khác 0. - * :� bộ phận các số thực khác 0. - * :+� bộ phận các số thực dương.

§4. LÔGIC

Ở đây, chúng ta chỉ đưa ra các định nghĩa cùng các qui tắc sử dụng các liên kết lôgic chính, các lượng từ, và vài phương pháp chứng minh. Các phép liên kết chính gồm phép phủ định, phép tuyển, phép hội và phép kéo theo, chúng cho phép từ những mệnh đề đã biết tạo nên những mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề ở đây chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai, cái nọ loại trừ cái kia, chứ không thể đồng thời đúng và sai. 4.1. Các phép liên kết lôgic Phép phủ định Định nghĩa 4.1.1. Phủ định của một mệnh đề (hay một phát biểu hay một công thức) P là một

mệnh đề được kí hiệu P hay “không P”; mệnh đề P đúng khi và chỉ khi P sai. Khi tính chất P được kí hiệu bằng một dấu nào đó, tính chất P được kí hiệu cũng bằng dấu đó mang thêm dấu /. Ví dụ. Giả sử P là công thức ( )x A∈ đọc là x thuộc A, phủ định của P có thể kí hiệu bằng ( )x A∉

đọc là x không thuộc A, hay ( )x A∈ hay không ( )x A .∈ Cũng vậy, phủ định của công thức ( )A B⊂

(đọc là A chứa trong B) có thể viết ( )A B⊄ (đọc là A không chứa trong B) hay ( )A B⊂ hay không

( )A B ;⊂ trong khi đó phủ định của công thức (A = B) (đọc là A bằng B) được kí hiệu ( )A B≠ (đọc

là A khác B) hay ( )A B= hay không (A = B).

Từ định nghĩa của liên kết , ta có bảng giá trị chân lí sau đây cho liên kết phủ định, trong đó 1 kí hiệu giá trị đúng và 0 kí hiệu giá trị sai:

(1) P P P P và P có cùng giá trị chân lí 0 1 0 1 0 1

Phép tuyển Định nghĩa 4.1.2. Giả sử P và Q là hai mệnh đề, ta gọi là tuyển của hai mệnh đề đó, mệnh đề kí hiệu P Q∨ hay còn kí hiệu “P hoặc Q” và đọc là P hoặc Q; P hoặc Q đúng khi và chỉ khi ít nhất một trong các mệnh đề P và Q là đúng. Bảng giá trị của liên kết tuyển theo định nghĩa 4.1.2.

(2) P Q P Q∨ 0 0 0


of 27

1 0 1 0 1 1 1 1 1

Phép hội Định nghĩa 4.1.3. Giả sử P và Q là hai mệnh đề, ta gọi là hội của hai mệnh đề đó, mệnh đề kí hiệu P Q∧ hay “P và Q” và đọc là P và Q; P và Q là đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng. Bảng giá trị của liên kết hội theo định nghĩa 4.1.3:

(3) P Q P Q∧ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

Bây giờ ta hãy viết bảng giá trị của ( )P Q∨ và P Q,∧ và bảng giá trị của ( )P Q∧ và P Q :∨

(4) P Q P Q P Q∨ ( )P Q∨ P Q∧ 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

(4) P Q P Q P Q∧ ( )P Q∧ P Q∨ 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0

Hai bảng giá trị trên cho ta thấy ( )P Q∨ và P Q∧ có cùng giá trị, cũng như ( )P Q∧ và P Q∨ có

cùng giá trị. Phép kéo theo và tương đương Định nghĩa 4.1.4. Giả sử P và Q là hai mệnh đề; kéo theo P Q→ (đọc là P kéo theo Q) là viết tắt

của mệnh đề P Q,∨ vì vậy mệnh đề này chỉ sai khi P đúng và Q sai. Như vậy bảng giá trị của liên kết kéo theo như sau:

(5) P Q P P Q→ 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1

Định nghĩa 4.1.5. Giả sử P và Q là hai mệnh đề, tương đương P Q↔ (đọc là P tương đương với

Q) là viết tắt của mệnh đề ( ) ( )P Q Q P .→ ∧ → Mệnh đề này là đúng chỉ trong hai trường hợp mà P và

Q cùng đúng hay cùng sai. Thật vậy, bảng giá trị của liên kết tương đương theo định nghĩa 4.1.5 là như sau:

(6) P Q P Q→ Q P→ P Q↔ 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1

Chú ý 4.1.6. Theo định nghĩa của liên kết → , phủ định của phát biểu P Q→ là ( )P Q .∨ Theo

bảng (4) ( )P Q∨ có cùng giá trị với P Q∧ và theo bảng (1) có cùng giá trị với P Q.∧ Như vậy nếu P

là phát biểu " x a "− < η và Q phát biểu ( ) ( )" f x f a ",− < ε phủ định của mệnh đề

( ) ( )x a f x f a− < η⇒ − < ε là mệnh đề ( ) ( ) ( )( )x a v f x f a . µ − < η − ≥ ε


of 27

4.1.7. Nếu một mệnh đề (hay một phát biểu hay một công thức) P là đúng thì ta gọi P là một định lí. Nếu mệnh đề P Q→ đúng thì ta kí hiệu P Q.⇒ Trong trường hợp đó, ta bảo “P kéo theo Q” là một định lí, P được gọi là giả thiết và Q là kết luận của định lí, và ta nói P là một điều kiện đủ để có Q hay Q là một điều kiện cần để có P, hay “nếu P thì Q”. Xem bảng giá trị (5) của liên kết , ta thấy rằng trong trường hợp Q đúng không cần P đúng ta vẫn có P Q,⇒ còn nếu P đúng thì bắt buộc Q đúng để có P Q,⇒ điều cuối cùng này có nghĩa là: Nếu P đúng và P Q→ đúng, thì Q đúng (đây là mắt xích chính của chuỗi lập luận lôgic). Cũng trên bảng (5), trong một kéo theo "P Q"→ ta không thấy quan hệ nhân quả giữa giả thiết và kết luận. Chẳng hạn, trong Hình học sơ cấp, xét hai khẳng định sau đây: P: tổng các góc của một tam giác bằng 400 độ. Q: mọi tam giác đều cân. Cả hai khẳng định đều sai, nhưng ta lại có P Q⇒ và cả Q P?⇒ Nếu P Q→ là một định lí, thì chưa chắc Q P→ (gọi là mệnh đề đảo) đã đúng; trong trường hợp Q P→ đúng thì ta gọi nó là định lí đảo của định lí P Q⇒ , và ta biểu diễn định lí dưới dạng P Q,⇔ có nghĩa P Q↔ là đúng, và nói: để có P cần và đủ là có Q. Trong ví dụ trên về tam giác, P Q,⇔ hay P Q↔ là một khẳng định đúng. Theo định nghĩa 4.1.4, ta có

P Q→ là mệnh đề P Q∨

Q P→ là mệnh đề Q P.∨

Nhưng mệnh đề thứ hai có cùng giá trị với Q P,∨ và Q P∨ lại có cùng giá trị với P Q.∨ Cho nên ta có thể viết

(7) ( ) ( )P Q Q P→ ⇔ →

và nói rằng mệnh đề P Q→ đúng khi và chỉ khi mệnh đề Q P.→

Mệnh đề Q P→ gọi là mệnh đề phản đảo của mệnh đề P Q→ .

Ta lưu ý rằng mệnh đề phản đảo Q P→ là đúng khi và chỉ khi mệnh đề P Q→ là đúng; trong khi đó nếu mệnh đề P Q→ đúng, ta không thể chắc chắn có mệnh đề dảo Q P→ là đúng. (7) cho ta một mệnh đề luôn luôn đúng với mọi giá trị của P và Q. Sau đây là vài mệnh đề luôn luôn đúng khác:

(8)

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

i P P

ii P P

iii P Q Q P

iv P Q Q P

v P Q R P Q R

vi P Q R P Q R

vii P Q P Q

viii P Q P Q

∨ ↔

∨ ↔ ∨

∧ ↔ ∧

∨ ∨ ↔ ∨ ∨

∧ ∧ ↔ ∧ ∧ ∨ ↔ ∧ ∧ ↔ ∨

Trực giác ta thấy các công thức trên là đúng. Ta có thể thấy công thức (ii), công thức (vii) và (viii) đúng trên các bảng giá trị (1) và (4). Công thức (i) gọi là luật bài trung. Ngược lại ta cũng có công thức luôn luôn sai với mọi giá trị của các biến. Chẳng hạn công thức

P P∧ luôn luôn sai, nó gọi là luật mâu thuẫn. 4.2. Các lượng từ Trong một văn bản Toán học, nhiều khi ta có các phát biểu sau đây: (Với mọi ...), (Tồn tại ... sao cho ...); lúc đó ta sử dụng các kí hiệu lôgic ,∀ ∃ gọi là các lượng từ. Kí hiệu ∀ gọi là lượng từ khái quát và kí hiệu ∃ là lượng từ tồn tại. Giả sử P là một phát biểu phụ thuộc x (ta cũng nói P là một vị từ một ngôi hay P là một mệnh đề chứa biến), ta kí hiệu nó bằng P(x) để chỉ sự phụ thuộc vào x. Trong các điều kiện đó:


of 27

( ) ( )x P x∃ được đọc là: tồn tại x sao cho P(x), có nghĩa là có ít nhất một giá trị x, chẳng hạn ,α

sao cho ( )P α là một mệnh đề đúng. Chẳng hạn ta xét một hàm số thực f với biến thực, ta bảo f là liên

tục tại một điểm a nếu: với mọi 0,ε > tồn tại 0η > sao cho, với mọi x∈� sao cho x a ,− < η ta có

tính chất ( ) ( )f x f a .− < ε Ta mô tả f liên tục tại a một cách hình thức như sau:

(9) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 x x a f x f a . ∀ε > ∃η > ∀ ∈ − < η ⇒ − < ε �

Bây giờ muốn phát biểu hàm số là liên tục tại mọi điểm, ta phải viết: (với mọi x∈� ) (với mọi

0ε > ) (tồn tại 0η > sao cho) (với mọi x∈� sao cho x a ,− < η ta có tính chất ( ) ( )f x f a ).− < ε

Như vậy f là liên tục tại mọi điểm được mô tả một cách hình thức như sau:

(10) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )a 0 0 x x a f x f a . ∀ ∈ ∀ε > ∃η > ∀ ∈ − < η ⇒ − < ε � �

Ta lưu ý rằng nếu trước một lượng từ ∃ có một lượng từ khác, chữ theo sau lượng từ ∃ đó có thể phụ thuộc vào các chữ có mặt trong các lượng từ đứng trước. Chẳng hạn, trong tính chất của một hàm liên tục tại mọi điểm, η phụ thuộc vào a và .ε Nếu η chỉ phụ thuộc vào ε và không phụ thuộc vào a, lúc đó ta bảo hàm số là liên tục đều. Tính chất để một hàm số liên tục đều mạnh hơn tính chất liên tục, nó được viết như sau:

(11) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 a x x a f x f a . ∀ε > ∃η > ∀ ∈ ∀ ∈ − < η ⇒ − < ε � �

Như vậy khi ta đổi vị trí các lượng từ, ta có thể thay đổi tính chất, như ta đã thấy với công thức (10) và (11). Sau đây là một ví dụ đơn giản hơn: (12) ( )( ) ( )m n , n m∀ ∈ ∃ ∈ ≥� �

là một khẳng định đúng, trong khi: (13) ( )( ) ( )n m , n m∃ ∈ ∀ ∈ ≥� �

là một khẳng định sai. Để có một hình ảnh sống động hơn của ví dụ, ta thay tập hợp � bằng tập hợp nhân loại và quan hệ "n m"≥ bằng quan hệ “n là mẹ đẻ của m”. Công thức (12) nói rằng mỗi người có một mẹ đẻ, trong khi công thức (13) lại nói rằng có một người là mẹ đẻ của nhân loại! Bây giờ,, chúng ta hãy đưa ra một số quy tắc đơn giản sử dụng các lượng từ. Trước hết ta thấy

ngay rằng phát biểu ( ) ( )x P x∃ có cùng nghĩa với ( ) ( )x P x ,∀ và phát biểu ( ) ( )x P x∀ có cùng nghĩa

với ( ) ( )x P x .∃ Vậy ta có các tương đương sau:

(14) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x P x x P x

x P x x P x

∃ ⇔ ∀∀ ⇔ ∃

Ta cũng có các tương đương sau:

(15)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y P x, y y x P x, y

x y P x, y y x P x, y

x P x Q x x P x x Q x

x P x Q x x P x x Q x

∃ ∃ ⇔ ∃ ∃∀ ∀ ⇔ ∀ ∀

∃ ∨ ⇔ ∃ ∨ ∃

∀ ∧ ⇔ ∀ ∧ ∀

Ta lưu ý rằng:

( ) ( ) ( )( )x P x Q x∀ ∨ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

x P x x Q x

x P x Q x

∀ ∨ ∀

∃ ∧ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )x P x x Q x∃ ∧ ∃

Ta có thể lấy ví dụ sau đây để minh họa: ( )x∀ ∈� (x là số chẵn ∨ x là số lẻ) là đúng, nhưng

( )( ) ( )( )x x l x x l µ sè ch½n µ sè lÎ∀ ∈ ∨ ∀ ∈ � � là sai.

( ) ( ) ( )2x x 7 x 5x 6 0 ∃ ∈ > ∧ − − = � là sai, nhưng


of 27

( )( ) ( )( )2x x 7 x x 5x 6 0 ∃ ∈ > ∧ ∃ ∈ − − = � � là đúng. Các công thức tương đương (14) cho

ta qui tắc chuyển sang phủ định một mệnh đề có chứa lượng từ. Trong trường hợp mệnh đề có chứa nhiều lượng từ, ta có qui tắc sau đây, tổng quát qui tắc trên: Phủ định của một mệnh đề có chứa một số lượng từ ,∀ ∃ và tiếp theo là lời phát biểu của một tính chất P, có được bằng cách thay lượng từ ∀ bằng lượng từ ∃ và lượng từ ∃ bằng lượng từ ,∀ và tính

chất P bằng phủ định P của nó. Chẳng hạn để nói f không liên tục tại điểm a, ta hãy phủ định tính chất (9), ta được qui tắc trên:

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 x x a v f x f a . µ ∃ε > ∀η > ∃ ∈ − < η − ≥ ε �

4.3. Về các phương pháp chứng minh Điều cần nói đầu tiên,, trước khi đưa ra các phương pháp chứng minh, là về mức trình bày rõ ràng một phép chứng minh. Các bước trong chuỗi suy luận có thể không được làm tường minh khi người ta chắc chắn là đúng nhưng làm cho rõ thì rườm rà và chán ngắt, và điều mà ta chắc chắn đúng là do kinh nghiệm đã tích luỹ trong làm Toán. Vậy các “bước nhảy” trong một chứng minh tuỳ thuộc vào trình độ văn hoá toán. Cho nên khi đọc một chứng minh, một người đọc tốt là người biết bỏ những giải thích rườm rà, và làm tường minh những chỗ không hiển nhiên, hay hơn nữa viết hẳn những chứng minh cho những khâu mà lí luận lôgic “nhảy bước” để tới nhanh kết quả. 4.3.1. Phương pháp chứng minh trực tiếp Để chứng minh: “nếu S thì T” nghĩa là nếu S đúng thì T đúng, bằng phương pháp trực tiếp (dựa trên A đúng và A B→ đúng thì B đúng), ta xây dựng một chuỗi kéo theo sau đây: S, 1S A→ đúng thì A1 đúng

A1, 1 2A A→ đúng thì A2 đúng ................ An, nA T→ đúng thì T đúng. Tức là từ S đúng, suy ra T đúng. Ví dụ. Chứng minh: Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 5 thì 2n 1− chia hết cho 24. Xây dựng chứng minh: (1) n là số nguyên tố và n > 5 kéo theo n – 1 và n + 1 là những số chẵn. (2) n – 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp kéo theo tích của chúng (n – 1)(n + 1) chia hết cho 8. (3) n – 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp kéo theo tích của chúng n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3. (4) n là số nguyên tố lớn hơn 5 kéo théo n không chia hết cho 3. (5) Từ (3) và (4) ta có (n – 1)(n + 1) chia hết cho 3. (6) n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) chia hết cho 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, vậy n2 – 1 chia hết cho tích 3 8 24.× = Các bạn có thể sửa đầu bài đi một chút bằng cách giả thiết n là số nguyên tố lớn hơn 3 và lập chương trình chứng minh như ở trên xem ta có đi thoát khỏi 6 cửa khẩu trong chương trình chứng minh để đi tới đích là n2 – 1 chia hết cho 24. Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 2 thì sao? 4.3.2. Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng min hphản chứng được dùng khá phổ biến, nó dựa trên nguyên tắc lôgic phi mâu thuẫn. Công thức P P∧ luôn luôn sai.

Để chứng minh S T⇒ (ta nhớ lại S T⇒ có nghĩa S T→ đúng) ta giả sử có S và T. Nếu với giả thiết đó ta đi tới một mâu thuẫn kiểu: R là đúng và R là đúng, ta suy ra giả thiết S kéo theo kết luận T, nghĩa là S T.⇒ Thật vậy, ta có:

( ) ( )S T R S T R ∧ ⇒ ∧ ∧ ⇒

Vậy

( ) ( )S T R R .∧ ⇒ ∧

Nhưng R R∧ luôn luôn sai, vậy ta phải có S T∧ sai, và S T∧ đúng. Theo bảng (4) và (1) ta có

( ) ( )S T S T S T .∧ ⇔ ∨ ⇔ ⇒

Vậy S T∧ đúng cho ta S T⇒ đúng, nghĩa là giả thiết S kéo theo kết luận T. Ví dụ. Giả sử E⊂ � là một bộ phận của tập hợp các số tự nhiên ,� và E có các tính chất sau đây:


of 27

(i) 0 E,∈ (ii) n E∈ kéo theo n 1 E.+ ∈ Thế thì E .= � Ta hãy chứng minh bằng phản chứng. Xây dựng chứng minh: (1) Giả sử có E thoả mãn (i) và (ii), và E .≠ � (2) E ≠ � kéo theo E .− ≠ ∅� (3) E− ≠ ∅� kéo theo E−� có phần tử bé nhất a (3.1). (4) 0 E∈ kéo theo a 0.≠

(5) a là phần tử bé nhất của E−� kéo theo a 1 E− ∉ −� (phần tử liền trước a – 1 của a tồn tại vì a 0≠ ).

(6) a 1 E− ∉ −� kéo theo a 1 E.− ∈ (7) a 1 E− ∈ kéo theo ( )a a 1 1 E.= − + ∈

(8) Ta đi đến mâu thuẫn: a E∈ (theo (7)) và a E∉ (theo (3)). (9) Giả thiết E ≠ � cho ta một mâu thuẫn, vậy E .= �

Đôi khi người ta xét E⊂ � có các tính chất: (i) 0 E,∈ (ii’) nếu mọi k n≤ đều thuộc E, thì n + 1 thuộc E. Thế thì E .= � Cách chứng minh cũng tương tự như trên, các bạn có thể tự làm. 4.3.3. Phương pháp chứng minh qui nạp Người ta thường dùng chứng minh qui nạp để chứng minh một tính chất có dạng: ( )n ,S n∀ ∈�

(nghĩa là S(n) được thoả mãn với mọi số tự nhiên n). Sơ đồ chứng minh qui nạp là như sau: (1) Chứng minh S(0) đúng. (2) Ta giả sử S(n) đúng, chứng minh S(n + 1) đúng. (3) Kết luận S(n) đúng với mọi số tự nhiên n. Thật vậy phép chứng minh qui nạp là hệ quả của ví dụ trong 4.3.2. Ta hãy chứng minh điều đó. Đặt

( ){ }E n /S n .= ∈�

Sau khi đã chứng minh (1) và (2), ta có (i) 0 E.∈ (ii) n E∈ kéo theo n 1 E.+ ∈ Thế thì theo ví dụ trên E ,= � nghĩa là: ( )n ,S n .∀ ∈�

Trong ví dụ trên ta cũng xét tập hợp E có tính chất: (i) 0 E.∈ (ii’) nếu mọi k n≤ đều thuộc E, thì n + 1 thuộc E. Điều này tương ứng với sơ đồ chứng minh qui nạp sau: (1) Chứng minh S(0) đúng. (2’) Giả sử S đúng cho mọi k n,≤ chứng minh S đúng cho n + 1. (3) Kết luận S(n) đúng với mọi n .∈� Để chứng minh một tính chất S(n) đúng với mọi số nguyên dương, người ta bắt đầu chứng minh S(1) đúng, tiếp theo là qui nạp. Ví dụ. 1) Giả sử x 2k , k ;≠ π ∈� chứng minh đẳng thức:

n 1sin x nx2sin x sin 2x sin nx .sin

x 2sin2

+

+ + + =� là đúng với mọi *n .∈�

Ta hãy chứng minh đẳng thức trên bằng qui nạp. Trước hết ta thấy ngay đẳng thức là đúng với n = 1. Ta giả sử đẳng thức đúng cho n, ta chứng minh nó đúng cho n + 1. Vì nó đúng cho n, nên ta có thể viết:

( ) ( )n 1

sin x nx2sin x sin 2x sin nx sin n 1 x .sin sin n 1 xx 2sin2

+

+ + + + + = + +�


of 27

( )( )

nxsinn 1 n 12sin x. 2cos x

x2 2sin2

nx n 1 xsin 2cos x sinn 1 2 2 2sin x.

x2 sin2

n 1sin x nx n 2 nx2 . sin sin x sin

x 2 2 2sin2

n 1 1n 1sin x sin xn 1 1 n 12 2.sin x .sin x,

x x2 2sin sin2 2

+ +

= +

+ + +=

++ = + −

+ +++ + +

= =

vậy đẳng thức đúng cho n + 1. Kết luận: Đẳng thức đúng với mọi số nguyên n 1.≥

2) Giả sử X là một tập hợp có n phần tử; chứng minh tập hợp P(X) các bộ phận của X có n2 phần tử (2.4)

Ta hãy chứng minh: (X có n phần tử ⇒ P(X), có n2 phần tử) bằng qui nạp. Với n = 0, X có 0

phần tử, nghĩa là X ;=∅ vậy X chỉ có một bộ phận con duy nhất, đó là ,∅ do đó P(∅ ) = { }∅ chỉ có

một phần tử, phần tử đó là tập hợp rỗng .∅ Cho nên ta có thể nói P(∅ ) có 02 phần tử, nghĩa là: (X

có n phần tử ⇒ P(X), có n2 phần tử) là đúng với n = 0. Ta giả sử kéo theo trên là đúng cho n, và chứng minh nó đúng cho n + 1. Xét tập hợp X có n + 1 phần tử

{ }1 2 n n 1X a ,a ,...,a ,a+=

và tập hợp P(X) của nó. Trong tập hợp P(X), ta xét các phần tử là những bộ phận của X không chứa

n 1a ,+ các bộ phận này thành lập các phần tử của P( { }n 1X a +− ), mà theo giả thiết qui nạp có n2 phần tử

vì { }n 1X a +− có n phần tử. Mặt khác, trong P(X) ta cũng xét các phần tử là những bộ phận của X chứa

n 1a ,+ hiển nhiên các bộ phận này có được bằng cách thêm vào các bộ phận của P( { }n 1X a +− ) phần tử

n 1a .+ Vậy số phần tử của P(X) bằng 2 lần số các phần tử của P( { }n 1X a +− ), tức là n n 12 2 2 .+× = Ta đã

chứng minh xong kéo theo là đúng cho n + 1. Kết luận: Với mọi n ,∈� nếu X có n phần tử, thì P(X)

có n2 phần tử.

Bài tập 1. Cho S và T là hai tính chất phụ thuộc vào x ,∈� tập hợp các số tự nhiên, với S(x): “x chia cho 3

dư 1” và T(x): “x là số chẵn”.

a) Cho biết các bộ phận của � để lần lượt S(x), T(x), ( )S x , ( )T x đúng.

b) Cho biết các bộ phận của � để lần lượt ( ) ( )S x T x ,∨ ( ) ( )S x T x ,∧ ( ) ( )S x T x ,→

( ) ( )T x S x ,→ ( ) ( )T x S x ,→ ( ) ( )S x T x ,→ ( ) ( )S x T x↔ đúng.

2. Giả sử P, Q, R là những mệnh đề. Chứng minh các tương đương: ( ) ( ) ( )P Q R P Q P R∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

( ) ( ) ( )P Q R P Q P R∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨

P Q P Q∧ ⇔ ∨


of 27

( ) ( )P Q P Q Q∧ ∨ ∧ ⇔

( ) ( )P Q P Q Q∨ ∧ ∨ ⇔

P P Q P Q.∧ ∧ ⇔ ∧ 3. Giả sử P và Q là hai tính chất phụ thuộc vào biến x, với x E.∈ Hãy phủ định các mệnh đề sau đây: ( )x E,P x ;∃ ∈ đọc là: có x E∈ sao cho P(x) thoả mãn.

( ) ( )x E,P x Q x ;∃ ∈ ⇒ đọc là: có x E∈ sao cho P(x) thoả mãn thì Q(x) thoả mãn.

( ) ( )x E,P x Q x ;∀ ∈ ⇒ đọc là: với mọi x E∈ sao cho P(x) thoả mãn thì Q(x) thoả mãn.

4. Giả sử E là tập hợp các hàm số thực bậc hai ( ) 2y f x ax bx c,= = + + P(y): “hàm số bậc hai 2y ax bx c= + + luôn luôn có giá trị dương”, ( ) 2Q y :"b 4ac 0"− < và R(y): “a > 0”. Chứng minh

rằng các mệnh đề sau đây là đúng:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

y E,P y Q y

y E,P y R y

y E,Q y P y

y E, Q y R y P y

y E,P y Q y R y .

∀ ∈ →

∀ ∈ →

∃ ∈ →

∀ ∈ ∧ →

∀ ∈ ↔ ∧

5. Sau đây là định nghĩa tính hội tụ của một dãy số ( )i ix

∈� về một giới hạn a:

( )( )( ) ( ) ( )m0 n m m n x a ∀ε > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − < ε � � đọc là: với mọi 0,ε > tồn tại n∈� sao

cho, với mọi m∈� sao cho m n,≥ ta có tính chất mx a .− < ε

Hãy phủ định tính chất hội tụ.

§5. QUAN HỆ

5.1. Quan hệ hai ngôi Định nghĩa 5.1.1. Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ta bảo R là một quan hệ hai ngôi trên X Y×

nếu R là một bộ phận của X Y× . Ta còn viết xRy thay cho ( )x, y R∈ và đọc là: x có quan hệ R với y.

Khi X = Y, ta nói đơn giản R là một quan hệ trên X. Ta gọi là miền và ảnh của một quan hệ R các bộ phận của X và Y kí hiệu Dom(R) và Im(R) theo

thứ tự, cho bởi:

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

Dom R x X / y Y, x, y R

Im R y Y / x X, x, y R

= ∈ ∃ ∈ ∈

= ∈ ∃ ∈ ∈

Ví dụ 5.1.2. 1) X = {a, b, c}, Y = {1, 2}

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

R a,1 , a,2 , c,1 X Y

S b,2 , c,2 X Y

T a,2 , b,1 , c,1 X Y

= ⊂ ×

= ⊂ ×

= ⊂ ×

Ta có Dom(R) = {a, c}, Im(R) = {1, 2} = Y Dom(S) = {b, c}, Im(S) = {2}

Dom(T) = {a, b, c} = X, Im(T) = {1, 2} = Y. 2) X Y= = =� tập hợp các số thực,

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ){ }

( )

21

2 22

2 23

S 1,1 , 1,0 , 3, 2 , 5,3

S x, y / y x

1S x, y / y

x

= − − ⊂

= ∈ = ⊂

= ∈ = ⊂

�

� �

� �


of 27

( ){ }( ){ }

2 2 2 24

2 2 25

S x, y / x y 1

S x, y / y x

= ∈ + = ⊂

= ∈ = ⊂

� �

� �

Ta có ( ) { } ( ) { }1 1Dom S 1,1,3,5 , Im S 2,0,1,3= − = −

( ) ( )2 2Dom S Im S= = �

( ) { } ( )* *3 3Dom S 0 , Im S= = − =� � �

( ) [ ] ( )4 4Dom S 1;1 Im S= − =

( ) ( ) { }5 5Dom S , Im S y / y 0 .= = ∈ ≥� �

Định nghĩa 5.1.3. Người ta còn gọi tập hợp R X Y⊂ × dùng để xác định quan hệ R trên X Y× là gragh hay đồ thị của quan hệ R. Thông thường trong trường hợp X Y= = � người ta hay biểu diễn hình học gragh của một quan hệ. Chẳng hạn ta có gragh của S1, S2, S3, S4, S5 trong ví dụ 5.1.2, 2) như sau:

O

S 1

D

C

B A

x

y

1 3

5 -2

3

1

-1

S 2

O 1

1 x

y ∆

1

S 5 S 4 S 3

O O O x x x

y y y

Như vậy đồ thị của S1 chỉ có 4 điểm A, B, C và D; S2 là đường phân giác ∆ của góc phần tư thứ I và III; S3 là một hyperbol; S4 là đường tròn; S5 là một parabol. Sau đây ta hãy đưa ra một số tính chất quan trọng của quan hệ hai ngôi. Định nghĩa 5.1.4. Ta gọi là quan hệ hàm trên X Y× một bộ phận f X Y⊂ × sao cho

( ) ( )x, y f v x,z f y z. µ ∈ ∈ ⇒ =

Định nghĩa 5.1.5. Giả sử R là một quan hệ trên một tập hợp X. Ta bảo nó là phản xạ trong X nếu và chỉ nếu

( ) ( )x X x, x R ,∀ ∈ ∈

nó là đối xứng trong X nếu và chỉ nếu

( )( ) ( ) ( )x X y X x, y R y, x R ,∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈

nó là phản đối xứng trong X nếu và chỉ nếu

( )( ) ( ) ( ) ( )x X y X x, y R v y, x R x y , µ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈ ⇒ =

nó là bắc cầu trong X nếu và chỉ nếu

( )( )( ) ( ) ( ) ( )x X y X z X x, y R v y,z R x,z R , µ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈ ⇒ ∈

nó là toàn phần trong X nếu và chỉ nếu

( )( ) ( ) ( )x X y X x, y R y,x R . hay ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈

Các tính chất đề cập trong hai định nghĩa 5.1.4 và 5.1.5 sẽ đưa ta đến ba quan hệ đặc biệt quan trọng của Toán học, đó là ánh xạ, tương đương và thứ tự.


of 27

5.2. Quan hệ tương đương Định nghĩa 5.2.1. Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X X.× Thế thì S gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thoả mãn: 1) (Phản xạ) Với mọi a X;∈ aSa. 2) (Đối xứng) Với mọi a,b X;∈ nếu aSb, thì bSa. 3) (Bắc cầu) Với mọi a,b,c X;∈ nếu aSb và bSc, thì aSc. Nếu S là một quan hệ tương đương, thì người ta thường kí hiệu S bằng ~ và thường đọc aSb (a ~ b) là “a tương đương với b”. Ví dụ. 1) Dấu bằng thường dùng trong số học thông thường các số thực là một ví dụ quen thuộc về quan hệ tương đương. Trong trường hợp đó tập S là đường thẳng y = x của mặt phẳng Đề-các 2.� 2) Ta xét quan hệ đồng dư mod5 chẳng hạn trong Số học. Hai số nguyên m, n gọi là đồng dư mod5 nếu m – n chia hết cho 5. Rõ ràng quan hệ này là một quan hệ tương đương trong .� Ta hãy kí hiệu bằng C(i), i = 1, 2, 3, 4, tập hợp các số nguyên tương đương với i

( ) { }C i 5x i / x ,= + ∈�

thế thì mọi số nguyên thuộc ( )4

i 0C i

=∪ và ( ) ( )C i C j∩ =∅ với i j, i 0,1,2,3,4; j 0,1,2,3,4.≠ = = Ta sẽ

thấy các điều kiện tương tự như vậy cho một quan hệ tương đương tuỳ ý. 3) Ta xét tập hợp X các véctơ trong không gian của Hình học giải tích. Ta bảo một véctơ α có quan hệ S với véctơ β khi và chỉ khi α cùng hướng, cùng môđun với .β Quan hệ S rõ ràng là một

quan hệ tương đương. Ta cũng kí hiệu bằng ( )C α tập hợp các véctơ tương đương với ,α thế thì

( )C α chẳng qua là một véctơ tự do.

Định nghĩa 5.2.2. Giả sử S là một quan hệ tương đương trong X và a X.∈ Tập hợp

( ) { }C a x X / xSa= ∈

gọi là lớp tương đương của a đối với quan hệ tương đương S. Vì S là phản xạ nên ( )a C a .∈

Ta thấy tức khắc rằng C(a) có các tính chất sau: (i) ( )C a .≠∅

(ii) ( )x, y C a∈ kéo theo xSy.

(iii) ( )x C a∈ và xSy kéo theo ( )y C a .∈

Bổ đề 5.2.3. Với hai phần tử bất kì a và b, ta đều có hoặc ( ) ( )C a C b∩ =∅ hoặc C(a) = C(b).

Chứng minh. Giả sử ( ) ( )C a C b .∩ ≠∅ Ta sẽ chứng minh C(a) = C(b). Gọi c là một phần tử thuộc

( ) ( )C a C b .∩ Ta có cSa và cSb, và do tính chất đối xứng và bắc cầu, nên ( )a C b .∈ Do đó với mọi

( )x C a ,∈ tức là đối với mọi x tương đương với a, ta đều có ( )x C b ,∈ tức là ( ) ( )C a C b .⊂ Tương

tự, ta chứng minh ( ) ( )C b C a .⊂ Vậy, ta có C(a) = C(b). �

Từ bổ đề trên ta suy ra ngay C(x) = C(a) với mọi ( )x C a .∈

Định nghĩa 5.2.4. Ta bảo ta thực hiện một sự chia lớp trên một tập hợp X khi ta chia nó thành những bộ phận A, B, C,... khác ,∅ rời nhau từng đôi một, sao cho mọi phần tử của X thuộc một trong những bộ phận đó. Định lí 5.2.5. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương đương trong X. Thế thì các lớp tương đương phân biệt của X đối với S thành lập một sự chia lớp trên X. Chứng minh. Thật vậy, với mọi x X,∈ ta có ( )x C x .∈ Còn hai lớp tương đương phân biệt là rời

nhau thì do Bổ đề 5.2.3. � Như vậy cho một quan hệ tương đương S trong một tập hợp X, ta được một sự chia lớp trên X, đó là việc chia X thành các lớp tương đương. Định lí sau đây cho ta thấy điều đảo lại cũng đúng. Định lí 5.2.6. Giả sử ta có sự chia lớp trên một tập hợp X và A, B, C,... là các bộ phận của X do sự chia lớp. Thế thì có một quan hệ tương đương duy nhất S trong X sao cho các lớp tương đương của X đối với S là các bộ phận A, B, C,... Việc chứng minh định lí trên, xin dành cho độc giả, xem như bài tập.


of 27

Định nghĩa 5.2.7. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương đương trong X. Tập hợp các lớp tương đương phân biệt của X đối với S gọi là tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương S và được kí hiệu là X/S. Ví dụ. Xét quan hệ đồng dư modn trong Số học (n là một số nguyên dương cho trước). Hai số nguyên x, y gọi là đồng dư modn nếu x – y chia hết cho n. Rõ ràng quan hệ này là một quan hệ tương đương trong .� Tập hợp thương của � trên quan hệ đồng dư modn có n lớp tương đương:

C(0), C(1),..., C(n – 1) với ( ) { }C i nx i / x ;i 0,1,...,n 1.= + ∈ = −�

5.3. Quan hệ thứ tự Định nghĩa 5.3.1. Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X X.× Thế thì S được gọi là một quan hệ thứ tự trong X (hay người ta còn gọi S là một quan hệ thứ tự giữa các phần tử của X) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thoả mãn: 1) (Phản xạ) Với mọi a X,∈ aSa. 2) (Phản đối xứng) Với mọi a,b X,∈ nếu aSb và bSa thì a = b. 3) (Bắc cầu) Với mọi a,b,c X,∈ nếu aSb và bSc thì aSc. Người ta bảo một tập hợp X là sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự. Ví dụ. 1) Quan hệ ≤ trong tập hợp các số tự nhiên � là một quan hệ thứ tự. 2) Quan hệ chia hết trong ,� người ta kí hiệu a | b và đọc “a chia hết b”. 3) Quan hệ bao hàm ⊂ giữa các bộ phận của một tập hợp X. Trong ví dụ 1), với a và b tuỳ ý ta luôn có a b≤ hoặc b a.≤ Người ta gọi một quan hệ thứ tự như vậy là toàn phần. Trong ví dụ 2) không phải ta luôn có a | b hoặc b | a với a, b tuỳ ý, chẳng hạn với a 2= và b = 3. Điều đó cũng xảy ra với ví dụ 3). Người ta bảo | và ⊂ là những quan hệ thứ tự bộ phận. Nếu S là một quan hệ thứ tự X, thì người ta thường kí hiệu S bằng ≤ (bắt chước kí hiệu quan hệ thứ tự thông thường của số nguyên hay số thực) và đọc a b≤ là “a bé hơn b”. Người ta coi b a≥ là đồng nghĩa với a b≤ và đọc là “b lớn hơn a”. Người ta còn viết a < b (hay b > a) quan hệ "a b v a b" µ ≤ ≠ và đọc là “a thực sự bé hơn b” (hay “b thực sự lớn hơn a”). Định nghĩa 5.3.2. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a X∈ gọi là phần tử tối tiểu (phần tử tối đại) của X nếu quan hệ ( )x a x a ≤ ≥ kéo theo x a.=

Ví dụ. 1) Trong tập hợp các số tự nhiên thực sự lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ | (quan hệ chia hêt), các phần tử tối tiểu là các số nguyên tố. 2) Trong tập hợp các véctơ độc lập tuyến tính của không gian véctơ n� sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm ,⊂ các hệ véctơ gồm n véctơ là tối đại. 3) Tập hợp các số thực, với quan hệ thứ tự thông thường, không có phần tử tối đại cũng không có phần tử tối tiểu. Định nghĩa 5.3.3 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a X∈ gọi là phần tử bé nhất (phần tử lớn nhất) của X nếu, với mọi x X,∈ ta có ( )a x x a . ≤ ≤

Nếu một tập hợp X sắp thứ tự có một phần tử bé nhất a thì a là phần tử bé nhất duy nhất. Thật vậy, giả sử có b bé nhất, ta suy ra a b≤ và b a,≤ tức là a = b. Cũng nhận xét như vậy đối với phần tử lớn nhất. Ví dụ. 1) Tập hợp các số tự nhiên sắp thứ tự theo quan hệ | có phần tử bé nhất là 1 và phần tử lớn nhất là 0. Nếu sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự thông thường, tập hợp các số tự nhiên có phần tử bé nhất là 0 và không có phần tử lớn nhất.

2) Giả sử X là một bộ phận khác rỗng của P(E), tập hợp các bộ phận của một tập hợp E. Nếu X có phần tử bé nhất A (lớn nhất) đối với quan hệ bao hàm, thì A chẳng qua là giao (hợp) của các tập hợp thuộc X. Đảo lại, nếu giao (hợp) các tập hợp của X lại thuộc X, thì đó là phần tử bé nhất (lớn nhất) của

X. Đặc biệt, ∅ là phần tử bé nhất và E là phần tử lớn nhất của P(E). 3) Tập hợp các số thực, với quan hệ thứ tự thông thường, không có phần tử bé nhất cũng không có phần tử lớn nhất. Định nghĩa 5.3.4. Ta bảo một tập hợp X là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và nếu mọi bộ phận khác rỗng của X có một phần tử bé nhất. Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên � với thứ tự thông thường là sắp thứ tự tốt (3.1, (i)).


of 27

Bài tập 1. Xét tập hợp các số nguyên � và tập hợp *� các số tự nhiên khác 0. Gọi S là quan hệ trong *×� �

xác định bởi (a, b) S (c, d) khi và chỉ khi ad = bc.

Chứng minh S là một quan hệ tương đương. 2. Giả sử S là một quan hệ hai ngôi xác định trong tập hợp các số nguyên � bởi các cặp (x, y) với x,

y nguyên và x + y lẻ. Chứng minh: a) S không phải là một quan hệ hàm. b) S không phải là một quan hệ tương đương. c) S không phải là một quan hệ thứ tự. d) Nếu đổi giả thiết một chút bằng cách cho x + y chẵn, thì thế nào? 3. Giả sử X là một tập hợp và T là một quan hệ hai ngôi phản xạ, đối xứng trong X. Ta hãy xác định

một quan hệ hai ngôi S trong X như sau: xSy khi và chỉ khi có x1 = x, x2,..., xn = y sao cho x1Tx2, x2Tx3,..., xn-1Txn.

Chứng minh a) S là một quan hệ tương đương và T S.⊂ b) Với mọi quan hệ tương đương H sao cho T H⊂ thì S H.⊂ 4. Xét quan hệ hai ngôi trong tập hợp các số thực � xác định bởi tập hợp X (§2 bài tập 9). a) Hãy bổ sung X để có một quan hệ hai ngôi phản xạ, đối xứng T (tất nhiên bổ sung ít nhất!). Biểu

diễn hình học T. b) Có T, hãy xây dựng quan hệ tương đương S như bài tập 4. Biểu diễn hình học S. 5. Giả sử X là tập hợp các hàm số khả vi xác định trên tập hợp các số thực .� Giả sử S là quan hệ

xác định bởi ySz khi và chỉ khi dy dz

dx dx= với mọi x ,∈� S có phải là quan hệ tương đương không?

6. Cho X là không gian ba chiều thông thường và O là một điểm cố định của X. Trong X ta xác định quan hệ S như sau:

PSP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng. a) S có phải là quan hệ tương đương trong X không? b) S có phải là quan hệ tương đương trong { }X O− không? Nếu phải, hãy xác định các lớp tương

đương. 7. Giả sử X là một tập hợp và S là một quan hệ thứ tự trong X. Chứng minh rằng quan hệ T trong X,

xác định bởi aTb khi và chỉ khi bSa, cũng là một quan hệ thứ tự trong X. Giả sử X là một tập hợp và S là một quan hệ tương đương khác quan hệ đồng nhất trong X. Chứng

minh S không phải là một quan hệ thứ tự. 8. Xét tập hợp ( )nX n 1 ,= ≥� với � là tập các số tự nhiên. Trong X ta xác định quan hệ S như sau:

( ) ( )1 n 1 na ,...,a S b ,...,b khi và chỉ khi ( ) ( )1 n 1 na ,...,a b ,...,b= hoặc có một chỉ số i (i = 1, 2, ..., n)

sao cho a1 = b1,..., ai-1 = bi-1, ai < bi. Chứng minh S là một quan hệ thứ tự toàn phần.

9. Chứng minh nếu a là phần tử bé nhất (lớn nhất) của một tập hợp X đối với một quan hệ thứ tự S, thì a là phần tử tối tiểu (tối đại) duy nhất của X.

10. Chứng minh nếu X sắp thứ tự tốt thì X sắp thứ tự toàn phần. 11. Chứng minh tập hợp trong bài tập 8 là sắp thứ tự tốt.

§6. ÁNH XẠ

6.1. Định nghĩa ánh xạ Định nghĩa 6.1.1. Giả sử f là một quan hệ hàm (Định nghĩa 5.1.4) trên X Y.× Ta bảo f là một

ánh xạ nếu Dom(f) = X. Lúc đó ta nói ta đã xác định một ánh xạ f từ X vào Y và viết

( ) ( )f : X Y hay Y

x y f x x y f x

f X

→ →

= =� �

trong đó phần tử y kí hiệu là f(x) lấy từ cặp ( )x, y f .∈

Tập hợp X gọi là nguồn hay miền xác định và tập hợp Y gọi là đích hay miền giá trị của ánh xạ f.


of 27

Ví dụ 6.1.2. Ta hãy lấy lại các ví dụ trong 5.1.2. Hiển nhiên R không phải là một quan hệ hàm vì (a, 1) và (a, 2) R∈ cho nên R càng không phải là ánh xạ. S là quan hệ hàm, nhưng không phải là ánh xạ vì ( )Dom S X,≠ T là ánh xạ, S1 là hàm. S2 là ánh xạ gọi là ánh xạ đồng nhất của ,� S3 là hàm, S4

không là hàm vì (0, 1) và (0, -1) 4S ,∈ S5 là ánh xạ.

Chú ý 6.1.3. Trong nhiều tài liệu, người ta định nghĩa một ánh xạ f từ X vào Y là một qui tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x X∈ một phần tử xác định y Y,∈ kí hiệu f(x). Ở đây ta phải hiểu qui tắc f là phép toán, hay tổng quát hơn, phương tiện mà người ta cung cấp cho chúng ta để tính hay xác định f(x). Chẳng hạn trong (5.1.2), qui tắc của ánh xạ S2 là lấy y = x; qui tắc của S5 là lấy y = x2, nghĩa là phép toán bình phương; còn đối với ánh xạ T, muốn thấy qui tắc của nó ta nhìn vào các phần tử của bộ phận T: ta có a tương ứng với 2, b tương ứng với 1, c tương ứng với 1. Ta có thể viết các ánh xạ S2, S5 và T như sau:

2 5S : S : T : X Y

x x 2

x x a 2

b 1

→ → →� � � �

� � �

�

c 1�

Qua định nghĩa của ánh xạ, chúng ta thấy rằng khái niệm ánh xạ mở rộng khái niệm hàm số, đó là những ánh xạ mà nguồn và đích là tập hợp các số thực � hay những bộ phận của .� Ở đây ta cần cẩn thận phân biệt f với f(x) mà ta thường lạm dụng trong sử dụng thông thường. Ta phải nhận là sai khi nói “hàm số y = f(x) = x2” vì y = x2 là giá trị của hàm số tại x; ta phải nói “hàm số

2f : x x� hay hàm số f xác định bởi f(x) = x2”. 6.2. Ảnh và tạo bởi Định nghĩa 6.2.1. Giả sử f : X Y→ là một ánh xạ đã cho, x là một phần tử tuỳ ý của X, A là một bộ phận tuỳ ý của X, B là một bộ phận tuỳ ý của Y. Thế thì người ta gọi: - f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x. - ( ) ( ){ }f A y Y / x A : f x y= ∈ ∃ ∈ = là ảnh của A bởi f.

- ( ) ( ){ }1f B x X / f x B− = ∈ ∈ là tạo ảnh toàn phần của B bởi f.

Đặc biệt với { }( ) ( ){ }1b Y, f b x X / f x b .−∈ = ∈ = Để đơn giản kí hiệu ta viết ( )1f b− thay cho

{ }( )1f b− và gọi là tạo ảnh toàn phần của b bởi f. Mỗi phần tử ( )1x f b−∈ gọi là một tạo ảnh của b bởi

f. Kí hiệu f(A) là một điều lạm dụng vì f(A) chỉ có nghĩa khi A X.∈ Rõ ràng ta có ( )f ∅ =∅ với

mọi f. Ta chứng minh dễ dàng các quan hệ: - ( )( )1A f f A−⊂ với mọi bộ phận A của X.

- ( )( )1B f f B−⊃ với mọi bộ phận B của Y.

Nhưng ta không có quyền, trong các quan hệ ấy, thay các dấu bao hàm bằng dấu đẳng thức. Chẳng hạn, trong các ví dụ 5.1.2, 1) và 2) nếu lấy A = {b} thì ta có ( )( ) { }1T T A b,c− = và B = {-1, 1} thì ta

có ( )( ) { }15 5S S B 1 .− =

6.3. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh Định nghĩa 6.3.1. Ánh xạ f : X Y→ là một đơn ánh nếu với mọi x,x ' X,∈ quan hệ f(x) = f(x’)

kéo theo quan hệ x = x’, hay x x '≠ kéo theo ( ) ( )f x f x ' ,≠ hay với mọi y Y∈ có nhiều nhất một

x X∈ sao cho y = f(x). Người ta còn gọi một đơn ánh f : X Y→ là một ánh xạ một đối một. Ví dụ 6.3.2. 1) Xét ánh xạ

3

f :

x x

→� �

�

Rõ ràng f là một đơn ánh, vì nếu x và y là những số thực thì quan hệ 3 3x y= kéo theo x = y. 2) Giả sử X là một tập hợp, ánh xạ

X X

x x

→

�


of 27

gọi là ánh xạ đồng nhất của X kí hiệu X1 hoặc Xe . Hiển nhiên X1 là đơn ánh.

3) Cho X Y.⊂ Ánh xạ

( )f : X Y

x j x x

→

=�

gọi là đơn ánh chính tắc từ X đến Y. Ta có thể có nhiều đơn ánh từ X đến Y, nhưng đơn ánh j gọi là đơn ánh chính tắc vì nó được xây dựng một cách tự nhiên. Định nghĩa 6.3.3. Ta bảo một ánh xạ f : X Y→ là một toàn ánh nếu ( )f X Y,= nói một cách

khác, nếu với mọi y Y∈ có ít nhất một x X∈ sao cho y = f(x). Người ta còn gọi một toàn ánh f : X Y→ là một ánh xạ từ X lên Y. Các ánh xạ trong các ví dụ 6.3.2, 1) và 2) là những toàn ánh. Định nghĩa 6.3.4. Ta bảo một ánh xạ f : X Y→ là một song ánh hay một ánh xạ một đối một từ X lên Y, nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nói một cách khác nếu với mọi y Y∈ có một và chỉ một x X∈ sao cho y = f(x). Chẳng hạn ánh xạ đồng nhất X1 là một song ánh với mọi X.

6.4. Tích ánh xạ Định nghĩa 6.4.1. Giả sử cho

f : X Y→ và g : Y Z.→ Ánh xạ

( )( )X Z

x g f x

→

�

gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g f ,� hay vắn tắt gf. Định lí 6.4.2. Giả sử cho

f : X Y, g : Y Z, h : Z T → → → Thế thì

h(gf) = (hg)f. Ta bảo phép nhân các ánh xạ có tính chất kết hợp. Chứng minh. Ta có với mọi x X∈

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )h gf x h gf x h g f x hg f x hg f x .= = = = �

Do đó ta kí hiệu h(gf) = (hg)f bằng hgf và gọi là tích của ba ánh xạ f, g, h. Chú ý rằng nếu f : X Y→ là một ánh xạ bất kì thì ta có

X Yf1 1 f f .= =

Định nghĩa 6.4.3. Giả sử f : X Y→ và g : Y X→ là hai ánh xạ sao cho

Xgf 1= và Yfg 1 .=

Thế thì g gọi là một ánh xạ ngược của f. Từ định nghĩa ta suy ra f cũng là một ánh xạ ngược của g. Định lí sau đây cho ta biết khi nào một ánh xạ có ánh xạ ngược. Định lí 6.4.4. Ánh xạ f : X Y→ có một ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là một song ánh. Chứng minh. Giả sử f có một ánh xạ ngược g : Y X.→ Theo định nghĩa ta có

Xgf 1= và Yfg 1 ,= tức là

( )( )g f x x= với mọi x.

Xét quan hệ f(x) = f(x’),

ta suy ra x = g(f(x)) = g(f(x’)) = x’.

Vậy f là một đơn ánh. Bây giờ giả sử y là một phần tử tuỳ ý của Y. Đặt ( )x g y X= ∈ trong đẳng

thức f(g(y)) = y, ta được y = f(x). Vậy f là toàn ánh.


of 27

Đảo lại, giả sử f là một song ánh. Qui tắc cho tương ứng với mỗi y Y∈ phần tử duy nhất của

( )1f y− xác định một ánh xạ g : Y X→ và ta thấy ngay Xgf 1= và Yfg 1 .= �

Như vậy f : X Y→ có một ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh, và trong trường hợp đó ta có một ánh xạ ngược g : Y X→ của f xác định bởi

( )y g y x,=� sao cho f(x) = y.

Ngoài ánh xạ ngược này, f còn có ánh xạ ngược nào khác không? Ta có: Định lí 6.4.5. Giả sử g : Y X→ và g ' : Y X→ là hai ánh xạ ngược của f : X Y.→ Thế thì g = g’. Chứng minh. Ta có

Xgf 1= và Yfg ' 1 .= Từ đó

( ) ( )Y Xg g1 g fg ' gf g ' 1 g ' g '.= = = = = �

Như vậy nếu f : X Y→ có ánh xạ ngược thì ánh xạ ngược là duy nhất, xác định bởi y x,� với x là phần tử duy nhất của ( )1f y .−

Do lạm dụng người ta cũng kí hiệu phần tử duy nhất x của ( )1f y− bằng ( )1f y− và do đó người ta

kí hiệu ánh xạ

( )1y f y ,−�

là ánh xạ ngược của f, bằng 1f .− Vì f là ánh xạ ngược của 1f − nên ( ) 11f f .−−= Ta có 1

X X1 1 .− =

Hệ quả 6.4.6. Cho hai song ánh f : X Y→ và g : Y Z.→ Thế thì gf : X Z→ là một song ánh. Chứng minh. Ta có

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1 1 1 1 1Y Z

1 1 1 1 1 1Z X

gf f g g ff g g1 g gg 1

f g gf f g g f f 1 f f f 1 .

− − − − − −

− − − − − −

= = = =

= = = =

Vậy ( ) 11 1f g gf .−− − =

6.5. Tập hợp đẳng lực Định nghĩa 6.5.1. Giả sử X và Y là hai tập hợp và giả sử có một song ánh f : X Y.→ Lúc đó ta bảo X và Y là hai tập hợp đẳng lực (cùng lượng lực). Dễ dàng thấy rằng khi hai tập hợp hữu hạn đẳng lực thì chúng có cùng số phần tử. Nếu tập hợp X có n phần tử thì ta thường kí hiệu các phần tử của nó như sau

(1) { }1 2 nX x , x ,..., x .=

Các tập hợp đẳng lực với � hay X (1) gọi là tập vô hạn đếm được hay hữu hạn đếm được, gọi chung là đếm được (kể cả tập rỗng). Người ta chứng minh ,� � đều là vô hạn đếm được; trong khi � có lượng lực gọi là lượng lực continum. 6.6. Thu hẹp và mở rộng ánh xạ Định nghĩa 6.6.1. Giả sử f : X Y→ là một ánh xạ và A là một bộ phận của X, ánh xạ

( ) ( )g : A Y

x g x f x

→

=�

gọi là cái thu hẹp của ánh xạ f vào bộ phận A và kí hiệu là g f A= , còn ánh xạ f gọi là cái mở rộng của g trên tập X. 6.7. Tập hợp chỉ số Giả sử I là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng mà các phần tử được kí hiệu là , , ,...α β γ và f là một ánh xạ

f : I X→ Ta kí hiệu

( )( )( )

f x

f x

f x

.............

α

β

γ

α =

β =

γ =


of 27

Ta bảo các phần tử x , x , x ,...α β γ thành lập một họ những phần tử của X được đánh số bởi tập hợp

I, kí hiệu là ( ) Ix ,α α∈

còn tập hợp I gọi là tập hợp chỉ số. Nếu các x , x , x ,...α β γ là những tập hợp thì ta

gọi ( ) Ix ,α α∈

là một họ tập hợp đánh số bởi tập hợp I. Nếu các phần tử của X là những bộ phận của

một tập hợp E, tức là ta có x , x , x ,... E,α β γ ⊂ thì ta gọi ( ) Ixα α∈

là một họ những bộ phận của tập hợp E.

Thực ra chúng ta đã thấy việc đánh số trước đây rồi. Trong Giải tích chúng ta thường xét những dãy số thực 1 2 3u ,u ,u ,... Điều đó có nghĩa là ta đã đánh số bằng các số tự nhiên 1, 2, 3, ...

Ví dụ 6.7.1. Giả sử I = {1, 2, 3}, X = {a, b} và do đó P(X) = { } { } { }{ }, a , b , a,b ,∅

f: I → P(X)

{ }{ }{ }

1

2

3

1 A b

2 A a,b

3 A a,b

=

=

=

�

�

�

Như vậy họ ( )i i IA

∈ gồm ba tập hợp A1, A2, A3 trong đó A2 = A3.

6.8. Hợp, giao, tích Đề-các một họ tập hợp Ở đây, chúng ta hãy mở rộng các phép toán hợp, giao, tích ra một số tuỳ ý những tập hợp. Định nghĩa 6.8.1. Giả sử ( ) I

Xα α∈ là một họ tập hợp. Ta gọi là hợp của họ đó, và kí hiệu bằng

IX ,α

α∈∪ tập hợp các x sao cho x thuộc ít nhất một tập hợp của họ ( ) I

X .α α∈

Định nghĩa 6.8.2. Giả sử ( ) IXα α∈

là một họ tập hợp. Ta gọi là giao của họ đó, và kí hiệu bằng

IX ,α

α∈∩ tập hợp các x sao cho x thuộc tất cả các tập hợp của họ ( ) I

X .α α∈

Định nghĩa 6.8.3. Giả sử ( ) IXα α∈

là một họ tập hợp và I

X X αα∈

= ∪ là hợp của họ đó. Ta gọi là tích

Đề-các của họ ( ) IX ,α α∈

và kí hiệu bằng I

X ,αα∈∏ tập hợp các họ ( ) I

Xα α∈ những phần tử của X sao

cho x Xα α∈ với mọi I.α∈ Nếu các tập hợp của Xα đều bằng một tập hợp A, thì tích Đề-các của họ

( ) IXα α∈

gọi là luỹ thừa Đề-các bậc I của tập hợp A và kí hiệu là IA .

Trong trường hợp I = {1, 2} ta lại tìm thấy hợp, giao, tích Đề-các của hai tập hợp. Ví dụ 6.8.4. 1) Xét họ tập hợp ( )n n

I∈�

đánh số bởi các số tự nhiên 0, 1, 2,... với

{ }nI 0,1,2,...,n ,=

thế thì

nn

I∈

=�

∪ �

{ }nn

I 0 .∈

=�

∩

2) Luỹ thừa Đề-các �� là tập hợp các dãy số thực

( )0 1 nu ,u ,...,u ,... .

Bài tập 1. Tập hợp ( ){ } ( ){ }G x, x / x 0 x,0 / x 0= < ∪ ≥ có phải là đồ thị của một ánh xạ từ � đến � ? Biểu

diễn hình học tập hợp đó. Tập hợp

1G x, / x , x 1

x 1

= ∈ ≠ − �

có thể coi như đồ thị của ánh xạ nào? Biểu diễn hình học tập hợp đó. 2. Giả sử f : X Y→ là một ánh xạ, A và B là hai bộ phận của X, C và D là hai bộ phận của Y. Chứng

minh a) ( ) ( ) ( )f A B f A f B .∪ = ∪

b) ( ) ( ) ( )f A B f A f B .∩ ⊂ ∩


of 27

c) ( ) ( ) ( )1 1 1f C D f C f D .− − −∪ = ∪

d) ( ) ( ) ( )1 1 1f C D f C f D .− − −∩ = ∩

e) ( ) ( ) ( )f X A f X f A .− ⊃ −

f) ( ) ( )1 1f Y C X f C .− −− = −

3. Giả sử n là một số tự nhiên cho trước, f là một ánh xạ từ tập hợp các số tự nhiên � đến chính nó được xác định bởi

( )n k n k n

f kn k n k n

Õu

Õu

− <=

+ ≥

f có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không? 4. Giả sử f : X Y→ và g : Y Z→ là hai ánh xạ và h gf= là ánh xạ tích của f và g. Chứng minh a) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh, nếu thêm f là toàn ánh thì g là đơn ánh. b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh, nếu thêm g là đơn ánh thì f là toàn ánh. 5. Cho ánh xạ f : X Y.→ Chứng minh f là một đơn ánh khi và chỉ khi có một ánh xạ g : Y X→ sao

cho ( )Xgf 1 X .= ≠ ∅

6. Cho ánh xạ f : X Y.→ Chứng minh f là toán ánh khi và chỉ khi có một ánh xạ g : Y X→ sao cho

Yfg 1 .=

7. Cho ba ánh xạ f : X Y→ và g,g ' : U X.→ Chứng minh: a) Nếu f là đơn ánh và fg = fg’ thì g = g’. b) Nếu với mọi g, g’ mà fg = fg’ kéo theo g = g’ thì f là một đơn ánh. 8. Cho ba ánh xạ f : X Y→ và h,h ' : Y Z.→ Chứng minh rằng nếu f là một toàn ánh và hf = h’f thì

h h '.= Ngược lại, nếu với mọi h, h’ ta có hf = h’f kéo theo h = h’ thì f là một toàn ánh. 9. Chứng minh nếu có một song ánh từ X đến Y và một song ánh từ X đến Z thì có một song ánh từ

Y đến Z. 10. Chứng minh rằng muốn cho một bộ phận G của tích Đề-các X Y× là đồ thị của một ánh xạ từ X

đến Y thì cần và đủ là ánh xạ (phép chiếu)

( )G X

x, y x

→

�

là một song ánh. 11. Giả sử ( ) I

Aα α∈ là một họ những bộ phận của một tập hợp X, B là một tập hợp tuỳ ý. Chứng minh

a) IA Aα α

α∈⊃∪ với mọi I.α∈

b) IA Aα α

α∈⊃∩ với mọi I.α∈

c) ( ) ( )I I

B A B A .α αα∈ α∈

=∩ ∪ ∪ ∩

d) ( ) ( )I I

B A B A .α αα∈ α∈

=∪ ∩ ∩ ∪

e) ( ) ( )I I

X A X A .α αα∈ α∈

− = −∪ ∩

f) ( ) ( )I I

X A X A .α αα∈ α∈

− = −∩ ∪

12. Giả sử f : X Y→ là một ánh xạ, ( ) IAα α∈

là một họ những bộ phận của X, ( )J

Bβ β∈ là một họ

những bộ phận của Y. Chứng minh

a) ( ) ( )I I

f A f A .α αα∈ α∈

=∪ ∪

b) ( ) ( )I I

f A f A .α αα∈ α∈

=∩ ∩

c) ( )1 1

J Jf B f B .− −

β ββ∈ β∈

= ∪ ∪


of 27

d) ( )1 1

J Jf B f B .− −

β ββ∈ β∈

= ∩ ∩

13. Cho hai tập hợp X và Y. Ta kí hiệu bằng Hom(X, Y) tập hợp tất cả các ánh xạ từ X đến Y. Chứng minh

a) Có một song ánh từ Hom(X, Y) đến XY .

b) Nếu Y chỉ có hai phần tử thì có một song ánh từ Hom(X, Y) đến P(X).

c) Từ a) và b) hãy suy ra nếu X có n phần tử, thì P(X) có n2 phần tử. 14. Giả sử f là một đơn ánh từ một tập hợp X đến tập hợp các số tự nhiên � và S là một quan hệ trong

X xác định như sau: xSx’ khi và chỉ khi ( ) ( )f x f x ' .≤

Chứng minh S là một quan hệ thứ tự toàn phần. 15. Cho hai tập hợp X và Y. Gọi ( )X,YΦ là tập hợp các ánh xạ từ các bộ phận của X đến Y, nghĩa là

( )f X,Y∈Φ thì f là một ánh xạ có nguồn là một bộ phận của X và có đích là Y. Xét quan hệ S

trong ( )X,YΦ xác định như sau:

fSg khi và chỉ khi g là mở rộng của ánh xạ f. a) Chứng minh S là một quan hệ thứ tự. b) Tìm các phần tử tối tiểu, tối đại, bé nhất, lớn nhất của ( )X,YΦ đối với S.

§7. SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH T Ổ HỢP

Các khái niệm về chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp là quen thuộc với học sinh trung học. Ở đây, chúng ta trình bày lại với ngôn ngữ hiện đại hơn, nhưng không chứng minh lại các công thức về số chỉnh hợp, số hoán vị, số tổ hợp.

Trong (§6, bài tập 13) chúng ta đã chứng minh có một song ánh giữa Hom(I, X) và tích Đề-các IX , đó là ánh xạ

( )( )( )

I

i I

Hom I,X X

f f i ∈

→

�

Vì vậy, người ta thường đồng nhất Hom(I, X) với IX và viết các phần tử của IX hoặc dưới dạng ánh xạ

f : I X,→ hoặc dưới dạng

( )( )i I

f i .∈

7.1. Chỉnh hợp Giả sử I = {1, 2,..., k} và X là một tập hợp có n phần tử ( )n 1 .≥

Định nghĩa 7.1.1. Một phần tử của tích Đề-các kX , hay nói khác hơn, một ánh xạ f : I X→ gọi là

một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử của X; nó có dạng ( )1 2 kx , x ,..., x , đó là một bộ sắp thứ tự

gồm k phần tử của X, không nhất thiết khác nhau.

Vì kX có kn phần tử (§2, bài tập 7), nên nếu kí hiệu knA số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử,

ta có k knA n .=

Định nghĩa 7.1.2. Một đơn ánh f : I X→ gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k (gọi tắt là chỉnh hợp chập k) của n phần tử của X; nó có dạng

( )1 2 kx ,x ,..., x ,

đó là một bộ phận sắp thứ tự gồm k phần tử phân biệt của X. Chú ý 7.1.3. Muốn f : I X→ là đơn ánh, ta phải có k n.≤ Nếu kí hiệu k

nA số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta đã biết (nếu quên có thể chứng minh dễ dàng):

( ) ( )knA n n 1 n k 1 .= − − +�


of 27

Đặt n! = 1.2...n (đọc là n giai thừa), và 0! = 1, ta có công thức sau đây còn đúng cho k = n:

( )kn

n!A .

n k !=

−

7.2. Hoán vị Giả sử I = {1, 2,..., n} và X là một tập hợp có n phần tử. Định nghĩa 7.2.1. Một song ánh f : I X→ gọi là một hoán vị của n phần tử của X; nó có dạng

( )1 2 nx ,x ,..., x , đó là một bộ sắp thứ tự gồm n phần tử của X.

Kí hiệu Pn số hoán vị của n phần tử, ta được n

n nP A n!.= =

Vậy

nP n!.=

7.3. Tổ hợp Giả sử X là một tập hợp có n phần tử (n > 0) và 0 k n.< ≤ Định nghĩa 7.3.1. Một bộ phận của X gồm k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Chú ý 7.3.2. Nếu lấy một bộ phận k phần tử { }1 2 kx , x ,..., x của X, thì ngay trong cách viết ta đã

không chú ý tới thứ tự của các phần tử, điều chú ý là ta đã lấy k phần tử nào ra. Cho nên, nếu kí hiệu

knC hoặc

n

k

số các tổ hợp chập k của n phần tử, ta có ngay quan hệ:

k kn nk!C A=

hay

( )kn

n!C .

n k !k!=

−

Ta chú ý công thức trên còn đúng cho k = 0 và k = n = 0, do đó ta có thể viết 0nC và 0

0C .

Bài tập 1. Giả sử k,n∈� và 0 k n.≤ ≤ Chứng minh

k n kn nC C .−=

2. Giả sử X là một tập hợp có n phần tử và P(X) là tập hợp các bộ phận của X. Chứng minh rằng ánh xạ

P(X) → P(X) A X A−�

là một song ánh. Từ đó suy ra công thức trong bài 1. 3. Chứng minh

0 1 k n nn n n nC C C C 2+ + + + + =� �

(xem §4, bài tập 13, c). 4. Chứng minh

k k 1 kn n 1 n 1C C C .−

− −= +

5. Giả sử ia , i 1,2,...,n.∈ =�

a) Khai triển đa thức

( ) ( )( ) ( )1 2 nf x x a x a x a .= + + +�

b) Cho ia a,i 1,2,...,n;= = và từ khai triển của f(x) trong câu a) suy ra công thức nhị thức Niu-tơn

(Newton):

( )n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n nx a C x C x a C x a C a .− −+ = + + + + +� �

§8. SƠ LƯỢC VỀ CÁC TIÊN ĐỀ CỦA LÝ THUY ẾT TẬP HỢP

8.1. Mở đầu Như ta đã nói ở đầu chương, lý thuyết tập hợp mà ta đã trình bày là một lý thuyết sơ cấp theo quan điểm ngay thơ. Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu sơ lược các tiên đề của lí thuyết tập tập. Bạn đọc muốn tìm hiểu kĩ có thể tham khảo nhiều sách, chẳng hạn “Lý thuyết tập hợp” của bourbaki.


of 27

8.2. Khái niệm nguyên thuỷ Chúng ta không định nghĩa chữ tập hợp, ta gọi đó là khái niệm nguyên thuỷ. Khái niệm thuộc vào, được kí hiệu như ta đã biết bằng ,∈ cũng là một khái niệm nguyên thuỷ. Tuy hai khái niệm tập hợp và thuộc vào không được định nghĩa, nhưng chúng ta lại tự ấn định các qui tắc: điều gì chúng ta có thể làm được và điều gì ta không thể làm được với hai khái niệm đó. Đó là bảy tiên đề của Zermelo – Fraenkel, mà chúng ta thêm vào cái thứ tám, tiên đề chọn. Theo truyền thống, các tiên đề đó được cho dưới tên và thứ tự sau: tiên đề quảng tính, tiên đề tuyển lựa (hay còn gọi tiên đề nội hàm, hay tiên đề chỉ rõ, hay tiên đề tách), tiên đề cặp, tiên đề hợp, tiên đề tập hợp các bộ phận, tiên đề vô hạn (hay tiên đề các số tự nhiên), tiên đề chọn và cuối cùng là tiên đề thay thế. Tiên đề cuối cùng còn gọi là tiên đề thay chỗ, chỉ tham dự vào lý thuyết tập hợp khi đưa vào khái niệm qui nạp siêu hạn và số học thứ tự. Tiên đề đó được Fraenkel đưa vào năm 1922. Hệ thống tiên đề (không có tiên đề chọn) thành lập lý thuyết tập hợp của Zermelo – Fraenkel. Một vài trong các tiên đề đó nói lên tính chất ít nhiều hiển nhiên khi ta phát biểu chúng trong ngôn ngữ thông thường. Trước hết, chúng ta hãy xác định thế nào là một văn bản toán học. Bằng các chữ (lớn, nhỏ, La tinh, Hy Lạp, v.v...), các kí hiệu của lôgic kinh điển, hai kí hiệu ∈ và =, và các dấu ngoặc, chúng ta có thể viết bất kì văn bản toán học nào (mà chúng ta cũng gọi là công thức, phát biểu, mệnh đề, khẳng định, v.v...) của lý thuyết tập hợp. Chúng ta sẽ gọi là phát biểu toán học hình thức cái mà ta được bằng cách áp dụng các qui tắc sau: 10) x y,A B,∈ = trong đó x, y, A, B là những chữ tuỳ ý, là một phát biểu. Các phát biểu đó gọi là những công thức sơ cấp hay nguyên thuỷ. 20) Nếu P và Q đã là những phát biểu, thế thì

P, P Q, P Q, P Q, P Q ∧ ∨ → ↔ là những phát biểu. 30) Nếu P là một phát biểu, thế thì ( ) ( )( ) ( ) ( )( )x P x , x P x ∃ ∀ là những phát biểu.

8.3. Hệ tiên đề của lý thuyết tập hợp 1) Tiên đề quảng tính

( )( ) ( )( )A B A B x x A x B∀ ∀ = ↔ ∀ ∈ ↔ ∈

Trực giác, điều đó muốn nói một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó; hai tập hợp A và B bằng nhau nếu và chỉ nếu mọi phần tử của A là phần tử của B và ngược lại. Chú ý. Giả sử X, A, B là những tập hợp. Chúng ta đã nói rằng quan hệ X A∈ đọc là X thuộc A, hay X là một phần tử của tập hợp A. Thông thường người ta hay viết quan hệ đó dưới dạng x A,∈ nhưng đó chỉ là một sự lạm dụng cách viết trong khi x là một tập hợp cũng như A. 2) Tiên đề tuyển lựa hay nội hàm

( )( )( ) ( )( )A B x x A P x x B ∀ ∃ ∀ ∈ ∧ ↔ ∈

Trực giác, điều đó có nghĩa cho một công thức P(x) trên một tập hợp biến x, tồn tại một tập hợp B, mà các phần tử là các phần tử của A, có tính chất P(x) (nghĩa là làm cho công thức P(x) đúng). Tập hợp B lúc đó được xác định duy nhất bởi tiên đề quảng tính. Trước khi phát biểu tiên đề tuyển chọn dưới dạng đã cho, nhiều nhà toán học đã nghĩ rằng chỉ cần một công thức là đủ để xác định một tập hợp (1) {x | P(x)} là tập hợp các vật làm cho công thức P(x) đúng. Năm 1901 Bertrand Russel đã khám phá ra rằng người ta có thể suy ra một mâu thuẫn từ (1) bằng cách xét các vật không thuộc chính nó. Thật vậy, xét công thức x x.∉ Khi đó chúng ta muốn xét tập hợp các tập hợp không thuộc chính nó. Giả sử tập hợp đó tồn tại. Vậy ta có thể viết

( )( )( )B x x B x x .∃ ∀ ∈ ↔ ∉

Lấy x = B, ta đi đến công thức: B B B B.∈ ↔ ∉

Về mặt lịch sử, chính nghịch lí đó đã dẫn tới công thức hiện nay của tiên đề tuyển lựa. Nghịch lí B. Russel dựa trên công thức x x,∉ đưa chúng ta tới định lí sau đây Định lí 8.3.1. Không tồn tại tập hợp mà các vật của nó là các tập hợp. Chứng minh. Thật vậy, giả sử một tập hợp A như vậy tồn tại. Theo tiên đề tuyển lựa, ta có thể xác định tập hợp B bởi

{ }B x A / x x .= ∈ ∉


of 27

Theo định nghĩa của A, tập hợp B là một phần tử của A. Thế thì ta có B B∈ nếu và chỉ nếu B B,∉

điều này mâu thuẫn vì P và P không thể đồng thời đúng (nguyên tắc không mâu thuẫn). Ta vừa thấy kí hiệu dạng (1) không nhất thiết chỉ ra một tập hợp. Nhưng kí hiệu đó lại rất tiện. Vì lẽ đó, ta đưa vào một từ nguyên thuỷ mới, đó là khái niệm lớp. Chúng ta sẽ bảo (1) kí hiệu lớp các tập hợp x thoả mãn tính chất P(x). Ví dụ:

{x | x = x} là lớp tất cả các tập hợp. Lúc đó ta sẽ nói đến lớp các nhóm, lớp các không gian véctơ trên một trường,... 3) Tiên đề cặp

( )( )( )( ) ( )a b c x x c x a x b∀ ∀ ∃ ∀ ∈ ↔ = ∨ =

Trực giác, điều đó có nghĩa cho hai tập hợp a và b có một tập hợp c có phần tử là a và b và chỉ chúng. Tập hợp đó là duy nhất theo tiên đề quảng tính. Định nghĩa 8.3.2. Giả sử a va b là hai tập hợp. Ta gọi là cặp (không sắp thứ tự) thành lập bởi a và b, tập hợp kí hiệu {a, b} xác định bởi tiên đề cặp. Người ta gọi là đơn tử thành lập bởi tập hợp a, tập hợp {a, a} = {a} chỉ có tập hợp a là phần tử duy nhất. Định nghĩa 8.3.3. Giả sử a và b là hai tập hợp. Ta gọi là cặp sắp thứ tự của a (đứng thứ nhất) và của b (đứng thứ hai), cặp thành lập bởi đơn tử {a} và cặp {a, b}. Cặp đó kí hiệu:

(a, b) = {{a}, {a, b}}. 4) Tiên đề hợp

( )( )( ) ( )( )A B x x B C C A x C∀ ∃ ∀ ∈ ↔ ∃ ∈ ∧ ∈

Trực giác, điều đó có nghĩa cho một tập hợp A mà các phần tử gồm những tập hợp kí hiệu C, có một tập hợp B mà các phần tử là các tập hợp thuộc vào một trong các tập hợp C của bộ (= tập hợp) A. Tập hợp đó là duy nhất theo tiên đề quảng tính và gọi là hợp của các tập hợp của bộ A và kí hiệu

C AC

∈∪ hay A∪ hay { }C | C A∈∪ .

5) Tiên đề tập hợp các bộ phận ( )( )( )( )A B X X B X A∀ ∃ ∀ ∈ ↔ ⊂

Trực giác, điều đó có nghĩa cho một tập hợp A, có một tập hợp B mà các phần tử là các bộ phận của A. Tập hợp đó là duy nhất theo tiên đề quảng tính và gọi là tập hợp các bộ phận của tập hợp A, kí

hiệu P(A). 6) Tiên đề chọn

( ) ( ) ( )i ii I

I I , i I,X X∈

∀ ≠ ∅ ∀ ∈ ≠ ∅ →∏ ≠∅

Trực giác, điều đó có nghĩa nếu ( )i i IX

∈ là một họ không rỗng ( )I ≠ ∅ những tập hợp không rỗng,

thế thì tích Đề-các của họ đó là một tập hợp không rỗng. Điều đó cũng có nghĩa rằng mọi họ không rỗng ( )i i I

X∈

những tập hợp không rỗng có một hàm

chọn, nghĩa là một ánh xạ ϕ xác định trong I sao cho với mọi ( ) ii I, i X .∈ ϕ ∈

Paul J. Cohen đã chứng minh rằng tiên đề chọn là độc lập đối với các tiên đề của lý thuyết Zermelo – Fraenkel. Trước đó Gödel đã chứng minh nếu lý thuyết tập hợp Zermelo – Fraenkel là không mâu thuẫn, nó sẽ không mâu thuẫn nếu ta thêm vào tiên đề chọn. Trong bài giảng Đại số, chúng ta hay dùng bổ đề Zorn và định lí Zermelo (thứ tự tốt). Tiên đề chọn tương đương với các phát biểu đó. Bổ đề Zorn. Mọi tập hợp E không rỗng sắp thứ tự qui nạp có ít nhất một bộ phận tối đại. Định lí Zermelo. Mọi tập hợp có thể sắp thứ tự tốt. 7) Tiên đề vô hạn Định nghĩa 8.3.4. Với mọi tập hợp x, ta gọi là cái kế tiếp của x, tập hợp có các phần tử là các phần tử của x và tập hợp x. Vậy đó là hợp của tập hợp x và đơn tử {x}. Nó được kí hiệu x+:

{ }x x x .+ = ∪

Với kí hiệu đó, ta có 1 = 0+, 2 = 1+, 3 = 2+,...

vì { } { }{ }0 ,1 ,2 , ,...=∅ = ∅ = ∅ ∅


of 27

Theo cách xây dựng trên, mọi số tự nhiên đều có thể viết tường minh. Vấn đề đặt ra là có tồn tại một tập hợp chứa tất cả các số tự nhiên đó? Tiên đề vô hạn sẽ trả lời câu hỏi đó. Tiên đề vô hạn là như sau:

( ) ( )( )A A x x A x A+ ∃ ∅∈ ∧ ∀ ∈ → ∈

Trực giác, điều đó có nghĩa tồn tại một tập hợp chứa ∅ và chứa cái kế tiếp của mỗi phần tử của nó. Ta có thể dễ dàng chứng minh định lí sau đây: Định lí 8.3.5. Có một tập hợp bé nhất, kí hiệu ,� có các tính chất sau: (i) ,∅∈�

(ii) Với mọi x , x ,+∈ ∈� � Tập hợp � gọi là tập hợp các số tự nhiên. 8) Tiên đề thay thế

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )x Y y x A S x, y y Y B y y B x x A S x, y ∀ ∃ ∀ ∈ ∧ → ∈ → ∃ ∀ ∈ ↔ ∃ ∈ ∧

Nói một cách khác, giả sử S(x, y) là một phát biểu phụ thuộc hai biến x và y và A là một tập hợp. Ta giả sử với mọi x A,∈ lớp {y | S(x, y)} là một tập hợp. Thế thì tồn tại một tập hợp chứa đúng các phần tử y sao cho S(x, y) là đúng với ít nhất một x A.∈ Tiên đề này được sử dụng khi ta đưa vào khái niệm qui nạp siêu hạn và số thứ tự.

Chuong I - Tap hop va Logic - tranlam.yolasite.comtranlam.yolasite.com/resources/Chuong I - Tap hop...

Documents

Transcript of Chuong I - Tap hop va Logic - tranlam.yolasite.comtranlam.yolasite.com/resources/Chuong I - Tap hop...